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Full text of "Ceuvres De EHenri Poincare La Section De Geometrie Tome XI"

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W. I. PATTERSON, 1865-1954 

Industrialist, Civic Leader, Philanthropist 

Founder, Steel City Electric Company, 19O4 

Established W. I. Patterson Charitable Foundation 



(EUVRES 

DE 

HENRI POINCARE 

PUBLIEES 

SOUS LES AUSPICES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES 

PAR 

LA SECTION DE GEOMETR1E 



TOME XI 

PUBLIE AVEG LA COLLABORATION 

DE 

GERARD PETIAU 

MA.ITRE DE RECHBACHES 



MEMOIRES DIVERS - HOMMAGES A HENRI POINCARfi 

LIVRE DU CENTENAIRE 
DE LA NAISSANCE D'HENRI POINCARE (1854-1954) 




PARIS 
GAUTHIER-VILLARS, EDITEUR-IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

Quai des Grands-Augustins, 55 

1956 



MEMOIRES DIVERS 



SUR 



LES POINTS SINGULIERS 

DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES 



Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 94, p. 4*6~4iS (i3 fevrier 1882). 



comme 
une 



J'envisage deux Equations diflferentielles simultanes 

\ d x __ dy __ dz 

(1) y - Y - T' 

ou X, Y, Z sont des polynomes entiers en #, y, s. Si je regarde a?, y, * uuj 
les coordonn^es d'un point dans 1'espace, ces deux Equations d^fmissent 
infinite de courbes gauches que j'appelle caracteristiques. 

Par chaque point de 1'espace passe une caractdristique et une seule. Les 
seuls points qui ne satisfont pas a cette r&gle sont les points singuliers, c'est- 
a-dire les points d'intersection des trois surfaces 

(2) X = o, Y = o, Z = o. 

En gn6ral, ces'trois surfaces ne se couperont pas suivant une courbe, et les 
point singuliers seront isol6s. Pour les classer, on envisagera 1'^quation en S, 



(3) 



Nous supposerons que cette Equation n'a pas de racine multiple,- ni de 



^X 


dX. 


dX 


dx 


dy 


~d~z 


dY 


dY 


dY 


dx 


~dy ~~ 


d^ 


dl 


dZ 


dZ c 









dx 


Ty 


dz 



4 SUR LES POINTS SINGULIERS. 

racine nulle, ce qui arrivera en g&i&ral. II y aura alors quatre sorles de points 
singuliers : 

i Les nceuds. Liquation (3) a toutes ses racines r^elles et de m6me signe. 
Toutes les caract&ristiques qui pntrent dans une petite sphere d^crite autour 
du point singulier viennent converger en ce point : exemple, liquation 

dx __ dy __ dz 

x ~~~ y ~~ z 

dont 1'inttSgrale g^nerale s't^crit 

a b c 

a, b, c dtant les constantes d'int^gration. 

2 U Les cols. Liquation (3) a toutes ses racines r^elles, mais non de mme 
signe. Une infinite de caract^ristiques, dont Fensemble forme une surface, 
viennent converger au point singulier; en dehors de cette surface, il existe 
encore une autre caract^ristique qui vient passer par le point singulier; les 
autres restent constamment a une distance finie de ce point : exemple, 

1'^quation 

dx __ dy __ dz 
j ** 

dont I'int^grale gnrale s'^crit 



Une infinite de caract^ristiques, 

= y ^ =0 

a b ** ' 

situ^es toutes sur la surface z = o, viennent passer par 1'origine. II en est de 
m6me de la caract^ristique 

x =y = o. 

Les autres restent a une distance finie de 1'origine. 

3 Les foyers. L'gquatiori (3) a une racine r6elle et deux racines imaginaires 
conjugu^es, dont la somme est de rn6me signe que la racine relle. Une carac- 
t^ristique, et une seule, passe par le foyer; les autres tournent autour de ce 
foyer, en s'en rapprochant asymptotiquement, en forme de spirales et de tire- 
bouchons. 



SUR LES POINTS SINGULIERS. 5 

4 Les cols-foyers. Liquation (3) a une racine relle et deux racines ima- 
ginaires conjugue'es, dont la somme n'est pas de merne signe que la racine 
re"elle. Une caracte'ristique, et une seule, passe par le point singulier; une infi- 
nite' d'autres, dont Fensemble forme une surface, tournent autour de ce point 
en s'en rapprochant asymptotiquement; les autres restent a une distance finie 
de ce point. 

CJn cas particulier inte'ressant est celui ou les trois surfaces (2) se coupeiit 
suivant une m&me courbe, qui est alors une ligne singuliere. 

Conside'rons un point de cette ligne singuliere. En ce point, 1'equation (3) a 
une racine nulle. Tl y a toujours une caracte'ristique qui passe par le point 
singulier, et c'est la ligne singuliere elle-m6me. 

Les points d'une iigne singuliere sont d'ailleurs de trois sortes : 

i Les nceuds. L'e'quation (3) a une racine nulle et deux racines re'elles et de 
m&me signe. Dans le voisinage de ces points, une infinite' de caracl(3ristiques, 
dont 1'ensemble forme une surface, viennent converger en chaque point de la 
ligne singuliere. 

2 Les cols. L'e'quation (3) a une racine nulle et deux racines r^elles et de 
signe contraire. Par chaque point de la ligne singuliere passent deux caracte"- 
ristiques (outre la ligne singuliere elle-m&me) ; les autres restent a distance 
finie de cette ligne. 

3 Les foyers. L'e'quation (3) a une racine nulle et les deux autres imagi- 
naires conjugue"es. Toutes les caracte'ristiques se rapprochent alors asymptoti- 
quement de la ligne singuliere. 

On trouverait des singularite's d'ordre plus elev<3 aux points qui se'parent les 
arcs de la ligne singuliere, dont tous les points sont des noeuds, des arcs dont 
tous les points sont des cols etde ceux dont tous les points sont des foyers. 



SUR 

LA GENERALISATION DTN THEOREME D'EULER 
RELATIF AUX POLYEDRES 



Comptes rendus de C Academic des Sciences, t. 117, p. i44~ r 45 (17 juillet iSg3). 



On sait qu'Euler a d6montr6 que, dans un poly&dre convexe, le nombre des 
sommets, plus celui des faces, moms celui des aretes, est 6gal a 2; si done on 
design e par a 0? a 2 et 1? ces trois nombres, on aura 



Ce rsultal s'^tend a tous les poly&dres simplement connexes; on sait que si 
Pordre de connexion est gal a PI, la formule doit s'^crire 



a a!-h a 2 = 3 Pi. 



II peut toe int&ressant, au point de vue de V Analysis situs et de ses appli- 
cations, de voir ce que devient ce thtfor&me pour un poly&dre situ6 dans 
Pespace a plus de trois dimensions. Consid^rons done un poly&dre situ6 dans 
Pespace a n+ i dimensions, et soit a le nombre des sommets, a t le nombre 
des aretes, c'est-a-dire des gtements a une dimension, a 2 celui des 6l6ments a 
deux dimensions, etc.; et enfm z n celui des 6l^ments a n dimensions. On 
trouve ais^ment 

o i -+- a a H- . . <x = const. 



Mais, ce qu'il y a de remarquable, c'est que la constante du second membre 
depend de Pordre de connexion si n est pair, et qu'elle est toujours nulle si n 
est impair. 



GENERALISATION D'UN THEOREME D'EULER. 7 

On peut s'en rendre compte de diverses manieres ; par exemple si nous dsi- 
gnons par 

PI? Pa? 3 P/z ij 

les ordres de connexion du polyedre de'finis par Riemann et Betti, on voit 
qu'on a 

a a t -4- a 2 .H- a ft = 3 -- PI H- P 2 . . . P n -i, 

si 71 est pair et 

oc ! -h a 2 . . . a /t = PI -+- P2 . -!- P i) 

si H, est impair. 

Comme les nombres de Betti P q et P n q sont 6gaux, on voit que, dans le 
second cas, le second membre est nul, ainsi que je 1'avais annonc^. 

Ces re'sultats supposent que tous les elements du poljedre sont simplement 
connexes. S'il n'en e"tait pas ainsi, on serait conduit a une formule analogue, 
mais plus complique"e. 



H. P. - XI. 



SUR 

LA GENERALISATION 

D'UN THEOREME ELEMENTAIRE 

DE GEOMETRIE 



Comptes rendus de UAcademie des Sciences, t. 140, p. 113-117 (16 Janvier 1906). 



La somme des angles d'un triangle est <5gale a deuxdroits; mais nous n'avons 
aucun th6or&me analogue pour le ttra&dre. 

La surface d'un triangle sph6rique est proporlionnelle a l'excs sph^rique; 
mais nous n'avons aucun thor6me analogue pour le t6tradre hypersph6rique 
trac6 sur 1'hypersph^re de 1'espace a quatre dimensions. 

On peut done se demander si les lhor&mes en question sont susceptibles 
d'etre 6tendus aux espaces a plus de trois dimensions. Ainsi que nous allons le 
voir, le premier de ces thor&mes peut tre g^n^ralis6 dans tout espace d'un 
nombre pair de dimensions, mais non dans les espaces d'un nombre impair de 
dimensions. Le second th6or&me peut &tre 6tendu auxhypersph&res des espaces 
a un nombre pair de dimensions, mais non aus. hypersph^res des espaces a un 
nombre pair de dimensions. 

Flagons-nous dans 1'espace a n dimensions, et soient 1, 2, , n les coor- 
donn6es d'un point dans cet espace et 

(0 ?! + ?! + ..-4-^ = 1 

liquation d'une hypersph&re. Soient 

(2) X! = o ? X s =o, ..., X^=o 



GENERALISATION D'UN THEOREMS. 9 

les Equations de n plans passant par Porigine. Alors X 1? X 2 , . . . , X n sont des 
polynomes lineaires et homogenes en 1? 2 , . . ., % n . Nous pouvons toujours 
supposer qu'on a identiquement 

(3) 



En effet, quels que soient ces polynomes, on pourra trouver n constantes Xi, 
A 2 , . . . , \ n telles que JKA/Xf= ^; mais comme nous pouvons aussi bien ecrire 

les Equations des plans A/X/ = o, an lieu de X/= o, nous ne restreignons pas 
la generalite en supposant que ces constantes sont e'gales a i . 

Ces n plans (2) divisentla surface de 1'hypersphere (i) en a /l regions, qui se 
distinguent entre elles par les signes des polynomes X. L'une de ces regions 
sera le tetraedre hyperspherique que nous voulons etudier et que j'appelle T; 
ce sera par exemple celle pour laquelle tous les polynomes X sont positifs. 

Mais ce n'est pas tout a fait comme cela que nous opererons; nous com- 
mencerons par diviser 1'hypersphere en deux hemispheres par le plan ra o, 
et nous envisagerons seulement I'he'misphere n !>o; la surface de cet hemi- 
sphere sera partagee en 2 n i regions seulement; car, en vertu de liqua- 
tion (3), tous les X ne peuvent &tre n(gatifs si leur somme ^ n est positive. 

Pour distinguer ces regions les unes des autres, nous d^signerons chacune 
d'elles par les indices de ecus: des polynomos X qui sont positifs a 1'int^rieur 
de cette region. Ainsi la region ou les polynomes X 2 , X A , X 3 sont positifs et 
tous les autres n^gatifs sera la region 245. Nous appellerons regions Rp celles 
OUJD de nos polynomes seront positifs et qui seront de'signe'es par consequent 

n \ 
par^> indices. Le nombre total des regions R p est 6videmment ? - f - 

II n'y a qa'une seule region R n qui est le t^traedre T, il n'y a pas de region 
R . La surface des diverses regions sera evalue"e en prenant pour unite la surface 
de 1'hemisphere. 

Gela pos6, il nous faut definir les angles du tetraedre; et distinguer parmi 
eux les angles diedres ou angles A a , les angles triedres ou angles A a , et plus 
generalement les angles Ap limites par p plans. 

Un angle A^ sera done Fensemble des regions ou les p polynomes X corres- 
pondant aux plans limites de Tangle sont tous positifs, ou tous negatifs. Ce 
sera la somme des surfaces de ces regions qui sera la mesure de Tangle A p . 
Cela revient, pour les angles diedres par exemple, a prendre n pour unite 
d'angle. 



10 GENERALISATION D'UN THEOREMS. 

Les regions R r/ faisant partie d'un angie A^ seront celles ou les p polynomes 
X correspondanl aux plans limites seront tous positifs ainsi que q p autres, 
et celles ou ces p polynomes seront tous ne'gatifs ainsi que n q p autres. 

11 y aura done 

ti p ! n p ! 

_ i _ _|_ _ f _ , 

n q ! q p \ q\ n p q\ 

regions R, y dans Tangle A^. Soil alors p p la somme des angles A^; nous voyons 
que chaque re'gion K q figurera 



q />!/>! ri p <7 ! 
fois dans cette somrne ; d'ou 

= n 

q \ n q \ 



? repr^sentant la somme des surfaces de toutes les regions R r/ . Posons 
alors 



avec 

B <7 =2 2 R ? pour 3 = ^' 
II r^sulte de cette definition que 

B<7= >n-(f, B rt =B =T, 

liquation (4) peut alors s'e'crire : 



B,. 



Dans cette Equation, Tindice p peut prendre les valeurs 2, 3 7 . . . , n i ; 
nous comple'terons done le tableau des Equations (5) en posant 

(p. =B -f- Bi-+-...-f- B n =2, 
|ii = Bi +- 2B 2 -+-... 4- ^B^= n, 
^ = B n =T. 

Toutes ces formules (5) et (6) peuvent se r^sumer dans I'ldentite" 

(7) 



GENERALISATION D'UN THEOREME. 

Gomme on a B 9 R ;z _ 9 , on aura 



ou 

(8) 

ou, en egalant les coefficients de #/% 

_X^ n q \ 



(9) 1^=7 

l ^ ^ -' , p _ q { n _ pi 

Ces relations peuvent d'ailleurs se mettre sous une autre forme. Posons 

la relation (9) deviendra 

(") >/ 



Ces relations sont etablies pour p ^/i; mais si p^>n^ p. p devient nul et 
n p ! infini, de sorte que ^ p est inde'termine'. Rien n'emp&che alors de sup- 
poser que ces relations de'finissent encore A p pour/? >> n. On remarquera que 
ces relations (i i) sont inde'pendantes de n. Elles peuvent d'ailleurs s'e'crire : 

(12) cp(^) = cp( a;)ex, 

d'ou Ton tire 



6(^7 2 ) e'tant une se'rie quelconque proc^dant suivant les puissances de # 2 . La 
relation (i3) permet de calculer les "k p et par consequent les p.^. 

Reprenons I'e'quation (9) et faisons-j p = n. Dans le premier membre, le 
coefficient de p. tl est i et, dans le second membre, 4- 1 si n est pair et i si n 
est impair, de sorte que les termes en \t. n se d^truisent dans le premier cas et 
ii6 se de'truisent pas dans le second. 

Si done n est impair, c'est-a-dire dans un espace d'un nombrc impair de 
dimensions, il y a une relation line'aire entre : fx,j, qui repr^sente la surface du 
te"traedre hypersphe"rique T; (x w _i, j^n-a, - - - , f^a q u ^ repr^sentent les sommes 
de ses angles des diffe'rents ordres; ^ et JUL O , qui sont e'gaux a n et a 2. C'est la 
generalisation du theoreme sur le triangle spherique. 



LETTRES DE HENRI POINCARE 
A L. FUCHS (') 



Acta Mathematica^ t. 38, p. 175-184 et 185-187 (1921). 



Caen, le 29 mai 1880. 
MONSIEUR LE PROFESSEUR, 

J'ai lu avec le plus grand int6r6l le remarquable M^moire que vous avez fait 
insurer dans la derni&re livraison du Journal de Crelle ( 2 ) et qui a pour titre r 
Ueber die Verallgemeinerung des Umkehr problems. Veuillez me permettre, 
Monsieur, de vous demander au sujet de ce travail, quelques t^claircissements. 

Vous d^montrez, page i5g que la fonction z est fonction m^romorphe de , 
toutes les fois que prend une valeur correspondant a une valeur donne de z: 
que cette valeur de z soil un point ordinaire ou un point singulier, qu'elle soit 
finie ou infinie. Vous d^monlrez ensuite, page 160 que cela est encore vrai 
pour ~oc et comme conclusion vous dites : 

. . .so ist die durch die Gleichung (H) definirte Function z von fur alle 
Werthe von meromorph. 

II s'agit ici de toutes les valeurs de finies et infinies ; cet nonc ferait done 
entendre que z est fonction m^romorphe dans toute fetendue de la sphere et 
par consequent fonction rationnelle de ; on en conclurait que liquation (A) 
est toujours int^grable alg^briquement ce qui n'est pas exact comme vous le 
faites voir un peu plus loin page 168. 

( 1 ) Les lettres que nous publions ici sont d'importance pour 1'histoire de la thorie des fonc- 
tions fuchsiennes. Ce sont en effet ces lettres dont parle L. Fuchs dans les Nachrichten von der 
Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften und der G.-A.-Universitdt, Gottingen, 1882, p. 83; 
Gesammelte Mathematische Werke^ Band II, p. 286. 

( 2 ) T. 89, 1880, p. i5i-i6g. 



I^ CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 

A quoi tienL cette contradiction ? G'est a ce que les valours de sont de trois 
sortes : 

i Celles qu'on peut faire atteindre a la fonction -^ en faisant decrire a la 
n r <p( s ) 

variable z surla sphere un certain contour fmi unnombre^/ de fois. 

2 Celles qu'on peut faire atteindre a cette fonction en faisant decrire a z un 
contour infini ou bien un contour Jini un nombre injini de fois. 

3 Celles qu'on ne peut jamais faire atteindre a la fonction '^T~ } quel que 
soit le contour decrit par z sur la sphere. 

Rien ne prouve en effet a priori qu'il n'j ait pas des valeurs de ces trois 
sortes et me"me, en ge"ne"ral, on est certain qu'il y en a de la deuxieme ou de la 
troisieme sorte, sans quoi, je le re'pete, liquation (A) serait int^grable alge'- 
briquement. 

Mais alors il me semble qu'il faudrait encore d^montrer que z reste me'ro- 
morphe quand prend une valeur de la deuxi&me ou de la troisieme sorte, et 
que la demonstration que vous avez donn^e dans votre Memoire ne s'applique 
qu'a celles de la premiere sorte. 

On peut en effet faire plusieurs hypotheses : 

i on peut supposer que 1'on n'a que des valeurs de la premiere sorte et alors z 
est rationnel en ; 

2 on peut supposer que 1'on a des valeurs de la premiere et de la deuxieme 
sorte et que z reste monodrorne quand prend une des valeurs de la deuxieme 
sorte. Dans cette hypothese votre the'oreme trouverait encore son application; 

3* } on peut supposer que 1'on a des valeurs de la premiere et de la deuxieme 
sorte, mais que z ne revienne pas a la mme valeur, quand decrit un contour 
infiniment petit autour d'une des valeurs de la deuxieme sorte; 




4 on peut encore imaginer que Ton ait des valeurs des trois sortes; que les 
valeurs de la premiere sorte rcmplissent la region du plan que je couvre de 



CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 1 5 

hachures sur la figure, que le p^rim^tre de catte region soil forme de valeurs 
de la deuxi&me sorte; enfin que les parlies ext^rieures a ce p6rimtre corres- 
pondent a des valeurs de la troisi&me sorte. Alorsla fonction z rfexiste plus 
quand sort de ce perim&tre, et ne peut prendre qu'une seule valeur quand 
reste dans ce primtre. Alors z n'est pas, a proprement parler fonction analy- 
tique de ; mais elle est eindeutig-en , ce qui vous suffit pour les consequences 
que vous en tirez; 

5 on peut imaginer que Ton ait des valeurs des trois sortes, disposes comme 
dans la figure ci-dessous, ou la region occupee par des valeurs de la premiere 
sorte est couverte de hachures. Alors z pourrait ne pas revenir a la m6me 
valeur quand dcrirait un contour tel que HHHH. 

Enfin on pourrait encore faire miile autres hypotheses. 

Je dois avouer, Monsieur, que ces reflexions m'ont inspire quelques doutes 
sur la generalite du r6sultat que vous annoncez, et j'ai pris la liberty de vous 
en parler, dans 1'esperance que vous n'auriez pas de peine a les eclaircir. 




Mon adresse est : Henri Poincare, Professeur a la Faculty des Sciences de 
Caen (Calvados). 

Veuillez agr^er, Monsieur le Professeur, 1'assurance de ma consideration 
respectueuse. 



Heidelberg 5 Juni 1880. 
GEEHRTESTER HERR COLLEGA ! 

Da ich aus Ihrem geschatzten Briefe ersehe, dass Sie deutsche Abhandlungen mit 
so tiefem Yerstandniss zu lesen in der Lage sind, so erlaube ich mir bei der Beant- 
wortung Ihres Briefes mich auch dieser Sprache zu bedienen, weil ich hoffen darf, 
mich auf diese Weise klarer ausdriicken zu konnen. 

Empfangen Sie, geehrtester Herr, vor alien Dingen meinen besten Dank nicht nur 
ftir das Interesse, welches Sie die Gute haben meiner jiingsten Arbeit entgegenzu- 



!6 CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 

bringen, sondern auch dafttr, dass Sie mich durch Ihren Brief darauf aufmerksam 
gemacht haben, dass der Satz I p. 161 meiner Abhandlung nicht mit gentigender 
Precision ausgesprochen 1st. 

Wenn Sie in der That das Resume vergleichen, welches ich, vor dem Erscheinen 
meiner Arbeit im Borchardtschen Journal, von meinen Resultaten in den Nachrichten 
der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen (Februar 1880, p. 170-176) 
gegeben habe, so werden Sie daselbst p. 178 finden, dass ich dort denselben Satz in 
der Weise ausgedruckt habe, dass unter den tiber die Wurzeln der zu den verschie- 
denen singularen Punkten gehorigen determinirenden Fundamental gleichungen 
gemachten Yoraussetzungen durch die Gleichung 

<- 



z als eindeutige Function von definirt werde. 

Gestatten Sie niir nun mit wenigen Worten auf die Bedeutung des Satzes einzu- 
gehen. 

Aus den Entwickelungen meiner Arbeit in Borchardtfs Journal (p. i58-i6o) 
ergiebt sich Folgendes : Berechnet man fur jeden Werth von z die zugehorigen 
Werthe von f , indem man z alle moglichen Umlaufe machen lasst gleichgiiltig 
ob eine endliche oder eine unendliche Anzahl mal, so erhalt von z abhangige 
Werthe, so lange die Umlaufe nicht so bes chaff en sind, dass dadurchf(z] undy (z) 
identisch das heisst fur jeden Werth von z unendlich werden. 

Die Werthe von fur welche nicht f(z) und cp(js) identisch unendlich werden, 
erfullen in der -Ebene eine einfach zusammenhangende Flache, welche ich mit S 
bezeichnen will. Diese Flache bedeckt die -Ebene nur einfach und an ihre Begren- 
zung liegen diejenigen Werthe von f fur welche f(z) und cp(js) identisch unendlich 
werden. Innerhalb der Flache S ist z fiber all eine meromorphe Function von . 
Dieses ist der Sinn des Satzes I p. 161, und ein Weiteres brauche ich fur dieAnwen- 
dungen, welche ich von demselben mache, nicht. 

Ich hoffe, dass Ihnen diese Worte zur Aufklarung uber den Sinn, welchen ich dem 
Satze I p. 161 beilege, genugen werden, um so mehr als ich aus Ihrem Briefe ersehe, 
dass Sie sich der Ergriindung der vorliegenden analytischen Frage bereits mit so 
grossem Scharfsinn gewidmet haben. 

Genehmigen Sie, Hochgeehrter Herr, die Versicherung meiner ausgezeichnetsten 
Hochachtung. . 

L. FUCHS. 



Caen, le 12 juin 1880. 
Tns~HONORfi MONSIEUR, 

Je vous demande pardon, d'avoir tant tardg i r^pondre & votre aimable 
lettre; mais j'^tais absent de Caen, lorsqu'elle est arriv^e a son adresse; je Fai 



CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 17 

regue ce matin seulement et je 1'ai lue avec le plus grand intrt. Je vous 
remercie beaucoup des ^claircissements que vous avez bien voulu me donner 
et qui m'ouvrent des vues nouvelles sur cette question. Cependant, si je ne 
craignais d'abuser de votre obligeance, je prendrais la liberty d'appeler encore 
votre attention sur quelques points de detail, qui me semblenl encore un peu 
obscurs. 

Je suppose que sur le plan des z, je joigne tous les points singuliers au 
point oo par des coupures, puis quo je fasse mouvoir z dans son plan de telle 
sorte qu'il ne francliisse aucune des coupures. f va alors erfiillend&ns son plan 
une cerlaine surface FQ qui sera e"videmment zusammenhangejid. Faisons 
main tenant mouvoir z dans son plan de telle sorte qu'il ne puisse franchir les 
di verses coupures plus demfois; varestercompris dans une nouvelle surface F m 
qui sera toujours zusammenhangencL Quand in augmentera, la region F m va 
s'6tendre de plus en plus et la surface que vous appelez F n'est autre chose que 
la limite F m pour m = oo. Dire *que cette surface F ne recouvre le plan que 
einfach) c'est dire que, quelque grand que soit /n, F ni ne recouvrira le plan 
que einfach. 

Or cela est-il une consequence n^cessaire de votre demonstration? II me 
semble qu'il faudrait pour le faire voir ajouter quelques explications. En effet, 
comment, lorsque m grandit, la region F m peut-elle arriver a se rccouvrir elle- 
m6me? Ellc peut y arriver de deux manieres ainsi que 1'indique la figure 
suivante ou le trait plein represents le contour de la region F m et ou cette 
region est recouverte d'une couche de hachures pendant que les parties duplan 
OIL F, n se recouvre elle-meme sont couvertes d'une double couche de hachures. 





2 maniere. 



Votre demonstration, Monsieur, me parait faire voir de la fa^on la plus 
claire, que la region F m ne peut se recouvrir elle-m^me de la premiere maniere ; 
mais non pas qu'elle ne peut se recouvrir elle-m&me de la deuxieme maniere. 
H. P. XI 3 



1 8 CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 

Je vois bien que cela est vrai lorsqu'il n'y a que deux points singuliers 
a distance finie. Dans ce cas j'arrive en effet, par des considerations un peu 
diiferentes a d6monlrer que F /n ne pout se recouvrir elle-m^mc ni de la premiere 
ni de la deuxime manure. Alors la fonction z reste eindeutig dans Tint^riear 
de la surface F qui est ici un cerclc. 

Mais il ne me parait pas evident qu'il en soit de mOme dans le cas g&igral, 
de sorte que je me demande si le thor<jme est encore vrai quand il j a plus de 
deux points singuliers a distance finie. 

Dans le cas ou ces points singuliers ne sont qu'au nombre de deux je trouve 
que la fonction que vous avez d^flnie jouit de proprieties fort remarquables et 
comme j'ai 1'intention de publier les r^sultats que j'ai obtenus, je vous deman- 
derai la permission de lui donner le nom de fonction fuchsienne puisque c'est 
vous qui 1'avez dtscouverte. 

Je vous demanderai aussi la permission de communiquer votre lettre 
a M. Hermite qui s'int^resse a la question. 

Veuillez agr^er, tr&s honors Monsieur, 1'assurance de ma consideration 
respectueuse. 

POINCAR&. 



Heidelberg 16 Juni 1880. 
GEEHRTER HERR COLLEGA ! 

Empfangen Sie den herzlichsten Dank fur Ihr freundliches Schreiben vom 12 Juni, 
wodurch Sie von Neuem ein so tief eingehendes Interesse fiir meine Arbeit kundzugeben 
die Giite gehabt haben. 

Es wiirde mir ein besonderes Vergniigen bereiten in die Discussion der von Ihnen 
aufgestellten Frage einzutreten. Jedoch wiirde ich dadurch Ihre Geduld zum Ueber- 
fluss in Ansprucli nehmen. Denn eine Arbeit, welche ich schon vor der Veroflentli- 
chung meiner Resultate in den Gottinger Nachrichten vom Februar dieses Jahres in 
Angriff genommen, seitdem aber well mich Anderes beschaftigte liegen gelassen 
hatte, habe ich nun mehr zu Ende gefiihrt. Diese Arbeit (*) enthalt unter Anderem 
das Tableau aller DifFerenzialgleichungen zweiter Ordnung, welche ausser den iibrigen 
in meiner Abhandlung angegebenen Eigenschaften noch die auf p. 161 derselben 

Abhandlung geforderte Eigenschaft besitzt, dass die Gleichung ^ ^ = 

C 1 ) Ueber die Functionen, welche durch Umkehrung der Integrate von Ldsungen der 
linearen Differentialgleichungen entstehen (Nachrichten von der Kdnigl, Gesellschaft der 
Wissenschaften und der G.-A.-Universitat, Gottingen, 1880, Sitzung am 3. juli, p. 445-453). 



CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 19 

erfullt wird durch ;; 2 ^5 natiirlich so lange /^ ttberhaupt einen bestimmten 

Werth hat, d. h. so lange nicht f(z) und cp(s) identisch unendlich werden. Die 
Arbeit enthalt ausserdem die Integrate aller DifTerenzialgleichungen des Tableau's, 
und fiir jede derselben den analytischen Ausdruck von z als Function von , 

Sie sehen also, geehrter Herr, dass diese Arbeit jede weitere Discussiontiberfliissig 
macht. Ich hoffe die Resultate im Laufe der nachslen Wochen zu veroffentlichen, 
und werde mich beehren Ihnen einen Abzug zu schicken. 

Es machte mir grosses Vergniigen in Ihrera Brief e zu lesen, dass Sie in Bezug auf 
die von mir definirten Functionen wichtiche Resultate gefunden haben, welche Sie 
zu veroffentlichen beabsichtigen. Dass Sie die Giite liaben \vollen, die genannten 
Functionen, mil meinen Namen zu bezeichnen, ist fiir mich sehr ehrenvoll und macht 
mich Ihnen zu Dank verpflichtet. 

Es ist selbstverstandlich, dass ich mil Ihrem Wunsche mein Schreiben dem Herrn 
Hermite mitzutheilen einverstanden bin. 

Gereicht mir ja das Interesse, welches dieser grosse Mathemat&er an meinen 
Arbeiten nimmt, nur zur grossten Genugthuung. 

Empfangen Sie, geehrter Herr, die Versicherung meiner ausgezeichnetsten 



Hochachtung. 



L. FUCHS. 



Caen, le 19 juin 1880. 
MONSIEUR ET CHER COLLEGUE, 

Je ne saurais vous dire combien je suis satisfait d'apprendre que vous avez 
completement r^solu le probleme qui fait 1'objet de notre correspondance et 
combien je suis de"sireux de recevoir 1'extrait que vous avez bien \oulu me 
promettre et dont je vous suis bien reconnaissant d'avance. 

Les conditions que vous aviez pose'es dans votre Me"moire, pour que z fut 
eindeutig en ?, 6taient, si je me rappelle bien, les suivantes : 



i 2 35 

, 5 2 = H Oil Si = - 5 $2 = - 

n n 22 



Or voici d'abord ce que je trouve au sujet des Equations qui satisfont a ces 
conditions. Si on les re'duit a la forme canonique, de fagon a faire disparattre 

le terme en c -~-^ les points singuliers situe's a distance finie et tels que la diffe"- 
rence des racines de I'e'quation fondamentale soit i disparaissent. 



20 CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 

II pent arriver alors que Ton ait 

$i = O, 5 2 I. 

Dans ce cas on posera 

z a = t-i, 

si a est un des points singuliers a distance finie; puis on ramenera de nouveau 
1'equation a la forme canonique; le point singulier t = o qui correspondrait an 
point singulier z GO disparail. Quand toutes ces operations sont effectuees : 

i Pour tous les points singuliers, soit a distance finie, soit a distance infmie, 
la difference des racincs de 1'equation determinante est une partie aliquote de 
1'unite et est diile'rente de i . 

2 Le nombre des points singuliers a distance finie (qui n'ont pas disparu 
dans les operations pr6c6dentes) ne pent tre plus grand que 3. 

II reste alors a considerer qualre cas. 

Premier cas. Le nombre des points singuliers finis est plus petit que 2. 
Alors z est rationnel en . 

Deuxieme cas. Le nombre des points singuliers est e'gal as; et si p 1} pa, 
p:i sont les differences des racines des Equations fondamentales determinates 
relatives a ces deux points et a z = oo, on a 



Alors z est encore rationnel en ^. 

Troisieme cas. Le nombre des points singuliers est 2 rnais 

pt-4- p2-t- P3=I- 

Alors z est une fonction doublement p6riodique de . 

Quatrieme cas. - Le nombre des points singuliers est 3 et il faut alors que 
la difference des racines de toutes les equations determinantes soit i- C'est sur 

ce dernier cas que je prendrai la liberte d'attirer votre attention. On peut en 
effet former liquation differentielle correspondante de la fagon suivante : 
soit A(u) une fonction doublement periodique de u defmie par 1'equation 
differentielle 



CORRESPONDANCE AVEC L, FUCHS. 

H tant un poljnome du troisieme degre en A. Posons 



on aura 

<:/w I cl-u 2 P' 



et TI satisfera a liquation differenticlle 

. _ _ P" 

dz^ [ 

ou 

(0 

L'autre inte'grale sera 

d'ou 



/0 [iHH"-lH ; 2-+-a2Hl 

d*t\ _ 4 ib 

u^ - T| L FP J ' 



Pour que , c'est-a-dire A fut eindeutig en ^, il faudrait que la fonction A(&) 
admit la p^riode ce cjui n^a pas lieu en general. 
Et pourtant si 1'on pose 

rj^TuH"^ 

Y)i se trouve lie' a ^ par une Equation diffe'rentielle line'aire (2). 

L'e'quation (2) admet trois points singuliers a distance finie et 1'un aFinfini. 
Les racines de liquation d^terminante sont : 

i pour les points a distance finie 



I I 2 

= i-h- et o = i-h-; 

O. 9 'i 



2 pour le point a 1'infini 



i 2 

- et a = n 



L'e'quation satisfait done aux conditions 



i 2 

a = n et r 2 = n ? 



! = i H et s% == n 



22 CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 

et pourtant z rfest pas eindeutig en , de sorte que dans ce cas particulier 
votre th^ortsme me semble en defaut. 

Mais ce n'est pas tout, et, si je ne craignais d'abuser de votre patience, je 
vous ferais part de quelques reflexions que m'a suggerees I'tHude de celie 
question. 

Les conditions que vous avez poshes : 



o = I H 

n 



vous les avez trouvees en cherchant a satisfaire a deux hypotheses : i z devait 
6tre eindeutig en ; 2 toute fonction rationnelle et symetrique de z et de ^2 
devait 6tre eindeutig en u et en & 2 - 

Mais si Ton ne fait que la premiere hypoth^se (z eindeutig en ) ces conditions 
ne sont plus necessaires. Si en effet 1'objection dont je vous ai parle dans ma 
derni^re lettre n'existait pas, les conditions que 1'on trouverait (en raisonnant 
tout a fait comme vous 1'avez fait dans votre Memoire) seraient les suivantes : 
que pour tous les points singuliers la difference des racines des equations 
determinates fut une partie aliquote de Punite. On aurait ainsi 'une classe 
d'^quations baucoup plus etendue que celle dont vous vous 6tes occupe et 
auxquelles votre th6or^me s'appliquerait. Malheureusernent 1'objection que j'ai 
soulev^e exige une etude plus approfondie de la question; et cette etude, je n'ai 
pu la faire que dans le cas ou il n'y a que deux points singuliers a distance finie. 

Soient p 1? p 2 , p 3 les differences des racines des trois equations determinantes. 
Si Ton a 

Pl 

z est rationnel en . 
Si 1'on a 



z est doublement periodique en J. % 

Ces proprietes, je les ai deja enoncees plus haul et d'ailleurs vous les aviez 

sans doute deja decouvertes. 
Tant que Ton suppose 



i = I H -- Sj> = H -- OU 



CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 23 

on ne peut avoir 

piH- p2-H pn<I. 

Mais si Ton se borne a la premiere Jiypotfiese (z eindeutig en ) pi, p 2 , p 3 ne 
sont plus assujetlis qu'a 6tre des parlies aliquotes de I'unite', et Ton pent avoir 



Alors z n'est plus rationnel, ni doublement pdriodique en , mais je de"montre 
que mon objection peut 6tre leve'e et que z reste eindeutig en . C'est cette 
fonction nouvelle que j'ai appel6e fonction fuchsienne et a 1'aide de cette trans- 
cendante nouvelle et d'une autre qui s'y rattache j'integre 1'^quation diffe"ren- 
tielle du deuxieme ordrc a deux, points singuliers finis, non seulement quand pi, 
p 2 , pa sont parties aliquotes de 1'unite; mais quand pi, p 2 , p ft sont des quantite's 
commensurables quelconques. 

La fonction fuchsienne a beaucoup d'analogies avec les fonctions elliptiques ; 
elle n'existe que dans l'inl,6rieur d'un certain cercle et reste me"romorphe 
a 1'int^rieur de ce cercle. Elle s'exprime par le quotient de deux series conver- 
gentes dans tout ce cercle. 

Je ne sais rien au contraire sur les Equations difie'rentielles quand il y a plus 
de deux points singuliers a distance fmie. 

Permettez-moi, Monsieur, de vous remercier de votre complaisance, de 
remercier aussi les Equations lin^aires auxquelles je dois le plaisir d'etre entr 
en correspondance avec vous. 

Veuillez excuser la longueur de ma lettre et agre"ez 1'assurance de ma 
respectueuse consideration. 

PoiNCARfi. 



Caen, le 3o juillet 1880. 

MONSIEUR, 

Je vous remercie beaucoup de Penvoi que vous avez bien voulu me faire de 
votre petit opuscule ( 1 ). Le tableau que vous donnez des inte'grales de toutes 
les Equations diffe'rentielles leve completement tous les doutes. 

C 1 ) FbirlanoteC 1 ), p. 18, 



24 CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 

C'est dans les cas III (i) et IV (r) que s'appliquait mon objeclion; vous 
envisagez en efFet 1'^quation 



dz* 2 dz dz i> 2 R 



CO = O, 



pour laquelle votre th^or&me est ^videmment vrai; mais si aii lieu de ^- vous 

aviez pris un coefficient nume'rique quelconque a, le the'oreme se serait trouve' 
en de'faut, quoique les conditions que vous aviez e'nonce'es primitivement et qui 
sont relatives aux racines des equations de'terminantes eussent continue a <Hre 
remplies. Comme vous aviez nglig6 d'e'noncer cette condition supple'mentnire, 
relative a la valeur du coefficient numerique de ^j je m'y 6tais laisse' tromper 

et vous voudrez bien m'en excuser. 

Permettez-moi d'insister sur les fonctions auxquelles j'ai donnd votre nom et 
que j'ai rencontre'es dans ces recherches. 

Ces fonctions pre'senlent avec les fonctions elliptiques les plus grandes 
analogies et sont susceptibles d'etre repre'sente'es par le quotient de deux series 
convergentes, et cela d'une infinite' de manieres. Parmi ces series, il y en a qui 
sont des series entieres et qui jouent le role de fonction Tlie'ta. 

Elles sont convergentes dans toute I'e'tendue d'un certain cercle et, en dehors 
de ce cercle elles cessent d'exister, ainsi que la fonction fuchsienne elle-mme. 

En dehors de ces fonctions, il en est d'autres qui jouent le me'me role que les 
fonctions Ze'ta dans la the'orie des fonctions elliptiques et grace auxquelles j 'integre 
toutes les Equations diffe'rcntielles line'aires d'ordre quelconque a coefficients 
rationnels toutes les fois qu'il n'y a que deux points singuliers a distance finie 
et que les racines des trois Equations d(5terminantes sont commensurablcs. J'ai 
imagine' aussi des fonctions qui sont aux fonctions fuchsiennes ce que les 
fonctions abeliennes sont aux fonctions elliptiques et grace auxquelles j'espere 
inte"grer toutes les Equations line'aires quand les racines des Equations dter- 
minantes seront commensurables. 

Enfin des fonctions tout . fait analogues aux fonctions fuchsiennes me 
donneront, je crois, les inte'grales d'un grand nombre d'6quations i coefficients 
irrationxiels. 

Veuillez, Monsieur, agre'er encore une fois mes remerciements, ainsi que 
1'assurance de ma consideration la plus distingue'e. 

POINCARJ&. 



CORRESPONDANCE AVEC L. FUCHS. 25 

Caen, le 20 mars 1881. 



MONSIEUR, 



Je vous remercie beaucoup du Me'moire que vous avez eu la bonte de 
m'envoyer et que j'ai lu avec le plus grand inte're't. 

J'ai continue a m'occuper des fonclions auxquelles j'ai donn6 votre nom et 
j'espere publier procliainement mes re'sultats. Ces fonctions comprennent 
comme cas parliculier les fonclions elliptiques d'une part, et d'autre part la 
fonction modulaire. Ces fonctions et d'antres que j'ai appelees z^tafuchsiennes 
permettent d'inte'grer : 

i Toules les Equations diff^rcntielles line"aires a coefficients rationnels qui 
ne pre'sentent que trois points singuliers, deux a distance finie et 1'un a Finfini. 
2 Toules les Equations du deuxieme ordre a coefficients rationnels. 
3 Un grand nombre d'6quations de divers ordres a coefficients algebriques. 

Veuillez agr^er, Monsieur, 1'assurance de ma consideration la plus distingue'e. 



H.P. XI. 



CORRESPONDANCE DE HENRI POINCARE 
ET DE FELIX KLEIN 



Acta Mathematica^ t. 39, p. g4-i32 ( 1923). 



La Correspondance que nous publierons ici interessera tous les geometres comme 
un document humain. On eprouve un sentiment de reconfort a suivre la lutte, a armes 
courtoises, dont parlera Poincare dans une de ses lettres. Dans redition allemande 
de V Encyclopedic des Sciences mathematiques on vient de tracer 1'histoire de la 
theorie des fonctions automorphes. Les pages suivantes sont de nature a y ajouter 
quelque chose. Elles retraceront le developpement de cette belle theorie d'une 
maniere plus intime qu'on ne peut le faire dans une Encyclopedic. 

Dans quelques pages emouvantes Henri Poincare a raconte la genese de la decou- 
verte qui est son plus beau titre de gloire. Cette decouverte date de 1'annee 1880 et 
comme elle fut 1'origine de la Correspondance suivante nous nous permettons de 
reproduire ces pages ( 1 ). 

Depuis quinze jours, je m'efforcais de demontrer qu'il ne pouvait exister aucime 
fonclion analogue a ce que j'ai appele depuis, les fonctions fuchsiennes; j'etais alors fort 
ignorant. Tous les jours, je m'asseyais a ma table de travail, j'y passais une heure ou 
deux : j'essayais un grand nombre de combinaisons et je n'arrivais a aucun re'sultat. Un 
soir, je pris du cafe noir, contrairement a mon habitude; je ne pus m'endormir, les ide'es 
surgissaient en foule; je les sentais comme se heurter, jusqu'a ce que deux d'entre elles 
s'accrochassent, pour ainsi dire, pour former une combinaison stable. Le matin, j'avais 
elabli I'existence d'une classe de fonctions fuchsiennes, celles qui derivent de la se'rie 
hyperge'ometrique. Je n'eus plus qu'a re'diger les resultats, ce qui ne me prit que quelques 
heures. 

Je voulus ensuite representer ces fonctions par le quotient de deux series; cette 
idee fut parfaitement consciente et re'tle'chie; Tanalogie avec Jes fonctions elliptiques me 
guidait. Je me demandai quelles devaient etre les proprietes de ces series, si elles existaient, 
et j'arrivai sans difficulte ^ former les series que j'ai appele'es thetafuchsicnnes. 

A ce moment, je quittai Caen, ou j'habitais alors, pour prendre part k une course 
geologique entreprise par 1'Ecole des Mines. Les peripeties du voyage me firent oublier 

(OH. POINCAR&, Science et Methode, Paris, 1909, p. 5o-53. Voir aussi CEuvres de Henri 
Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 67-58. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 27 

mes travaux mathematiques; arrives a Coutances, nous montames dans un omnibus pour 
je ne sais quelle promenade. Au moment ou je mettais le pied sur le marchepied, 1'idee 
me vint, sans que rien dans mes pensees anterieures parut m'y avoir prepare, que les 
transformations dont j'avais fait usage pour definir les fonctions fuchsiennes etaient 
identiques a celles de la geometric non euclidienne. Je ne fis pas la verification, je n'en 
aurais pas eu le temps, puisque, a peine assis dans 1'omnibus, je repris la conversation 
commencee, mais j'eus tout de suite une entiere certitude. De retour a Caen, je verifiai 
le resultat & tete reposee pour Facquil de ma conscience. 

Je me mis alors a etudier des questions d'arithmetique sans grand resultat apparent 
et sans soupgonner que cela put avoir le moindre rapport avec mes recherches anterieures. 
Degoute de mon insucces, j'allai passer quelques jours au bord de la mer et je pensai 
a tout aulre chose. Un jour, en me promenant sur la falaise, 1'idee me vint, toujours avec 
les memes caracteres de brievete, de soudainete et de certitude immediate, que les trans- 
formations ariihmetiques des formes quadratiques ternaires indefinies e'taient identiques 
a celles de la geometric non euclidienne. 

Etant revenu a Caen, je reflechis sur ce resultat, et j'en tirai les consequences; 
1'exemple des formes quadratiques me montrait qu'il y avail des groupes fuchsiens autres 
que ceux qui correspondent a la serie hypergeometrique; je vis que je pouvais leur 
appliquer la theorie des series thetafuchsiennes, et que, par consequent, il existait des 
fonctions fuchsiennes autres que celles qui derivent de la serie hypergeometrique, les 
seules que je connusse jusqu'alors. Je me proposal naturellement de former toutes ces 
fonctions; j'en fis un siege systematise et j'enlevai, Tun apres 1'autre, tous les ouvrages 
avances; il y en avail un cependant qui tenait encore et dont la chute devait entralner 
celle du corps de place. Mais tous mes efforts ne servirenl d'abord qu'a me mieux faire 
connaitre la difficulte, ce qui etait deja quelque chose. Tout ce travail fut parfaitement 
conscient. 

La-dessus, je partis pour le Mont Valerien, ou je devais faire mon service militaire; 
j'eus done des preoccupations tres differentes. Un jour, en traversant le boulevard, la 
solution de la difficulte qui m'avait arrete m'apparut tout a coup. Je ne cherchai pas 
& 1'approfondir immediatementj et ce fut seulement apres mon service que je repris la 
question. J'avais tous les elements, je n'avais qu'a les rassembler et a les ordonner. Je 
redigeai done mon Memoire defmitif d'un trait et sans aucune peine. 

D'autre part, dans un Cours professe a TUniversite de Gottingen pendant 1'annee 
universitaire 1915-1916, M. Klein a fait un recit de sa decouverte du Zentral- 
theo7*em dont il sera question dans les lettres XY1II et XIX. Nous nous permettons 
egalement de reproduire ce recit ( 1 ). 

Den Herbst 1881 verbrachte ich zu meiner Erholung an der Nordsee (in Borkum), 
wo ich die Schrift ( 2 ) iiber Riemann schrieb und das Fundamentaltheorem ( Pt ) von 
Bd. 19 fand (das ich dann aber erst in den Weilmachtsferien niederschrieb). Entspre- 
chend der damaligen Anschauung der Arzte fasste ich den Entschluss, Ostern 1882 wieder 
an die Nordsee zu gehen und zwar nach Norderney. Ich wollte dort in Ruhe einen 2. 

( : ) F. KLEIN, Die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (Dritter Teil, Funk- 
twnentheorie von i85o bis ca. 1900). 

( 2 ) F. KLEIN, Ueber Riemanrts Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrate, 
Leipzig, 1882; Ges. math. Abh^ Berlin, t. 3, 1928, n 99, p. 499-^78. 

( 3 ) Ueber eindeutige Functionen mit linearen Transformationen in sich ( Das Riickkehr- 
schnitt-theorem ) (Math. Annalen, t, 19, 1882, p. 565-568); F. KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin, 
t. 3, 1928, n 101, p. 622-626. 



2 g CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

Teil meiner Schrift liber Riemann schreiben, namlich die Existenzbeweise fur die 
algebraischen Funktionen auf g-egebeaen Riemannschen Flachen in neuer Form ausar- 
beiten. Teh habe es dort aber nur 8 Tage ausgehaken, denn die Existenz war zu 
kiimmerlich, da heftige Stiirrae jedes Ausgehen unmoglich machten und sich bei mir 
starkes Asthma einslellte. Ich beschloss, schleunigst in meine Ileimat Diisseldorf 
iiberzusiedeln. In der letzten Nacht vom 22. zum 23. Marz, die ich wegen Asthma auf 
dem Sofa sitfcend zubrachte, stand plotzlich um 2 Va Uhr das Zentrallheorem, wie es 
durch die Figur des 14-Ecks in Bd. XIV dcr Mathematischen Annalen ja eigerillich 
schon vorgebildet war, vor mir. Am folgenden Vormittag in dem Postwagen, der 
damals von Norden bis Emden fuhr, durchdachte ich das, was ich gefunden hatte, nocli 
einraal bis in alle Einzelheiten. Jetzt wusstc ich, dass ich ein grosses Theorem hatte. 
In Diisseldorf angekommen, schrieb ich es gleich zusammen( 1 ) 3 datierte es vom 27. Marz, 
schickte es an Teubner und liess Abziige der Korrekturen an Poincare und Schwarz 
und beispielsweise Hurwitz gehen. 

Wie Poiacare am 10. April in den Comptes rendus reagierie ( 2 ), habe ich er/.ahlt. 
Mir selbst aber schrieb cr : ,, Les resultats que vous enoncey, m'intercsscnt beaucoup, 
voici pourquoi ; je Jes avais trouves il y a deja quelque temps . . , ". Wie so und wie lange 
er es kannte, hat er nie geiiussert. Es ist begreiflick, dass die Beziehung zwischen uns 
eine gewisse Spannung annahm. Schwarz hinwieder war infolge mangelhafter Konstan- 
tenzahlung zunachst der Meinung, das Theorem miisse falsch sein; er hat dann aber 
spater zu neuen Beweismethoden wesentliche Grundgedanken geliefert. 

Mit dem Beweise lag es in der Tat sehr schwierig. Ich benutzte die sogenannte 
Kontinuitatsmethode^ welche die Mannigfaltigkeit der Riemannschen Fliichen eines 
gegebenen p der entsprechenden Mannigfaltigkeit automorpher Gruppcn mit Grenzkrcis 
gegeniiberstellt. Ich habe nie gezweifelt, dass die Beweismethode richtig sei, aber ich 
stiess iiberall zuf Unferligkeiten meiner funktionentheoretischen Kenntnisse bezw. der 
Funktionentheorie uberhaupt, deren Erledigung ich vorlaufig nur postuliercn konnlc, 
und die in der Tat erst 3o Jahre spater (1912) durch Koebe voll erledigt worden sind. 

Dies konnte mich nicht abhalten, im Sommer 1883 noch allgemeinere Fundamental- 
iheoreme aufzustellen, welche Bd. 19 und Bd. 20 gemeinsam umfassen, und die Ausar- 
beitung der g-anzen Konzeption zunachst durch Seminarvorlrage vorzubereiten, die 
Study damals niederschrieb. Ich habe die grosse Mehrzahl meiaer Arbeiten in der Weise 
fertiggestellt, dass ich zunachst bez. Vorlesungen hielt und in den Ferien dann die 
Redaktion folgen liess. In den Herbstferien. 1882 in Tabarz (Thuringen) ist dann die 
Abhandlung des Bandes 21 entstanden und am 2. Oktober 1882 abgeschlossen worden ( :5 j. 
So unvollkommen und unerledigt dort auch manches ist, die Koristruktion des Gedan- 
kenganges im Grossen ist geblieben und auch durch die zunachst folgenden Abhandlungen 
Poincares in den Banden 1, 3, 4 5 o der eben damals gegriindeten Acta Mathematical 
nicht verschobea worden. 

Nous ferons suivre maintenant la Correspondance qui commence ail mois de 
juin 1881; elle s'est poursuivie pendant quinze mois et elle fut interrompue par une 



( 1 ) Gedruckt in Math. Annalen, t, 20, 1882, p. 4g-5i; F. KLEIN, Ges. math. Abh.^ Berlin, t. 3, 
1923, 11 102, p. 627629 ( Das Grenzkreistheorem ). 

( 2 ) Sur les fonctions fuchsiennes (C. JR. Acad. Sc., t. 94, 1882, p. io38-io4o); OEwres de 
Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 4i-/|3. 

( 3 ) Neue Beitrage zur Riemannschen Fuiictionentheorie (Math. Annalen, t. 21, i882-i8S3 7 
p. i4i-ai8); (F. KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin, U 3, 1928, n 103, p. 680-710 ( Das allgemeine 
Fiiadameataltheorem stelit daselbst in Abschnitt IV). 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 29 

maladie de M. KLEIN. Nous avons ajoute quelques notes qui faciliteront aux lecteurs 
de trouver rapidement les Ouvrages dont il sera question dans les lettres. 

N. E. NORLUND. 



Leipzig- 12. Juni 1881. 
SUHII GEEHRTEU HEUR ! 

Ihre 3 Noten in den Complex rendus : Sur les f auctions fncksiennes ( [ ), die ich 
erst gesteni, and auch da nur iluchtig kennen lernte, stehen in so engem Zusam- 
menhange mil den Ucberlegungen und Bestrebungen, mil denen icli mich in den 
letzten Jahren beschaftigte, dass ich Ihnen deshalb schreiben muss. Icb rnochte 
mich zuniicbst auf die verschiedenen Avbeiten beziehen, die ich in den Banden XIV (-), 
XV ( 3 ), XVII (*) der Mathematischen Annalen iiber elJiptische Funktionen 
verofTentlichte. Es handelt sich bei den elliptischen Modulfanktionen natiirlich nur 
um einen speziellen Fall der von Ihnen betrachteten Abhangigkeilsverhallnisse; aber 
ein naherer Vergleich wird Ihnen zeigen, dass ich sehr wohl allgemeine Gesicht- 
spunkte hatte. Ich niochte Sie in dieser Ilinsicht auf einige besondere Punkte 
aufmerksam machen : 

Bd. XIV p. 128 handelt von denjenigen alg, Funktionen, die sich durch Modul- 
funktionen darstellen lassen, ohne mil den doppeltperiodischen Funktionen zusam- 
naenzuhangen. Dann folgt, zunachst am speziellen Falle, die wichtige Theorie der 
Fundamentalpoljgone . 

Bd. XIV p. 1 59-160 ist davon die Rede, dass man alle hjpergeometrischen 
Reihen als eindeutige Funktionen geeigneter Modulfunktionen darstellen kann. 

Zu Bd. XIV p. 4^8 fF. gehort eine Tafel, welche die Aneinanderlagerung von 

7T 7T 71 

Kreisbogendreiecken mit den Winkeln j ^ erlautert [was also ein Beispiel der 

7 <5 2 

von Halphen ( s ) betrachteten partikularen Funktionenklasse ist], wobei ich inzwis- 



(') C. It. Acad. So., t. 92, 1881, p. 333-335 (i4 f evrier), p. 3g5-3g6 (21 jevrier} et p. 869-861 
(4 avril); OEuvres de Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. i-io. 

( 2 ) Ueber die Transformation der elliptischen Functional und die Auflvsung der 
Gleichungen fun/ten Grades (Math. Annalen, t, 14, 1879, p. 111-172; Ueber die Erniedrigung 
der Modulargleichungen (ibid., p. 417-427); Ueber die Transformation siebenter Ordnung der 
elliptischen Functionen (ibid., p. 428-471),* F. KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin, t. 3, 1928, n 82, 
p. 13-76, n 83, p. 76-89, n 84, p. go-i35. 

( 3 ) Ueber Multiplicatorgleichungen (Math. Annalen, t. 15, 1879, p. 86-88); Ueber die Trans- 
formation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (ibid., p. 533-555); F. KLEIN, Ges. 
math. Abh., Berlin, t. 3, 1923, n 85, p. 187-139, n 86, p. i4o-i65. 

(*) Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen (Math. Annalen, t. 17, 1880, p. 62-70); 
F. KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin, t. 3, 1923, n 87, p. 169-178. 

( 5 ) Sur des fonctions qui proviennent de V equation de Gauss (C. R. Acad, Sc., t. 92, 
1881, p. 856-858); CEuvres de G. H. Halphen, Paris, t. 2, 1918, p. 



3o CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

chen bemerken muss, dass schon in Crelle's Journal Bd. LXXY Fir. Schwarz ( ! ) 

den Fall -> T ? ^ erlauterte. 
244 

Bel. XVII p. 62 jfT. bringe ich sodann in knapper Uebersicht die gereifteren Anschau- 
ungen, mil denen ich mir in der Zwischenzeit die Tlieorie der elliptischen Modulfunk- 
tionen zurecht gelegt batte. 

Diese Anschauungen selbst habe ich nicht publiziert, ich habe sie aber im 
Somnier 1879 am Munchener Polytechnikum vorgetragen. Mein Gedankengang, 
der mit dem jetzt von Ihnen eingeschlagenen nun vielfach zusammentrifTl, war damals 
dieser : 

1. Periodische und doppeltperiodische Funktionen sind nur Beispiele fur- ein- 
deutige Funktionen mit linearen Transformationen in sicli. Es ist Aufgabe der 
modernen Analysis, alle diesen Funktionen zu bestimmen. 

"2. Die Anzabl dieser Transformationen kann eine endliche sein ; dies gibt die 
Gleichungen des Ikosaeder's, Oktaeder's . . . die ich friiber betrachtete (Math. 
Annalen, IX ( 2 ), XII ( :! ) und von denen ich bei Bildung dieses ganzen Ideenkreises 
ausging. 

3. Gruppen von unendlich vielen linearen Transformationen, die zu brauchbaren 
Funktionen Anlass geben (groupe discontinu nach Ihrer Bezeichnung) erhalt man 
zum Beispiel, wenn man von einem Kreisbogenpolygon ausgeht, dessen Kreise einen 
festen Kreis rechtwinkelig schneiden und dessen Winkel genaue Theile von TT sind. 

4. Man sollte sich mit alien solchen Funktionen beschaftigen (wie Sie das in der 
That jetzt beginnen), um aber konkrete Ziele zu erreichen, beschranken wir uns auf 
Kreisbogendreiecke und insbesondere auf elliptische Modulfunktionen. 

Ich habe mich seitdem vielfach, auch in Gesprachen mit anderen Mathematikern, 
mit diesen Fragen beschaftigt, aber abgesehen davon, dass ich noch zu keinem 
definitiven Resultate gekommen bin, gehort das am Ende nicht hierher. Ich will 
mich auf das beschranken, was ich publizirtoder vorgetragen habe. Vielleichthatte 
ich mich schon fruher mit Ihnen oder einem Ihrer Freunde, wie z. B. Herrn Picard (*), 
in Verbindung setzen sollen. Denn der Ideenkreis, in welchem sich Ihre Arbeiten 
seit 2-3 Jahren bewegen, ist mit dem meinigen in der That ausserst enge verwandt. 
So wird mich freuen, weun dieser mein erster Brief Anlass zu einer fortgesetzten 
Korrespondenz geben sollte. Ich bin freilich im Augenblicke dutch andere 
Verpflichtungen von diesen Arbeiten abgedrangt, aber babe um so mehr Anlass, 

( J ) Ueber diejenigen Fdlle, in welchen die Gaussische hyper geometrische JReihe eine 
algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt (J. reine angew. Math., t. 75, 1878, 
p. 202-335); H. A. SCHWARZ, Ges. math. Abh., Berlin, t. 2, 1890, p. 211-259. 

( 3 ) Ueber bindre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst (Math. Annalen, 
t, 9, 1876, p. 183-208); F. KLEIN, Ges. math. Abh, Berlin, t. 2, 1922, n (> 51, p. 275-801. 

( 3 ) Ueber lineare Differentialgleichungen (Math. Annalen, t. 12, 1877, p. 167-179); Weitere 
Untersuchungen uber das Ikosaeder (ibid., p. 5o3-56o); F. KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin, 

, t. 2, 1922, n 52, p. 307-820 et 3ai-384. 

( 4 ) Wiirden Sie Herrn Picard obgleich es ein uatergeordneter Pankt ist, vielleicht gclegentlich 
auf Annalen, t. 14, p. 122, 8 aufmerksam machen! 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 3 1 

in einigen Monalen zu denselben zuriickzukehren, als ich fur nachsten Winter eine 
Vorlesung uber Differentialgleichungen angezelgt habe. 

Herrn Hermite wollen Sie mich bestens empfehlen. Ich dachte lange daran, mil 
ihm briefliche Verbindung zu suchen, und wtirde das, wie ich nicht zweifele zu 
meinem grossten Vortheile, schon langst ausgefiihrt haben, wenn ich nicht in der 
Sprache ein gewisses Hemmniss gefunden hatte. Ich bin, wie Sie vielleicht wissen, 
lange genug in Paris gewesen, um franzosisch sprechen und schreiben zu sollen ; in 
der Zwischenzeit aber ist letztere Fahigkeit durch Nichtgebrauch nur zu sehr 
verktimmert. 

Hochachtungsvoll 

Prof. Dr. F. KLEIN. 
Adresse : Leipzig, Sophienstrasse 10/11. 



MONSIEUR, 



II. 

1 5 juin. 



Votre lettre me prouve que vous aviez apercu avant moi quelques-uns des 
r^sultats que j'ai obtenus dans la th^orie des fonctions fuchsiennes. Je n'en 
suis nullement tonn6; car je sais cornbien vous tes verse dans la connaissance 
de la g6om6trie non euclidienne qui est la clef veritable du probl^me qui nous 
occupe. 

Je vous rendrai justice a cet 6gard quand je publierai mes rgsullats; 
j'esp&re pouvoir me procurer d'ici la les tomes 14, 15 et 17 des Mathema- 
tische Annalen qui n'existent pas a la bibliothkque universitaire de Caen. 
Quant a la communication que vous avez faite au Polytechnicum de Munich, 
je vous demanderai de vouloir bien me donner quelques details a ce sujet, 
afin que je puisse ajouter a mon M6moire une note vous rendantpleine justice; 
car sans doute, je ne pourrai me procurer directement votre travail. 

Comme je ne pourrai sans doute me procurer immediatement les Mathe- 
matische Annalen, je vous prierais aussi de vouloir bien me donner quelques 
explications sur quelques points de votre leltre. Vous parlez de die elliptischen 
Mo d u Ifunktionen . 

Pourquoi ce pluriel? Si la fonction modulaire est le carr^ du module exprim< 
en fonction du rapport des p^riodes, il n'y en a qu'une; il faut done entendre 
autrement 1'expression Modulfunktionen. 



3 2 CORRESPONDANCE AVEC F. KVEIN. 

Que voulez-vous dire par ces fonctions alg^briques qui sont susceptibles 
d'etre repr6sentes par des fonctions modulaires ? Qu'est-ce aussi que la 
Theorie der Fundament alpoly gone ? 

Je vous demanderai aussi de m'^clairer sur les points suivants : Avez vous 
trouv(5 tous les Kreisbogenpolygone qui donncnt naissance a un groupe 
discontinu? 

Avez-vous dtjmonlr^ 1'existence des fonctions qui correspondent a chaque 
groupe discontinu? 

J'ai ecrit a M. Picard pour lui commimiquer votre remarque. 

Je me felicite, Monsieur, de 1'occasion qui me met en rapport avec vous, 
j'ai pris la liberte de vous ecrire en frangais ; car vous me dites que vous 
connaissez cette langue. 

Veuillez agr^er, Monsieur, 1'assurance de ma respectueuse consideration, 

POINCARE. 



GEEHRTER HERR ! 



III. 

Leipzig 19. Juni 1881. 



Als ich gestern Ihren willkornmenen Brief erhielt, sandte ich Ihnen umgehend 
Separatabziige von denjenigen auf unser Thema beziiglichen Arbeiten zu, von denen 
ich solche iiberhaupt noch besitze. Lassen Sie mich heute diese Sendung durch 
einige Zeilen erlautern. Mit dem einen Briefe wird es freilich nicht abgelhan sein, 
sondern wir werden viel korrespondieren miissen, bis wirwechselseitig voile Fuhlung 
gewonnen haben. Ich mochte heute folgende Punkte hervorheben : 

1. Unter den iibersandten Arbeiten fehlen die 3 wichtigsten aus dem 14. Bande 
der Annalen, desgleichen meine Untersuchungen uber das Ikosaeder in Bd. 9 und 12, 
sowie meine zweite Arbeit uber lineare DifTerentialgleichungen (die auch Urn. Picard 
unbekannt scheint) ebenfalls in Bd. 12. Ich bitte Sie, sich dieselben irdendwo zu 
verschaffen. Separatabziige sandte ich verschiedene nach Paris, z. B. an llermite. 

2. An meine eigenen Arbeiten schliessen sich die meiner Schiller Djck und 
Gierster. Ich benachrichtige beide, Ihnen Separatabziige zuzustellen. Eine auf 
dieselben Theorien beztigliche Doktordissertation von Hrn. Hurwitz ( 1 ) wird eben 
gedruckt und Ihnen in einigen Wochen zukommen. 

3. Seit vorigem Herbst ist einer Ihrer Landsleute hier, dessen Namen Sie 

(*) Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie 
der Multiplikatorgleichungen, 1. Stufe, Leipzig, 1881 ; Math. Annalen, t. 18, 1881, p. 628-592. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 33 

vermuthlich kennen, da er zusammen mil Picard und Appell studirte : Mr. Brunei 
(Adr. Liebigstrasse 38/2). Vielleicht interessirt es Sie, auch mil ihm in Korre- 
spondenz zu treten; er wird Ihnen von den hiesigen Seminareinrichlungen und 
von der Rolle, welche eben dort die eindeutigen Functionen mil linearen Trans for- 
mationen in sich gespielt haben, besser erzahlen konnen, als ich selbst. 

4. Ich habe Sommersemester 1879 von Hrn. Gierster ein Heft meiner Vorlesung 
ausarbeiten lassen. Im Augenblicke ist dasselbe verliehen, doch werde ich dasselbe 
nachster Tage zuruckbekommen und mit Hrn. Brunei zusammen durchgehen, 
worauf wir Ihnen Bericht erstatten. 

5. Die Benennung fonctions fuchsiennes tc weise ich zuriick, so gut ich verstehe, 
dass Sie durch Fuchs'sche Arbeilen zu diesen Ideen mit veranlasst wurden. Im 
Grunde basiren alle solche Untersuchungen auf Riemann. Fur meine eigene 
Entwickelung war die eng venvandte Belrachtung von Schwarz in Bd. 75 des 
BorcharcWschen Journals (die ich Ihnen dringend empfehle, wenn Sie dieselbe 
noch nicht kennen solten) von massgebender Bedeutung. Die Arbeit von 
Hrn. Dedekind ( l ) fiber elliptische Modulfunktionen in Bor char d? s Journal^. 83 
erschien erst, als ich mir fiber die geonielrische Representation der Modulfunktionen 
bereits klar war (Herbst, 1877). Zu diesen Arbeiten stehen die von Fuchs vermoge 
ilirer ungeometrischen Form in be\\usstem Gegensatze. Ich bestreite nicht die 
grossen Verdienste, welche Hr. Fuchs um andere Theile der Lehre von den Diffe- 
rentialgleichungen hat, aber gerade hier lassen seine Arbeiten um so mehr im Stich, 
als ihni das einzige Mai, wo er in einem Briefe an Hermite die elliptischen Modul- 
funktionen erlauterte(-), ein fundamentaler Fehler unterlief, den dann Dedekind I.e. 
nur zu sanft monirte. 

6. Man kann eine Funktion mit linearen Transformationen in sich insbesondere 
so definiren, dass man die Hatbebene auf ein Kreisbogenpolygon, welches beliebig 
vorgegeben ist, abbildet. Dies ist dann freilich ein nur spezieller Fall der allgemeinen 
(ich weiss im Augenblicke nicht, ob Sie sich nicht nur auf diesen speziellen Fall 
beschranken). Die Gruppe der linearen Transformationen ist dann dadurch parti- 
kularisirt, dass sie in einer doppelt so grossen Gruppe von Operationen enthalten 
ist, welche neben linearen Transformationen auch Spiegelungen (Transformationen 
durch reziproke Radien) umfasst. In diesem Falle ist die Existenz der Funktion 
durch altere Arbeiten von Schwarz, resp. Weierstrass, sicher gestellt, sofern man nicht 
auf die allgemeinen Riemann'schen Prinzipien rekurriren will. Siehe Schwarz ( y ) 
in Borchardt Bd. 70, Abbildung der Halbebene auf Kreisbogenpolygone. 

7. Auch in diesem speziellen Falle habe ich bislang durchaus nicht allegro upes 

f 1 ) Sckrelben an Herrn Borchardt uber die T/ieorie der elLiptischen Modul-Functionen 
(J. reine angew. Math., t. 83, 1877, p. 266-292). 

( 2 ) Sur quelques proprietes des integrates des equations dijferentielles, auxquelles satisfont 
les modules de periodicite des integrates elliptiques des deux premieres especes (J. reine 
angew. Math., t. 83, 1877, p. 13-87); L - FUCHS, Ges. math. Werke, Berlin, t. 2, 1906, p. 85-m. 
Voir aussi la Note'de M. SUHLESINGER. loc. cit., p. na-ii^j. 

( 3 ) Ueber eitiige Abbildungsaufgaben (J. reine angew. Math., t. 70, 1869, p. io5-iao); 
H. A. SGHWARZ, Ges. math. Abh., Berlin, t. 2, 1890, p. 65-83. 

H, P. - XL 5 



34 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

discontinus aufgestellt; ich habe nur gesehen, dass es sehr viele gibt, bei denen kein 
fester Grundkreis existirt, bei denen also die Analogic mil der nicht-euklidischen 
Geometrie (die mir ubrigens in der That sehr gelaufig ist) nicht zutrifft. Nehmen 
Sie z. B. ein beliebiges Polygon, begranzt von irgend welchen sich bertihrenden 
Kreisen, so \\ird die Vervielfaltigung durch Symmetric ebenfalls zu einer groupe 
discon tin u f u h re n . 




8. Die ubrigen Fragen Ihres Briefes finden wo hi schon durch die ubersandten 
Arbeiten ihre BeanLwortung, insbesondere die nach dern Pluralis der ,,Moclul~ 
funktionen cc und in der Hauptsache auch die nach den ,, Fundamentalpolygonen u . 

In der Hoffnung recht bald wieder von Ihnen zu horen. 

Ihr ganz ergebener 

F. KLEIN. 



IV. 

Caen, le 22 juin 1881. 



MONSIEUR, 



Je n'ai pas encore regu les envois que vous m'annoncez et que je ne tardcrai 
sans doute pas a voir arrivcr leur adresse. Mais je ne veux pas atlendre ce 
moment pour vous remercier de vos promesses, ainsi que de votre letire que 
j'ai lue avec le plus grand mtdr6t. Aussitot apres 1'avoir recue, j'ax couru a la 
biblioth^que pour y demander le 70 volume de Borchardt; malheureusement 
ce volume tStait pr6t6 et je n'ai pu y lire le M6moire de M. Schwarz. Mais je 
crois pouvoir le reconstituer d ? apr^s ce que vous m'en dites et y reconnaitre 
certains r^sultats que j'avais trouvc^s sans me douter qu'ils avaient fait Tobjet 
de recherches ante'rieures. Je crois done comprendre que les fonctions 
fuchsiermes que les recherches de M. Schwarz et les votres permettent de 
d(5finir sont celles dont je me suis occup^ plus particulieremeixt dans ma Note 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 3') 

du 28 mai ( x ). Le groupe particulier dont vous me parlez dans votre derniere 
lettre me semble fort inte"ressant et je vous demanderai la permission de citer 
ce passage de votre lettre dans une communication ( 2 ) que je ferai prochainement 
a I'Acade'mie et ou je chercherai a ge'ne'raliser volre re'sultat. 

Quant a la denomination de fonctions fuchsiennes, je ne la changerai pas. 
Les e'gards que je dois a M. Fuchs ne me le permettent pas. D'nilleurs, s'il est 
vrai que le point de vue du savant g6ometre d'Heidelberg est completement 
different du votre et du mien, il est certain aussi que ses travaux ont servi de 
point de depart et de fondement a tout ce qui s'est fait depuis dans cette the'orie, 
II n'est done que juste que son nom reste attache' a ces fonctions qui y jouent 
un role si important. 

Veuillez agre"er, Monsieur, 1'assurance de ma respectueuse consideration, 

POINCARE. 



GEEHRTER HERR ! 



V. 

Leipzig 20. Juni 1881. 



Schreiben Sie mir doch bitte umgehend eine Karte, ob meine Sendung von Sepa- 
ratabziigen auch jetzt noch nicht eingetroffen ist; ich brachte sie selbst heute vor 8 
Tagen auf die Post. Ueber F. wiirden Sie sich anders ausdriicken, wenn Sie die 
Literatur vollig kennten. Die Lehre von der Abbildung der Kreisbogenpolygone 
stelit vollig unabhangig von der F. Arbeit ( :{ ) in t. 66, das Gemeinsame ist nur, class 
beide Betrachtungsweisen durch Riemann angeregt sind. 

Hoch achtungs voll 

Prof. Dr. F. KLEIN. 

VI. 

Caen 7 le 27 juin 1 88 1 . 
MONSIEUR, 

Au moment ou j'ai recu votre carte, j'allais pre'cise'ment vous ^crire pour 
vous remercier de votre envoi et vous en annoncer 1'arrive'e. S'il a e'te' retarde' 

( a ) Sur les Jonctiojis fuchsiennes (C. ft. Acad. Sc., t. 92, 1881, p. 1198-1300); QEuvres de 

Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. i2-i5. 

( 3 ) C. R. Acad. Sc., t. 92, 1881, p. 1484-1487; OEuvres de Henri Poincare, t. 2, p. 19-22, 
( 3 ) Zur T/ieorie der linear en Differentialgleichungen mit veraiiderlichen Coefficienten 

(J. reine angew. Math., t.' 66, 1866, p. 121-160); L. Fucus, Ges. math. Werke, Berlin, t. 1, 

1904, p. 159-204. 



36 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

c'est par suite d'une erreur de la poste qui l'a envoye" d'abord a la Sorbonne, 
puis au College de France, bien que 1'adresse eut <td parfaitement bien mise. 
En ce qui concerne M, Fuchs et la denomination de fonctions fuchsieimes, 
il est clair que j'aurais pris une aulre denomination si j'avais connu le travail 
de M. Schwarz; mais je ne 1'ai connu que par votre lettre, apres la publication 
de mes resultats de sorte que je ne peux plus changer maintenant le nom que 
j'ai donn6 a ces fonctions sans manquer d'6gards a M. FUGHS. J'ai commence la 
lecture de vos brochures qui in'ontvivenient interesse', principalement celle qui 
a pour litre Ueber elliptische Modulfunktionen. C'est au sujet de cette der- 
niere que je vous demanderai la permission de vous adresser quelques questions. 

i Avez-vous determine les Fundamentalpolygone de tons les Unter- 
gnippen que vous appelez Kongruenzgruppen et en particulier dc ceux-ci : 

as =3== l7 p === Y == o (modn). 

2 Dans mon M^moire sur les fonctions fuchsiennes, j'ai portage" les groupes 
fuchsiens d'apr&s divers principes de classification et entre autres d'apres un 
nombre que j'appelle leur genre. De m$me vous partagez les Vntergruppen 
d'apres un nombre que vous appellez leur Geschlecht. Le genre (id. que je 
1'entends) et le Geschlecht sont-ils un seul et m6me nombre? Je n'ai pu le 
savoir, par ce que je ne sais pas ce que c'est que le Geschlecht im Sinne der 
Analysis situs. Je voissculemenLque ces nombres s'annulent a la fois. Auriez- 
vous done 1'obligeance de me dire ce que c'est que ce Geschlecht im Sinne der 
Analysis situs ou, si cette definition est trop longue pour tre donnee clans 
une lettre, dans quel Ouvrage je pourrais la trouver ?Dans votre derniere lettre, 
vous me demandiez si je ne suis renferme dans le cas particulier ou a Die 
Gruppe der linearen Transformationen ist dadurch partikularisirt, dass sie in 
einer doppelt so grossen Gruppe von Operationen enthalten ist, welche neben 
linearen Transformationen auch Spiegelungen umfasst . Je ne me suis pas 
renferme' dans ce cas, mais j'ai suppose" que toutes les transformations Iin6airos 
conservaient un certain cercle fondamental. Je pense d'ailleurs pouvoir aborder 
par une me'thode analogue le cas le plus ge'ne'raL 

A ce propos, il me semble que tous les Untergruppen relatifs aux fonctions 
modulaires ne rentrent pas dans ce cas special. 

Au sujet de ce groupe discontinu dont vous me parlez et qu'on obtient par 
des Spiegelungen et par la Vervielfaltigung d'un polynome limite' par des 
arcs de cercle se touchant deux a. deux il me semble qu'il y a une condition 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 



supple'mentaire dont vous n'avez pas parle" bien qu'elle ne vous ail sans doute 
pas e'chappe; deux arcs de cercle quelconques prolonges, ne doivent pas se 
couper. Serait-ce abuser de volre complaisance que de vous poser encore une 
question. 




Fig. i. 



Vous dites : in diesem Falle isl die Existenz der Funktion durch Arbeiten 
von Schwarz sichergestellt , el vous ajoutez : so fern man nicht auf die 
allgemeinen Riemajirfschen Principien rekurriren will . Qu'entendez-vous 
par la ? 

J'ai e"crit dernierement a M. Hermite; je lui ai fait part succinctement du 
contenu de vos lettres, et je lui ai envoye" les compliments dont vous m'aviez 
charge" pour lui. 

Veaillez agr^er, Monsieur, 1'assurance de ma reconnaissance et de mon 
respect. 

PoiNCARfi. 



VII. 

Leipzig den 2. Juli 1881. 



GEEHRTER HERR ! 



Lassen Sie mich die verschiedenen Fragen, die Sie in Ihrem wilkommenen Briefe 
vom 27. Juni stellen, so gut es gehen will, umgehend beantworten. 

1. Die Fundamentalpolygone der Koiigruenzgruppen a = = i , (3^y^o (mod;i) 
habe ich bei n =. 5 (wo durch Zusammenbiegen der Kanten das Ikosaeder entsteht) 
und bei n j im 1/4. Bande ( a ) ausfiihrlich beschrieben. Der allgemeine 



(!) Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die An/losung der Glei- 
chungen fun/ten Grades (Math. Annalen, t. 14, 18-78-1879, p. 111-170); Ueber die Transfor- 
mation siebenter Qrdnung der elliptischen Functionen (ibid., p. 428-471); F. KLEIN, Ges. math, 
.j Berlin, t. 3, 1928, n 82, p. 18-75 el n 84, p. go-i35. 



38 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

Fall // = Priimahl bilclet tleu Gegensland einer Arbeit von Djck ('), die eben im 
Druck ist. Wenn'// eine zusaunnengeselzte Zalil ist, Iiabe ich die Sache nicht 
erledigt. 

2. ,, Geschlecht im Sinne der Analysis situs u wird jeder geschlossenen Flache 
beigelegt. Dasselbe ist gleich der Maximalzahl soldier in sich zuriickkeh render 
Sclinitte der Flache, die man ausfiihren kann, ohne die Flache zu zersliicken. Wenu 
jelzt die betrefieude Flache als Bild der Werthsysteme tv, - einer algebraischen 
Gleichuttg/(vv, s) o betrachtet werden kann, so ist ihr Geschlecht eben auclrdas 
Geschlecht der Gleichung. Ihr genre und mein ,, Geschlecht u sind also materiell 
dieselben Zahlen, es liegt bei mir nur vermuthlich eine freiere Auffassung der 
Riemann'schen Flache und der auf sie gegriindeten Definition von/? zu Grunde. 

3. Es gibt innerhalb der Gruppe der Modulfunkdonen allerdings Unlergruppen, 
welche ein unsymmetrisches Fundamentalpolygon besitzen, dahin gehoren, wie ich 
in Bd, Jk nachwies ( 2 ), insbesondere diejenigen Untergruppen, welche den singularen 
Resolventen cler Modulargleichung fur n = 7 und n = 11 entsprechen. 

4. Dass sich bei dem Polygon die Kreise riickwarts verlangert nicht schneiden 
diirfen, wenn eine eindeutige Funktion entstehen soil, ist mir in der That wo hi 
bekannt. Gerade auf diesenPunkt muss man ineines Erachiens die Aufmerksamkeit 




Fig. i. 

richten, wenn man beweisen will, dass sich die Koordinaten vv, 3 des Punkles einer 
beliebigen algebraischen Kurve als eindeutige Funktionen mit linearen Transforma- 
tionen in sich angeben lassen. Ich werde Ihnen angeben, wie weit ich in dieser 
Frage gekommen bin. Nach den Arbeiten von Schwarz, resp. Weierstrass, kann 
man die Halbebene immer so auf ein Kreisbogenpolygon abbilden, dass die Punkte I, 
II, III, IV, V, welche den 1, 2, 3, 4, 5, auf der Begranzung der Halbebene entspre- 
chen, beliebige Lage haben, Nun seien I, II, III, IV, V, , . . die Verzweigungspunktc 
einer algebraischen Funktion w ( 5 ); und diese algebraische Funktion mage keine 
anderen Verzweigungspunkte besitzen. Dann sind offenbar w und 5 eindeutige 
Funktionen der gewollten Art' von denjenigen Halfsvariabeln, in deren Ebene das 
gezeichnete Polygon liegt. Wenn also alle Verzweigungspunkte einer algebrai- 

(>) Versuch' einer ubersichtlichen Darstellung der Riemanrischen Flache, welche der 
Galois schen, Resolvent* der Modular gUichung fw Primzahltransfrrmationm der elliptischen 
FunGtionen eritspricht (Math. Annalen, t. 18, 1881, p, 507^627), 

(*}Vet>erdieErniedrigwgder Modulargleichwigtn (Math. Anmlsn, t. u, 1879, p. 417. 
27); F. KLEIN Get. math. Abh., Berlin, t, 3, 1928, n" 83, p. 76^89. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 89 

schen Function w(z) auf einem Kreise der z-Ebene liegen, so ist die Frage ohne 
weiteres zu bejahen. Wie aber, wenn das nicht der Fall ist? Da komme ich unter 
Umstanden auf solche Polygone, wie ich sie das vorige Mai nannte. Findel keinerlei 

Symmetric statL, so komme ich wenigstens durch Aufstellun^ zuerehori^er Differen- 



.-/// 3 / r >t \ 2 ~| 

tialgleichungen des von mir behandelten Typus -~ ( 1} R( a ) au ^ einen 

analog gestalteten Fundamentalraum, dessen Kanten unter Winkeln Null zusam- 
menstossen und iibrigens paarweise durch gewisse lineare Substitutionen zusammen- 
gehoren. Aber ich kann nicht beweisen, doss dieser Fandamentalraum mil seinen 
Wiederholungen zusammen nur einen Theil der komplexen Ebene iiberdeckt. 
Und an dieser Schwierigkeit ilnde ich mich nun schon lange aufgehalten. 




T 2 






Fig. 3. 

5. Uebrigens bekommt man merkwiirdige andere Beispiele von diskontinuirlichen 
Gruppen, wenn man beliebig viele einander nicht schneidende Kreise annimmt und 
nun an ihnen durch reziproke Radien spiegelt. Ich habe dabei den Theil der 
Ebene, der gleichzeitig ausserhalb aller Kreise liegt, und der also das halbe Funda- 
mentalpolygon vorstellt, der Deutlichkeit halber schraffirt. Diese Gruppen werden 
gelegentlich von Schottky betrachtet (Borchard 1 ts Journal, t. 83, p. 3oo-35i), ohne 
dass dort ihre prinzipielle Bedeutung hervorgehoben wtirde ( 1 ). 

6. Riemann's Prinzipien geben zunachst keinen Weg, urn eine Funktion, deren 
Existenz man erschliesst, wirklich zu bilden. Man ist daher geneigt, sie als unsicher 
zu betrachten, so gewiss es auch sein mag, dass die Resultate, welch e aus ihnen 

( a ) Vgl. hiei'zu die Note von SGHOTTKY, Ueber eindeutige Funktionen mit linearen Trans- 
formationen in sich (Math. Annalen, t. 20, 1882, p. 299-300), 



{o CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

foliien, richliii Miid. Oemgeyeniiber haben Weierstrass und Schwarz bei der von 
mil 1 beru'hrten Fniiie der Abbilduni" von Kreisbo^enpolv^onen wirkliclie Bestim- 
inuu^en der in IJelracht koimnenden Konstanten durch konver^enle Prozesse 
gegeberi. Will man Uiemamfsche Prinzipien gobrauchen, so kann man folgenden ' 
sehr all^iMiieinen SaU anMellen. Es sei ein Polygon geyeben, mil einer oder auch 
melireren getrennlen Peripherien. Das Polygon kann ein mehrbliiUriges sein, dessen 
Bla'Uer dnreh \ erzwei^unijspmikte verbunden sind. Jede Peripherie besteht aus 
einer Anzahl von Stricken; jedes Stiick ijehe durch eine bestimmte lineare Substi- 
tution in eiiL^ <ier iibri^en fiber. Dann kann man immer eineFunktion konstruiren, 
uelche. im Inneren des Polygons beliebige vorgeschriebene Unsletigkeiten liat, und 
deren reeller Theil ge\\isbe vorgegebene Periodizitalsmoduln erhall, \venn man von 
einem Slfickc der Begranzung durch das Innere des Polygons zum zugeborigen Stiicke 
fibergeht. I'nter diesen Fuuktionen sind insbesondere solche, welch e im Inneren 
des Pohgons durchweg eindeutig sind und auf je z\vei entsprechenden Punkten des 
Kandes deriselben Werth aufueisen ( 1 ). Der Beweis lasst sicli genau demjenigen 
nachbilden, den Rieuiann (-) in paragraph 12 des ersten Theils seiner Abelschen 
Funktioneu fur das besondere Polygon gegeben hat, das aus p tibereinander 
geschichteteti Parallelograiumen besteht, die durcb o,p 2 Verzweigungspunkte 
verbunden sind. Dieser Satz, den ich mir iibrigens erst in den letzten Ta^en vollie: 

a o o 

zurechllegte, schliesst, so viel ich selie, alle die Existenzbeweise, von denen Sie in 
Ihren INoten sprechen, als spezielle Falle oder leichte Folgerungen ein. Uebrigens 
ist ntein Satz, \vie manches, was icli lieute schreibe, noch ungenau formuliert; ich 
musste zu ausfuhrlich sein, wenn ich das vermeiden \rollte; Sie werden leicht meine 
Meinung erkennen. 

7. Lassen Sie mich noch eine Bemerkung iiber eine andere Hirer VerofTent- 
lichungen hinzufiigen. Sie sprechen davon, dass die 0-Funktionen, die aus der 
I mkehr der algebraiscben Integrale an Kurven vom Geschlecbte p entstehen, nicht 
die allgemeinen ihrer Art sind. Dass eben diese Ueberlegungen in Deutschland 
allgemein gekannt sind, konnen Sie nicht wissen : eine ganze AnzahljungererMathe- 
matiker arbeitet daran, die Bedingungen zu fmden, durch welch e sich die sogenannten 
Riemann'schen 0-s von den allgemeinen unterscheiden. Dagegen wunderte mich, 
dass Sie die Konstantenzahl der Riemann'schen 6 gleich (\p -h 2 angeben, wabrend 
es doch 3p 3 sein muss. Haben Sie Riemann, die betr. Entwickelungen, nicht 
gelesen ? Und ist Ihnen die ganze Diskussion, welche Brill und Neither im 7. Bande 
der Math. Annalen (p. 300-807) zum Abschluss bringen, unbekannt? 



{^Pour que ce th6oreme soit vrai il faut encore ajouter une condition; cf. Ueber den 
Begriff des /unttionentheoretischen Fundamental ereichs (Math. Annalen, t. 40, 1892, 
p. i3i). F. KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin, t.-3, 192$, n 104, p. 711-720. Poincar< fait allusion 
& cettre lettre dans son Memoire sur les fonctions z^tafuchsiennes (Acta Math., t. 5, :884, 
p. an; QEuvres, Paris, t. 2, 1916, p. 4o4), ou il s'exprime comme il suit : J'avais, il est vrai, 
dans ks Afathematiscke Annalen, 6nonce un reSsultat particulier sur ces Equations irregulieres, 
mats ee r^sultat est inexact; J'avais t tromp^ par une fausse interpretation d'un theoreme de 
M. Klein dont je tie connaissais pas la demonstration. 

( a ) Tteorie der AbePschen Functioned (/. reine angew. Math., t. 54, 1867, p. i33-i36)- 
B. RiKtANN, Ges. math. Werke, Leipzig, 1892, p. 119-122. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. fl 

In der IIofFnung, bald \\ieder von Ilinen zu lioren, bin irh Ihr hochacliluni^\o!l 
drgebener. 

F. KLEIN. 



Caen, ,"> juillet 1881. 
MONSIEUR, 

J'ai recu votre lettre quo j'ai lue avec le plus vif int&rel. Je vous demande 
mille pardons de la question que je vous ai pose"e au sujet du GescitlecJtt itn 
Si7Uie der Analysis Situs. J'aurais pu NOUS evitcr la peinc de ni'y rtfpondre, 
puisque je Irouvais Fexplicalion a la page suivanLc de volre Memoire. Vous 
vous rappelez sans doute que dans ime de ines dernieres leltres, je vous deman- 
dais Pautorisation d'en ciler une phrase dans une communication ou je me pro- 
posals de ge'ne'raliser vos r6sultats. Vous ne m'avez pas repondu a ce sujet el 
j'ai pris votre silence pour un acquiescement. J'ai fait cette communication ( l ) 
en deux fois, dans les stances du 2j juin et du 4 juillet. 

Vous trouverez que nous nous somracs rencontres sur quelqties points. 
Mais la citation que j'ai faite de votre phrase vous sera, je pense, une garanlie 
suffisante. 

Permettez-moi, Monsieur, encore une question; ou trouverai-je les travaux 
de MM. Schwarz.et Weierstrass dont vous me parlez; d'abord au sujet de ce 
theorem e que : 

Man kann immer die Halbebene so auf ein Rreisbogenpoljgon abbilden, 
dass die Punkte I, II, III, IV, V, welche den 1, 2, 3, -4, 5 auf der Begranzung 
der Halbebene entsprechen, beliebige Lage haben . Ge the"oreme ne m'6tait 
pas inconnu, car je Pai d^montre' dans ma communication (-) du 28 mai. Mais 
ou le trouverai-je dans les travaux de mes devanciers? Est-ce au tome 70 de 
Crelle? Ou trouverai-je aussi les de'veloppements dont vous me parlez dans la 
phrase suivante : Demgegenliber haben Weierstrass und Schwarz bei der 



( l ] Sur les fonctionsfuchsiennes(C. R. Acad. Sc., t, 92, 1881, p. ilfik-i^-]}; Sur les groupes 
kleineens (ibid., t. 93, 1881, p. 44-46); CEuvres de Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 19-26, 

( 2 ) Sur les fonctions fitchsiennes (C. /?. Acad. Sc., t. 9'2, i88r, p. 1198-1200; GEuvres, t. 2, 
1916, p. i2-i5. 



H. P. - XL 



/J2 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

von mir beruhrten Frago cler Abbildung von Kreisbogenpolygonen wirkliche 
Beslimmungen der in BetracliL kommenden Konstanten durch konvcrgenle 
Prozesse eeircben ? 

o ~ 




Le th^oreme que vous me dites avoir d^couvert m'a beaucoup int6ress<5. II 
est clair que, comme vous me le dites, votre re"sultat contient comme cas parti- 
CLilier, alle meine Existenzbeweise. Mais il arrive apres. 

J'arrive a votre remarque relative aus. fonctions abeliennes. Quand j'ai 
parlc'; de 4/>H-2 constantes, il ne s'agissait pas du nombre des modules. J'ai 
dit ceci : Une relation alge'brique de genre p peut toujours tre ramcnije an 
degr<3 p 4- i. Une relation de degrd p -+- i et de genre p depend de [\p -f- a 
parametres; car une relation generale de degree p + r depend de 

^ parametres. 

Mais il y a 

p(p i) 

p points doubles. 

Ilresle done 4/? + a parametres ind^pendants. J'ai ainsi, non le nombre des 
modules, mais une limite supe'rieure de ce nombre, ce qui me suffisuit pour 
mon objet. 

Veuillez agr^er, Monsieur, 1'assurance de ma respectueuse consideration. 

PoiNCARfi. 



IX. 

Leipzig 9. Juli 1 88 1. 
GEEHRTER HERR ? 

In vor)au%er Beantwortung Ihres Briefes habe ich etwa folgendes zu sagen : 
1. Es ist mir ganz recht, dass Sie jene Stelle aus meinem Briefe zitirt habea 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. /j3 

Bislang besitze icli nur erst Hire Note vom 27 Juni. Ueber die Benennung, die Sie 
dieser Funktionenklasse ertheilthaben, war ich einigerrnassen erstaunt; denn ich habe 
ja nichts weiter gethan als die Existenz dieser Gruppen beraerkt. Was mich angeht. 
so werde ich wedervon ,, fuchsiennes " noch von ,, kleineennes iL Gebrauch machen, 
sondern bei meinen ,, Funktionen mil linearen Transformationen in sich tc bleiben. 

2. Was ich iiber den Werth der Riemann'schen Prinzipien sagte, war nicht 
scharf genug. Es ist kein Zweifel, dass das ,, Dirichlet'sche Prinzip tc , als iiber- 
haupt nicht konklusiv, verlassen werden muss. Man kann es aber vollstandig 
durch strengere Beweisfiihrung ersetzen. Sie finden das naher ausgefiihrt in einer 
Arbeit von Schwarz, die icli eben erst in diesen Tagen (zwecks in einer Vorlesung) 
genauer ansah und in der Sie auch die Angaben fiber Konstantenbestimmungen 
finden, die in B or char d s Journal (an Arbeiten in Borchardtfs Journal mussen Sie 
jedenfalls Bd. 70, 74, 75 ansehen) nur angedeutet sind; dieselbe steht in den 
Berliner Monatsberichten, 1870, p. 767-795 ( 1 ). 

3. Der allgemeine Existenzbeweis, von dem ich das vorige Mai sprach, gilt 
naturlich auch fiir Gruppen, die aus irgendwelchen analytisclien (nicht notlnvendig 
linearen) Substitutionen zusammengesetzt sind. Es ist merkwiirdig, dass in diesem 
Sinne jede Opera tionsgruppe Funktionen definirt, die bei ihr ungeiindert bleiben. 
Die ,, groupes discontinus u haben nur das voraus, dass bei ihnen zugehorige 
eindeutige Funktionen existiren, was allerdings sehr wesentlich ist. Wtirde man die 
hoheren Falle durch eindeutige Funktionen von mehrereii Veranderlichen beherrschen 
konnen, wie man es in dem besonderen bei Riemann in paragraph 12 behandelten 
Falle vermoge des Jacobi'schen Umkehrproblems zu thun pflegt? 

So viel fiir heute. Ich habe mittlererweile mil Herrn Brunei meine alteren 
Sachen, namentlich auch die Yorlesungshefte von 1877-1878 und 1878-1879 (die ich 
damals habe umarbeiten lassen) durchgegangen und wird Hr. Brunei Ihnen dem- 
nachst dariiber schreiben. 

Hochachtungsvoll 
Ihr ergebener 

Prof. Dr. F. KLEIN. 



X. 

Leipzig 4- Dez. 1881. 
Sophienstrass 10/11. 
SEHR GKEHRTER HERR ! 

Nachdem ich lange ttber die uns gemeinsam interessirenden Fragen nur beilaufig 
nachgedacht habe, habe ich heute fruh Gelegenheit genommen, die verschiedenen 

() H. A. SCHWARZ, Ges. math, Abh., Berlin, t. 2, 1890, p. 144-171. 



/ { /j - CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

iMHUieilungen, wie Sie sie der Reihe nach in den Comptes rendus veroffentlichl 
Iiaben, im Zusammeuhange zu lesen. Ich sehe, dass Sie nun wirklich zu einem 
Beweise gekommen sind (8. August) : que toute equation differenlielle lineaire a 
coefficients algebriques s'integre par les fonctions zetafuchsiemies " und " que les 
coordonnees des points d'une courbe algebrique quelconque s'expriment par des 
fonctions fuclisiennes d'une variable auxiliaire <c ( 1 ). Indera ich Ihnen dazu 
gratuliere, dass Sie soweit gekommen sind, mochte ich Ihnen einen Vorschlag 
inachen, der Ihren und meinen Interessen auf gleiche Weise gerecht wird. Ich 
mOchie Sie bitten, mir fur die Mathematischen Annalen einen kurzen oder einen 
langeren Aufsatz zu schicken, oder, wenn Sie keine Zeit zur Ausarbeitung eines 
solclien finden, mir einen Brief zu schicken, in welchem Sie in grossen Zugen Hire 
Gesichtspunkte und Resultate angeben. Ich selbst wtirde dann diesen Brief mit 
einer Anmerkung begleiten, in welcher ich darlegte, wie sich von mir aus die ganze 
Saclie stellt, und wie gerade das Programm, welches Sie jetzt ausfuhren, als 
hodegetisches Prinzip meinen Arbeiten iiber Modulfunktionen zu Grund lag. 
Natiirlich wtirde ich diese Amrnerkung Ihnen vor dem Druck zur Begutachtung 
zustellen. Eine solche Publikation wurde Zweierlei erreichen : einmal wiirde, 
was Ihnen vermuthlich erwiinscht ist, das Leserpublikum der Mathematischen 
Annalen auf Ihre Arbeiten mit Entschiedenheit aufmerksam gemacht werden; 
andererseits warden, auch dem allgemeineren Publikum gegeniiber, Ihre Arbeiten 
in derjenigen Verbindung mit den meinigen stehen, die nun einmal thatsachlich 
vorhanden ist. Sie werden zwar, wie Sie mir schreiben, diese Beziehungen in 
Ihrem ausfuhrUchen Memoire auseinandersetzen ; aber bis dahin vergeht viele Zeit, 
und es liegt mir daran, dass es auch in den Annalen gesagt wird. 

Ich selbst habe mittlerweile eine kieine Schrift (-) iiber ,, Riemanns Theorie tc 
fertig gestellt, die Ihnen vielleicht interessant ist, weil sie diejenige Konzeption 
der Riemann'schen Flache gibt, mit der R. selbst meines Erachtens eigentlich 
gearbeitet hat. Vielleicht hat Ihnen Hr. Brunei davon erzahlt. Ich habe mich 
sodann in letzter Zeit mit den verschiedenen Existenzbeweisen beschaftigt, welche 
man an Stelle des Dirichlet'schen Prinzip's gesetzt hat, und babe mich iiberzeugt, 
dass die Methoden von Schwarz in den Berliner Monatsberichten, 1870, p. 767 IT. 
allerdings "vollkommen ausreichen, um z. B. den allgemeinsten Satz zu beweisen, 
von dem ich gelegentlich im Sommer schrieb. 

Hochachtungsvoll 

F. KLEIN. 



(1) Sur les /auctions fuchsiennes ( C. R, Acad. Sc., t. 93, iSSi, p. 3oi-3o3)j OEuvres de 
Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 29-8 1. 

( 2 ) F. KLEIN, Ueber Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrate, 
Leipzig, 1882; Ges. math, Abh., Berlin, t. 3, 1923, n 99, p. 499-673. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 45 



XI. 

8 dgcembre 1881 

Paris 

rue Gay-Lussac, 66. 
MONSIEUR, 

Je vous remcrcie infiniment de 1'offrc obligeante que vous voulcz bien me 
faire et je suis tout dispos^ a en proflter. Je vous enverrai prochainemeixt la 
lettre que vous me demandez; je vous prierai pouriant de me dire quell e place 
vous po uver lui consacrer dans les Annales. Je sais que la clientele de votre 
journal est nombreuse et que 1'etendue que vous pouvez permettre a chaque 
travail est force'ment limite et je ne voudrais pas abuser de votre bienveillance. 
Quand je saurai quelle longueur je puis donner a ma lettre, je vous 1'e'crirai 
imme'diatement. 

J'aurai prochainement 1'honneur de vous envoyer diverses notes relatives 
a la th6orie ge'ne'rale des fonclions, si vous voulez bicn les accepter. 

J'ai lu dernierement le Me'moire de Schwarz dans les Monatsberichte et ses 
demonstrations m'ont paru rigoureuses. 

Veuillez agre'er, Monsieur, mes remerciments et 1' expression de ma grande 
consideration, 

POIKCARE. 



XII. 

Leipzig 10. Dez. 1881. 
SEHR GEEHRTER HERR ! 

Es freut mich, dass meiue Auflbrderung Ihnen angenehm war : voila une loi de 
reciprocite. Was nun Ihre Anfrage angeht, so will ich vor alien Dingen antworten, 
dass mir Ihr Aufsatz um so gelegener kommt, je rascker er kommt. Triflt er noch 
bis zum 20. dss. ein, so bringe ich ihn noch in das L\. Heft des eben erschei- 
nenden 19. Annalenbandes; er wird dann bis Anfang Marz (spatestens) publiziert 
sein. Was nun dem Umfang angeht, so will ich, da Sie es wunschen, etwa einen 
Druckbogen (16 Seiten) in Vorschlag bringen. Das ist Raum genug, um das 
Wesentliche deutlich zu sagen, und doch wieder auch fur den fluchtigen Leser nicht 



46 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

zu viel. Lch mochte Sie dann bitten, namentlich auch tiber die Methoden Ihrer 
Beweise die erforderlichen Angaben /u machen, also uber die Art, wie Sie die in 
Belracht komrnenden Funktionen wirklich bilden, usw. Doch alles das beurtheilen 
Sie besser, als ich es hier vorschreiben konnte. 

INoch Eins ! 1st Hire Adresse jetzt dauernd in Paris? Und wie ist die gegen- 
wartige Adresse von Picard? Ich wurde gliicklich sein, wenn ich auch vom letzteren 
einen Beitrag fur die Annalen haben konnte. 

Ilochachtungsvoll 
Ihr ergebener 

F. KLEIN 



XIII. 



Paris, le 17 decembre 1881 
rue Gay-Lussac, 66. 



MONSIEUR, 



J'ai 1'honneur dc vous adresser le petit travail en question (*); je n'ai pas, 
comme vous me le demandiez, expos^ succinctement mes me'thodes de demon- 
stration. Je n'aurais pu le faire sans depasser de beaucoup les limites que vous 
m'aviez fixees. Je sais bien que ces limites n'avaient rien d'absolu. Mais d'un 
autre cote je ne crois pas qu'une demonstration puisse e" tre re'sume'e ; on ne peut 
en retrancher sans lui enlever sa rigueur et une demonstration sans rigueur 
n'est pas une demonstration. Je prefererais done vous adresser de temps en 
temps une se'rie de courtes lettres ou je de~montrerais successivement les 
r^sultats e'nonce's ou du moins les principaux. Ces lettres, vous en feriez ce 
que bon vous semblerait. 

J'habite en effet Paris, je suis Maitre de Conferences a la Faculte des 
Sciences. 

Voici Fadresse de Picard : 
Professeur Suppliant a la Faculte des Sciences, rue Michelet, z3, Paris. 



<*) Sur les fonctions uniformes qui se reproduisent par des substitutions lineaires (Math 
Annalen, t. 19, 1882, p. 553-564); CEwres de ttenri Poincare, Paris, t. 2 r 1916, p. 9 2-xo5. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 47 

Je vous donne par la mme occasion celle d'Appell : 

Maitre de Conferences a TEcole Normale Sup^rieure, 
rue Soufflot 22, Paris. 

Veuillez agr^er, Monsieur, Passurance de ma consideration la plus dis- 
tingu^e, 

PoiNCiRE. 

XIV. 

Leipzig i3. Jan. 1882. 
SEHR GEEHRTER HERR ! 

Ich habe Ihnen noch nicht personlich fiir die Uebersendunglhrer Arbeit gedankt, 
mit der Sie mich in der Tat in hohem Grade verpflichtet haben. Wir sind jetzt so 
weit, dass in den allernachsten Tagen gedruckt wird. Sie werden eine Korrektur 
bekommen, die ich Sie bitte nach Durchsicht : 

,, An die Teubner'sche Buchdruckerei, Leipzig u 
zuruckzuschicken. Wollen Sie dabei insbesondere auch die kurze Erklarung ( 1 ) 

(*) Die vorstehend abgedruckte Arbeit des Herrn Poincare resumirt gewisse Resultate, welche 
der Verfasser in einer Reihe aufeinanderfolgender Artikel in den Comptes rendus dieses Jahres 
mitgeteilt hat. Es wird kaum noting sein dicselben der Beachtung der Mathematiker noch, 
besonders zu empfehlen. Handelt es sich doch um Funktionen, welche geeignet scheinen, in der 
Lehre von den algebraischen Irrationalitaten den Abel'schen Funktionen erfolgreichen Konkurrenz 
zu machen, und die iiberdies einen ganz neuen Einblick in diejenigen Abhangigkeiten gewalxren, 
wclche durch lineare Differentialgleichungen mit algebraischen Koeffizienten bestimmt sind. Indem 
ich Herrn Poincare im Namen der Annalenredaktion den besonderen Dank dafiir ausspreche, dass 
er uns vorstehenden Aufsatz hat iiberlassen wollen, glaube ich ihm nur in dem Punkte engegen- 
treten zu sollen, dass ich die von ihm vorgeschlagene Benennung der in Betracht kommenden 
Funktionen als verfruht bezeichne. Einmal namlich bewegen sich alle die Untersuchungen, welche 
Hr. Schwarz und ich in der betreffenden Richtung bislang veroffentlicht haben, auf dem Gebiete 
der fonctions Juchsiennes y iiber die Hr. Fuchs selbst nirgends publiziert hat. Andererseits habe 
ich iibcr die allgemeineren Funktionen, welche Hr. Poincare mit meinem Namen in Verbindung 
bringt, von mir aus bisher nichts drucken lassen; ich habe nur gelegentlich Herrn Poincare auf 
die Existenz dieser Funktionen aufmerksam gemacht ( siehe Comptes retidus t. 92, 1881, p. i484)- 
Letztcrer Umstand ist aber um so irrelevanter, als sich ein spezieller Fall jener allgemeineren 
Funktionen bereits anderwarts bei Gelegenheit in Betracht gezogen findet, na'mlich in der Arbeit 
von Hrn. Schottky im 83. Bande von Borchardi, '5 Journal. Es werden dort (p. 346 iT. ) Funk- 
tionen besprochen, welche sich symmetrisch reproduzieren, wenn man einen ebenen Bereich, der 
von lauter getrennten Kreislinien begrenzt ist, an eben diesen Kreislinien spiegelt. Uebrigens 
rno'chtc ich auch auf die Dyck'schen Arbeiten im 17. und 18. Bande dieser Annaleu sowie insbe- 
sondere auf dessen demuachst (in Bd. XX) crscheinende Habiiitationssehrift vervveisen, wo 
Gebietseinteilungen der allgcmeinsten hier in Betracht kommenden Art zu gruppentheoretischen 
Zwecken verwandt werden. Vielleicht ist es gut, diesen kleinen Bemerkungen nach eine allge- 



^ CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

durchhehen, \velche icli Hirer Arbeit in clem friiher bereits bezeichneten Sinne 
hinzugefflgt babe, und in der ich, so viel an mir ist, gegen die beiden Benen- 
nungen fuchsiennes t; and kleineennes " protestire, beztiglich lezterer Schottky 
xitiere und ubrigens Riemann als denjenigen bezeichne, auf den alle diese Unter- 
suchungen zurtickgehen. Ich habe mich bemiiht, diese Erklarung so massvoll 
als moglich zu halten, bitte Sie aber, mir umgehend zu sclireiben, wenn Sie nocb 
eine Abanderung minschen. Dem Verdienste Ihrer Untersuchungen trete ich 
damit in keiner Weise zu nahe. Hieruber hinaus habe ich nun aber noch eine 
eigene kleine Arbeit (*) redigirt, die gleich hinter der Ihrigen abgedruckt werden 
soil. Dieselbe bringt, auch ohne Beweis, einige auf dem betr. Gebiete liegende 
Resultate, vor allem dieses : doss man jede algebraische Gleichung f(w, s) = o, 
sob aid man auf der zugehorigenRiemanri'schenFldchep unabhdngige Riickkehr- 
schnitte gezogen hat, in einer und nur einer Weise durch w=cp(yj), z = &(~fi] 
auflosen kann, wo -r\ eine diskontinaierliche Gruppe von der Art erfdhrt, wie Sie 
sie damals im Anschluss an meinen Brief zur Sprache gebracJit hob en. Dieser 
Satz ist darum so schon, weil diese Gruppe genau 3p 3 wesentliche Parameter 
hat, also ebensoviele, als die Gleichungen des gegebenen/? Moduln besitzen. Hieran 
kniipfen sich weitere Ueberlegungen, die mir interessant scheinen. Um Ihnen 
dieselben moglichst vollstandig mitzuteilen, habe ich die Druckerei angewiesen, 
Ihnen auch von meiner Arbeit die Korrektur zuzuschicken, die Sie dann ruhig fiir 
sich behalten wollen. 

Was die Beweise angeht, so ist das eine mtihselige Sache. Ich operire immer 
mil Riemann'sclien Anschauungen resp. geometria situs. Das ist schwer ganz 
deutlich zu redigieren. Ich werde mir alle Miihe geben, dieses mil der Zeit zu 
tun. Mittlerenveile wird es mir selir erwunscht sein, mil Ihnen hieriiber und 
auch uber Hire Beweise zu korrespondieren. Seien Sie uberzeugt, dass ich die 
Briefe, welch e Sie mir in dieser Hinsicht in Aussicht stellen, mit grossteni Interesse 
studiren und denientsprechend eingehend beantworten werde. Wenn Sie wunschen, 
dieselben in irgend einer Form zu publizieren, so stehen Ihnen die Annalen 



selbstverstandlich zur Verfugung. 



Hochachtungsvoll 

F. KLEIN. 



Ihr ergebener 



metnerc zuzugescllen und bei'vorliegendcr GelegeuUeit zu konstuLiercn, class alle die hier in Frage 
kommenden Untersuchungeu, und zvvar sowohl diejenigen, welclie ein geoinctrische Geprage 
besitzen, als auch die mehr analylischeu, die sich auf die Lusungen linearer DifTerentialgleichungen 
beziehen, auf Hiemann'sche Idceubildungen zuriickgehen. Ber Zusatnmenhang ist ein so enger, 
dass man bchaupten kann, es liandele sich bei Untersuchungen im Sinne des Hrn. Poincare 
geradezu urn die weitere Durchfuhrung des allgemeinen funktionentheorelischcn Prograrnrn's, 
welches Riemann in seiner DoktordisserLation aufgestellt hat. 
Leipzig, den 3o. december 1881. 

F. KLEIN. 

( l ) Ueber eindeutige Funktionen mit linearen Transfonnationen in sich ( Das Riick- 
kehrschnitt-theorem"), (Math. Annalen, t. 19, 1882, p. 565-568), F. KLEIN, Ges. math. Abh., 
Berlin, t. 3, 1928, n 101, p. 622-626. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 49 



XV. 

MONSIEUR, 

J'ai recu les epreuves de Teubner et je vais les lui renvoyer. J'ai lii votre 
Note et je ne vois pas qu'il j ait lieu d'y changer quoi que ce soil. Vous me 
permettrez cependant de vous adresser quelques lignes pour chercher a jus- 
tifier mes denominations. J'attends avec impatience le theoreme que vous 
m'annoncez et qui me parait des plus inte'ressants. 

Veuillez agreer, Monsieur, 1'assurance de ma consideration la plus distinguee, 

PoiNCARfi. 



XVI. 

Paris, 28 mars 1882. 



MONSIEUR, 



Vous avez ajouie a mon travail : Sur les f auctions uniforrnes qui se repro- 
duisent par des substitutions lineaires, une note ou vous exposez les raisons 
qui vous ont fait rejeter mes denominations. Vous avez eu la bonie de m'en 
envoyer les epreuves imprime'es en me demandant si j'y desirais quelque 
changement. Je vous remercie de la delicatesse de votre procede, mais je ne 
pouvais en abuser pour vous demander de taire la moitie de votre pens6e. 

Vous comprenez cependant que je n'e puis laisser les lecteurs des Annales 
sous cette impression que j'ai commis une injustice. C'est pourquoi je vous ai 
ecrit, vous vous le rappelez peut-tre, que je ne vous demandais aucun change- 
ment a votre note, mais que je vous demanderais la permission de vous adresser 
quelques lignes pour jus tifier mes denominations. 

Voici ces lignes ( 4 ) ; peut-trejugerez-vous convenable de les insurer. A mon 
tour, je vous demanderai si vous desirez que je fasse quelque changement & la 
redaction de cette petite note. Je suis pr6t a faire tous ceux qui n'alt6rernient 
pas ma pensee. 

(i) Lettre n XVII. 

H. P. XI. 7 



5 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

Veuillez excuser mon importunity et me pardonner ce petit plaidoyer 
pro domo, 

Veuillez agreer, Monsieur, 1'assurance de ma consideration la plus distingutSe, 

PoiNCARfi. 

Je vous serais oblige si vous voulez bien me dire Fadresse de M. Hur\\ilz 
a qui je dt^sirerais faire hommage d'un exemplaire de mon travail. 

Je vous serais bien reconnaissant aussi, si vous pouvier m'indiquer los traits 
g6n6raux de la demonstration par laquelle vous <3tablissoz le th^oreme enonci'* 
dans votre dernier travail : Ueber eindeutige Funktionen mil linearvn 
Transfonnationen in sicJt. 



XVII. 

Sur les fonctions uni formes qui se reproduisent 

par des substitutiojis lineaires (*). 

(Extrait d'une lettre adress^e a M. F. KLEIN.) 

Par H. PoiNCARfi, a Paris. 

. . . .Vous avez eu derni&rement la bont6 de faire insurer aux Mttlhema- 
tischen Annalen (t. 14, p, 553-564) mon travail sur les fonctions unifonnes 
qui se reproduisent par des substitutions lineaires ct vous 1'avez fait suivre 
d'une note OIL vous exposez les raisons qui vous font trouver peu convertibles 
les nonis que j'ai donnas a ces transcendantes. Permettez-rnoi de vous adresser 
quelques lignes pour d^fendre mes denominations, que jc n'ai pas choisies au 
hasard ( 2 ). 

Si j'ai cru devoir donner aux fonctions nouvelles le nom de M. Fuchs, ce 
n'est pas que je m^connaisse la valeur des travaux de M. Schwarz et des votres, 

( 1 ) Gette lettre a t6 imprim^e dans les Mathernatischen, Annalen^ t, 20, 1882, p. aa-J3 ct 
r^imprim6e dans les GEuvres de Henri Poincart, Paris, t. 2, 1916, p. 106-107. 

( 2 ) Herrn Poincares Darlegungen habe ich zuna'chst nur die eine Bemerkung hinzuzufiigen, 
dass ich fiir mein Teil nach wie vor an der Auffassung festhalte, der ich auf p. 564 des |9. Annalen- 
bandes Ausdruck gegeben babe. Dabei will ich nicht unterlassen, ausdriicklich auf die Note atif- 
merksam zu machen, mlt welcher Hr. Fuchs von sich aus dem auf ihn beztigUchen Passus meioer 
Auseinandersetzung entgegengetreten ist (cf. Gottinger Nachrichten vom 4- MSrz 1882). 

Diisseldorf, den 2. April 1882*. 

F. KJUEIH. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 5l 

je suis le premier au contraire, & en appr^cier la haute importance. Mais il ne 
m'^tait pas possible d'oublier les d^couvertes si remarquables que le savant pro- 
fesseur d'Heidelberg a publics dans le Journal de Crelle* Elles sont le fon- 
dement de la th^orie des Equations linaires et, sans elles, je n'aurais pu aborder 
l'(5tude de mes transcendantes qui se lient si directement a cette th6orie. Dans 
ses premiers travaux, M. Fuchs se place, il est vrai, a un point de vue un peu 
different du mien et ne se pr6occupe ni de la discontinuity des groupes, ni de 
Puniformit6 des fonctions. Mais M. Schwarz, dans ses M^moires des tomes 70 
et 74 du Journal de Crelle ne s'en pr^occupe pas non plus ; il en dit quelques 
mots dans un cas tr&s particulier, dans leM^moiredu tome 75 que j'ai cit,6dans 
ma note. C'est la seulement qu'il se trouve Auf dem Gebiete der fonctions 
fuchsiennes. Dans vos belles recherches sur les fonc lions modulaires votre 
fagon d'envisager les choses diffcirait peu de la mienne, mais vous aviez plutot 
en vue alors l'6tude des fonctions elliptiques que celle des Equations lintjaires. 
Quant a M. Fuchs, dans ses M^moires (*) des tomes 83 et 89 du Journal de 
Crelle, il s'est 6lev<3 a un point de vue nouveau et a mis en lumi&re le lien 
6troit qui unit la th<3orie des Equations diff^renli elles a colle de certaines fonc- 
tions uniformes. Ce fut la lecture de ces M^moires qui devint le point de 
depart de mes recherches ( 2 ). 

En ce qui concerne les fonctions klin<2ennes, j'aurais cru commettre une 
injustice, si je leur avais donn un autre nom que le votre. C'est M. Schottky 
qui a d^couvcrt la figure qui faisait 1'objet de votre lettre, mais c'est vous qui 
avez ihre prinzipielle Wichtigkeit betont] comme vous dites & la fin de votre 
savant travail : Ueber eindeutige Funktionen mil linearen Transforrna- 
tionen in sich. 

Quant ^, ce que vous dites de Riemann, je ne puis qu'y souscrire pleinement. 
G'6tait un de ces g^nies qui renouvellent si bien la face de la Science qu'ils 
impriment leur cachet, non seulement sur les oeuvres de leurs 6l&ves imm<3- 
diats, mais sur celles de to us leurs successeurs pendant une longue suite 
d ? annes. Riemann a cr66 une th^orie nouvelle des fonctions, et il sera toujours 

( J ) Sur quelques propri&tes des integrates des Equations differ entielles auccquelles satisfont 
les modules de piriodizite des integrates elliptiques des deux premieres especes (J. reine 
angew. Math., t. 83, 1877, p. i3-37); Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variabeln, 
welche durch Urnkehrung der Integrate von Losungen der linearen DifferentMgleichungen 
mit rationalen Koeffizienten entstehen (ibid., t. 89, 1880, p. i5i-i69); L. FUCHS, Ges. math. 
Werke, Berlin, t. 2, 1906, p. 87-114 et 191-212. 

( 2 ) Cf. la Correspondance de PoincarS et de Fuchs (Acta Math*, t. 38, 1921, p. 176-187). 
Ge volume page r3-s5. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 



possible d'y retrouver le germe de tout ce qui s'est fait et se fera apr&s lui en 

analyse mathgmatique .... 

Paris, le 3o mars 1882. 



XVIII. 



Dlisseldorf, 3. April 1882. 
Adr. Bahnstrasse i5. 



SEHR GEEHRTER HERR ! 



Ihre Zusendung, die ich gestern uber Leipzig erhallen habe, traf mieh eben iiu 
Begriffe, Ihnen zu schreiben, um namlich meine neue Annalenuote ('), die als 
Korrektur-Exemplar nun wohl bereits in Ihre Hande gekommen ist, mit ein paar 
Worten zu begleiten. Zugleich erhielt ich die Note von Prof. Fuchs (-) in den 
Gottinger Nachrichten. Wenn ich zunachst betrefFs letzterer 2 Worte su<jen 
darf, so ware es diess, dass ich sie fur ganz verfehlt bezeichnen muss. Ich habe 
nur behauptet, dass Fuchs nirgends iiber fonctions fuchsiennes publizirt habe. 
Hiernach ist die zvveite der von ihm angezogenen Arbeiten (die ich mir ubrigens 
zwecks naheren Studiums hierher kominen lassen werde) gegenstandslos. Die 
erste subsumiert sich allerdings unter die fonctions fuchsiennes, insofern es sich 
um Modulfunktionen handelt, aber gerade den eigentlichen Charakter der let/.teren, 
der in der Natur der singularen Linie liegt, hat Fuchs, bei seinem Mangel an 
geometrischer Anschauung, nicht rich tig erkannt, wie bereits Dedekind in Bd. 83 
von Borchardt hecvorgehoben hat. Was endlich die Insinuation ^'egen Schluss 
der Note betrifFt, als sei ich wesentlich durch Fuchs' eigene Untersuchun^in zu 
meinen veranlasst worden, so ist das historisch einfach unrichtig. Meine L'nter- 
suchungen beginnen in 1874 mit der Bestimmung aller endlichen Gruppen Iineanr 
Transformationen einer Veranderlichen. Im Jahre 1876 zeigte icli sodann, da.ss 
damit das von Fuchs damals aufgeworfene Problem, alle algebraisch integrierbaren 
linearen DifFerentialgleichungen 2. Ordnung zu bestimmen, co ipso erledigt sei. 
Die Sache ist also gerade umgekehrt, wie Fuchs angibt. Nicht seiner Arbeit 
entnahm ich die Ideen, sondern ich zeigte, dass sein Thema mit meinen Ideen 
behandelt werden musse. 

Mit Ihrer Darlegung bin ich, wie Sie vermuthen werden, aucl nicht ein- 
verstanden.. Wenn es sich um die allgerneine Werthschatzung der Fuchs'schen 
Arbeiten handelt, so werde ich gerne bereit sein, irgend eine neue Funktionen- 
klasse, auf die noch niemand Hand gelegt hat, nach ihm zu benennen, oder aueh 



( l ) Ueber eindeutige Funktioneti mit linearen Transformationen in sich ( Das 
kreistheorem "}(Math. Annalen, t. 20, 1882, p. 49-5 1). F. KLEIN, Ges. math. Abh.^ Berlin, t, 3, 
1928, n 102, p. 627-629. 

( 2 ) Ueber Funktionen, welche durch linear e Substitutionen unverandert bleiben (Nachr* 
Ges. Wiss. Gottingen, 1882, p. 8i-84); L. FUCHS, Ges. math. Abh., Berlinj t. 2, 1906, |>, 285^287, 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 53 

z. B. die Funktionen mehrerer Variabeln, die Fuchs in Vorschlag bringt ( f ). Die 
Funktionen aber, welche Sie nach Fuchs benennen, gehorten bereits anderen, ehe 
Sie den Vorschlag zur Benennung machten. Ich. bin auch uberzeugt, dass Sie 
gerade diesen Vorschlag nicht gemacht hatten, wenn Sie damals (zu Anfang) die 
Literatur gekannt hatten. Sie bieten mir sodann, sozusagen zur Entschadigung, 
die fonctions kleineennes an. So sehr ich Ihre freunclliche Absicht ,dabei aner- 
kenne, so wenig kann ich dies akzeptieren, weil es eben eine historische Unwahr- 
heit impliziert. Wenn meine Arbeit im XIX. Bande so scheinen konnte, als hatte 
ich mich in der Tat jetzt besonders auf die kleineennes geworfen, so mag die neue 
Arbeit in Bd. XX zeigen, dass ich nach wie vor auch die fuchsiennes als meine 
Domaine betrachte. 

Doch genug' da von. Ich habe Ihre Note umgehend in die Druckerei geschickt 
und nur die eine Bemerkung hinzu gefiigt, dass ich fiir mein Theil an meiner 
frttheren Darlegung festhalte (wobei ich zugleich das Publikum ausdrucklich 
auf die Note von Hrn. Fuchs aufmerksam mache). Sie werden in allernachster 
Zeit die Korrektur bekommen und bitte ich sodann, selbige mir hierher (wo ich 
mich wahrend der Osterferien aufhalte) zuzuschicken, worauf ich in der Druckerei 
das Nothige veranlassen werde (-). Was die Stelle tiber Schottky angeht, so mochte 
ich Sie auf einen nachgelassenen Aufsatz in Riemann's Werken, p. 4*3, aufmerksam 
machen, wo genau entsprechende Ideen entwickelt sind. Es vvird allerdings 
schwer sein, zu konslatieren, wie viel der Herausgeber, Hr. Prof. Weber, , da 
hineingetragen hat. Riemann's Werke erschienen 1876, Schottky' s Dissertation 
1870, spater als Aufsatz im Borchardf schen Journal, 1877. Nun 1st aber die 
Dissertation von 1870 nur ein Theil derjenigen von 1877 unc ^ * c ^ kann aus dem 
Gedachtnisse nicht sagen, ob die eben hier in Betracht kommende Figur bereits 
in der Ausgabe von 1870 enthalten ist. 

Noch muss ich hinzufiigen, dass ich nicht beabsichtige, den Streit wegen der 
Benennungen (nachdem ich Ihrer Erldarung die oben bemerkte Fussnote 
hinzugefiigt habe) von mir aus ferner fortzusetzen. Nur wenn ich erneut dazu 
veranlasst werden sollte, wiirde ich eine, dann allerdings sehr ausfiihrliche und 
sehr ofTenherzige Darstellung des ganzen Sachverhalt's geben. Lassen Sie uns 
lieber darin konkurrieren, wer von uns die ganze hier in Betracht kommende 
Theorie am meisten zu fordern geeignet ist ! Ich meine, an meinem Teile durch 
meine neue Note einen gewissen Fortschritt erzielt zu haben. Eine Reihe von 
Theoremen iiber algebraische Funktionen beweist man vermoge der neuen Yj-Funk- 
tion sofort, z. B. den Satz, den ich in meiner Schrift tiber Riemann nur erst als 
wahrscheinlich bezeichnete, dass namlich eine Flache p > o niemals unendlich 
viele diskrete eindeutige Transformationen in sich besitzen kann (vermoge deren 
sie in eine oo Zahl ,, aquivalenter Fundamentalpolygone u zerlegt erscheinen 
wtirde). Dann ferner den Satz, dass sich verscbiedene von Picard gegebene 
Siitze von p = o auf den Fall eines beliebigen p tibertragen usw. 



( * ) Sind dieselben wirklich. eindeutig ? Ich verstehe nur, dass sie in jedem Wertsysteme, 
welches sie erreichen unverzweigt sind. Doch kann ich mich da tcLuschen. 
( 3 ) Ihre Note kommt unmittelbar hinter die meinige zu stehen ! 



mir 



5/j CORRESPONDANCE AVEC F, KLEIN. 

Was die Methoden betrifft, dutch die ich meine Satze beweise so schreih. 
ich- davon, sobald ich dieselben noch raehr abgekiart habe. Konnen Sie mi 
mittlerweile nicht mitteilen, welches die Ideen sind, die Sie eben jelzt ^e^fol^en? 
Ich brauche kaum hinzuzufilgen, dass wir in den Mathematischen Annalen jeden 
Beilrag, den Sie uns geben wollen, mil Freude abdrucken werden. Es wird mir 
sehr viel daran liegen, mil Ihnen in regem Verkehr zu bleiben. Fiir micli i^l 
die lebendige Verbindung mil gleichstrehenden Matbematikern innner die Vor- 
bedingung zur eigenen mathematischen Produktion gewesen, 

Hochachlunjsvoil 
Ihr ergebener 

F. KLEIN. 

Die Adresse von Dr. HURWITZ ist bis auf weiteres : Hildesheim, Langer Hagen, 



XIX. 

Paris, 4 avril 1882, 
MONSIEUR, 

Je viens de recevoir votre lettre et je m'empresse de vous rt^pondre. Vous 
me dites que vous de*sirez clore un d^bat sterile pour la Science et je no puis 
que vous fdiciter de votre resolution. Je sais qu'elle ne doit pas vous center 
beaucoup puisque dans votre note ajout6e & ma derni&re lettre, c'esi vous qi 
dites le dernier mot, mais je vous en sais gr cependant. Quant a inoi, jc n'ai 
ouvert ce d^bat et je n'y suis entr<3 que pour dire une fois et une seule man 
opinion qu'il m'^tait impossible de taire. Ce n'est pas moi qui le prolongerai, 
et je ne prendrais de nouveau la parole que si j'y ^tais forc6; d'ailleurs je ne 
vois pas trop ce qui pourrait m f y forcer. 

Si j'ai donn6 votre nom aux fonctions klein^ennes, c'est pour les raisons 
que j'ai dites et non pas comme vous Tinsinuez, zur Entschddigung; car je 
n'ai a. vous d^dommager de rien; je ne reconnaitrai un droit de propri<H$ ant^ 
rieur au mien que quand vous m'aurez montre* qu'on a avant moi dtudi< la 
discontinuity des groupes et Tuniformit^ des fonctions dans un cas tant soil 
peu ge'n^ral et qu'on a donn6 de ces fonctions des d^veloppements en series. Je 
r6ponds a une interrogation que je trouve en note & la tin d'une page de votre 
lettre. Parlant des fonctions de'fimes par M. Fuchs au tome 89 de Grelle, vous 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 55 

dites : Sind diese Funktionen wirklich eindeutig? Ich versLehe nur dass sie 
in jedem Wertsjstem welches sie erreichen unverzweigt sind . Voici ma 
r^ponse, les fonctions tudi<3es par M. Fuchs se partagent en trois grandes 
classes ; celles des deux premieres sont efFectivement uniformes ; celles de la 
troisi&me ne sont en g<3nral que unverzweigt; elles ne sont uniformes que si 
Pon ajoute une condition a celles nonc6es par M. Fuchs. Ces distinctions ne 
sont pas faites dans le premier travail de M. Fuchs; on les trouve dans deux 
notes additionnelles, malheureusement trop concises et ins^r^es 1'une au 
Journal de B or char dt : t. 90, Fautre aux Gottinger Nachrichten^ 1880 (*). 

Je vous remercie beaucoup de votre derni&re note ( 2 ) que vous avez eu la 
bont6 de m'envojer. Les r^sultats que vous ^noncez m'int^ressent beaucoup, 
voici pourquoi; je les avais trouv6s il y a ddja quelques temps, mais sans les 
publier parce que je d<5sirais 6claircir un peu la demonstration; c'est pourquoi 
je d^sirerais connaitre la votre quand vous 1'aurez edaircie de votre cot. 

J'espSre que la lutte, a armes courtoises, d'ailleurs, a laquelle nous venons 
de nous livrer a propos d'un nom, n'all<rera pas nos bonnes relations. Dans 
tons les cas, ne vous en voulant nullement pour avoir pris Poffensive, j'esp^re 
que vous ne m'en voudrez pas non plus de m'&tre drfendu. 11 serait ridicule 
d'ailleurs, de nous disputer plus longtemps pour un nom, Name ist Schall 
und Rauch et aprs tout ga m'est ^gal, faites comme vous voudrez, je ferai 
comme je voudrai de mon cot<5. 

Veuillez agr^er, Monsieur, 1'assurance de ma consideration In plus distingu^e, 

PoiNCA.Rfi. 



XX. 

Paris, 7 avril 1882. 
MONSIEUR, 

J'ai 1'honneur de vous renvoyer corrig^e l'6preuve de ma lettre ( 3 ). Main- 
tenant que ce petit d^bat est termini et je Tesp&re pour ne plus se renouveler, 

( J ) Voir aussi le Me"moire de Poincare". QEuvres, t. I, p. 336-373 et la Correspondance de 
Poincare et de Fuchs (Acta Math., t, 38, 1921, p. 176-187. Ce vol. p. i3-a5). 

( 2 ) Ueber eindeutige Funktionen mit linear en Substitutionen in sich ( ^Das Grenzkreis- 
theorem u ) (Math. Annalen, t, 20, 1882, p. 49-5 F * KLEIN, Ges. math. Abh., Berlin", t. 3, 
1923, n 102, p. 627-629, 

() Lettre n* XVII. 



56 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

permettez-moi de vous remercier de la courtoisie dont vous n'avez cess6 de fa ire 
preuve pendant tout le temps qu'il a dur. 

Veuillez agr6er, Monsieur, 1'assurance de ma consideration la plus distinctive, 

PoiNCARfi. 



XXI. 



Leipzig, 7. Mai 1882. 
Sophienstrassc 10. 



SEHR GEEHRTER HERR ! 



Vor kurzem las ich Ihre Note in den Comptes rendus vom 10. April 1882 ( l ). 
Dieselbe hat mich urn so mehr interessiert, als ich glaube, dass Ihre jetaigt* 
Betrachtungen mil den meinigen auch der Methode nach eng verwandt sind. Ich 
beweise meine Satze durch Kontinuitdt, indem ich die beiden Lemmata vorausstellc: 
1. dass zu jeder groupe discontinu eine Riemann'sche Flache zugehort und 2. dass 
zu der einzelnen zweckmassig zerschnittenen Riemann'schen Flache immcr ( <2 ) nur 
eine solche Gruppe gehoren kann (sofern ihr tiberhaupt eine Gruppe zugehort). 
Die Reihenentwicklungen, wie Sie dieselben aufstellen, habe ich bislang noeh gan/ 
ausser Betracht gelassen. Wie beweisen Sie eigentlich die Existenz der Zahl m, 

fur welche "V ^-r^ absolut konvergiert ? Und haben Sie fiir dieselbt; eine 

-*" ( YZ 7] H~ Vi) 

genaue oder nur eine approximative untere Grenze ? 

Ich selbst habe mittlererweile den betr. Satzen wieder allgemeinere Gestalt 
gegeben, und da die Fertigstellung einer Annalennote im Augenblicke, wo ich 
sehr wenig Zeit habe, sich noch etwas hinausziehen muss, so schreibe ich Ihn^n 
wieder davon. Im Falle meines ersten Satzes wurde die Gesamtkugel r\ nut 
Ausnahme unendlich vieler Punkte von den wiedererhaltenen Reprocluktionen das 
Fundamentalbereiches liberdeckt. Im Falle des zweiten Satzes bleibt das Innere 
einer Kreisflache, aber nur einer einzigen, unbedeckt. Ich habe jetzt die Kxistenz 
von Darstellungen konstatiert (die ftir die einzelne Riemann'sche FIche wieder 
immer und immer auch nur in einer Weise vorhanden sind), bei welclier unendlich 
viele Kreisflachen ausgeschlossen werden. In dieser Richtung formuliere ich hier 
nur den allereinfachsten Satz (bei welchem durchaus unverzweigte Darstellung 
der Riemann'schen Flache vorausgesetzt wird). Sei p = ^ -4- fi 2 -h . . . 4- |u m , wo 
vorab keines der //. i sein mag. So nehme man auf der Riemann'schen FlSche 
m Punkte O t , . . . , O w , und lege von d in der bekannten Weise 2^ Querschnitte 
AU Bi; A 2 , B 2 ; ,..; A^, B^; von 2 2^ 2 Querschnitte usw. Andererseits kons- 
truiere man auf der TQ Kugel m auseinander liegende Kreise und innerhalb des 

( x ) CEubres de Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 4i-43. 
( 2 ) D. h. unter deti Beschrankuugen des jeweiligen Satzes. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 67 

von letzteren gemeinsam begrenzten Raumes ein Kreisbogenpolygon, das von 
4|Ui Kreisen begrenzt ist, welche auf dem ersten Fundamentalkreise senkrecht 
stehen, dann ferner von /j./-^ Kreisen, die auf dem zweiten Fundamentalkreise 
senkrecht stehen, usw. (also ein Kreisbogenpolygon, das /n-fachen Zusammenhang 
hat). Die begrenzenden Kreise werden paarweise in der bekannten Reihenfolge 
A 15 B l5 A^ 1 , B7 1 , Ao, B 2 , ... zusammengeordnet und zwar durch lineare Substi- 
tutionen des 73, bei denen jeweils der betrefFende Fundamentalkreis invariant 
bleibt. Ueberdies sei das Produkt der betreffenden linearen Substitutionen also 
etwa : A^Ay^^ 1 . . . A^B^ 1 allemal der Identitat gleich. Dann gibt es immer 
eine und nur eine analytische Funktion, welche die zerschnittene Riemanrische 
Fldche auf ein der art beschaffenes Kreisbogenpolygon abbildet. Der Fall, dass 
eines der JUL gleich i wird, unterscheidet sich nurdadurch, dass dann der zugehorige 
Fundamentalkreis sich auf einen Punkt zusammenzieht und die entsprechenden 
linearen Substitutionen in diejenigen ,, parabolischen u iibergehen, welche jenen 
Punkt festlassen ( 1 ). Doch genug fur heute. Ware es nicht moglich, eine 
vollstandige Kollektion von Separatabziigen Ihrer einschlagigen Arbeiten zu 
bekommen ? Wenn es an gent, beginne ich nach Pfingsten in meinem Seminare eine 
Reihe von Vortragen iiber eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in 
sich, und mochte dabei meinen Zuhorern eine solche Kollektion zur Verfiigung 
stellen. 

Hochachtungsvoll 

Ihr 

F. KLEIN. 



XXII. 

Paris, 12 mai 1882. 



MOMSIEUR, 



J'ai bien tard6 a vous r^pondre et je vous prie dc m'en excuser, car j'ai ^te 
forc de faire une petite absence. Je crois comme vous que nos m^thodes se 
rapprochent beaucoup et different moins par le principe g<3nral que par les 
details. Pour les lemmes doat vous me parlez, le premier, je Fai 6tabli par les 
considerations des d(veloppements en series et vous, a ce que je pense, a 1'aide 
du thorme dont vous m'avez parle" dans une de vos lettres de l'anne derni^re. 

Pour le second lemme, il ne pr6sente pas de difficult^ et il est probable que 

i 

(!) VgL F. KLEIN, Neue Beitrage zur Riemannschen Funktionentheorie, Abschnitt IV, 
( ,,Das allgemeine Fundamentaltheorem" ), (Math, Annalen, t. 21, 1882-1883, p, 206-212), Ges. 
math. Abh. % Berlin, t. 3, 1928, n 103, p. 630-710. 

H. P. XI. 8 



58 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

nous Pe'tablissons de la m^me maniere. Une fois ces deux lemmes tHablis el, 
c'est en effet par la que je commence, ainsi que vous le faites vous inline, 
j'emploie comme vous la continuite, mais il y a bien des manieres do Templojer 
et il est possible que nous difFe"rions dans quelques details. 

Vous me demandez comment j'etablis la convergence de la sthne ^ ^ v<T| -f- 5j)'" * 
J'en ai deux demonstrations mais qui sont toutes deux trop longues pour lenir 
dans une lettre; je les publierai prochainement (*). La premiere ost fondee en 
principe sur ce fait que la surface du cercle fondamental est flnie. La soeomle 
exige la me"me hypothese, mais elle est fonde'e sur la gome"trie non cuclidicnno. 
Quelle est maintenant la limite infdrieure du nombre m? C'est m = 2. Ici si 
Ton suppose m entier on a une limite exacte. En ce qui concerne les series 
relatives aux fonctions Zetafuchsiennes, je n'ai au contraire qu'une limite 
approximative. Ce qui m'a le plus inte'resse' dans votre lettre c'est ce que vous 
me dites au sujet des fonctions qui admettent commc espaces lacunaircs une 
infinite' de cercles. J'ai rencontr^ aussi de semblables fonctions et j'en ai donm'* 
un exemple dans une ou deux de mes Notes. Mais j'y suis arrive* par une voic 
absolument difFe"rente de la votre. II est probable que vos fonctions el les 
miennes doivent avoir une e'troite parente" ; cependant il n'est nullement Evident 
qu'elles soient identiques. Je croirais volontiers que votre mtHhode ainsi quo la 
mienne est susceptible d'une generalisation tres e'tendue et qu'clles conduiraient 
toutes deux a une grande classe de transcendantes comprenant commc cas 
particuliers celles que nous avons d6ja rencontrdes. 

Vous me parlez de tirages a part de mes travaux. Voulez-vous parlor de mes 
Notes des Comptes rendus? Je n'en ai pas fait faire de tiragos a part et il strait 
malheureusement difficile maintenant d'en obtenir, aumoins pour les promidrcs 
d'entre elles. 

Je vous enverrai prochainement et des que je les aurai reciis les tirages & 
part de deux travaux plus re"cents ; le premier Sur les courbes d^Jinies par les 
Equations diffrentielles ( 2 ). II s'agit d^tudier la forme g^omcHrique des 
courbes demies par les Equations diffdrentielles du premier ordre, Malheureu- 
sement la premiere partie de ce M^moire est seule imprime'e jusqu'ici et ne * 
contient que les pr6liminaires. Le second travail a pour objet les formes 

( x ) Memoir e sur les fonctions fuchsiennes (Acta Math., t. 1, 1882, JK 193-294 ); GEuvr-es d$ 
Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 169-267. 

( 2 ) J. Math. pur es et appl., 3 e s^rie, t. 7, 1881, p. 375-422 et t. 8, 1882, p, 25i-2g6 
t. I, p, 3-84. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 



cubiques ternaires, dont je veux faire I'&tude arithm^tique. J'ai voulu rappeler 
d'abord certains r^sultats alg^briques qui remplissent la premiere partie du 
M^moire. Cette premiere partie a seule 6t(5 imprime'e dans le 5o c cahier du 
Journal de VEcole Poly technique, le reste devant paraitre dans le 5i e cahier. 
Cette premiere partie ne vous inte'ressera done pas beaucoup. II y a cependant 
une tude sur les transformations lin^aires et sur certains groupes continus 
contenus dans le groupe line'aire atrois et quatre variables. 

A propos, je ne me souviens plus si je vous ai envoys ma these, ainsi que 
des travaux plus anciens sur les Equations diflferentielles et un travail sur les 
fonctions a espaces lacunaires. 

Veuillez agrger, Monsieur, 1'assurance de ma consideration la plus distinguge. 

POINCIRE. 



XXIII. 

Leipzig, 1 4 mai 1882. 



SEHH GEEHRTER HERR! 



In Beantwortung Ihres eben eintreffenden Briefes mochte ich Ihnen mit 2 Worten 
mitteilen, wie ich die ,, Kontinuitiit " verwende. Freilich nur ira Prinzip; denn 
die Ausfiihrung im Einzelnen, die bei der Redaktion viel Muhe machen wird, lasst 
sich jedenfalls mannigfach modifizieren. Ich will mich auf den Fall der durchaus 
unverzweigten yj-Funktion der zweiten Art, wie ich aie in meiner Note nannte, 
beschranken. Hier handelt es sich vor allem urn den Nachweis, dass die beiden zu 
Vergleich kommenden Mannigfaltigkeiten : die Mannigfaltigkeit der in Betracht 
kommenden Substitutionssysteme und andererseits die Mannigfaltigkeit der xiberhaupt 
existirenden Riemann'schen Flachen, nicht nur dieselbe Dimensionenzahl (6/> 6 
reelle Dimensionen) besitzen, sondern dass sie auch analytische Mannigfaltigkeiten 
mit anafytischen Grenzen sind (im Sinne der von Weierstrass eingefuhrten Termi- 
nologie). Diese beiden Mannigfaltigkeiten sind nun infolge des i. in meinem vorigen 
Briefe angefiihrten Lemma's (i ,a;)-deutig auf einander bezogen, wo x dem 2. 
Lemma zufolge fur die verschiedenen Partieen der zweiten Mannigfaltigkeit nur o 
oder i sein kann. Nun aber erweist sich jene Beziehung als eine analytische und 
zwar, wie wieder aus den beiden Hulfssatzen folgt, als eine analytische von nirgends 
verschwindender Funktionaldeterminante. Hieraus schliesse ich, dass x durchweg i 
sein muss, Gabe es riamlich einen Uebergang von Gebieten mit x = o zu solchen 
mit^ = i, so wurden den Punkten des Uebergangsgebietes wegen des analytischen 
Charakters der Zuordnung bestimmte (wirklich erreichbare) Punkte der anderen 
Mannigfaltigkeit entsprechen und fiir diese miisste dann, dem Bemerkten zuwider, 



6 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

die Funktionaldeterminante der Beziehung verschwinden. So \\eit main Beweis. 
Einen ganz anderen, doch auch auf KontinuitStsbetrachtungen beruhenden, teilte 
mir Hr. Schwarz mit, als ich ihn neulich (am n. April) in Gottingen besuchlc. 
Ohne gerade von ihm autorisirt zu sein, meine ich Ihnen doch auch da von 
schreibeu zu sollen. Schwarz denkt sich die Riemann'sche Flache in geeigneter 
Weise zerschnitten, soclann unendlichfach iiberdeckt und die verschiedenen Ueber- 
deckungen in den Querschnitten so zusammengeftigt, class eine Gesanufliirho 
entsteht, welche der Gesamtheit der h\ der Ebene nebeneinander zu legenden 
Polygone etitspricht. Diese Gesamtflache ist, sofern man von solchen Attribulon 
bei unendlich ausgedehnten Flachen sprechen kann (was eben erlautert werden 
muss), im Falle der -^-Function 3. Art (auf die sich Schwarz zuniichst beschranktc) 
einfach zusammenhangend und einfach berandet, und es handelt sich also nur 
darum, einzusehen, dass man auch eine solche einfach zusammenhSngende, einfach 
berandete Flache in der bekannten Weise auf das Innere eines Kreises abbilden 
kann. Dieser Schwarz'sche Gedankengang ist jedenfalls sehr schon. 

Sie fragen wegen der Separatabztige. Ich mochte Ihnen da vor allem naturlirli 
nicht lastig fallen, und dies urn so weniger, als ich mir ja alle Ibre Publikatlouen, 
mit alleiniger Ausnahme Ihrer These, immer verschaffen kann. Aber lie.b \uirc 
mich freilich, eine rnoglichst vollstandige Sammlurig derselben zu haben. Wonn Sie 
mir also einige Sachen zuschicken konnen (ich besitze noch keino flerselbt k n), so 
wxrd es mir sehr angenehm sein, 

Haben Sie vielleicht einmal Lie's Theorie der Transformatiorisgruppen geles^n? 
Lie denkt sich die in seine Gruppen eingehenden Parameter immer als kompl^x^ 
Grossen; es ware interessant zu sehen, wie sich seine Resuitate vervollstandigcn 
liessen, wenn man auch solche Gruppen in Betracht zoge, die nur durch wlfa 
Wiederholung gewisser oo kleiner Operationen entstehen, 

Hermite schickte mir vor langerer Zeit eine Numiner seines litho^raphierU k n 
Coan d' Analyse, Ware es vielleicht mogiich (nattirlich gegen Bezahlung) das 
Ganze zu bekommen? Ich wiirde das fiir mein Seminar in Anbetracht der Zv 
die ich eben jetzt verfolge, mit besonderer Freude begrussen. 

Wie immer 

Ihr ergebenster 

F- KlBIN. 

XXIV. 

Paris, 1 8 mai 1882. 

MONSIEUR, 

Je n'ai pas besoin de vous dire combien votre derniere lettre m'a h 
Je vois clairement maintenant que volra d^monstrauon et k mienne ne peuveat 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 6l 

diflferer que par la terminologie et par des details ; ainsi il est probable que 
nous n'6tablissons pas de la m&me mani&re le caract&re analytique de la rela- 
tion qui lie les deux Mannigfaltigkeiten dont vous parlez; pour moi, je relie 
ce fait a la convergence de mes series, mais il est Evident qu'on peut arriver au 
mme r^sultat sans passer par cette consideration. 

Les id^es de M. Schwarz ont une port^e bien plus gran.de; il est clair que le 
th^or^me general en question, s'il (Hait demontre, aurait son application dans 
la thdorie d'un tres grand nombre de fonctions et en parliculier dans celle des 
fonctions defmies par des Equations diiKrentielles non lineaires. C'est en 
etudiant de pareilles Equations que j'avais 6t6 conduit de mon cot6 a chercher 
si une surface de Riemann a une infinite de feuillets pouvait &tre etendue sur 
un cercle, et j'avais 6t6 amen6 au problSme suivaiit, qui permettrait de 
d^montrer la possibility de cette extension : 

On donne une Equation aux differences partielles 

v d- u ^. r d- u ^ d- u da . T du 

\ _^ _}_ X., (_ \ -^ 4_ Xv j h X; -y- = O 

dx- d.u dy dy 1 d,c dy 




A B 

Fig. 4- 

et une demi-circonference AMBO, Xi, X 2; X a , X 4 , X 5 sont des fonctions 
donn^es de x et de y } ces fonctions sont analytiques a 1'interieur de la demi- 
circonference et cessent de I'&tre sur son p6rimtre. Peut-on trouver toujours 
une fonction u de x et dey satisfaisant a liquation, analytique a 1'int^rieur de 
la demi-circonference, tendant vers i quand le point x, y se rapproche de la 
demi-circonf6rence et vers zro quand il se rapproche du diam^tre AOB ? Tous 
mes efforts dans ce sens ont 6t6 jusqu'ici infruclueux, mais j'esp^re que 
M. Schwarz qui a si bien r<5solu le probl^me dans le cas plus simple, sera plus 
heureux que moi. 

Je vous envoie les tirages a part de mes travaux anciens, et j'esp&re pouvoir 
vous adresser d'ici peu les autres M^moires plus r^cents que je vous ai 
annonc^s et dont je ne saurais tarder & recevoir le tirage a part. 

Quant au cours lithographic de M. Hermite, il est 3dit6 chez Hermann, 



6 2 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

Librairie des Lyce'es, rue de la Sorbonne ; le prix de Pabonnement est i a francs. 
Je ne crois pas que 1'editeur envoie de tirage a part a M. Hennite. 

Veuillez agr<5er 1'assurance de mes sentiments les plus devoues el de mon 
estime sincere. 

PoiISCARfi. 



XXV. 



Leipzig, den ly Sept. S-.i. 
Sophienstr. 10 II. 



SEHR GEEIIRTER HERR ! 



Im BegrifTe, meinerseits eine langere Arbeit iiber die neuen Funktionen abzu- 
schliessen, habe ich soeben Ihren Aufsatz in Bel. 19 der Annalen noch einmal 
durchgesehen. Es ist da ein Punkt, den ich nicht verstehe. Sie sprechen an zwri 
Stellen (p. 558 Mitte und p. 56o unten) von fonctions fuchsienne, die uur in einrni 
Raume existiren, der von unendlich vielen Kreisen begrenzt ist, \velche auf deat 
Hauptkreise senkrecht stehen. Nun kenne ich sehr wohl solche Funktionen (\\ie 
ich Ihnen schon vor einem Yierteljahr schrieb), die unendlich viele Kreise als 
natiirliche Grenze haben. Aber an der zugehorigen Gruppe partizipieren inimer 
solche Substitutionen, welche nur den einzelnen, beliebig herausgegriflenen Begren- 
zungskreis invariant lassen. Nun defmiren Sie fuchsiennes als solche FunktiontMi, 
deren Substitutionen sdmmtlich reell sind (p. 552), und diese Definition \vircl durch 
die Verallgemeinerung auf p. 557, wo an Stelle der reellen Axe ein beliebigor Krcis 
tritt, nicht wesentlich modifiziert. Die von mir gekannten Funktionen fallen also 
nicht unter Ihre Definition der fuchsiennes. Ist da ein Missverstiindnis auf nieiiu'r 
Seite oder eine Ungenauigkeit des Ausdruck's auf der Ihrigeu? ( ! ). Was ineint* 
Arbeit angeht, so beschranke ich mich darauf, die geoinetrische AufTahSung 
darzulegen, vermoge deren ich im Riemann'schen Sinne die neuen Funktionen 
definiert denke. Dabei sind, wie es in der Natur der Sache liegt, viele Beriihrungs- 
punkte auch mit Ihrer geometrischen AufFassung des Gegenstandes. Die allge- 
meinste Gruppe, welche ich in Betracht ziehe, erzeuge ich aus einer beliebagen Zahl 
,, isolierter u Substitutionen und aus einer Anzahl von Gruppen ,, mil Hauptkrt'is ct 
(der reell oder imaginar sein kann oder auch in einen Punkt ausgeartet) durch 
,, Ineinanderschiebung u . Die Theoreme meiner beiden Annalennoten subsuinieren 
sich dann als spezielle Falle unter einen allgemeinen Satz, der etwa so lautet : doss 
zu jeder Riemannschen Flache mit beliebig vorgegebener Verzweigung und 
Zerschneidung immer eine und nur eine n-Funktion des betreffenden Typm 
zugehort. 

( a ) Cf. Ueber den Begriff des funktionentheoretischen Pundamentalber&ichs ( Math. 
Anualen, t. 40, 1892, p. iSo-iSg); F. KLEIN, Ges. math. Abh^ Berlin, t. 3, 192^,0 104 p- 711-720. 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 63 

Von Mittag-Leffler horte ich, dass Sie eben auch mil grosseren Ausarbeitungen ( ! ) 
beschaftigt sind. Ich brauche nicht zu sagen, wie sehr es mich interessiren wird, 
dariiber Genaueres zu erfahren. Wenn Sie in einem Monate in Paris sind, werden 
Sie meinen Freund S. Lie kennen lernen, der eben ein paar Tage bei mir zu Besuch 
war und der, obwohl selbst bislang nicht Funktionentheoretiker, doch lebhaft 
sich fur die Fortschritte interessiert, die die Funktionentheorie in neuerer Zeit 
gemacht hat. 

Hochachlungsvoll 
Ihr 

F. KLEIN. 



XXVI. 

Nancy, le 22 seplembre 1882. 



MONSIEUR, 



Voici quelques details sur ces fonclions donL j'ai parl<$ dans ma Note des 
Annalen et doni la limite naiurelle esL formed d'une infinite de cercles. Pour 
plus de simplicity dans 1' exposition, je prendrai par exemple un cas tr&s parti- 
culier. Supposons quatre points a, 6, c, d sur le cercle fondamental et quatre 
cercles coupant orthogonalement celui-ci : le premier en a et en b, le deuxi^me 
en b et en c; le troisi^me en c et en d\ le quatri^me en d et en a. On obtient 
ainsi un quadrilatere curviligne. Considerons deux substitutions (hyperbo- 
liques ou paraboliques) la premiere changeant le cercle ab dans le cercle ad] 
la deuxi&me changeant le cercle cb dans le cercle cd. Les Wiederholungen de 
notre quadrilatere vont recouvrir la surface du cercle fondamental, ou une 
portion seulement de cette surface; mais dans tous les cas le groupe sera 
6videmment discontinu. On reconnait ais6ment que le cercle fondamental ne 
sera reconvert tout entier que dans un seul cas; lorsque les quatre points abed 
seront harmoniques et que les deux substitutions (ab, ad] et (cb, cd) seront 
paraboliques. On a affaire alors a la fonction modulaire. Dans tousles autres 
cas, on trouve que les Wiederholungen en question ne recouvrent qu'un 

(*) II s'agit ici des cinq M^moires suivants : Theorie des groupes fuchsiens (Ada Math., t. 1, 
1882, p. 1-62); Mmoire sur les functions fuchsiennes (ibid., t. 1, 1882, p. 193-294); M&moire 
sur les groupes klein&ens (ibid., t. 3, i883, p. 49-92); Sur les groupes des equations lineaires 
(ibid., t. 4, 1884, p. 2oi-3n); M&moire sur les fonctions zetafuchsiennes (ibid., t. 5, 1884, 
p. 209-278); OEuvres de Henri Poincare, Paris, t. 2, 1916, p. 108-462. 



64 CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 

domaine limits par une infinite de cercles. Maintenant le plan tout entier pent 
6tre abgebildet sur notre quadrilatere et de telle facon que deux points corres- 
pondants du p^rimetre correspondent au m&me point du plan. Gette Abbildung 
d^finit une fonction n'existant que dans le domaine reconvert par les Wieder- 
holungen. Mais ici il faut faire une remarque importanle. Le groupe derive 
des deux substitutions (ab, ad] et (c&, cd) peut tre consid<3r<$ connne 
engendre' d'une autre maniere. Considt^rons quatre cercles C l7 Co, C ;J; C 
coupant tous quatre orthogonalement le cercle fondamental et ne se coupanl 
pas entre eux de fagon a e"tre ext(3rieurs les uns aux a litres. Soit deux substi- 
tutions changeant d en C 2 et C :{ en C/ ( ; le groupe qui en derive est tfvidem- 
ment discontinu eL si les quatre cercles sont convenablement choisis, ii peul 
tre identique au groupe dont il a <3te* question plus haut. La portion du plan 
ext(5rieure aux quatre cercles est une sorte de quadrilatere qui peul tore 
abgebildet sur une surface de Riemann de genre 2 et qui engendre aiasi une 
fonction existant dans tout le plan. Voila done le mfime groupe donnant nais- 
sance a deux fonctions essentiellement difF^rentes. On peut se poser u ce sujtM. 
une foule de questions delicates que je ne puis aborder ici. 

En rsum<3, vous vojez qu'il s'agit bien de fonctions n'existant que daus uu 
domaine limits par une infinites de cercles et cependant de fonctions fu<;h- 
siennes puisque toutes les substitutions du groupe conservent le cercle fonda- 
mental. Chacun des cercles de la fronti^re est consent par une des substitutions 
du groupe, laquelle conserve en mme temps le cercle fondamental. Vous save/, 
en effet que toute substitution hyperbolique conserve tons les cerdes (jta 
passent par les deux points doubles. 

JPapprends avec plaisir que vous pr^parez un grand travail sur Pol>jt <jui 
nous intt5resse tous deux. Je le lirai avec le plus grand plaisir. Comme vous 1'a 
ditM. Mittag-Leffler je prepare moim6me un travail sur ce sujet; mais vu sa 
longueur, je Fai partagt^ en cinq M^moires : 

le premier qui va paraitre cette ann^e, sur les groupes & substitutions belles 
(que j'ai appel^s groupes fuchsiens) ; 

le deuxitoe sur les fonctions fuchsiennes; j'en acKeverai prochainement la 
redaction ; 

le troisi&me sur les groupes et fonctions plus gto^rales que j'ai appel^es 
klein^ennes. 

Dans le quatri^me j'aborderai un ordre de questions que j'ai laiss^as de 



CORRESPONDANCE AVEC F. KLEIN. 65 

dans le deuxi&me Memoire; c'est-a-dire la demonstration de Fexistence de 
fonctions satisfaisant a certaines conditions, par example la demonstration de 
ce fait qu'a toute surface de Riemann correspond une semblable fonction et la 
determination des constantes correspondantes. 

Enfin dans le cinqui&me je parlerai des fonctions zetafuchsiennes et de I'int6- 
gration des equations lineaires. 

Je dois retourner a Paris apr&s-demain; je serai done la au moment du 
passage de M. Lie. Je serais desole de perdre 1'occasion de voir ce c6lbre 
geomjtre. Vous avez du recevoir la premiere partie de mon travail sur les 
courbes deflnies par les equations differentielles. Je vous en enverrai prochai- 
nement la seconcle parlie ; je vous enverrai en m6me temps mon Memoire sur 
les formes cubiques. 

Veuillez agnSer, Monsieur, Fassurance de rna consideration la plus distinguee. 

PoiNCAttfi. 



H. P. XL 



LCTTRES DE HENRI POINCARE 

A M. MITTAG-LEFFLER 
CONCERNANT LE MEMOIRE COURONNE 

DU PRIX DE S. M. LE ROI OSCAR II (') 



Acta Mathcmatica^ t. 38, p. jGi-i^S (1911) 



1 8 avril 1 883. 



J'ai lu avec un grand inl6rel la leltre de M. Wcicrs trass dual vous m'avez 
donned copic (-). II cst bien clair com me Ie dit M. Weirrslrass quo lus'coor- 
donn^es des plan&les no peuvont s'exp rimer en. series ordountios stiivant les 

SiQt _ T 

puissances de -^ cp 1 ^ si 1'on est certain d'avance que les planOlcs n< 4 se rt k n- 
contreront pas, et d'auLrc part on ne peuljamais en dire cerlain. 

Aussi je n'ordonnais pas suivant les puissances de t - mais suivani ccHes 



de -- ^ est une variable auxiliaire qui jouit des propritHes suJvantes : 



e*t~>r-t 

c Pdf lino vnrinhlp niTviTInir/* rrm mint T!AC i 
e &s _+- 1 

i t s'exprime comme les coordonnees en stSrie ordonnee suivant les puis* 
sances de ^p 

2 Si les planfetes ne se rencontrent pas/quand^variede oo & +00, 
constamment de oo a +00. 



( x ) H. POJNCAR&, 5wr Le probleme des trois corps et les equations de la m&canique (Acta 
Math., t. 13; QEuvres, t. 7, p. 262-479). 
( 2 ) Acta Math., t. 35, p. 35-36; cf. aussi p. 45. 



CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 67 

3 Si elles se rencontrent au temps , quand s varie de oc a -t-oo, t croit 
constamment dc oo a t Q . Les formnles no donnent plus rien a partir du 
temps (Q et c'est d'ailleurs ce qu'clles ont de mieux, a faire. 

Maintenant je n'avais pas eu sp^cialement en vue le probl&mc de la M^ca- 
nique celeste; mon but etait de monlrer qu'on pouvait Loujours resoudre des 
Equations diff^renticllcs algt'ibriques par des series toujours convergenles pour 
toutes les valeurs replies des variables. Les solutions de ce probl&me sont en 
nombre infini el celle que j'ai donne^e n'est qu'un exemple. II csl clair que dans 
chaque cas particulier, il faut choisir la plus zweckmdssig* Or je ne crois pas 
que dans le cas de la Mecanique celeste celle que j'ai donn6 soil la plus zweck- 
massig, je crois qu'il y a mieux a trotiver ( 1 ). 



Paris, 1 6 juillet 1887. 

Je n'ai pas oubiie; le prix du roi Oscar et je vous dirai meme que ce prix me 
pr^occupe cxclusivemcnt depuis un ou doux mois* 

Mon ambition e^tait de resoudre la premiere question, celle qui se rapportc 
au problfcme des n corps. Mais je n'ai pas arriv6 encore a des r^sultals coniplk- 
tement satisfaisants, au moins dans lo cas general. 

J'ai loutefois obtenu quelques r6sultals qui ne sont pas sans int6r<H et dont 
je ne veux vous citer qu'un seul. 

II s'agit du cas particulier ou des trois corps, le premier el le deuxieme ont 
une masse ilnie et le troisi^me une masse nulle. Lc premier et le deuxieme 
decrivenl une eirconfe'rence aulour de leur centre de gravity commnn ct le 
troisi^me se incut dans le plan de ces circonfe^rences. 

Dans ce cas particulier, j'ai lrouv une demonstration rigoureuse de la stabi- 
lity et un moyen dc determiner des limites precises pour les elements du 
troisieme corps ( tj ). 

Vous savez que dans ce cas particulier M. Hill avail dja donn^ une limite 



( 1 ) On salt quo M. K. F. Sundman a d<montr6 r6cemment qu'on peut choisir Ja variable auxi- 
liaire 5 de sortc quo les series en question convergent pour toutes les valeurs de t meme s'il y a 
des chocs entre les corps, pourvu que les constantes des aires ne soient pas toutes nulles (cf. Acta 
Math,, t. 36, p. 105-179). 

( 2 ) Ou se rappelle que Poincare' a d^montre que la masse nulle repassera une infinite de fois 
aussi pres qu'on voudra de sa position initiale, si Ton n'est pas place 1 dans certaines conditions 
initiales exceptionnelles dont la probability est infini meuj, petite. 



g CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 

superieure du rayon vecteur; j'ai recu derniercment un M5moire de M. Boblm 
insure* dans le tome X des Ada ou ccLte solution de M. Hill est reprise et 
complete. Mais, il n'y a pas de limito inferieure et de plus la limite superieure 
trouv<5e est trfcs c$loign6e de la limite precise. D'aillcurs possedunt cetle limilc 
precise, j'ai plusieurs moyeas do reprcsenter le mouvement du troisifcine corps 
par des series convergentes. 

Maintenant, esl-ce bien la ce qu'avail trouv<5 Lcjoune-Dirielilel et inline 
avail-il nSelleinenl trouv<5 quolque chose, jo n'en sais rien ; mais jo sins sur 
mainLenant qu'onne doit pas chcrchor a iiitegrer le probleme par les fonelkms 
connucs on par rion qui y resscmbhi. Car les parliculariltfs inaltenducs ([ue 
prysenient les fonctions ou je suis conduit les eloignenl tout a fait do Unites les 
fonc lions connues. 

J'esperc maintcnant que je pourrai aborder le cas gtfndral rt quc d'ici au 
i er juin j'aurai, sinon ri^solu compl^tcment la question (cela, je nc respire pus) 
mais trouvu des r(3sullats asscz com pl(Hs pour pouvoirftlrc envoyes au concours. 
Je crois me rappeler qu'on no doit envojer au concours que des Memoires 
inedils^ et que le-nom de rauteur doit resLer secret, etanl enfcrmtS sous un pli 
cachet^ qu'on ne doil ouvrir qu'au dernier moment. 

Quant au mot incdit, il doit je pcnsc 6tre entendu clans un sons ahsolu, cVsl- 
a-clire que les rosultals n'auront pu <}tre anlerieurement <5nojic<5s et resumes 
dans une Note aux Comptes rendus de P Academic des Sciences. 



5 fiSvricr 1889* 

Merci de volre lettre; mallicureusement je ne puis pas vous dunner des ren- 
seigncments plus complets au sujet de la me'thode de M. Gyldcn; je ne puis 
d^uiontrer la divergence de ses d^veloppcments, mais je n'en puis non plus 
d^montrer la convergence. 

Pour dtablir ccite convergence, si toutetbis elle a lieu, il me fuudrait d'ahord 
avoir une id^e Lout a fait nette de la fagon'dont ces ddveloppements pea vent 
6tre obtenus. Or c'est ce que je ne puis faire sans avoir 6tudi a fond le 
M^moire de M, Gyld^n en commengant par la premiere ligne et fimssant par 
la derni^re. C'est la un travail que jo n'ai pas encore eu le temps de faire. 

Vous avouerai-je que je trouve le style de M. Gyld^n un peu rehutant et 
qu'il me donne bcaucoup de mal a lire. 



CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 69 

J'ai 1'habitude, quand je lis un Memoire, de le parcourir d'abord rapide- 
mont de fagon a me donnerune idee de 1'ensemblc el dc revenir cnsuitesnr les 
points qui me semblent obscurs. Je trouve plus commode de refairc les 
demonstrations que d'approfondir celles de 1'auteur. Mes demonstrations 
peuvent tre generalement beaucoup moins bonnes mais elles ont pour moi 
1'avantage d'etre miennes. Or c'est ce qu'il m'est impossible de faire avec 
M. Gylden, ses resultats ne sont jamais assez ulersichtlich pour cela. 

Tout cela soit dit pour vous expliquer comment je n'ai pas pris encore ime 
connaissance plus approfondle du Memoire en question. Toutefois j'cn ai vu 
assez pour voir qu'il obtient dans certnins ens une libration] or ce qui fait que 
les developpemcnts de M. Lindstedt sont cerlainement divergents c'est ceci. 
S'ils convergcaient il n'y aurait jamais de libration, et il j en a certainement. 

Les m6mes raisons n'existent done pas pour conclure a la divergence des 
series de M. Gylden. Mainlenant il reste bion cntendu que, jusqu'a nouvel 
ordre, je regarde la divergence comme plus probable. 

Une autre raison qui m'empAcho de Hen pouvoir affirmer, c'est que dans ces 
developpements, autant que je puis comprendre, les lermes ne se deduisent 
pas les uns des autres par une re-gle inflexible. A cliaque approximation il faut 
faire intervenir sa jugeotte (comme on dit vulgairement) pour decider dans 
quel sens on doit aiguiller (comme on dit dans les chemins de fer). 

Or c'est la un element qu'il est difficile d'introduire dans une demonstration 
de convergence ou de divergence. 



i er mars 1889. 

Venons a ce que vous me dites de M. Gylden. M. Gjlden dit avoir demontre 
1'existence des solutions asymptotiques et nous nous pretendons qu'il ne 1'a 
pas fait. D'ou vicnt cela ! De ce que les mots demonstration et convergence 
n'ont pas le m6me sens pour lui et pour nous. M. Gylden croit avoir demontre 
la convergence d'une serie lorsqu'il a fait voir que les premiers termcs vont en 
decroissant et qu'il est invraisemblable qu'un des 99 premiers termes par 
exemple ait une valeur plus grande. 

Cela peut 6tre tr&s suffisant pour les applications astronomiques mais ne 
saurait contenter le 

Venons au detail. 



rj CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 

Voici liquation e'ludie'e par M. Gylde'n : 

(i) ^ =2 A sin (a -+- bt H- c), 

A, a, & el tUant dcs constantes qui dans les nolations de M, Gylde'n ont um> 
expression nssez compliqu6e. II cxiste il est vrai d'aulres arguments ', ^ ; 
mais M. Gylde'n les regarde provisoiremcnl comme connus en fouctions du 
temps de sorle que nous pouvons les faire rcnlror dans le lenno bl. L'equalum 
est ainsi ramcne'e au deuxieme ordre. Tl y auraii uvidemmenl des objections a 
faire a celte facon de simplifier le probleme; mais il no conviimt pas d\ 
insister, puisqu'elles sont dc m^rne nature que celles que souleve Fiate'graiion 
de liquation simplifiee elle-m^me. Gonside'rons done seulement r^qualion (i) 
qui est de m6me forme que celles dont je me suis le plus occupo el <jui corres- 
pondent aux cas ou il n'y a que cleux degrees de liber 16. 

M. Gyld6n commence par faire un triage parmi les Uu'ines du scron<i 
membre. II met a parl ceux qui lui seni blent devoir jouer un role imporlauf t*l 
qu'il appelle caracl^ristiques. Voila un premier oxomple de cetle inltn'veution 
de I'appr^ciation personnelle, de la jugeoile donl je vous parlais la dcrnifav 
fois qui donne aux me'thodes de M. Gylde'n une grande souplesst 1 mais ae me 
permet pas d'aborder une demonstration cle la convergence. 

M. Gyld<5n pose ensuite [p. 2i3 ( d )] : 



et il determine Z , Z 1? elc. par une serie d'^quations analogues a (0 <u 
s'arrangeant de telle fagon que chacuno d'cllcs ne conlienno qu'un soul UTIIJI* 
caracte'ristique. 

Quant au menu fretin des lermes non caract<risliques il les n'tpartit entn* 
ces Equations d 7 une fagon arbiiraire; deuxi^me intervention de la jugeottc. 
Chacune des equations est ensuite inte'gr^e par le moyen des fonctions ellip- 
tiques ; mais est-elle int^gre"e de'finitivement ? Non, quand on aura integre' la 
premiere, puis la seconde, il faudra modifier la premiere et Pinte'grer de nou- 
veau et ainsi de suite. Voici en effet ce que dit ce sujet M. Gylde'n (p. 24^} : 

Bei dem Fortgange dieser Operationen muss man sich indcssen ermnern; 
dass bei derBildung der Functionen (X) Glieder entstehen kdnrxen, vondene0 

( l )'_Acta Math., t. 9. 



CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 71 

ein Theil mil vorhcrgehenden charact. Gliedern zu vereinigen sind und also 
die Werthe der vorhergehenden Moduln etwas verandern, ... 

Ces retours en arri^re doivent, ce me semble, prodigieusement agacer les 
calculateurs, etj'ai cherchg avec soin a les e>iter. On les rencontre non seule- 
ment dans la mtSthode de M. Gyldt^n mais dans celle de Delaunaj. Vous con- 
cevcz sans peine qu'ils rendent impossible toute demonstration de convergence. 

M. Gyldthi arrive ensuite a une s^rie (so), page ^44 donl il dit qu'elle 
converge parce que dil-il : 

1C TC 

<( Die Verbaltnisse j > ~ ? * ujueren Annahmen Rack, . . . eine gegebene 
Grosse nicht fibers tei gen . 

En r6alit6, cela veuL dire que In s^rie ne converge que si Ton suppose (unseren 
Annalimen nach) que ces rapports restent inferieurs une certaine limite, et 
que si cela n'avait pas lieu il faudrait avoir recours a une autre m^lhode, celle 
qui est exposed pages 267 a 268. Mais comment pourra-t-on savoir d'avance si 
celte condition est remplie; puisque le module A", calculi d'abord, va Gtre 
incessamment modified par les retours en arriSre dont je parlais tout a 1'heure 
et qu'il n'est pas certain qu'il ne va pas s'approcher ind6finiment de i. 

Mais ce n'est pas tout. La s^rie (20) n'est pas Pexpression complete de Z. 
On 1'obtient en laissant de cot<5 les termes provenant des termes non caract6- 
ristiques que M. Gylden considerc comme trop petits pour pouvoir alt^rer la 
convergence. Cela est-il l^gitime ? De ce que ces termes sont tr6s petits, il suit 
que leur influence ne sera pas sensible avant la 5o tt approximation par exemple, 
mais non qu'elle ne le sera jamais, ni mme qu'elle nc pourra pas devenir trs 
grand e. 

Bornons-nous done a une des Equations qui donnent Z , Z 4 , etc. c'est-a-dire 
a une Equation de la forme (i) ne contcnant qu'un seul terme caract^ristique. 

La m^thode de M, Gylden consiste a appeler 2V Fargument de ce terme 
caract^ristique et a 6crire ensuite liquation sous la forme * 



A est une constante, AX repr6sente 1'ensemble des termes non caracte^ristiques 
et A est un coefficient tr&s petit. (M. Gylden ne met pas ce coefficient en Evi- 
dence de cette fa9on, mais il entre dans ses termes.) Ensuite il d^veloppe V 



72 CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 

suivant les puissances croissantcs de A. Mais la encore il ne parvient pas a 
demontrer d'une facon satisfaisante la convergence de son precede. 11 est 
evident que les approximations successives introduiront de nouvoaux terines 
caracteristiques. II est probable quo s'il s'introduit de semblables lermos. 
M. Gylden en tient compte comme des premiers ot inlrbduil do nwnolles 
Equations de Lame, qui vont encore nous forcer a modifier noire module 
primitif el a retourner en arriere comme je 1'ai cxpliqutf plus haul. II mo parait 
impossible de fonder la-dessus aucune demonstration rigoureuso de la conver- 
gence. 

Les solutions asjmptotiques correspondent au cas ou Tun des modules 
devienL egal a i. M. Gylden annonco que ce cas ne pent pas se presenter pour 
plus d'un module; c'est la un point important sur lequel je crois necessaire 
d'insister. . . . Apr6s avoir examine a fond la demonstration que donne 
M. Gylden de son affirmation, j'ai reconnu qu'elle est suffisanlc bicu que cela 
n'apparaisse pas ainsi au premier abord. II me sernble toutcfois que si 
M. Gylddn avait dirige son calcul comme il le fait dans le paragraphs II au 
lieu de le diriger comme il le fait dans le paragraphe III, il aurait pu 
rencontrer plusieurs modules egaux a i ; mais cela demnnderait a t^tn* 
examine de plus pr6s. 

Voyons ce qu'il dit au sujet de la demonstration de la conve.rgenoe (cf. dans 
mon Memoire i re partie, chap. I, 2, ct chap. Ill, 13). M. (iyhh'tn dit 
page 261 : Die Glieder in Vi mil dem Factor e~^ odor mil gunzon [M>sitiven 
Potenzen dieser Grosse multiplicirt erscheinen und also mil wachscnde.ni 
sehr rasch abnehmen. . . also schliessen wir dass die Darstollung der Inunction 
Vi immer convergent ist, wenn auf positive AVerthe bcschriinkt ble.ibt. 

Ce qui revient a admettrele principe suivant : 

Toute st5rie proc6dant suivant les puissances croissantes d'une variable plus 
petite que i esl convergente a moms qu'on n'ait des raisons stfrieuses <!e douter 
de cette convergence. 

Remarquons que cette s^rie n'est qu'unc premiere approximation mais que 
les approximations suivantes introduiraient des series qui seraient de mme 
forme. 

Je crois pouvoir conclure ainsi : 

M. Gyld^n u'a pas demontre la convergence de ses series. Si sa demonstration 
est bonne pour les series dela page 261 qui convergent effectiveraent, pourquoi 



CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 78 

ne 1'est-elle pas pour les series des pages 287, 243, etc., qui sonttres probable- 
ment divergentes. 

Le raisonnement par lequel M. Gylden croit pouvoir e'tablir P existence des 
solutions asymptotiques n'est ni plus rigoureux que celui par lequel Delaunay 
1'e'tablissait -avant lui, ni plus ~ rigoureux que celui par lequel M. Lindsledt 
ddmontre qu'il n'y en a pas. 

Allons bon ! voila que je suis encore une fois oblige* de relirer ce que je 
viens de dire, ce diable dc M. Gylden est vraiment difficile a saisir et Ton y 
decouvre a chaquc instant du nouveau. Je vous disais tout a Fheure que les 
raisons d'apres lesquelles M. Gylden e'tablit qu'un seul module pouvait 6tre 
egal a i mo semblaient bonnes. Je ne le crois plus maintenant. Voici pourquoi. 
Pieportez-vous aux pages 260 a 261 de son Memoire. Nous y trouvons la for- 
mnle (3a) qui donne le lerme de Vj qui correspond au terme de X qui a pour 
coefficient PO- Envisag<;ons le terme qui a pour coefficient Pi et qui s'ecrit 

,V AI P 1 Si II CO COS ( 2 )v i lit 4- 2 AI ). 

Introduisons ce terme dans la formulc (3o) a la place de X nous aurons une 
formule analogue a (02) et dont le second terme s'(5crira (remarquez que ce 
terme ne se d<Hruira pas avec le premier : 



p 6tant un coefficient analogue a (3 4 . Si nous n<3gligeons les puissances supe'- 
rieures de e~~^ il vient 



d'ou 



Le diviseur d'int(3gration est aA 4 et je nc vois aucune raison pour qu'il soit 
plus grand que a 2 contrairenicnt & ce que dit M. Gyld6n page 263, ligne 13 
et U. 

M. Gylde'n objecterait que e~^ devient tres petit mais cela ne saurait suffire. 

Encore une remarque; M. Gylden ne suppose nulle part que les/fuantite's 
qu'il appelle X, XL, etc. soient commensurables entre olles; or cette condition 

' H. P. - XI. J 



74 CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 

est n^cessaire pour qu'il y ait une solution asymptotique. G'cst la preuve quo 
sa demonstration est insuffisante. 

En relisant ma lettre je m'apercois que j'ai Pair de vouloir d&nolir comple- 
ment le M^moire de M. Gykten; ce n'est ntillemenl mon intention ; JV trouve 
de tres belles choses; j'ai cherche" seulemenl a faire ressorlir combien les mols 
demonstration ct convergence ont mi sens different pour lui ot pour nous. 

Le probltime n'est abord6 qu'au point cle vue de 1'astrononne purement 
pratique qui est peut-<Hre le plus important, mais qui n'esl, pas le mien. Jo crois 
que mGme a cc point de vuc, mes mc'thodes seront plus simples el paraitront 
telles quand je les aurai d6velopp6es suffisamment; mais pcut-Oln^ est-ce inoi 
qui ne comprend pas encore bien celles de M. Gyld^n. 

Pardon, mon cher ami, de vous imposer la lecture d'une lettro aussi lonim 
et aussi d^cousue. Je voulais la jeter an feu ; car je vais vous en tfcrire une autn* 
plus pos^ment apr^s avoir approfondi le M^moire de M. Gylden. Jc vois ([tu k jt* 
ne le poss^de pas encore a fond puisque je trouve encore de lomps (*n temps 
des sujets d'^tonnement. 

J'ai cru neanmoins devoir vous envoyer celle-ci de telle sorltt que vous 
puissiez la lire ot correspondre encore avec moi avant le i3 mars. 



mars 



Dans ma derni^re lettre, j'ai cherchtf a vous montrer que les d< ; nioaslratK>ns 
de convergence de M. Gyldt^n sont insuffisantes ; il me resto a examiner si ses 
d^veloppements convergent effectivemont (bien qu'il ne Tail pas ddimmtre) en 
me bornant au cas ou il existe r^ellement des solutions asymptotiquos. 

Je consid&re done 1'^quation suivante : 

r/*V 

-r-f -+- n*~sk sin VcosV = 

ou 



h est une constante et je suppose pour ^viter quelques-unes des difficult^ que 
je vous signalais la derni&re fois que X d et m sont eniiers. 



CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 76 

Que fait M. Gyld6n ? II pose 

V = V + V], Vo = 2arctge--+- - (p. 267), 
= oc/z -t- c. 

a csl ma coefficient qu'on se reserve de modifier a chaqae approximation. Sa 
valeur exacte estcependant enticement determined slJiepeut pas ne pas Vetre 
puisque ex n n'est autre chose que ce que j'ai appeltf 1'exposant caracttSristique. 
Liquation devienl alors 



Y = sinVoosY-h sinVo^osVo V,(3 sin 2 Vo i). 

M. Gyld6n donne le de'veloppementde Ysuivantles puissances de V i5 page 286, 
ligne 7 (en complant les formules pour une ligne). En appelanl X le second 
membre de 1'equation pr6cedente, il vient 



qui ne differe pas de liquation (6) dc M. Gylde'n, page 236. 

Gela pose", voici comment on fera pour inte"grer (i) par approximations suc- 
ccssives. On ferad'abord dans X, Vi = 0, on aura une Equation lin<3aire en Vi, 
on 1'inte'grera, on substiluera dans X a la place de Vi la valeur appro ch6e ainsi 
obtenue, on aura une nouvolle Equation lin^aire qui donnera une valeur plus 
approch(5e de Vi qu'on substituera de nouveau dans X et ainsi de suite. 

A cliaque approximation on dispose de trois arbitraires a savoir : deux 
constantes d'inttSgration et a qu'on s'est r^serv6 de modifier a chaquc approxi- 
mation. 

L'inte'gration de liquation (i) quand on y regarde X comme connu nous 
donne conformdmenl a la formule (3 2) de la page 261 : 



Ci 



7$ CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 

Je n'^cris pas la formule lout a fait coin me M. Gylden afin cle mettre en Evi- 
dence les deux constants d' integration d et C 2 . 

Considerons d'abord les valeurs negatives de ; pourccs valours X peut 6iru 
developp6 suivant les puissances croissantes de e*, de V, t et suivant les sinus et 

cosinus des multiples do-- Si on remplace V\ par la valour trouvee dans 
1'approximation pre'cedente, X sera developpe suivant les puissances de e- et 



les sinus des multiples de -- 
1 a 

Nous voulons que rapprcrx filiation suivante cle V< donuee par la formule (3:>.) 
soit de mme forme. Elle ne doil done conlenir, ni termo en e~>, ni terme 
en \e^. 

Pour qu'elle ne contienne pas de tonne en e~"*, il faul que la constant!* Ci 

soit nulle. 

Pour qu'elle ne conlienne pas de terme en <?*, il fauL que X ne contienne 
pas de terme en e*. 

Supposons done que X ne contienne pos de terme en et choisissons 
GI = o. 

II nous resle deux arbitraires C 2 et a; nous pourrons en disposer (il cela 
cVune infinite de manwres de telle facon qu'a I 7 approximution suhante \ ne 
contienne encore pas de lerme en e*. 

Nous pouvons done d'une infinite de maniercs' trouver unc S(5ri(i satisfai.sant 
formellement a liquation (i) et developp^e suivant les puissances do (>* el les 

sinus des multiples de - Parmi ces series, en nombre infini, un*> scale peut 

6 ire convergente pour les valeurs negatives de \\ en eflet j'ai dit plus haul qw 
la valeur de a devait <5tre enti^rement d(5termin(5e. 

Gonsid6ron,s maintenant les valeurs positives de . 

Pour ces valeurs X peut ^tre d<5velopp6 suivant les puissances croissanles de 
e~^. Nous voulons que V 4 soit de m6me forme, et ne contienne ni terme fin e*, 
ni terme en e~t. 

Pour qu'il ne contienne pas de terme en e^ il faut que 



Pour qu'il ne contienne pas de terme en c^, il faut quo X ne coatieane pas 
de terme en e~^. 



CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 77 

Nous supposerons qu'il en soit ainsi et nous voulons qu'il en soit encore ainsi 
a Fapproximation suivante. Nous disposerons done de G 3 et de a pour annuler 
les termes en e~*> dans 1'approximation snivante de X. 

Nous pouvons le faire d'une infinite" de manieres, nous obtenons done encore 
une infinite de series, parmi lesquelles une seule peut converger. 

Admettons, ce qui est probablement exact (je dis probablement parce que je 
n'ai pas entierement v6rifit5 1'identite de ces series avec les miennes) qu'il y ait 
effeclivement une se"ric qui converge pour les valeurs positives de Detune autre 
pour les valeurs negatives. 

Ces deux series sont-elles la continuation analytique 1'une de 1'autre, corres- 
pundent-elles aux monies valeurs de GI, de C 2 et de a ? M. G)lde"n ne le dit 
pas expressemenl mais son texte le laisse entendre et je crois que c'tUait bien 
la sa pcns(5e. Je sais d'ailleurs qu'il en est effeclivenient ainsi, puisque j'ai 
de'rnonlre'e que les surfaces asymptotiques sont des surfaces ferme'es ; mais dans 
les demonstrations de M. Gylde'n, je nc vois ancune bonne raison de le croire. 

i Pour que Ci ait la me" me valeur pour ne"gatif ct pour positif, il faut 
que 

r*" x <& 

-p = 0. 



L 



Pourquoi en serait-il ainsi; si je prends un des termes de X, par exemple : 



\ a 



je reconnais aise'ment que I'inte'grale corrcspondante qui est tres facile a cal- 
culer, n'est pas nulle a moins que HI ne soit nul. 

Pourquoi les integrates provenant des diffe'rents termes se dt^truiraient-elles? 
Je n'en verrais aucune raison si je np savais d'avance que les surfaces asympto- 
tiques sont ferme'es ( 1 ). 

2 Je vcux maintenant que C 2 ct a aient m6me valeur pour positif ou 
ne"galif. 

II faut done que je dispose de ces deux constantes de fac/m qu'a Fapproxi- 
mation suivante, si 1'on d^veloppe X suivant les puissances de e^^ on n'ait pas 



( l ) Poincar6 a reconnu plus tard que le the*oreme sur lequel il s'appuie ici n'est pas exact. Nous 
avons cru pourtant devoir reproduirc cette lettre parce que c'est un point de moindre impor- 
tance pour la question dont il s'agit. 



yS CORRESPONDANCE AVEC MITTAG-LEFFLER. 

do terme en e^ et si Ton delveloppe X suivant les puissances de er ; , on n'ait pas 
de terme en e~*. II est clair que je puis le fairc, puisque j'ai deux arbitraires et 
deux conditions a remplir. Mais pourquoi parmi les series en nombre infini 
qu'on peut former, la seule serie convergent serait-elle precise"ment cellc qui 
correspond a ce choix parliculier de C et de a. 

II n'y a ici encore aucunc raison pour le croiro, a nioins qu'on ne saebe 
d'avance que les surfaces asymptotiques sonl ferrules. 

3 Ce n'esl d'ailleurs pas ce choix que fait M. Gylden an inoins si Ton rap- 
porte a sa formule (3) de la page 2r>6. 

II commence par disposer de a de facon a annuler le terme en t >; (ou f/" ; ) 
dans X (X) et probablemcnl se servirait ensuite de la conslante Cu pour 
annuler le terme correspondant dans (X). 

Ge choix doit conduire a un re"sultat divergent puisque nous venon,s do vuir 
que la manure d'obtenir une s(5rie convergente est unique. 

En r<$sum<5, si Ton suit a la lettre les indications de M. Oyldthi en se fiant a 
sa formule (3), page 23^ on arrive a une sdrie divergente. 

Si on laisse de cot6 cette formule a laquelle je suppose quo M. (JyltU'm no 
tient gu^re, on arrive a une infinite de series dont une soulc converge el Tun 
n'a aucun moyen de reconnaitre quelle est celle qui converge. 

11 me parait probable qu'on obtiendra cette stfrie convergent o (n choisissant 
les constantes de facon que la s^ric pour \ n6galif el celle pour \ positif se 
raccordent. Mais je ne vois dans le Memoire de M. <ijlden <uicum boriuo raison 
pour cela, je n'y suis conduit que par une applicalion des resullats de moa 
travail couronn^ (encore faudrait-il pour en ^tre absolument sur, uu examea 
plus approfondi). 

Un dernier mot; la dernitire fois j'ai parlel des raisonnernenls par lesquefs 
Delaunay^tablitl'existence des solutions asymptotiques. II faut bieu sVuitendre. 
Delaunay n'a 6nonc<$ nulle part un pareil re^sultat, j'ai voulu dire simplement 
que sa mahode appliqu^e au cas particulierlraiW par M* Gylddin 1'aurait conduit 
a des d^veloppements de m^me forme. 



SUR 

LES HYPOTHESES FONDAMENTALES 

DE LA GEOMETRIE 



Bulletin de La Societe tnathematique de France^ t. 15, p. 20^-^16 (seance clu i> novembre 1887). 



C'est surtout en Logiquc que rien no so tire do rien; dans toute dt k mons- 
tration, la conclusion suppose dcs premisses. Les sciences malhe'matiqiies 
doivent done reposer sur un certain nombre de propositions inde'montrables. 
On peut discuter si Ton doit donner ces propositions le nom ftaxiomes, 
< hypotheses ou &Q postulat, si 1'on doit les considerer comme des faits expe'ri- 
menlaux, on comme des jugements analytiques, ou encore comme des juge- 
ments synthdliques a priori] mais leur exislence m6me n'estpas douteuse. 

Nous sommes done conduit a nous poser le probleme suivant, inte"ressant 
an point de vue logique : quclles sont les px^misses de la Ge'om^trie, les propo- 
sitions ind^montrables sur lesquelles repose cette science, en excluant, bien 
entendu, les propositions qui sont d6ja ne'cessaires pour fonder 1'Analyse? car 
nous regardons les r6sullats de 1'Algebre et de FAnalyse pure comme d6ja 
connus an moment ou 1'on aborde l\Hude de la G(5ome'trie. Bien que ce pro- 
blrjmo ait depuis longtemps preoccup6 les ge'ometres, la question ne saurait 
6tre regard^c comme 6puis6e. 

On a 6tabli que le postulatum d'Euclide est ind^montrable. Mais ce postulat 
ne peut 6tre la proposition unique sur laquelle repose toute la Ge'ome'trie; car 
bien des re"sultats peuvent ^tre d^montr^s sans IUK 

On ne saurait se contenter non plus des propositions e'nonce'es, sous le nom 
tfaxiomes, au d^but des Trait^s de Ge'ome'trie. Si on les soumet & un examen 
s^rieux, on reconnaitra qu'aucun de ces axiomes ne doit prendre rang parmi 



go SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 

les premisses de la Geometric. Les uns sont des propositions deja necessaires 
pour fonder 1' Analyse, et, si cc sontdes hypotheses (ce que Ton pent contesler), 
ce ne sont certainement pas des hypotheses propres a la Geomeirie; lei est, 
par exemple, 1'axiome suivant : Deux quantltcs cgales a une meme (m's/i'/tir 
sont egales entre elles. D'autros axiomes ne sont quo des definitions; d'aulre* 
enfm ne peuvent etre regarde's comme indemontrables, tel esl, par exeutplr, le 
suivant : La llgne droite est le plus court chemin tVun point a un (tut re. 

Mais, en dehors des axiomes explicilement enonees, il y a un j^raud nomluv 
d'hypotheses que Ton fait implicitemenl an debut de la demonstration des 
differents theoremes. 

Mais ces hypotheses echappent generalement an lecteur, a inoins qu'il m 
soit particulierement atlentif; car, bien qu'elles ne soient pas e\idenU's, an 
point de vue de la pure logique, elles nous semblent telles par suite d'hahitudes 
invetdrees de nos sens et de notre esprit. 

D'ailleurs ces hypotheses explicites ou implicites ne sont pas tonics indt ; jM i n~ 
dantes les unes des autres; on pourrait se contenter d'en inlro<Iuir< k un moms 
grand nombre et les autres s'en deduiraient corame des consequences. 

Nous sommes done amends a poser le probleme en ces tonnes : enonoer 
toutes les hypotheses n^cessaires el n'enoncer quo celles-la, J<' crois {JIK* ce 
probleme n'est pas encore resolu el je cherchc a contribuer a sa solufton. 

Nous n'envisageons d'abord que la geometrie a deux dimensions, ou 
geometric plane. 

Geometries quadr^tiqties. 

Nous connaissons deja trois geometries a deux dimensions : 

i La geometric euclidienne, ou la somme des angles d'un triangle est t%ale, 
a deux droits ; 

2 La geometric de Riemann, ou cette somme est plus grande que deux 
droits ; 

3 La geometric de Lobatchevski, ou elle est plus petite que deux droits. 

Ces trois geometries reposent sur les mmes hypotheses fondamentales, si 
Ton excepte le postulatum d'Euclide que la premiere admet et que les deux 
autres rejettent. De plus, le principe, d'apres lequel deux points determiBent 
complement une droite, comporte une exception dans la geometric de 
Riemann et n'en comporte aucune dans les deux autres. 



SUE LES HYPOTHESES DE LA GEOM^TRIE. . 8 1 

Quand on se borne a deux dimensions, la geometric de Riemann est suscep- 
tible d'une interpretation trs simple; elle ne diflfere pas, comme on le sail, de 
la geometric sphrique, pourvu qu'on convienne de donner le noni de droites 
aux grands cercles de la sphere. 

Je vais commencer par generaliser cette interpretation de facon a pouvoir 
1'etendre a la geometric de Lobatchevski. 

Considerons une surface da second ordre quelconque. Nous conviendrons de 
donner le nom de droites aux sections planes diametrales de cette surface et le 
nom de cir conferences aux sections planes non diametrales. 

II reste a definir ce que 1'on doit entendre par Tangle de deux droites qui 
se coupent ou par la longueur d'un segment de droite. 

Par un point pris sur la surface faisons passer deux sections planes diam6- 
trales (que nous sommes convenus d'appeler droites}. Envisageons alors les 
tangentes a ces deux sections planes et les deux generatrices rectilignes de la 
surface qui passent par le point envisage. Cos quatre droites (au sens ordinaire 
du mot) ont un certain rapport anharmonique. L'angle que nous cherchons a 
defmir sera alors le logaritlime de ce rapport anharmonique si les deux g^n6- 
ratrices sont reelles, c'est-a-dire si la surface est un hyperboloide a une nappe; 
dans le cas contraire, notre angle sera ce m6me logarithme divise par \j i. 

Considerons un arc de conique faisant partie d'une section plane diarnetrale 
(c'est ce que nous sommes convenus d'appeler un segment de droite]. Les 
deux extremites de 1'arc et les deux points a 1'iniini de la conique ont un 
certain rapport anharmonique comme tout syst^me de quatre points situes sur 
une conique. Nous conviendrons alors d'appeler longueur du segment consi- 
dere le logarithme de ce rapport si la conique est une hyperbole et ce m^me 
logarithme divise par \/ - i si la conique est une ellipse. 

II y aura, entre les angles et les longueurs ainsi definis, un certain nombre 
de relations, qui constitueront un ensemble de thor&mes analogues a ceux de 
la geometric plane. 

Get ensemble de theor&mes peut prendre le nom de geom&trie quadratique, 
puisque notre point de depart a t6 la consideration d'une quadrique ou surface 
du second ordre fondamentale. 

II y a plusieurs geometries quadratiques, car il y a plusieurs esp^ces de 
surfaces du second ordre. 

Si la surface fondamentale est un ellipso'ide, la geometric quadra tique ne 
diff&re pas de la geometrie de Riemann. 

H. P. XI. n 



$2 SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 

Si la surface fondamentale est un hyperboloide a deux nappes, la g6omtrie 
quadratique ne diflfere pas de celle de Lobatchevski. 

Si cette surface est un paraboloi'de elliptique, la g6om6trie quadralique sc 
r<3duit a celle d'Euclide; c'est un cas limite des deux cas precedents. 

II est clair que nous n'avons pas puis6 la liste des ge'omtHries quadratiques; 
car nous n'avons considtk^, ni 1'hyperboloide a une nappe, ni ses nombreuscs 



Nous pouvons done dire qu'il y a trois g^ome' tries quadra tiques principals , 
qui correspondent aux trois esp^ces de surfaces du second ordre a centre. 

Nous devrons y ajouter d'ailleurs les gom<3tries qui correspondent aux cas 
limitcs et parmi lesquelles prendra rang la ggom&rie d'Euclide. 

Comment se fait-il done que la gdom6trie de 1'hyperboloide a une nappe ait 
jusqu'ici 6chapp6 aux th<3oriciens ? G'est qu'elle entraine les propositions 
suivantes : 

i La distance de deux points situ6s sur une mme g6n6ratrice rcctilignc de 
la surface fondamentale est nulle. 

2 11 y a deux sortes de droites corrcspondani, les premieres aux sections 
diam^trales elliptiques, les autres aux sections diamgtrales hypcrboliques ; il 
est impossible, par aucun mouvement reSel, de fairc coincider une droite de la 
premiere sorte avec une droite de la seconde. 

3 11 est impossible de faire coincider une droite avec elle~mme par une 
rotation re'elle autour d'un de ses points, ainsi que cela a lieu dans la gom<Strie 
d'Euclide quand on fait Lourner une droite de 180 autour d'un de ses points. 

Tous les ggom&tres ont implicitement suppose que cos trois propositions 
sont fausses, et vraiment ces trois propositions sont trop contraires aux habi- 
tudes de notre esprit pour qu'en les niant les fondateurs de la g^om^trie aient 
cru faire une hypoth&se et aient song6 a 1'^non.cer. 



Applications de la th,eorie d,es groupss . 

D'apr^s ce qui pr6c&de, le probUme que j^ai pos au d6but de ce travail se 
decompose en deux parties : 

i Quelles sont les hypotheses communes a toutes les g^om^tries quadra- 
tiques ? 



SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 83 

2 Quelles sont les hypotheses qui distinguent la g<5omtrie d'Euclide des 
aulres g6omt5tries quadratiques ? 

La seconde partie du probl^me peut 6tre regardee commc rcSsolue; nous 
n'avons done nous occuper que de la premiere parlie. 

II y a deux hypotheses que Ton est oblig6 dc faire au d<but de toute 
g<3om6trie a deux dimensions el que Ton peut 6noncer ainsi : 

A. Le plan a deux dimensions. 

B. La position d'unc figure plane dans son plan est determine par trois 
conditions. 

Les personnes peu families avec les iravaux r^cenls des geom^tres trou- 
veront extraordinaire qu'on puisse tirer de pareilles premisses des conclusions 
precises. 

Mais ce r^sultat n'etonnera pas les mathematiciens qui onL lu les remar- 
quables travaux de M. Soplius Lie sur la theorie des groupes. M. Lie d6montre 
en effet un r^sultat, trs surprenant au premier abord, et qui peut se traduire 
ainsi dans le langage g<3omtrique : 

Si la position d'une figure plane dans son plan depend d'un nombre fmi de 
conditions, le nombre de ces conditions ne peut surpasser huit. 

Nous ferons d'ailleurs dans la suite de frequents emprunts au M6moire du 
savant norv^gien. 

Nous allons chercher quelles consequences il est permis de tirer des deux 
hypotheses A et B. 

Le plan ayant deux dimensions, la position d'un point dans son plan est 
d6termint5e par deux coordonn^es x et y. Nous ne faisons, pour le moment, 
aucune hypoth&se sur le choix du syst&me des coordonnte ; mais nous nous 
rservons de le determiner plus completement dans la suite. 

Supposons qu'une figure plane se d^place; soient a?, y les coordonn6es 
primitives d'un point de cette figure; et # 4 , y^ les coordonn^es de ce m6me 
point apr^s le d^placement. On aura 



ou 9 et ip sont deux fonctions de x et de y, et de trois param^tres a, (3, y, 
il y aura trois param^tres, puisque la position de la figure depend de trois 
conditions. 



84 SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 

L'operation 

[07,7; ?O, y, a, p, 7), <KJ7,/, a, [j, 7)] 

definira Tun des mouvemenLs possibles d'une figure plane et Fensemhle de cos 
operations ou mouvements devra former un groupe. Ce groupe, d'apr&s le 
langage de M. Lie, sera continu et d'ordre 3, puisque les operations dependent 
de trois para metres. 

Parmi les operations du groupe, on devra irouver I'opcSration identique. Par 
consequent, pour certaines valeurs des param^tres a, (3, y, on devra avoir 



JNous pouvons toujours supposer que cela ait lieu pour 



Nous appellerons alors operation infinitesimale (ou mouvcment iufinite.siinal} 
une operation par laquelle a, (3, y ont des valeurs infiniment pelites et qm* 
nous pourrons ecrire 



Dans cette expression on suppose, bien entendu, que, dans les d< ; rivtVs 

d dy r . 

-f- 5 -rj ? 5 on a lait 
da d$ 

a = [j = 7 = o. 

M. Lie represente une pareille operation pur la notation suivanto : 



-r- 
da. l d$ 

de telle fa^on que, si 1'on pose 



on ait, pour une operation infinitesimale quelconque, 

S = aA -h pB-hf C. 

A, B, C et S sont done des fonctions de x^ dey, de/? et de q, 

Les operations A, B, C peuverit s'appeler les substitutions fondamentale$ 
et toute operation infinitesimale n'en est qu'une combinaison lin^aire; le choix 



SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 85 

des substitutions fondamentales reste d'ailleurs arbitraire dans une certaine 
mesure; car on peut remplacer ces trois operations A, B, G par trois quel- 
conques de leurs combinaisons lin^aires. 
M. Lie a fait voir que, si Ton pose 

[A Bl= - -- + ~-^ 

^ ' J ~" dp dx dx dp dq dy dy dq 

et si a et (3 sont deux quantit^s infiniment petites quelconques, I'op6ration 



(i) 



qui fait forc&nent partie du groupe, est une substitution infinit^simale du 
second ordre, qui peut s'ecrire 

<i[A, B]. 

11 r^sulte de la que [A, B], [A, G] et [B, C] sonl des combinaisons lin^aires 
de A, B et C, et qu'on a 

[A, B] = X A + jj.B-4-v C, 
[A, C] = VA~h|a'B~hv'C, 
[B, C] = X"AH- l u"BH-v"C. 

Les coefficients X, /JL, v sont des constantes; mais ils ne sont pas quelconques; 
car on doit avoir identiquement 

(2) [A, [B, G]] H- [B, [G, A]] -H [C, [A, Bj] = o. 

Ce qui pr^c^de contient le point de depart de toute la discussion, mais cette 
discussion peut 6tre consid^rablement simplifi6e : 

i Par un choix convenable du syst^me des coordonn^es x ety; 

2 Par un choix convenable des trois substitutions fondamentales A, B et C. 

On peut d'abord choisir les substitutions fondamentales de telle fagon que 



ou que 

[A,B] = jiB. 

On peut ensuite choisir le systkme de coordonnt^es, de telle sorte que A se 
r^duise &/>, et par consequent que 1'on ait 



86 SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 

Nous en d^duirons pour B la forme suivaiite : 



Nous avons fait tout a 1'heure une hypoth&se sur le choix du syst&me des 
coordonn^es; mais cette hypothSse ne determine pas compl&tement ce sysieme. 

Nous pouvons encore, sans que A cesse de se r^duire a /?, remplacer y par 
une fonction arbitraire de y et aj outer a x une fonction arbitrairc de y. 

Nous pouvons faire ce nouveau changement de coordonnes de fagon a 
simplifier 1'expression de B. Si 2 n'est pas mil, nous pouvons le faire de facon 
que 6 2 =i, 1 = o. Si 2 est nul, il restera nul apres le changement de roor- 
donn^es, mais on pourra r^duire Oi soit a y, soit a i. Nous sommes done 
amends a 1'une des trois hypotheses suivantes : 

0!=o, 6 2 = i ; 1= =i : 2 =o; Oi=j-, Oj = o. 
Nous pouvons distinguer deux cas : 

1 Ou bien p. est nul, ce qui signifie que les deux subsLilutioiis A el H sont 
permutables. (Remarquons en passant quo I'hypoili^se qu'il exisli^ d<*ux 
mouvements permutables peut ^Ire rcgardde com me un des enonctls du poxtn- 
latum d'Euclide.) 
On a alors, soit 

A=/?, B = <7; 
soit 

A =/, B = r/>. 

2 Ou bien p. n'est pas nul. On a alors, soit 

A=/>, B = ^^ ? 
soit 

A=/>, B=/;^--, 
soit 

A =p, B =/?)Y"J-* 1 . 
Examinons successivement ces cinq ens : 

Premier cas : 

A = />, B = y. 

Les Equations (i) se rMuisent alors 







SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 87 

Si v' et / ne sont pas nuls a la fois, les Equations ne seront compatibles que si 
Ton a 

X ' __ p. ' _ / 
X' ~~ j?~ 7* 

II est permis alors de supposer que 

X' = |ji' = X" = IL" = Oj 

d'ou 



a et 6 tant deux constantes. 
Le groupe 

A = jo, B = #, G = e v '^+ v "r(op -+- 6^) 

d^finit une g^om^trie enticement nouvelle. Pourquoi Euclide ne l'a-t-il pas- 
rencontr^e? ou plutot quelle est 1'Iiypoth^se qu'il a faite implicitemenl el qui 
1'a empche de rencontrer cette g^om6Lrie? 

Une substitution infinit^simale quelconque a pour expression 



Quels sont les points que cette substitution laisse immobiles? Ces points 
sont donnas par les Equations 



d'ou cette conclusion : si Ton n'a pas - = TJ aucun point ne reste immobile. 

Si 1'on a ~ = -T? une infinite de points demeurent immobiles. 
a b r 

Or il est bien ais6 de se rendre compte qu'Euclide fait a chaque instant, 
sans l^noncer, 1'hypoth^se suivanle : 

Si une figure plane ne qui tie pas son plan et si deux de ses points restent 
immobiles^ elle reste tout entiere immobile. 

C'est cette hypoth^se qui nous forcera a rejeter la g^om^tric particuli^re qui 
est fondle sur la consideration du groupe dont je viens de parler. 
Si v'= v"= o, on trouve 



G = p(\'x + X"j) - 
et le groupe d6riv6 de A, B et C nous conduit a la g^om^trie d'Euclide. 



SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 

Deuxieme cas : 

As=^, B-/./?. 

On trouve alors, dans le cas le plus gdn^ral, 



a et b tant des constantes et/(y) une fonction arbitraire de y qu'on pent 
d'ailleurs supposer nulle si Ton choisit convenablement le syst^me des coor- 
donnt^es. 

Une substitution infinit^simale quelconque s'^crit 

( a -h pjK 4- ay # )p -+- ( y 6 ) ^. 

Ce groupe doit encore &tre rejetd en vertu de Fliypoth^se failo plus haut. 

En effet, siy^n'estpas nul, aucun point ne resle immobile; siau conlruire 76 
est nul, tous les points qui satisfont a 1'equation 

a -i- fiy -+- a 7 x = o 
restent immobiles. 

Troisieme cas : 

A =/?, B pye\ Lt '. 
On trouve 



Les substitutions A et C sont permutables; on est done ramem'? a 1'ua 
deux cas pr6c6dents. 

Quatrieme cas : 



On trouve encore une substitution C permutablc a A et Pen est ramenC* par 
consequent aux deux premiers cas. 

Cinquieme cas : 

A=/>, B = qepv, 



On trouve ici pour C quatre formes difT^rentes : 



i G = e^' x [ap H- jj.(oy H- b}q\ ( a , 6 7 et c (Slant des constantes), 
20 C** 
30 C = 



SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOM^TRIE. 89 

La premiere forme doit 6tre rejet^e parce que B et G sont permutables ; la 
deuxime parce que A et C sont permutables, la troisi&me parce que B et C 
sont permutables. Si Ton adoptait 1'une de ces trois formes, on serait done 
toujours ramen6 a Fun des deux premiers cas. 

II reste la quatrieme forme, qui nous conduit aux gom6tries quadratiques. 

Le m6me r6sultat pourrait 6tre obtenu en -discutant les trois relations qui 
lient les neuf coefficients A, p., v et qu'on peut d^duire de Fidentit (2). 

Conclusions. 

Nous pouvons done ^noncer ainsi les hypotheses qui sont n^cessaires et 
suffisantes pour servir de premisses a la G6om6trie plane. 

A. Le plan a deux dimensions. 

B. La position d'une figure plane dans son plan est d6termin6e par trois 
conditions. 

Ces deux premieres hypotheses nous laissent le choix entre les diverses 
geometries quadratiques et les deux g^omtHries caractt5ristjes par les deux 
groupes suivants : 



Ces deux geometries sont exclues si Ton fail encore Thypoth^se suivante : 

C. Quand une figure plane ne quitte pas son plan et que deux de ses points 
restent immobiles, la figure tout entire reste immobile. 

Nous n'avons plus alors que le choix entre les diverses g6om6tries 
quadratiques. 

Faisons encore les deux hypotheses suivantes : 

D. La distance de deux points ne peut <Hre nulle que si ces deux points 
coincident; 

E. Lorsque deux droites se coupent, on peut faire tourner Fune d'elles 
autour du point d'interscction de facon a. la faire co'incider avec Fautre. 

Ces deux hypotheses sont H6es n6cessairernent Fune a Fautre; il suffit 
d'admettre Fune d'elles pour 6tre oblig^ d'admettre Fautre et d'exclure la 
gom6trie de Fhyperboloi'de A une nappe. 

H. P. XI. 12 



go SUR LES HYPOTHESES DE LA GEOMETRIE. 

Introduisons encore 1'hypoth^se suivanle : 

F. Deux droites ne peuvent se couper qu'en un point, et la Geometrie sphe- 
rique se trouvera exclue a son tour. 

II ne reste plus qu'a introduire \ postulatum d'Euclide : 

G. La somme des angles d'un triangle est une constant?. 

Nous pouvons remarquer que ce postulalum nous dispense des hypotheses 
D, E et F qui en sont des consequences necessaires. 

Remarques diverses. 

Le lecteur qui aura bien voulu me suivre jusqu'ici ne manqucru pas dh* s< 
reporter au cel^bre Memoire de Riemann (Ueber die Hypothesen walclw der 
Geometrie zu Grundeliegeii) et de remarquer certaines differences enttv I*s 
methodes et les resultats. Riemann caract6rise une geometrie par Fexpression 
de 1'element d'arc en fonction des coordonnees. II est ainsi conduit a un trt\s 
grand nombre de geometries logiquement possibles et donl je n'ai pa.s mOim* 
parle. Cela tient a ce que j'ai pris pour point de depart la possibility du mou- 
vement ou plutot Fexistence d'un groupe de mouvements qui n'ali(jniiit pas 
les distances. 

On peut se demander maintenant ce que sont ces hypotheses. Sout-ce di*s 
faits exp6rimentaux, des jugements analytiques ou synthetiques d priori*! 
Nous devons r^pondre n6gativement a ces trois questions. Si ces hypotheses 
^taient des faits exp(5rimentaux, la G^om^trie serait soumiso -\ une imuts- 
sante revision, ce ne serait pas une science cxacte; si elles tMaient des jugi^- 
ments synthetiques a priori, ou a plus forte raison cles jugements analytiques, 
il serait impossible de s'y soustraire et de rieii fonder sur lour negation. 

On peut montrer que F Analyse repose sur un certain nomhtv de jugements 
synthetiques a priori; mais il n'en est pas de m6me de la Geometric. 

Que devons-nous done penser des premisses de la Gt^om^tric? En quel sins 
peut-on, par exemple, dire que le postulatum d'Euclide soit vrai ? 

D ? apr&s ce que nous venons de voir, la Geometrie n'est autre chose que 
Fetude d'un groupe et, en ce sens, on pourrait dire que la veritd de la g<k>m<~ 
trie d'Euclide n'est pas incompatible avec celle de la geometric do Lobatchevski, 
puisque Fexistence d'un groupe n'est pas incompatible avec celle d'un autre 
groupe. 



SUE LES HYPOTHESES DE LA GE'OMETRIE. 91 

Nous avons choisi, parmi tous les groupes possibles, un groupe particulier 
pour y rapporter les phe'nomenes physiques, comme nous choisissons trois axes 
de coordonne'es pour y rapporter une figure ge'ome'trique. 

Maintenant, qu'est~ce qui a determine' ce choix : c'est d'abord la simplicity 
du groupe choisi; mais il y a une autre raison : il existe dans la nature des 
corps remarquables qu'on appelle les solides et F experience nous apprend que 
les divers mouvements possibles de ces corps sont lie's a fort peu pres par les 
monies relations que les diverses operations du groupe choisi. 

Ainsi les hypotheses fondamentales de la Ge'ome'trie no sont pas des faits 
expe>imentaux; c'est cependant 1'observation de certains phe'nomenes physi- 
ques qui les fait choisir parmi toutes les hypotheses possibles. 

D'autre part, le groupe choisi est seulement plus commode que les autres et 
1'on ne peut pas plus dire que la ge'ome'trie euclidienne est vraie et la ge'ome- 
trie de Lobatchevski fausse, qu'on ne pourrait dire que les coordonne'es carte- 
siennes sont vraies et les coordonne'es polaires fausses. 

Je n'insiste pas d'avantage; car le but de ce travail n'esL pas le de>eloppe- 
meiil de ces ye* rite's qui cornmencent a devenir banales. 



LES FONDEMENTS DE Li GEOMETRIE (') 



Bulletin des Sciences mathematiques, ^ serie, t. 26, p. a4{)- a 7 2 (septembre 190"). 



Quels sont les principes fondamentaux de la G6om6trie; quelle en est Tori- 
gine, la nature et la port6e? Co soul la des questions qui onl do tout, temps 
pre'occupe les mathematicians et les penseurs, mais qui, il > a uu sierle 
environ, ont pris pour ainsi dire une figure toule nouvelle, grace aux id<;cs do 
Lobatchevski et de Boljai. 

On s'est longtemps efforc6 de de"montrer la proposition connue sous le nom 
de postulatum cKEuclide, on a constamment 6choue; nous eonnaissons main- 
tenant la raison de ces e'checs. Lobatchevski est parvenu a conslruiiv uin';<Iili<*<* 
logique, aussi coherent que la Geometric d'Euclide, mais ou le celel>re postu- 
latum est suppos6 faux, et ou la somme des angles d'uu triangle (?st tou jours 
plus petite que deux droits. Riemann a imagine un autre systC'iiu* loyicjue, t'gaht- 
ment exempt de contradiction, et ou cette somme est au contraire toujours 
plus grande que deux droits. Ces deux g^omtftries, celle de Lobatchevski et 
celle de Riemann, sont ce qu'on appelle les geometries noji euclidiennes. 

Le postulatum d'Euclide ne peut done ^tre ddmontre, et (tolle impossilnlite 
est aussi absolument certaine que n'importe quelle v^rite malh^matiquc, C*t 
qui n'empe"che pas TAcad^mie des Sciences de recevoir chaquc anuee plusitnirs 
demonstrations nouvelles auxquelles elle refuse naturellement Fhospitaliu* ties 
Comptes rendus. 

On a deja beaucoup 6crit sur les gtSome'tries non euclidiennes; apr&s avoir 
cri6 au scandale, on s'est habitu6 & ce qu'elles ont de paradoxal; plusieurs 
personnes sont all6c"s jusqu'. douter du postulatum, & se demander si Tespace 

( : ) Analyse et discussion de POuvrage tie Hilbert : Les fondements de la Gtomtirfr 
(Grundlagen der Geomelrie}. 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 9$ 

reel es-t plan, comme le supposait Euclide, ou s'il ne presente pas ime legere 
courbure. Elles croyaient mme que 1'experience pouvait leur donner une 
reponse a cette question. Inutile d'ajouter que c'elail la miiconnailre comple- 
tement la nature de la Ge'ome'trie, qui n'est pas une science experimental. 

iMais pourquoi, parmi tous les axiomes do la Geometric, le postulalum 
serait-il le seul qu'on put nier sans dommage pour la Loglque?D'ou tiendrait-il 
ce privilege? On ne le voil pas tres bien el, a ce compte, bien d'autres concep- 
tions sonl possibles. 

Gependant beaucoup de geometres contemporains ne semblent pas penser 
ainsi. En accordant le droit de cite aux deux geometries nouvelles, ils croienl 
sans doute avoir ete jusqu'au bout des concessions possibles. C'est pourquoi 
ils ont imagine' ce qu'ils appellent la Gcometrie generate, qui comprend 
comme cas parliculiers les trois systemes d'Euclide, de Lobatchevslu et de 
Riemann, et qui n'en comprend pas d'autres. Et cetle dpithete de gencrale 
signifie 6videmment 5 dans leur esprit, qu'aucune aulre g^ome'trie n'est concc- 
vable. 

Ils perdront cetLe illusion s'ils lisent TOuvrage de M. HilberL. Ils j verront 
e'clater de toutes parts les cadres dans lesquels ils avaient voulu nous enfermer. 

Pour bien comprendre cette tentative nouvelle, il faut se rappeler quclle a 
6t6 depuis cent ans Involution de la pens^e matke'matique, non seulement en 
Gcometrie, mais en Arithm6tique el en Analyse. La notion de nombre s'est 
e'claircie etpr6cis6e; en m6me temps elle a recu des generalisations diverses. 
La plus pre'cieuse pour les analystes est celle qui rtfsulte de 1'introduction des 
iinaginaires dont les math^maticiens modernes ne pourraienl plus se passer; 
mais on ne s'est pas arre'le' la et Ton a fait entrer dans la Science d'autres ge'ne'- 
ralisations du nombre, ou, comme on dit, d'autres categories de nombres 
complexes. 

Les operations de PArithme'tique ont 6t^ de leur cote" soumises a la critique, 
et les quaternions de Hamilton nous ont montre" un exernple d'une operation 
qui prdsente une analogie presque parfaite avec la multiplication, que Ton pent 
appeler du m&me nom, et qui pourtant n'est pas commutative, c'est-a-dire 
dont le produit change quand on intervertit Tordre des facteurs. C'e~tait 14, en 
Arithme'tique une revolution toute pareille a cellc qu'avait faite Lobatchevski 
en Geometric. 

Notre fagon de concevoir Tinfini s'est 6galoment modifiee. M. G. Cantor 
nous a appris & distinguer des degrs dans Finfini Iui-m6me (qui n'ont 



g^ LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

d'ailleurs rien de commun avec les infiniment petits dcs different ordres creY'S 
par Leibniz en vue du calcul infinitesimal ordinaire). La notion du continu, 
longtemps regarde~e comme primitive, a 6t analysed ct r6duitc a ses 6l<5menls. 

Mentionnerai-je ^galement les travaux des Italians qui se sont offerees cle 
cre"er un symbolisme logique universel et de require le raisonnemcnl malliO- 
matique a des regies puremcnl me'caniques ? 

II faut se rappeler tout cela si Ton veul comprendrc comment des concep- 
tions, qui auraient fait bondir Lobatchcvski lui-me'mc, tout re"volutiounuire 
qti'il fut, nous serablent aujourd'hui presque naturellcs et ont pu etre propo- 
se'es par M. Hilbert avec une parfaile tranquillity. 

La liste des axiomes. La premiere chose a faire e"tait d'^numerer lows les 
axiomes de la Ge"om<Hrie. Ge n'e'tait pas si facile qu'on pourrait le croiro; il y a 
les axiomes que Ton voit et ccux qu'on ne voit pas, ceux qu'on intnxluit 
inconsciemment et sans s'en aperccvoir. Euclide Iui-m6me, que Ton croit uu 
logicien impeccable, en applique souvent qu'il n'<5nonce pas. 

La liste de M. Hilbert est-elle definitive? II est permis de le croiro, car elle 
semble avoir ^te' dress^e avec soin. Le savant Profpsseur re"partit les axiouus 
en cinq groupes : 

I. Axiome der Verkniipfung (je trnduirai par axiomes project! fs au lieu <le 
chercher une traduction litte^rale, comme par exemple axiomes de la connexion^ 
qui ne saurait tHre satisfaisante). 

II. Axiome der Anordnung (axiomes de Fordre). 

III. Axiome d'Euclide. 

IV. Axiomes de la congruence ou axiomes m<Hriques. 

V. Axiome d'Archimede. 

Parmi les axiomes projectifs, nous distinguerons ceux du plan et ccux de 
Pespace; les premiers sont ceux qui de"rivent de la proposition bien conxma : 
par deux points passe une droite et une seule; mais je pr^fere traduire litt^- 
ralement afin de bien faire comprendre la pens^e de M. Hilbert* 

Imaginons trois systemes d'objets que nous appellerons points^ droites et 
plans. Imaginons que ces points, droites et plans soient lie's par ceriaines rela- 
tions que nous exprimerons par les mots &re situ& sur, entre, etc. 

I. 1. Deux points diffe'rents A et B d^terminent toujours une droite a; 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. g5 

ce que nous ecrirons 

AB = a ou BA = a. 

Au lieu du mot deter minent nous emploierons egalement d'autres tour- 
nures de phrase qui seronl sjnonymes; nous dirons : A est situe sur a, A est 
un point de a, a passe par A, a joint A a B, etc. 

I. 2. Deux points quclconques d'une droile determinent cette droite, 
c'est-a-dire que si AB = a et que AC = a, et si B est different de C, on a aussi 
BC = a. 

Voici les reflexions que doivent nous inspirer ces enonces : les expressions, 
etre situe sur, passer par, etc., ne sont pas destinies a evoquer des 
images; elles sont simplement des synonymes du mot determiner, Les mols 
point, droite et plan eux-mmes ne doivent provoquer dans 1'esprit aucune 
representation sensible. Us pourraient indifferemment designer des objets 
d'une nature quelconque, pourvu qu'on put etablir entre ces objets une corres- 
pondance telle qu'a tout syst&me de deux des objets appeles points corres- 
pondit un des objets appeles droites, et un seul. Et c'est pourquoi il devient 
necessaire d'ajouter (I, 2) que, si la droite qui correspond au syst&ne des 
deux points A et B est la meme que celle qui correspond au systeme des deux 
points B et C, c'est aussi la mme qui correspond au syst&me des deux points 
A etC. 

Ainsi M. Hilbert a, pour ainsi dire, cherche a mettre les axiomes sous une 
forme telle qu'ils puissent tre appliques par quelqu'un qui n'en comprendrait 
pas le sens parce qu'il n'aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan. Les 
raisonnements doivent pouvoir, d'aprfes lui, se ramener a des regies purement 
mecaniques, et il suffit, pour faire la Geometrie, d'appliquer servilement ces 
regies aux axiomes, sans savoir ce qu'ils veulent dire. On pourra ainsi cons- 
truire toute la Geometrie, je ne dirai pas precisement sans y rien comprendre, 
puisqu'on saisira Fenchainement logique des propositions, mais tout au moins 
sans y rien voir. On pourrait confier les axiomes a une machine a raisonner, 
par exemple au piano raisonneur de Stanley Jevons, et Ton en verrait sortir 
toute la Geometrie. 

C'est la m6me preoccupation qui a inspire certains savants italiens, tels que 
MM. Peano et Padoa, qui se sont efforces de creer une pasigraphie, c'est-a- 
dire une sorte d'Algebre universelle ou tous les raisonnements sont remplaces 
par des symboles ou des formules. 



g6 LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

Cette preoccupation pent sembler artificielle et puerile; et il cst inutile do 
faire observer combien elle serait funeste dans 1'enseigncment et nuisiblc au 
de~veloppement des esprits ; combien elle serait desse"chante pour los chercheurs , 
dont elle tarirait promptement roriginalite". Mais, choz M. Hilbert, elle 
s'explique et se juslifie, si Ton se rappelle le but poursuivi. La lisle dos 
axiomes est-elle complete, ou en avons nous laiss^ e"chapper quclquos-uns quo 
nous appliquons inconsciemment? Voila ce qu'il faut savoir. Pour cela nous 
avons un critere, et nous n'en avons qu'un. II faut chercher si la Geometric est 
une consequence logique des axiomes explicitement enonce"s, c'est-a-dire si cos 
axiomes confi^s a la machine a raisonner peuvenl en faire sortir toutc la suite 
des propositions. 

Si oui, on sera certain de n'avoir rien oublie*. Car noire machine no pout 
fonctionner que conformthnent aux regies de la Logique pour lesquelles olio a 
e"te construite; elle ignore ce vague instinct que nous appelons intuition. 

Je ne m'e"tendrai pas sur les axiomes projectifs de Pespacc que Paulem* 
nume'rote I, 3, 4, 5, 6. Rien n'est change' aux enonce"s habituels. 

Un mot seulement sur Paxiome I, 7, qui se formule ainsi : 

Sur toute droite il y a au moins deux points; sur tout plan, il y au moms 
trois points non en ligne droite; dans Pespace il y a au ruoins quatro points 
qui ne sont pas dans un mme plan. 

Get e"nonc est caract6ristique. Quiconquc aurait laisse* a l T inluiti<m uno 
place, si petite qu'elle fiit, n'aurait pas song6 a dire que sur toule droite il y a 
au moins deux points, ou bien il aurait ajout6 tout de suite qu'il y en a uno 
infinite; car 1'intuition de la droite lui aurait r^vele" imme'cliatement et simul- 
tane"ment ces deux v6rit6s. 

Passons au second groupe, celui des axiomes de Fordre. Voici IMnonct* dus 
deux premiers : 

Si trois points sont sur une mmc droite, il y a entre eux une certaiae 
relation que nous exprimons en disant que Tun des points, et un seulement, 
est entre les deux autres. Si C est entre A et B, et si D est entre A et G, D sera 
aussi entre A et B, etc. 

Ici encore nous ne faisons pas intervenir Pintuition ; nous ne cherchons pas 
a approfondir ce que signifie le mot entre, toute relation satisfaisant aux 
axiomes pourrait etre designed par le m&me mot. Voik qui est biea propre ^ 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 97 

nous e"clairer sur la nature purement formelle des definitions mathe"matiques ; 
mais je n'insiste pas, car je n'aurais qu' r6p6ter ce que j'ai dit a propos du 
premier groupe. 

Mais une autre reflexion s'impose, Les axiomes de 1'ordre sont presented 
comme dependant des axiomes projectifs, et ils n'auraient plus aucun sens si 
Ton n'admettait pas ces derniers, puisqu'on ne saurait ce que c'est que trois 
points en ligne droite. Et cependant il existe une g6ome"trie particuliere, pure- 
ment qualitative, et qui est absolument indgpendante de la Ge'ome'trie projec- 
tive, qui ne suppose connues ni la notion de droite, ni celle de plan, mais 
seulement celles de ligne et de surface; c'est ce qu'on appelle V Analysis situs. 
Ne serait-il pas preferable de donner aux axiomes du deuxieme groupe une 
forme qui les affranchit de cette d^pendance et les s^parat completement du 
premier groupe? II reste a savoir si cela serait possible, en conservant a ces 
axiomes leur c'aractere purement logique, c'est-a-dire en fermant completement 
la porte a loute intuition. 

Le troisieme groupe nc contient qu'un seul axiome, qui est le ce"lebre postu- 
latum d'Euclide; je remarquerai seulement que, contrairement . 1'usage ordi- 
naire, il est pr6sent6 avant les axiomes m6triques. 

Ces derniers forment le quatrieme groupe. Nous y distinguerons trois sous- 
groupes. Les propositions IV, 1, 2, 3 sontles axi6mes me"triques des segments : 
ces axiomes servent a d6finir les longueurs. On conviendra de dire qu'un 
segment pris sur une droite peut 6tre congruent (6gal) a un segment pris sur 
une autre droite; c'est P axiome IV, 1; mais cette convention n'est pas tout a 
fait arbitraire ; elle doit etre faite de fagon que deux segments congruents a un 
meme troisieme soient congruents entre eux (IV, 2); on d^finit ensuite par 
une convention nouvelle Paddition des segments, et cette convention, a son 
tour, doit &tre faite de fagon qu 7 en additionnant des segments 6gaux on trouve 
des sommes 6gales ; et c'est la Paxiome IV, 3. 

Les propositions IV, 4, 5 sont les axiomes correspondants pour les angles. 
Mais cela ne su'ffit pas encore : aux deux sous-groupes des axiomes m^triques 
des segments et des angles il faut adjoindre Paxiome m6trique des triangles 
(que M, Hilbert num6rote IV, 6); si deux triangles ont un angle 6gal compris 
entre cot6s 6gaux, les autres angles de ces deux triangles sont <gaux chacun & 
chacun. 

On retrouve & Pun des cas connus de I'6galit6 des triangles, que Pon 
d^montre d'ordinaire par superposition, et qu'on doit poser en postulat si Pon 
H. P. XI. :3 



gg LES FONDEMENTS DE LA G^OMETRIE. 

veut eViter de faire appel a 1'intuition. Quand d'ailleurs onse scrvaitde Fintui- 
tion, c'est-a-dire de la superposition, on voyait du m6me coup que les iroi- 
siemes cote's e"taient e"gaux dans les deux Iriangles, et les deux propositions 
e"taient unies pour ainsi dire dans une me" me aperception; ici, au contraire, 
nous les se"parons; de Tune d'elles nous faisons un postulat, mais nous n'eri- 
geons pas 1'autre en postulat, parce qu'elle pent se deduire logiquement do lu 
premiere. 

Autre remarque : M. Hilbert dit bien que le segment AB est congruent a 
lui-meme, mais (et de mme pour les angles) il devrait, semble-t-il, ajoulor 
qu'il est congruent au segment inverse BA. Get axiome (qui implique la syme"- 
trie de Fespace) n'est pas identiqtie a ceux qui sonl explicitement enonetfs. Jo 
ne sais s'il pourrait s'en d^duire logiquement; je crois que oui ? mais, etant 
donne'e la marche des raisonnements de M. Hilbert, il me semble que ce pos- 
tulat est applique" sans 6tre e'noncd (p. 17, ligne 18). 

Je regretterai aussi que, dans cet expose' des axiomes mutriques, il IH I ro.sl( 
plus aucune trace d'une notion dont Helmholtz avait, le preinii'r, compris 
1'importance : je veux parler du emplacement d'une figure invariabli 1 . On 
aurait pu conserver a cette notion son role naturel, sans sacrifier le caracten 1 
logique des axiomes. On aurait pu dire, par exernple : Je dtHlnis inlro lc<s 
figures une certaine relation que j'appelle congruence, etc.; deux figures 
congruentes a une meTne troisieme sonl coiigruenles entre dies; dt^ux figures 
congruentes sont identiques quand trois points de Pune, non on liguc droito, son! 
identiques aux trois points correspondants Je Paulre, etc. On aurait evite 
ainsi Tintroduction artificielle de cet axiome IV, 6, et les postulate aurairnt &( l 
rattacli^s a leur veritable origine psycliologiquo. 

Le cinquieme groupe ne comprend qu'unseul axiomo, celui d'Archimcdt;. 

Soient deux points quelconques A et B sur une droite D; soit a un so^mcai 
quelconque; construisons sur D, a partir du point A, et clans la direction AB, 
une se"rie de segments tousegaux entre euxettfgauxaa : AA t , AiA a ,..*A,,-.i A, 4 ; 
on pourra toujours prendre n assez grand pour que le point B se trouvc sur 
Fun de ces segments. 

G'est~a,-dire que, si Fon se donne deux longueurs quelconques / et L, 00 
pent toujours trouver uu nombre entier n assez grand pour que, en ajoutaat n 
fois & elle-mme la loaguaur /, on obtienne une longueur totale plus grande 
que L. 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 99 

Independarice des axiomes. La listc des axiomes une fois dress^e, il 
faut voir si elle est exempte de contradictions. Nous savons bien que oui, 
puisque la G<3om6trie existe; et M. Hilbert rpond oui 6galement, en construi- 
sant une gomtrie. Mais, chose Strange, cette gomtrie n'est pas tout a fait 
la notre, son espace n'est pas le notre, ou du moins ce n'en est qu'une partie. 
Dans Pespace de M. Hilbert, il n'y a pas tous les points qui sont dans le notre, 
mais ceux seulement qu'on pent, en partant de deux points donnas, construire 
par le moyen de la r&gle et du compas. Dans cet espace, par exemple, il n'exis- 
terait pas, en g6nral, un angle qui serait le tiers d'un angle donn<5. 

Je crois bien que cette conception aurait 6te regard(5e par Euclide comme 
plus raisonnable que la notre. Toujours est-il que ce n'est pas le notre. Pour 
rctrouver notre gom<3trie, il 1'audrait aj outer un axiom e. 

<( Si, sur une droite, il j a une double infinite de points AI, Ay, . . . , A /n ..., 
BI, Bo, . . . , B Ai , . . . , tels que B^ soit compris entre A yj et B 7 _i, et A 7 , entre B 7 
et A /; _i, quels que soienty; et y, il y aura sur cette droite au moins un point C 
qui sera entre A. p et B ry , quels que soient/> et q* 

On doit se demander ensuite si les axiomes sont ind^pendants, c'est-a-dire 
si 1'on peut sacrifier Fun des cinq groupes en conservant les quatre autres et 
obtenir n^anmoins une gom6trie coh6rente. G'est ainsi qu'en supprimant 
le groupe III (postulatum d'Euclide) on obtient la g6om6trie non eucliclienne 
de Lobatschevski. 

On peut ^galement supprimer le groupe IV. M. Hilbert a russi a conserver 
les groupes I, II, III et V, ainsi que les deux sous-groupes des axiomes 
mtHriques des segments et des angles, tout en rejetant 1'axtome m^trique des 
triangles, c'est-a-dire la proposition IV, 0. 

Voici comment il y parvient : considerons, pour simplifier, une G^om^trie 
plane et soit P le plan dans lequel nous op^rons; nous conserverons aux mots 
points et droites leur sens habituel ; de mme nous conserverons aux angles 
leurs mesures habituelles ; mais il n'en sera pas de m6me pour les longueurs. 
Une longueur sera mesur^e par definition par sa projection sur un plan Q 
different de P, cette projection conservant elle-mme sa mesure habituelle. II 
est clair que tous les axiomes subsisteront, sauf les axiomes in^triques. Les 
axiomes mtri<jues des angles subsisteront 6galement, puisque nous ne chan- 
geons rien la mesure des angles; ceux des segments sont vrais galement, 
puisque > chaque segment du plan P est naesur< par un autre segment qui est 



I0 o LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

sa projection sur le plan Q, et que cc dernier segment est mesure" a la maniere 
habituelle. Au contraire, les theoremes sur Fegalite des triangles, tels que 
Faxiome IV, 6, ne sont plus vrais. Gette solution ne me satisfait qu'a. moitie ; 
les angles ont ete defmis independamment des longueurs, sans qu'on so soit 
prdoccupe de mettre les deux definitions d'accord (ou plutot en les metlant en 
disaccord a dessein). II suffirait de changer Vune des deux definitions pour 
retomber sur la Geometric classique. Je pre'fe'rerais qu'on donnat cles longueurs 
une definition telle qu'il devint impossible de trouver une definition des angles 
satisfaisant aux axiomes metriques des angles et des triangles. Cela ne serai t 
d'ailleurs pas difficile. 

II aurait ete facile a M. Hilbert de creer une geometric ou les axiomes de 
Fordre seraient abandonnes, tandis que tous les autres seraient conserves. Ou 
plutot cette Geometric existe deja, ou plutot encore il en existe deja deux. II j 
a celle de Riemann, pour laquelle, il est vrai, le postulatum tFEuclide 
(groupe III) est abandonne egalement, puisque la somme des angles d'un 
triangle est plus grand e que deux droits. Pour bien faire comprendre ma 
pensee, je me bornerai a considerer une geometric a deux dimensions. La 
Geometric de Riemann a deux dimensions n'cst autrc cliose que la (.itiomtlru k 
spherique, a une condition toutefois : c'est que Foil ne regarde pas comum 
distincts deux points diametralement opposes sur la sphere. Les elements de 
cette Geometric seront done les differents diametres de cettc sphere. Or, si Fuu 
envisage trois diametres d'une m6me sphere situes dans un mo" me plan <Uaiu< ; - 
tralj on n'a aucune raison de dire que Fun deux est e/itre les deux suitivs. 
Le mot entre n'a plus de sens, et les axiomes de Fordre tombent tPeux- 
m^mes. 

Si nous voulons maintenant une Geometric ou les axiomes <!< Fordre nt 1 
subsisteront pas, et ou Fon conservera le postulatum d'Euclicle avec les autris, 
nous n'avons qu'a prendre pour elements les points et les droites imaginairvs 
de Fespace ordinaire. II est clair que les points imaginaires de Fespace ne nou.s 
sont pas donnes comme ranges dans un ordre determine. Mais il j a plus : ou 
peut se demander s'ils sont susceptibles d'etre ainsi ranges; cela serail sans 
doute possible, comme Fa montre G. Cantor ( la condition, bien entcndu, de 
ne pas toujours ranger dans le voisinage Fun de Fautre des points que 0ous 
regardons comme infiniment voisins, de rompre par consequent la continuity 
de Fespace). On pourrait bien, dis-je, les ranger, mais cela ne pourrait pas se 
faire de telle fagon que cet ordre ne soit pas altere par les diverges op^ratioas 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. IOI 

de la Geometrie (perspective, translation, rotation, etc.). Les axiomes de 
Pordre ne sont done pas applicables a cette Geometric. 

La Geometric non archimedienne. Mais la conception la plus originale 
de M. Hilbert, c'est celle de la Geometric non archimedienne, oh tons les 
axiomes restent vrais, sauf celui d'Archimede. Pour celail fallait d'abord cons- 
truire un systeme de nombres non ar chime diens, c'est-a-dire un syst&me 
d'elements entre lesquels ont put concevoir des relations d'egalite et d'ine- 
galite et auxquels on put appliquer des operations correspondant a 1'addition 
et a la multiplication arithmetiques, et cela de facon a satisfaire aux conditions 
suivantes : 

1 Les regies arithmetiques de 1'addition et de la multiplication (commul.a- 
tivite, associativity, distributivite, etc. ; Aritmetisclie Axiome der Verknup- 
fung) subsistent sans changement. 

2 Les regies du calcul eL de la transformation des inegalites (Arithme- 
tische Axiome der Anordnung) subsistent egalement. 
3 L'axiome d'Archimede n'est pas vrai. 

On peut arrlver a ce resultat en choisissant pour element des series de la 
forme suivantc : 



OLI m est un enlier posilif ou n^galif et ou les coefficients A sont r^els, et en 
convenant d'appliquer a. ces series les regies ordinaires de 1'addition et de la 
multiplication. 11 faut ensuite d6finir les conditions d'in<%alit de ces series, 
de facon a ranger nos elements dans un ordre determine. Nous y arriverons 
par la convention suivante : nous attribuerons a notre s6rie le signe de A et 
nous dirons qu'une serie est plus petite qu'une autre quand, retranch6e de 
celle-ci, elle donne une difference positive. 

II est clair qu'avec cette convention, les regies du calcul des ingalitt$s 
subsistent; mais Faxiomc d'Archim^de n'est plus vrai; et, en effet, si nous 
prenons les deux elements i el t] le premier, additionne a Iui-m6me autant de 
fois qu'on le voudra, restera loujours plus petit que le second. On aura tou~ 
jours t >> n, quel que soit rentier n, puisquc la difference t n sera toujours 
positive, le coefficient du premier terme t, qui, par definition, donne son 
signe, restant toujours egal & i . 

Nos nombres vulgaires rcntrcnt comme cas particuliers parmi ces nombres 



102 LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

non archimediens . Les nouveaux nombres viennent s'intercaler pour ainsi 
dire clans la se>ie de nos nombres vulgaires, de telle facon qu'il y ait, par 
exemple, une infinite de nombres nouveaux plus perils qu'un nombrc vulgaire 
donn A et plus grands que tous les nombres vulgaires infe'rieurs a A. 

Cela pos6, imaginons un espace a trois dimensions ou les coordonne'es d'un 
point seraient mesure'es, non pas par des nombres vulgaires, ma is par des 
nombres non archimediens, mais ou les Equations habiluelles dela droite el du 
plan subsisteraient, de meme que les expressions analyliques des angles et des 
longueurs. II est clair que dans cet espace lous les axiomcs rcsleraienl vrais, 
sauf celui'd'Arcliimede. 

Sur une droite quelconque, entre nos points vulgaires, viendraient s'inter- 
caler des points nouveaux. Si, par exemple, D () est une droite vul^aire, DI la 
droite non archime"dienne correspondante ; si P est un point vulguire <jut*l- 
conque de Do, et si ce point portage D en deux demi-droites S et S' (j'ajouie, 
pour pr^ciser, que je considere P comme ne faisant partie ni de S ni dt 4 S'), 
il y aura sur DI une infinite' de points nouveaux tant entre P et S qu'ontre P 
et S'. II y aura egalement sur D A une infinite de points nouveaux qui sertml a 
droite dc tous les points vulgaires de D . En resume', noire espace vul^airr 
n'est qu'une partie de 1'espace non archimedien. 

Au premier abord, Fesprit sc rc5 volte contre de pareille.s < > oiictipti{)iis. 
C'estque, par une vieille habitude, il chcrche une representation stnsihle. II 
faut qu'il sc debarrasse de cette pre'occupation s'ii veut arriver a comprendrc, 
et cela est encore plus n6cessaire que poor la GtfomiHric non eucli(li<an. 
M. Hilbert ne s'est propose qu'une chose : construire un systtuue d'^nienls 
susceptibles de ccrtaines relations logiques, et il lui suffit de morUrer qut <H\S 
relations n'impliquent pas de contradiction interne. 

Qu'on remarque cependant ceci : la Geometric non euclidienne res|x<*tail 
pour ainsi dire notre conception qualitative du continu g^om^lrique toot <n 
bouleversant nos id6es sur la mesure de ce continu. La Ge'oiitititrte non archi- 
mt^dienne dtoiiit cette conception, elle disseque le continu pour y inlroduire 
des e'le'ments nouveaux. 

Quoi qu'il en soit, M, Hilbert poursuit les consequences de ses premisses et 
il cherche comment on ponrrait refaire la Geom^trie sans se servir de 1'axioim! 
d'Archimede. Pas de difficulte' en ce qui concerne les Chapitres que les e*oliers 
appellent le premier et le deuxieme Livre. Get axiome n'y iatervient nulle 
part. 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. Io3 

Le troisi&me Livre traite des proportions et de la similitude. Voici, en sub- 
stance, la marche que suit M. Hilbert pour le reconstituer sans avoir recours 
a Taxiome d'Archim&de. II prend la construction habituelle de la quatri&me 
proportionnelle comme definition de la proportion, mais une pareille definition 
a besoin d'etre jus tifiee; il faut montrer d'abord que le r^sultat est le mme, 
quelles que soient les lignes auxiliaires employees dans la construction, et 
ensuite que les regies ordinaires du calcul s'appliquent aux proportions ainsi 
definies. C'est celte justification que M. Hilbert nous donne d'une fagon satis- 
faisante. 

Le quatri^me Livre traite de la mesure des aires planes; si cette mesure peut 
s'etablir facilement sans le secours du principe d'Archim&de, c'est parce que 
deux poljgones Equivalents ou bien peuvent &tre decomposes en triangles de 
telle facon que les triangles elementaires de 1'un et ceuxde 1'autre soient egaux 
chacun a chacun (ou, en d'autres termes, peuvent &tre ramenes 1'un a Fautre par 
le procede du casse-t6te chinois), ou bien peuvent &tre regardes comme des 
differences de poljgones susceptibles de ce mode de decomposition (c'est tou- 
jours le mtoe precede, en admcttant non settlement des triangles additifs, 
mais encore des triangles soustractifs). Mais nous devons observer qu'une 
circonstance analogue ne parait pas se retrouver pour deux poly&dres equi- 
valents, de sorte qu'on peut se demander si 1'on peut determiner, par exemple 
le volume de la pyramid e sans un appel plus ou moms deguise au calcul infini- 
tesimal. Tl n'est done pas certain qu'on pourrait se passer aussi facilement 
de 1'axiome d'Archim^de dans la mesure des volumes que dans celle des aires 
planes. M. Hilbert ne 1'a d'ailleurs pas tente. 

Une question restait a traiter toutefois; etant donne un polygone, est-il 
possible de le decomposer en triangles et d'enlever 1'un des morceaux de fagon 
que le polygone restant soit equivalent au polygone donne, c'est-a-dire de 
fagon qu'en transformant ce polygone restant par le procede du casse-t6te 
chinois, on puisse relomber sur le polygone primilif. D'ordinaire, on se borne 
a dire que cela est impossible parcc que le tout est plus grand que la partie. 
C'est la invoquer un axiome nouveau, et, quelque evident qu'il nous paraisse, 
le logician serait plus satisfait si Ton pouvait Peviter. M. Schur a trouve la 
demonstration, il est vrai, mais en s'appuyant sur 1'axiome d'Archim&de; 
M. Hilbert. voulait y arriver sans se servir de cet axiome. Voici par quel artifice 
il y parvient; il admet que la surface du triangle est par definition le demi- 
produit de sa base" par sa hauteur, et il justifie cette definition en montrant que 



104 LES FONDEMENTS DE LA GEOIMETKIE. 

deux triangles Equivalents (au point de vue du casse-t,6le chinois) ont mme 
surface (au sens de la nouvelle definition) et que la surface d'un triangle 
decomposable en plusieurs autres est la somme des surfaces des triangles 
composaats. Une fois cette justification termintSe, tout le reste suit sans diffi- 
cult^. C'est done toujours la mme marclie. Pour viter d'incessants appels a 
1'intuition, qui nous fournirait sans cesse de nouveaux axiomes, on transforme 
ces axiomes ea definitions, el Ton justifie apres coup cos dofmilions eu 
montrant qu'elles sont exemples de contradictions. 

La Geometric non arguesienne. Le lh<3or6me fondamenlal de la Geome- 
trie projective est le lh<5orme de Desargues. Deux triangles sont dils hoinolo- 
gues lorsque les droites qui joignent chacun a chacun les sommets correspon- 
dants se coupenl en un m6me point. Desargues a dtimontre que les points 
d'intersection. des cotes correspondants de deux triangles homologuos sont sur 
une m&me ligne droite; la r(5ciproque est t^alement vraie. 

Le th(5or6me de Desargues peut s'etablir de deux manures : 

i En se servant des axiomes projectifs du plan et des axiomes mtftrkjuus du 
plan ? * 

2 En se servant des axiomes projeciifs du plan et de ceux de Fespacc. 

Le tk^or^me pourrail done 6tre decouvert par un animal a deux dimensions, 
a qui une troisi&me dimension parai trait aussi inconeevable qu'a nous une 
quatri&me, qui par consequent ignorerail les axiomes projectifs do Fespactt, 
mais qui aurait vu se dt^placer, dans le plan qu'il habile, des figures invariahles 
analogues . nos corps solides, et qui, par consequent, coniiahrait les axiomes 
m^triques. Le th^oreme pourrait 6tre decouvert e^alement par un animal 
trois dimensions qui connaitrait les axiomes projectifs de Fespace, mais qui, 
n'ayant jamais vu se d^placer de corps solides, ignorerait les axiomes 



Mais pourrait-on dtablir le th^or^me do Desargues sans se servir ni des 
axiomes projectifs de Pespace, ni des axiomes m&riques, mais seulement des 
axiomes projectifs du plan? On pensait que non, mais on on n'cUait pas silr. 
M. Milbert a tranche la question en construisanl une gvomttrie non argu&- 
sienne, qui est, bieix entendu, une g&>ra#trie plane, Gonsiddrons une ellipse E 
A Fext^rieur de cette ellipse, le mot droite conserve son sens habituel; 4 
Fiut^rieur le mot droite prend un sens different et il s'applique & un arc de 



LES FONDEMENTS DE LA G^OM^TRIE. 105 

cercle qui, prolong^, irait passer par un point fixe P ext^rieur a 1'ellipse. Une 
droite qui traverse 1'ellipse E se composera done de deux parties rectilignes, 
au sens ordinaire du mot, raccord^es a Fint^rieur de Fellipse par un arc de 
cercle; tel un rayon lumineux qui serait d6vi de sa trajectoire rectiligne en 
traversant un corps rtffringent. 

Les axiomes projeclifs du plan seront encore vrais si Ton suppose le point P 
assez 6loigu<3 de 1' ellipse E. 

Placons mainlenanl deux triangles homologues en deliors de 1'ellipse E, et 
de telle fagon que leurs cotes no rencontrent pas E; les irois droites qui 
joignent deux a deux les sommets correspondanls, si on les entend au sens 
ordinaire du mot, iront se couper en un m6me point Q d'aprSs le thor6me 
de Desargues; supposons que ce point Q soit aFinttfrieur deE. Slmaintenant 
nous entendons le mot droile au sejis nouveau, les trois droites qui joignent les 
sommets correspondents seront devices en p<5n6trant a Finterieur de 1'ellipse. 
Elles n'iront done plus passer en Q, elles ne seront plus concourantes. Le tho- 
r&me de Desargues n'est plus vrai dans notre nouvelle g<5om6Lrie, c'est une 
gom<Strie non arguesieniie. 

La Geometrie non pascaliemie. M. Hilbert ne s'arrte pas la et il intro- 
duit encore une nouvelle conception. Pour bien la comprendre, il nous faut 
d'abord retourner un instant dans le domaine de FArithm^tique. Nous avons 
vu plus haul s'elarglr la notion dc nombre, par FinLroduclion des no mb res 71 on 
archimediens. 11 nous faut une classification de ces nombres nouveaux, et 
pour Fobtenir nons aliens classer d'abord les axiomes de FArithmetique en 
quatre groupes qui seront : 

i Les lois d'associativit6 et de commutativiuS de Faddition, la loi d'associa- 
tivit6 de la multiplication, les deux lois de distributivit^ de la multiplication; 
ou en r6suni( toutes les regies de Faddition et de la multiplication, sauf la loi 
de commutativit6 de la multiplication; 

2 Les axiomes de Fordre, c'est-a-dire les regies du calcul des mdgalii<5s ; 

3 La loi de commutativit6 de la multiplication, d'apr^s laquelle on peut 
intervertir Fordre des facteurs sans changer le produit; 

4 L'axiome d'Archim^de. 

Les nombres qui admettront les axiomes des deux premiers groupes seront 
dits argu<siens; ils pourront &tre pascaliens ou non pascallens scion qu'ils 
H, P, XI. *4 



IO 6 LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

satisferont ou ne satisferont pas & 1'axiome du troisi&me Croupe, ils seront archi- 
mediens ou non archimcdiens, suivant qu'il salisferont ou noii a Faxiome du 
quatri^me groupe. Nous ne tarderons pas a voir la raison de ces dchiomina- 

tions. 

Les nombres ordinaires sont a la fois arguesiens, pascaliens et archimtjdiens. 
On peut d^montrer la loi de commulativiUj en partant des axiomes des deux 
premiers groupes et de 1'axiome d'Archimde; il n'y a done pas de nombres 
arguesiens, archim^diens et non pascaliens. 

En revanche, nous avons cite" plus haul un exemple de nombres arguesiens, 
pascaliens et non archim^diens; c'est ce que j'appellerai les nombres du A;>',S- 
teme T, et je rappelle qu'a chacun de ces nombres correspond une serie de la 

forme 

Ao^-f- \ { f">-^-h 

ou les A sont des nombres rcls ordinaires. 

II est ais<5 de former, par un procede analogue, tin syslfcme do nombivs 
arguesiens, non pascaliens et non archim(5di( k ns. Les t'il&nenls de ce sysU>me 
seront des series de la forme 

S = T,?-h T,^'" 1 -^..., 

ou s est un symbole analogue a t, n un enlier positif ou negatif, et T {)7 T I? , . . 
des nombres du syslcinie T; si done on romplacail les coefficients To, TI, . . . 
par les series en t correspondantes, on aurait une S(5rie dependant a la Ibis <lt* / 
et de s. On additionnera les series S d'apr^s les regies ordinaires, et d(. m^mt* 
pour la multiplication de ces series on admettra les regies de distrihufivilt 4 <t 
et d'associativite, mais on admettra que la loi de comniutativitd n'est pas vraie 
et qu'au contraire st = ts. 

II reste k ranger les series dans un ordre d6termine, pour salisfairt! aux 
axiomes de 1'ordre. Pour cela, on allribuera a la s^rie S le signe du premier 
coefficient T ; on dira qu'une s^rie est plus petite qu 7 une aulre, quand, rtilriiu- 
ch6e de celle~ci, elle donnera une difference positive. C'est done loujours la 
m6me r^gle : t est regard6 comme tr^s grand par rapport a un nombre rt^el 
ordinaire quelconque, et s est regard^ comme tres grand par rapport & un 
nombre quelconque du syst&me T. 

La loi de commutativit^ n'6tant pas vraie, ce sont bien des nombres non 
pascaliens. 

Avant d'aller plus loin, je rappelle que Hamilton a depuis longtemps iniro- 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMJZTRIE. 107 

dull an systeme de nombres complexes ou la multiplication n'est pas commu- 
tative; ce sont les quaternions, dont les Anglais font un si frequent usage en 
Physique mathtSmatique. Mais, pour les quaternions, les axiomes de Fordre ne 
sont pas vrais; ce qu'il y a done d'original dans la conception de M. Hilbert, 
c'esl que ses nouveaux nombres satisfoni a ax axiomes de Fordre sans satisfaire 
a la regie de coinmutativite, 

Revenons a la Ge'ome'trie. Admettons les axiomes des trois premiers groupes, 
c'est-a-dire les axiomes projectifs du, plan et de Fespace, les axiomes de Fordre 
etle postulat d'Euclide ; le the"oreme de Desargues s'en de'duira, pufsqu'il est 
une consequence des axiomes projectifs de Fespace. 

Nous voulons constituer notre ge'ome'trie sans nous servir des axiomes 
metriques; le mot de longueur n'a done encore pour nous aucun sens; nous 
n'avons pas le droit de nous servir du compas ; en revanche, nous pouvons 
nous servir de la regie, puisque nous admettons que par deux points on peut 
faire passer une droite, en vertu de Fun des axiomes projectifs; nous savons 
egalement mener par un point une parallele a une droite don.ne'e, puisque nous 
admettons le postulatum d'Euclide. Voyoiis ce que nous pouvons faire avec ces 
ressources. 

Nous pouvons de'finir F homo the' tie de deux figures ; deux triangles seront 
diis homothetiques quand leurs cole's seront paralleles deux a deux, et nous en 
conclurons (par le theoreme de Desargues que nous admetlons) que les droites 
qui joignent les sommcts correspondants sont concourantes. Nous nous servi- 
rons ensuite de FhomothiHie pour de'finir les proportions. Nous pouvons aussi 
de'finir Fe'galite' dans une certaine mesure. 

Les deux cote's opposes d'un parallelogramme seront <5gaux par defi?iition; 
nous savons ainsi reconnaitre si deux segments sont 6gaux entre eux, pourvu 
qu'ils soient paralleles. 

Grace a ces conventions, nous sommes maintenant en mesure de comparer 
les longueurs de deux segments; mais pourvu que ces segments soient 
PARABLES. La comparaison de deux longueurs donL la direction est differente 
n'a aucun sens, et il faudrait pour ainsi dire une unit6 de longueur diffe'rente 
pour chaque direction. Inutile d'ajouter que le mot angle n'a aucun sens. 

Les longueurs seront ainsi exprime'es par des nombres; mais ce ne seront 
pas force'ment des nombres ordinaires. Tout ce que nous pouvons dire, c'est 
que, si le the'er^me de Desargues est vrai comme nous Fadmettons, ces nom- 
bres appartiendront a un syst^me satisfaisant aux axiomes arithme'tiques des 



I0 8 LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

deux premiers groupes, c'est-a-dire a un systeme arguesien. Inversenient, 
6tant donn un syst&me quelconque S de nombres ^arguesiens, on peut cons- 
truire une gom6trie telle que les longueurs des segments d'une droite soient 
justement exprime^es par ces nombres. 

Voici comment peut se faire cette construction : un point de ce nouvel 
espace sera defini par trois nombres #, y , z du systme S qui s'appelleront les 
coordonnees de ce point. Si aux trois coordonnees des divers points d'une 
figure on ajoute trois constantes (qui sont, bien entendu, des nombres argu- 
siens du syst&me S), on obtient une autre figure transform^ de la premiere, 
et de telle facon qu'a un segment quelconque de 1'une des figures corresponde 
dans 1'autre un segment egal et parall&le (au sens donn^ plus liaut a ce mot). 
Cette transformation est done une translation, de sorte que ces trois constantes 
dtjfinissent uue translation. Si maintenant nous multiplions les trois coor- 
donntses de tons les points d'une m&me figure par une m6me constante, nous 
obtiendrons une seconde figure qui sera homotli<3tique de la premiere. 

Liquation du plan sera une Equation lin^aire comnxe dans la Gt^om^trie 
analytique ordinaire; mais, comme dans le syst&me S la multiplication ne sera 
pas commutative en general, il importe de faire une distinction et de dire que 
dans chacun des termes de cette Equation lin^aire ce sera la codrdonn^e qui 
jouera le role de multiplicande, et le coefficient constant qui jouera le r6le de 
multiplicateur. 

Ainsi, a chaque syst&me de nombres argues iens correspondra une gom6trie 
nouvelle satisfaisant aux axiomes projectifs, a ceux de 1'ordre, au theor^me de 
Desargues et au postulatum d'Euclide. Quelle est maintenant la signification 
g^ometrique de 1'axiome arithmtitique du troisi^me groupe, c'est-a-dire de la 
r^gle de commutativit6 de la muliiplication? La traduction geom&trique de 
cette regie, c'est le theorems de Pascal; je veux parler du th^or^mc sur 
1'hexagone inscrit dans une conique, en supposant que cetle conique se r^duit 
a deux droites. 

Ainsi, le th^or^me de Pascal sera vrai ou faux, selon que le syst&me S sera 
pascalien ou non pascalien; et, comme il y a des systemes non pascaliens, il y 
aura egalement des geometries non pascaliennes. 

Le thor&me de Pascal peut se d^montrer en pariant des axiomes mgtriques; 
il sera done vrai, si Ton admel que les figures peuvent se transformer non 
seulemcnt par homoth^tie et translation, comme nous venons de le faire, mais 
encore par rotation. 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. log 

Le th^or^me de Pascal pent ^galement se deduire de Taxiome d'Archim^de, 
puisque nous venous de voir que tout syst&me de nombres argu^siens eL 
archimediens est en mme temps pascalien; toute geometric non pascalienne 
est done en meme temps non ar chime dienne. 

Le Streckeniibertr tiger. Gitons encore une autre conception de Hilbert. 
II (Hudie les constructions qu'on pourrait faire, non pas a 1'aide de la rgle et 
du compas, mais par le nioyen de la regie et d'un instrument particulier qu'il 
appelle Streckenubertrager, et qui permettrait de porter sur une droite un 
segment ggal a un autre segment pris sur une autre droile. Le Streckenilber- 
tr tiger n'est pas Ftfquivalenl du compas; ce dernier instrument permettrait de 
construire 1'intersection de deux cercles ou d'un cercle et d'une droite quel- 
conque; le Streckeniibertrdger nous donnerait seulement 1'intersection d'un 
cercle et d'une droite passant par le centre de ce cercle. M. Hilbert cherche 
done quelles sont les constructions qui seront possibles avec cos deux instru- 
ments, et il arrive a une conclusion bien remarquable. 

Les constructions qui peuvent se faire par la r^gle et le compas peuvent se 
faire (Sgalement par la r&gle et le Streckeniibertrdger, si ces constructions 
sont telles que le resultat en soit toujours reel. II est clair, en eflet, que cctte 
condition est necessaire; car un cercle est toujours coup6 en deux points reels 
par une droite men^e par son centre. Mais il (Hait difficile de pr^voir que cette 
condition serait 6galement suffisante. 

Geometries diver ses. Je voudrais, avant de lerminer, voir quelle place 
occupent dans la classification de M. Hilbert les diverses geometries propos6es 
jusqu'ici. Et d'abord les geometries de Rieniann; je ne veux pas parler de la 
g6om<Hrie de Riemann que j'ai signal^e plus haul et qui est I'oppos6 de celle de 
Lobatchevski; je veux parler des g6om6tries relatives aux espaccs a courbure 
variable envisages par Riemann dans sa c6l&bre Habilitationsschrift. 

Dans cette conception, on attribue par definition une longueur a une courbe 
quelconque, et c'est sur cette definition que tout repose. Le role des droites est 
jou par les godsiques, c'est-a-dire par les lignes de longueur minima menses 
d'un point a un autre. Les axiomes projectifs ne sont plus vrais, et il n'y a 
aucune raison, par exemple, pour que deux points ne puissent &tre joints que 
par une seule g^od^sique. Le postulat d'Euclide ne peut plus 6videmment 
avair aucun sens. L'axiome d'Archim^de reste vrai, ainsi que les axiomes de 



HO LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

Pordre mutatis mutandis] Riemann n'envisage, en effet, que les systemes de 
nombres ordinoires. En ce qui concerne les axiomes me'triques, on voit 
aise'ment que ceux des segments et ceux des angles resteni vrais, tandis que 
Paxiome me'trique des triangles (IV, 6) est e'videmment faux. 

El ici nous retrouvons 1' objection qu'on a le plus souvent faite a Riemann. 

Vous parlez de longueur, lui a-t-on dit; or longueur suppose mesurc, el, 
pour mesurer, il faut pouvoir transporter un instrument de mesurc qui doit 
demeurcr invariable; d'ailleurs, vous le reconnaissez vous-mtoie. II faut done 
que 1'espace soit partout e"gal a Iui-m6me, qu'il soit homogene pour que la 
congruence j soit possible. Or, votre espace ne Test pas, puisque sa courbure 
est variable; il ne peut done j &tre question ni de mesurc, ni de longueur. 

Riemann n'aurait pas eu de peine a r6pondre, Supposons une geometric a 
deux dimensions pour simplifier; nous pourrons alors nous repr6senter 1'espace 
de Riemann comme une surface dans 1'espace ordinaire. Nous pourrions 
mesurer des longueurs sur cette surface a 1'aide d'une ficelle, et cependant une 
figure ne pourrait pas se de"placei' en restant applique'e sur cette surface el de 
fagon que les longueurs de tous ses e'le'ments.demeurent invariables. Car la 
surface n'est pas, en ge'ne'ral, applicable sur elle-m&me. 

C'est ce que M. Hilbert iraduirait en disant que les axiomes me'triques des 
segments sont vrais, et que celui des triangles ne Pest pas. Les premiers sonl 
concretises pour ainsi dire dans notre ficelle; celui des triangles supposerait le 
displacement d'une figure dont tous les elements auraient une longueur 
constante. 

Quelle sera la place d'une autre ge'ome'trie que j'ai proposed autrefois et qui 
rentre pour ainsi dire dans la meme famille que celle de Lobatchevski el celle 
de Riemann? J'ai montre* qu'on peut imaginer trois geometries a deux dimen- 
sions, qui correspondent respectivement aux trois sortes de surfaces du second 
degre, Pellipsoide, Phyperbolo'ide 4 deux nappes et Phyperboloidea une nappe; 
la premiere est celle de Riemann, la seconde est celle de Lobatchevski, et la 
troisieme est la ge'ome'trie nouvelle. On trouverait de m&me quatre 
ge'ome' tries a trois dimensions. 

Ou viendrait se ranger cette ge'ome'trie nouvelle dans la classification de 
M. Hilbert? II est aise" de s'en rendre compte. Comme pour celle de Riemann, 
tous les axiomes subsistent, saul ceux de Pordre et celui d'Euclide; mais, 
tandis que dans la g^ome'trie de Riemann, les axiomes sont faux sur toutes les 
droites, an contraire, dans la g6om^trie nouvelle, les droites se r^partissent en 



LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. Ill 

deux classes, les unes sur lesquelles les axiomes de 1'ordre sont vrais, les autres 
sur lesquelles ils sont faux. 

Conclusions. Mais ce qui est lo plus important, c'est de nous rendre 
coinpte de la place qu'occupent les conceptions nouvelles de M. Hilbert dans 
Phistoire de nos id6es sur la philosophic des Mathe"matiques. 

Apr&s une premiere p6riode de naive confiance ou Ton nourrissail Pespoir 
de tout dtoontrer, est venu Lobatchevski, Pinventeur des gom6tries non 
euclidiennes. 

Mais le veritable sens de cette invention n'a pas 6t pn6tr6 tout de suite; 
lielmholtz a montre d'abord que les propositions de la gom6trie euclidienne 
n'etaient autre chose que les lois des mouvements des corps solides, tandis que 
celles des autres gom6tries (Haient les lois que pourraient suivre d'autres corps 
analogues aux corps solides, qui sans doute n'existentpas, mais dontl'existence 
pourrait tre congue sans qu'il en r^sultat la moindre contradiction, des corps 
que Ton pourrait fabriquer si on le voulait. Ces lois ne pouvaient, toutefois, 6tre 
regard^es comme exprimentales, puisque les solides naturels ne les suivent 
que grossiterement et, d'ailleurs, puisque les corps fictifs de la gomtrie non 
euclidienne, n'existant pas, ne peuvent 6tre accessibles a Pexprience. 
Helmholtz, toutefois, ne s'est jamais expliqu6 sur ce point avec une parfaile 
netted. 

Lie a pouss 1'analyse beaucoup plus loin. II a cherch^ de quelle manifere 
peuvent se combiner les divers mouvements possibles d'un systkme quelconque, 
ou plus g6neralement les diverses transformations possibles d'une figure. Si 
1'on envisage un certain nombre de transformations et qu'on les combine 
ensuite de toutes les manures possibles, Fensemble de toutes ces combinaisons 
tbrniera ce qu'il appelle un groupe. A chaque groupe correspond une g6o~ 
m^trie, et la notre, qui correspond au groupe des d^placements d'un corps 
solide, n'est qu'un cas tr&s particulier. Mais tous les gro'upes quel'onpeutima- 
giner poss^deront certaines propri^t^s communes, et ce sont pr^cis^ment ces 
propri6t^s communes qui limitent le caprice des inventeurs de gorn6tries ; ce 
sont elles, d'ailleurs, que Lie a 6tudi6es toute sa vie. 

II n'^tait pourtant pas enti&rement satisfait de son oeuvre. II avail, disait-il, 
toujours envisage Tespace comme une Zahlenmannigfaltigkeit. II s'^tait born^ 
& 1'^tude des groupes continus proprement dits auxquels s'appliquent les regies 
de l ? Analyse infinit<3simale ordinaire. Ne s'(^tait-il pas ainsi artificiellemeiit 



II2 LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE. 

restreint? N'avait-il pas ainsi nglig6 un des axiomes indispcnsables do la 
G<3oimnrie (c'est en somme de 1'axiome d'Archim&de qu'il s'agit)? Je ne sais 
si Ton trouverait trace de cette preoccupation dans ses oeuvrcs imprhnees, 
mais dans sa correspondance, ou dans sa conversation, il exprimait sans cesse 
ce mme regret. 

C'est prcisment la lacune qu'a comblee M. Hilbert; les gomtries de Lie 
restaient toutes assujetties aux formes de I 1 Analyse et de rArilhmtflique qui 
semblaient intangibles. M. Hilbert a brisd ces formes ou, si Ton aime mieux, il 
les a 6largies. Ses espaces ne sont plus des Zalilenmannigfaltigkeiten* 

Les objets qu'il appelle point, droite ou plan devicnnent ainsi des 6tres 
purement logiques qu'il est impossible de se represented On ne saurait s'ima- 
giner, sous une forme sensible, ces points qui ne sont que des systemes de 
trois series. Peu lui importe, il lui suffit que ce soient des individus et qu'il ait 
des regies stares pour distinguer ces individus les uns des autres, pour otabllr 
conventionnellement entre eux des relations d'<5galit6 ou d'in6galil6 et pour les 
transformer. 

Une autre reniarque : les groupes de transformations au sens de Lie ne 
semblent plus jouer qu'un role secondaire. G'est du moins ce qu'il semblc 
quand on lit le texte m&me de M. Hilbert. Mais, si Ton y regardait de plus 
pr6s, on verrait que cbacune de ses g<5om6tries est encore l'6tude d'un groupe. 
Sa g^om^trie non archim^dienne est celle d'un groupe qui contient toutes les 
transformations clu groupe euclidien, correspondant aux divers d^placements 
d'un solide, mais qui en contient encore d'autres susceptibles de se combiner 
aux premieres d'apr^s des lois simples. 

Lobatchevski et Riemann rejetaient le postulatum d'Euclide, mais ils conser- 
vaient les axiomes m6triques; dans la plupart de ses g(5om6tries, M. Hilbert 
fait 1'inverse. Cela revient a mettre au premier rang un groupe formtS des 
transformations de 1'espace par homoth^tie et par translation; et aJa base de 
sa g6om6trie non pascalienne, c'est un groupe analogue que nous retrouvons, 
comprenant non seulement les homoth^ties et les translations de 1'espace 
ordinaire, mais d'autres transformations analogues se combinant aux premieres 
d j aprs des lois simples. 

M. Hilbert semble plutdt dissimuler ces rapprochements, je ne sais pourquoi. 
Le point de vue logique parait seul I'int6resser. fitant donn6 une suite de pro- 
positions, il constate que toutes se deduisent logiquement de la premiere. Quel 
est le fondement de cette premiere proposition, quelle en est Torigine psycho- 



LES FONDEMENTS DE LA GEOM^TRIE. Il3 

logique, il ne s'en occupe pas. Et meme si nous avons, par exemple, trois 
propositions A, B, C, et si la logique permet, en partant de Fune quelconque 
d'entre elles, d'en deduire les deux aulres, il lui sera indifferent de regarder A 
comme un axiome et d'en tirer B et G, ou bien, au contraire, de regarder G 
comme un axiome, et d'en tirer A et B. Les axiomes sont pose's, on ne sait pas 
d'ou ils sortenl, il est done aussi facile de poser A que C. 

Son oeuvre est done incomplete; mais ce n'est pas une critique que je lui 
adresse. Incomplet, il faul bien se re'signer a T^tro. II suffit qu'il ait fait faire a 
la philosophic des Math6matiques un progres considerable, comparable a ceux 
que Ton devait a Lobatchevski, a Riemann, a Helmholtz et a Lie. 



H. P. - XI. 



REFLEXIONS SUR DEUX NOTES 

DE M. A. S. SCHONFLIES 
ET DE M. E. ZERMELO O 



Acta Mathematica, t. 32, p. 196-200 (2 icvrier 1909). 



Les considerations presentees par M. Schonflies au sujet de la Note de 
M. Richard seront lues avec intent; non qu'aucune de ses critiques puissc 
resister a un examen approfondi, mais par ce qu'elles peuvent suggerer d'utiles 
reflexions. 

1. On sait que M. Richard consid^re 1' ensemble E des nombrcs qui peuvent 
etre defmis en un nombre fini de mots. II demontre quo cet ensemble est 
denombrable et c'est cette demonstration que M. Schonflies conlesle. 

Et pourquoi? Parce qu'on peut, dit-il, ddfinir par une mme formulc une 
infinite d'objets' mathematiques. II est evident qu'une pareille formule ne peut 
constituer une definition, au moins au sens ou M. Richard emploic ce mot. 
Et en effet ce qui caracterise precisement une definition, c'est qu'cllepermeldc 
distinguer 1'objet defini de tous les autres objets ; si elle s'applique a une infinite 
d'objets, elle ne permet pas de les disceraer les uns des autres ; elle n'en definit 
aucun; elle n'est plus une definition. 

Ainsi pour prendre le premier exemple de M. Schonflies; quand on dit 
une fonction constante , on a une formule d'un nombre fini de mots et qui 
s'applique a une infinite de fonctions; mais qui ne les definit pas, qui defmit 

( x ) Intitules : Ueber erne venneintliche Antinomie der Mengenlehre (Acta Math., t, 32, 
1909, p. 177-184) et Sur les ensembles finis et le principe de V induction complete (Acta 
t. 32, 1909, p. 185-198). 



REFLEXIONS SUR DEUX NOTES. Il5 

seulement leur relation avec un certain nombre, a savoir la valeur constante de 
la fonction. Pour achever de de'finir une de ces fonctions, il faut definir cette 
valeur constante. 

C'est seulement si cette valeur constante peut &tre de'fmie en un nombre fini 
de mots, que la fonction elle-m^me pourra 1'eHre. II n'est done pas exact de 
dire que cette formule de'finit en un nombre fini de mots un ensemble de 
fonctions qui a la puissance du conlinu, c'est-a-dire la puissance de toutes les 
constantes possibles ; cette formule permet de definir en un nombre fini de mots 
un ensemble de fonctions qui a mme puissance que Fensemble des constantes 
deTmissables en un nombre fini de mots, et ce dernier, d'apres la demonstration 
de M. Richard est de'nombrable. 

La premiere critique de M. Schonflies ne tient done pas debout; et ce queje 
viens de dire s'applique sans changemenl a tous ses autres exemples. Dans tous 
les cas qu'il cite, il de'finit un objet A comme ayant une relation B avec un 
autre objet C. Cette relation B ne suffit pas pour de'finir A; il faut de'finir 
e'galement Fobjet C; pour que A se trouve defini en un nombre fini de mots, il 
faut que non seulement B, mais encore C soient definis en un nombre fini de 
mots. Les autres critiques qui s'appuient sur la premiere, tombent evidemment 
du m6me coup. 

2. II n'en est pas moms vrai qu'on peut faire les reflexions suivantes. II n'y 
a pas d'infmi actuel; ce que nous appelons 1'infini, c'est uniquemcnt la possi- 
bilite de cr^er sans cesse de nouveaux objets, quelque nombreux que soient les 
objets de'ja cre^s. Seulement ces nouveaux objets ne sont concevables eux- 
mmes que s'ils sont susceptibles d'eHre de'finis en un nombre fini de mots. II 
en re'sulte qu'un ensemble, dont chaque element ne petit pas 6tre defini en un 
nombre fini de mots, est un pur ne"ant; on n'en peut rien dire, ni rien penser. 

C'est bien ainsi que pense M. Richard; et je signalerai en passant une tres 
inte"ressante demonstration de Paxiome de Zermelo que ce savant vienl de 
publier dans VEnseignement Mathematique ct ou il s'exprime a ce sujet de la 
fagon la plus nettc. 

Mais alors il n'y a pas d'autre ensemble que ceux dont tous les elements sont 
deTmissables en un nombre fini de mots; et comme on peut leur appliquer la 
demonstration de M. Richard, il semble qu'on doive conclure que tous les 
ensembles sont denombrables. Que signifie alors la distinction des puissances, 
et en quoi le continu differe-t-il de r ensemble des nombres entiers ? 



Il6 REFLEXIONS SUR DEUX NOTES. 

On peut demontrer cependant qu'il y a une difference et c'est en cela, au 
fond, que consiste 1'antinomie Richard. 

II est impossible de trouver une for mule definissant en un nombre fmide 
mots une relation entre un nombre reel et un nombre entier et qui soit telle 
que tout nombre reel defaiissable en un nombre fini de mots corresponde a 
un nombre entier en vertu de cette for mule. Quelle que soit cette formule, 
on pourra toujours definir en un nombre lini de mots un nombre reel que cette 
formule ne fait corresponds a aucun nombre entier. Voila ce que Cantor 
demontre et voila ce qu'oii entend quand on dit que la puissance clu continu 
n'est pas celle de Pensemble des entiers. 

Comment cela s'accorde-t-il avec la demonstration de M. Richard qui nous 
enseigne que tout ensemble dont les elements sont definissables en un nombre 
fini de mots est de'nombrable ? Conside'rons une formule F definissant uiie 
relation entre les divers entiers et divers nombres reels (qui se trouveront par 
la definis en un nombre fini de mots) 1'ensemble E de ces nombres reels seru 
de'nombrable. Nous pourrons ensuite definir d'autres nombres reels ne faisant 
pas partie de E; ces definitions ne contiendront qu'un nombre fini de mots 
mais parmi ces mots figurera le nom de 1'ensemble E. Soit E ; 1'ensemble de 
ces nouveaux nombres re'els. La demonstration de Cantor nous apprend que 
1'ensemble E' n'est pas nul et celle de Richard nous apprend que I'ensemble 
E + E' est de'nombrable. On pourra done trouver une formule F' definissant 
une relation entre les divers entiers et les divers nombres del'ensemble E + E'. 

Mais alors on pourra de nouveau trouver d'autres nombres ne faisant pas 
partie de E-f-E' et dont on pourra donner une definition ne contenant qu'un 
nombre fini de mots parmi lesquels les noms des ensembles E et E'. Ici encore 
1'ensemble E /; de ces nombres ne sera pas nul et il sera denombrable. Et ainsi 
de suite. 

3. Et alors dira-t-on; tous ces nombres, ceux de E, de K', de E", ccux des 
ensembles suivants, sont tous definissables en un nombre fini de mots, desorte 
qu'en vertu de la demonstration de Richard, il devrait exister une formule d'uu 
nombre fini de mots qui permette de les denombrer. C'est la l'antinomie dont 
M. Richard donne 1'explication; on doit apres avoir forme le tableau dc tous 
les assemblages possibles de syllabes, rejeter ceux qui n'ont aucun sens ou qui 
ne definissent pas un nombre. Tant que I'ensemble E n'est pas defini, ceux de 
ces assemblages ou figure le nom de cet ensemble sont denues de sens et doivent 



REFLEXIONS SUR DEUX NOTES. 117 

tre rejetes. Quand on a defini Fensemble E ? ils prennenl un sens et il faut les 
reprendre. La demons Libation dc M. Richard suppose au contraire que Ton fait 
ce triage d'un seul coup ct sans s'y reprcndro a plusieurs fois. 

Je ne puis resister a la tentation de rappeler ici un exemple curieux cite 
par M. Russell et ou 1'on rctrouve la mfime contradiction apparente, expliquee 
de la m6me manure, mais ou 1'on n'a pas a envisager Pinfini, ce qui permet 
pcut-trc de mieux se rendre compte des faits. Quel est le plus petit nombre 
qui n'est pas susceptible d'etre defini par une phrase form6e de moins de 
cent mots frangais ? Ce nombre existe~t-il ? 

Oui, car par une phrase form6e de moins de cent mots francais, on peut 
definir au plus 7i iQQ nombres, n etant le nombre des mots du dictionnaire 
francais. On nc peut done definir tous les nombres, et parmi ceux qui ne 
peuvent P6tre il y en a certainement un qui est plus petit que tous les autres et 
qui est par la enti&rement defini. 

Non, car ce nombre s'il cxistait impliquerait contradiction; car il serait defini 
par une phrase de moins de cent mots, a savoir par la phrase m6me qui annonce 
qu'il ne peut pas Petre. 

C'cst que cette phrase tantot a un sens, tantot n'en a aucun, selon que tous 
les autres nombres ont ete ou n'ont pas ete prealablement definis. 

4. J'arrive a la derni&re objection de M. Schonflies ( 9). M. Richard a tort 
de dire d'apr&s lui que toute definition introduisant la notion de Pensemble 
total A doit tre ray^e de son tableau. Et M. Schonflies cherche a le prouver 
par un exemple. II consid&re une s&rie de definitions d, G 2 , . . . etl'ensemble G 
de ces definitions. Aucune de ces definitions, excepte la definition G 7 . (ou r 
est un nombre impair} n'introduit la notion de 1' ensemble G. Quant a G r? elle 
defmit une fraction decimale 6 r en nous apprenant que la p i6rac decimale de 8 r 
depend d'aprfcs une certaine loi de la /Ji i6mo decimale de la fraction d^ definie 
par la definition G^> Done dans la definition G r figure la notion du 2 I6me ele- 
ment G 2 ^ de Fensemble G, et par consequent la notion de Pensemble G. 
M. Richard la rayerait done de son tableau, et cependant elle est exempte de 
contradiction et de cercle vicieux. 

Cette objection est sans valeur. Et en effetnous pouvons definir Pensemble G' 
forme par les elements d'ordre pair G 2 , G 4 , . . . . 

Soit alors 8 r la fraction decimale dont la p. i6rae decimale depend d'apr&s une 
certaine loi de la p. 16mo decimale de la fraction d^ defmie par le p.^ me element G^ 
de Pensemble G', 



REFLEXIONS SUR DEUX NOTES. 



Cetle phraso que je puis appeler G' r a m^me sons quo la phrase G,., mais elle 
n'inlroduit plus la notion de Fensemble G, mais souloment celle de 
Fensemble G'. Ces deux phrases figuroront dans le tableau de M. Richard; 
mais G r devra 6tre offacee comme contenant la notion de G, tanclis que G',. qui 
est independanle de cette notion devra 6lre conserved. La fraction 3,. qui est 
definie aussi bien par G' r quo par G,. restera done dans noire tableau des 
fractions 8^. II n'y a done la aucune difficult. 

5. Je vous envoie en meme temps une Note de M. Zermelo. Cette Note n'a 
pu me convaincre el M. Zermelo ne s'en etonnera pas; puisqu'il signale lui- 
mtime que la definition de Fensemble qu'il appelle M est de celles que je ne 
rogarde pas comme legitimes. Je sais que M. Zermelo doit exposer ses idt;es sur 
ce point dans un. Memoire plus etendu, mais ce Memoire n'ayantpas encore ete 
public, il convient d'cn attendre la publication pour apprecier ses raisons. 

Je ne puis me faire pour le moment une idee de ces raisons que par les 
quelques lignes qui sont a la lin du paragraphe 3; et je vais tacher de retablir 
Fobjection de M. Zermelo, sans, je Fespere, m'e'carter de sa pensee. 

Je veux demontrer qu'une Equation algebrique F = o a toujours une racine; 
pour cela je remarque que |F esl toujours positif et a par consequent une 
limite inferieure ou minimum, qu'une fonction continue atteint loujours son 
minimum, et je dtSmontre enfin que | F | nc peut avoir d'autre minimum que 
ze"ro ; j'en conclus qu'il y a un point pour lequel F | = o. 

Dans cette demonstration on parle : i de Fensemble E des valeurs do F ; 
a de Fune de ces valeurs e qui est la plus petite de toutes celles deE; el 3 de 
la valeur correspondante de x. La definition de e ou figure Fensemble E est 
non predicative, puisque la notion de E devrait etre a la fois anterieure a celh* 
de e dont la definition depend de E et posterieure a celle de e qui est un element 
de E. On ne pourrait done rejeter Femploi des definitions non predicatives sans 
rejeter une demonstration admise par tous les mathematiciens. 

Cela serait grave ; heureusement il est aise de remettre la demonstration sur 
ses pieds sans y laisser subsister de petition de principe. Soit x la variable 
independante; soit y une valeur de x dont les parties reelle et imaginaire soient 
des nombres rationnels (je dirai pour abreger que y est une valeur rationnello 
de x}. Soit E' Fensemble des valeurs que peut prendre | F(j) |. Soit e la limite 
inferieure, ou minimum des diverges valeurs de Fensemble E'. 

On demontre ensuite successivement qu'il y a une valeur de x non rationnelle 
en general et telle que \F(x)\ = e, et que e ne peut Stre different de zero. 



REFLEXIONS SUR DEUX NOTES. Iig 

La petition de principe a disparu puisque dans la definition de e figure 
seulement la notion de 1'cnsemble E' et que e ne fait pas en general partie de E ! . 
Si Ton examine avec quelque attention les details de la demonstration d'ailleurs 
bien connue, dont nous n'avons fait que rappeler les lignes generales, on 
reconnaitra que e'en est bien la le veritable sens. 

Plus generalement, si nous envisageons un ensemble E de nombres reels 
positifs, par exemple, on peut de'montrer que cet ensemble possede une limite 
inferieure e] cette limite inferieure est definie apres 1'ensemble E; et il n'y a 
pas de petition de principe puisque e ne fait pas en general partie de E. Dans 
certains cas particuliers, il peut arriver que e fasse partie de E. Dans ces cas 
particuliers, il n'y a pas non plus de petition de principe puisque e ne fait pas 
partie de E en vertu de sa definition, mais par suite d'une d6monstration 
posterieure a la fois a la definition de E et a celle de e. 

La raison invoquee par M, Zermelo ne saurail done suffire pour justifier 
Femploi des definitions <c non predicatives , car Fassimilation qu'il fait est 
inexacte. M. Zermelo invoque egalement Fautorite de MM. Peano et Russell; 
je ferai seulement remarquer que M. Peano se borne a une affirmation qu'il ne 
justifie pas, et que M. Russell admet au contraire que les definitions non 
predicatives ne sont pas legitimes en general (c'est mme lui qui a employe le 
premier le mot de non predicatif), rnais qu'elles peuvent I'&tre a certaines 
conditions dont je n'ai pu comprendre Fenonce. 



UBER TRANSFINITE ZAHLEN 



Seeks Vortrdge iiber ausgewdhlte gegenstande aits der reinen Mathematik 
und mathematischen P/iysiL, FiinfUT Vorlrag, p. 4'j-^i iS (-'7 avril 1909). 



Meine Herren ! Ich will heute iiber den BegrifT der Lransfiniten Kardi- 
nalzahl vor Ihnen sprechen; und zwar will ich zumichstvoneinem scheinbareii 
Widerspruch reden, den dieser Begrift* enthult. Dazu schicke ich folgendes 
voraus : meiner Ansicht nach ist ein Gegenstand nur dann denkbar, wenn er 
sich mil einer endlichen Anzahl von Worten defmieren Uisst. Einen Gegen- 
stand, der in diesem Sinne endlich defmierbar ist, will ich zur Abki'irzung 
einfach ,,definierbar u nennen. Demnach ist also ein nicht definierbarer 
Gegenstand auch undenkbar. Desgleichen will icli ein Geselz ,,aussagbar u 
nennen, wenn es in einer endlichen Anzahl von Worien ausgesagt werden 
kann. 

Herr Richard hat nun bewiescn, dass die Gesamtheit der deiinierbaren 
Gegenstande abzahlbar ist, d. h. dass die Kardinalzahl dieser Gesamtheit 
Xo ist. Der Beweis ist ganz einfach : sei a die Anzahl der Worter des Worter- 
buches, dann kann man mit n Wortern hochstens v.' L Gegensliinde dcfinieren. 
Lasst man nun n iiber alle Grenzen wachsen, so sieht man, dass man nie iiber 
eine abzlhlbare Gesamtheit hinauskommt, Die Machtigkeit der Menge der 
denkbaren Gegenstande Ware also X * Herr Schoenflies hat gegen diesen 
Beweis eingewandt, dass man mit einer einzigen Definition mehrere, ja sogar 
unendlich viele Gegenstande definieren k6nne. Als Beispiel fiihrt er die 
Definition der konstanten Funktionen an, deren es offenbar unendlich viele 
gibt. Dieser Einwand ist deshalb unzulassig, weil durch solche Definitionen 
gar nicht die einzelnen Gegenstande, sondern ihre Gesamtheit, in unserem 
Beispiel also die Menge der konstanten Funktionen defimert wird, und diese 



USER TRANSFINITE ZAHLEN. I*il 

isl ein einziger Gegensiand. Der Einwand von Herrn Schocnflies 1st also nicht 
stichhallig. 

Nun hat bekanntlich Cantor bewiesen, dass das Konlinuum nicht abzahlbar 
ist; dies vvidersprichl dem Beweise von Richard. Es fragt sich also, welcher 
von beiden Beweiscn. riclnig ist. Ich beliauptc, sie sind beide richtig, und der 
Widerspruch ist nur ein scheinbarer. Zur Begriindung dioser Behauptung 
will ich einon neuen Bevveis fur den Cantorschen Satz geben : Wir nehmen 
also an, es sei eine Strecke AB gegcben und ein Gesetz, durch welches jedem 
Punkte der Strecke eine ganze Zahl zugeordneL wird. Wir wollen der Ein- 
fachheit halber die Punkte durch die ihnen zugeordneten Zahlen bezeichnen. 
Wir teileii nun unsere Strecke durch zwei beliebige Punkle A! und A 2 in drei 
Tfeile, die wir als Unterstrecken i. Stufe bezeichnen; diese teilen wir wieder 
in je drei Teile und erhalten Unterstrecken 2. Stufe; dieses Verfahren denken 
wir uns ins Unendliche forlgesetzt, wobei die Lilnge der Unterstrecken unter 
jede Grenze sinken soil. Der Punkt i gehort nun einer oder hochstens, wenn 
er mit At oder A 2 zusammenfallt, zweien der Unterstrecken erster Stufe an, es 
gibt also sicher eine, der er nicht angehort. Auf dieser suchen wir den Punkt 
mil der niedrigsten Numrner, die nun mindestens a sein muss, auf. Unter 
den 3 Unterstrecken 2. Stufe, die zu derjenigen Strecke i. Stufe gehoren, aut 
der wir uns befinden, ist nun wieder mindestens eine, der der zuletzt betrachtete 
Punkt nicht angehort. Auf dieser sctzen wir das Verfahren fort und erhalten 
so eine Folge von Strecken, die folgende Eigenschaften hat : jede von ihnen ist 
in alien vorhergehenden enthalten, und eine Strecke n tcr Stufe enthalt keinen 
der Punkte i bis n i . Aus der ersten Eigenschaft folgt, dass es mindestens 
einen Punkt geben muss, der ihnen alien gemeinsam ist; aus der zweiten 
Eigenschaft folgt aber, dass die Nummer dieses Punktes grosser sein muss als 
jede endliche Zahl, d. h. es kann ihm keine Zahl zugeordnet werden. 

Was haben wir nun zu diesem Beweise vorausgesetzt? Wir haben ein 
Gesetz vorausgeselzt, das jedem Punkte der Strecke eine gaiize Zahl zuordnet. 
Dann konnten wir einen Punkt defmieren, dem keine ganze Zahl zugeordnet 
ist. In dieser Hinsicht unterscheiden sich die verschiedenen Beweise dieses 
Satzes nicht. Dazu musste aber das Gesetz zuerst feststehen. Nach Richard 
mttsste anscheinend ein solches Gesetz existieren, aber Cantor hat das 
Gegenteil bewiesen. Wie kommen wir aus diesem Dilemma heraus? Fragen 
wir einmal nach der Bedeutung des Wortes , , defmierbar ' ' . Wir nehmen die 
Tafel aller endlichen Satze und streichen daraus alie diejenigen, die keinen 
H. P. - XI. r6 



122 UBER TRANSFINITE ZAHLEN. 

Punkt definieren. Die Uebrigbleibenden ordnen wir don ganzon Zahlen zii. 
Wenn wir jetzt die Durchmusterung der Tafel von neuem vornehmen, so wird 
es sich im allgemeinen zeigen, dass wir jetzt einige Siitze stehen lassen mussen, 
die wir vorher gestriclien haben. Denn die Satze, in welchen man von dem 
Zuordnungsgesetz selbst sprach, hatten fruher keine Bedeutung', da die 
Punkte den ganzen Zalilen noch niclu zugeordnet waren. Diese Siilze haben 
jetzt eine Bedeulung, und mussen in unserer Tafel bleiben. Warden wir 
jetzt ein neues Zuordnungsgesetz aufslellen, so wi'irde sich dieselbe Schwie- 
rigkeit wiederholen und so ad infinitum. Hierin liegt aber die Losung des 
scheinbaren Widerspruchs zwischen Cantor und Richard. Sei M die Menge 
der ganzen Zahlen, MI die Menge der nach der ersten Durchmusterung der 
Tafel aller endliclien Satze definierbaren Punkte unserer Strecke, GI das 
Gesetz der Zuordnung zwischen beiden Mengen. Durch dieses Gesetzkommt 
eine neue Menge M 2 von Punkten als definierbar hinzu. Zu MI + M a gehort 
aber ein neues Gesetz G 2 , dadurch entsteht eine neue Menge Ma usw. Richards 
Beweis lehrt nun, dass, wo ich auch das Verfahren abbreche, immer ein Gesetz 
existiert, wahrend Cantor beweist, dass das Verfahren beliebig weit fortgesetzt 
werden kann. Es besteht also kein Widerspruch zwischen beiden. 

Der Schein eines solchen riihrt daher, dass dem Zuordnungsgesetz von 
Richard eine Eigenschaft fehlt, die ich mit einem von den englischen Philo- 
sophen entlehnten Ausdruck als ,, pradikativ u bezeichne, (Bei Russell, dem 
ich das Wort entlehne, ist eine Definition zweier Begriffe A und A ; niclit prii- 
dikativ, wenn A in der Definition von A' und umgekehrt vorkommt). Ich 
verstehe darunter folgendes : Jedes Zuordnungsgesetz setzt eine bestimmlc 
Klassifikation voraus. Ich nenne nun eine Zuordnung pradikativ, wenn die 
zugehorige Rlassifikation pradikativ ist. Eine Klassifikation aber nenne ich 
pradikativ, wenn sie durch Einfuhrung neuer Elemente nicht verandert wird. 
Dies ist aber bei der Richardschen nicht der Fall, vielmehr andert die Ein- 
fuhrung des Zuordnungsgesetzes die Einteilung der Satze in solche, die eine 
Bedeutung haben, und solche, die keine haben. Was hier mit dem Wort 
,, pradikativ C gemeint ist, lasst sich am besten an einem Beispiel illustriererx : 
wenn ich eine Menge von Gegenstanden in eine Anzahl von Schachteln einord- 
nen soil, so kann zweierlei eintreten : entweder sind die bereits eingeordneten 
Gegenstande endgtiltig an ihrem Platze, oder ich muss jedesmal, wenn ich 
einen neuen Gegenstand einordne, die anderen oder wenigstens einen Teil von 
ihnen wieder herausnehmen. Im ersten Falle nenne ich die Klassifikation 



"liBER TRANSFINITE ZAHLEN. 123 

pradikativ, im zwciten nicht. Ein gates Beispiel far einc nicht pradikative 
Definition hat Russell gegeben : A sei die kleinste gauze Xahl, deren Defi- 
nition mehr als hundert deuLsclie "Worte erfordert. A muss existieren, da man 
mil hundert Worten jedenfalls nur eine endliche Anzahl vonZahlen definieren 
kann, Die Definition, die wir cben von dieser Zahl gegeben haben, enthtilt 
aber vveniger als hunderl Wortc. Und die Zahl A ist also definiert als 
undefinierbar. 

Zermelo hat nun gegcn die Verwcrfung der nicht priidikativen Definitionen 
den Einwand erhoben, dass damit auch ein grosser Teil der Mathematik 
lunfallig wtirde, z. B. der Beweis ff'ir die Existenz einer Wurzel einer alge- 
braischen GleicKung. 

Dieser Beweis laulet bekannllich folgendermassen : 

Gegeben ist eine Gleichung F(#) = o. Man beweist nun, dass |F(#) | ein 
Minimum habcn muss; sei # einer der Argumentwerte, fur den das Minimum 
eintritt, also 



Daraus folgt dann weiter, dass F(# )~oist. Hier ist nun die Definition 
von F(# ) nicht pradikativ, denn dieser Wert hiingt ab von der Gesamtheit 
der Wertc von F(^), zu denen er sclbst gehort. 

Die Berechtigung dieses Einwandes kann ich nicht zugeben. Man kann den 
Beweis so umformen, dass die nicht pradikative Definition daraus versch- 
windet. Ich belrachte zu diesem Zwecke die Gesanatheit der Argunaente von 

der Form m "*" m , wo m, n^ p ganze Zahlen sind. Dann kann ich dieselben 

Schlusse wie vorher ziehen, aber der Argumentwert, fur den das Minimum 
von | F (a?) | eintritt, gehort im allgemeinen nicht zu den betrachteten. Dadurch 
ist der Zirkel im Beweise vermieden. Man kann von jedem mathematischen 
Bevveise verlangen, dass die darin vorkommenden Definitionen usw. pradikativ 
sind, sonst ware der Beweis nicbt streng. 

Wie steht es nun mit dem klassischen Beweise des Bernsteinschen Theo- 
rems ? 1st er einwandfrei? Das Theorem sagt bekanntlich aus, dass, wenn 
drei Mengen A, B, C gegeben sind, wo A in B und B in C enthalten isl, und 
wenn A Equivalent G ist, aucb A Equivalent B sein nruss. Es handeltsicb also 
aucb hier um ein Zuordnungsgesetz. Wenn das erste Zuordnungsgesetz 
(zwischen A und C pradikativ ist, so zeigt der Beweis, dass es aucli ein pradi- 
katives Zuordnungsgesetz zwischen A und B geben muss, 



12$ UBER TRANSFINITE ZAHLEN. 

Was nun die zweite transfinite Kardinalzahl Xi betrifft, so bin ich nicht 
ganz ttberzeugt, dass sie existiert. Man gelangt zu ihr durch Betrachtung der 
Gesamtheit der Ordnung'szahlen von der Miichtigkeit K ; es is I klar, dass diese 
Gesamtheit von hoherer Miichtigkeit sein muss. Es fragt sich aber, ob sie 
abgeschlossen ist, .ob wir also von ilirer Machtigkeil oline Widerspruch 
spreclien durfen. Ein aktual Unendliches gibt es jedenfalls nicht. 

Was liaben wir von dem beruhmten Kontinuumproblem zu halten? Kann 
man die Punkte des Raumes wohlordnen ? Was meinen wir damit? Es sind 
hier zwei Falle moglich : entweder behauptet man, dass das Gesetz der 
Wohlordnung endlich aussagbar ist, dann ist diese Behauptung nicht bewiesen; 
auch Herr Zermelo erhebt \vohl nicht den Anspruch, ^ine solche Behauptung 
bewiesen zu haben. Oder aber wir lassen auch die Moglichkeit zu, dass das 
Gesetz nicht endlich aussagbar ist. Dann kann ich mil dieser Aussage keinen 
Sinn mehr verbinden, das sind fur mich nur leere Worte. Hier liegt die 
Schwierigkeit. Und das ist wohl auch die Ursache fiir den Streit fiber den 
fast genialen SaLz Zermelos. Dieser Streit ist sehr merkwiirdig : die einen 
verwerfen das Auswahlpostulat, halten aber den Beweis fiir richtig, die 
anderen nehmen das Auswahlpostulat an, erkennen aber den Beweis fiir 
richtig, die anderen nehmen das Auswahlpostulat an, erkennen aber den 
Bew r eis nicht an. 

Doch in konnto noch manche Stunde dariiber sprechen, ohne die Frage zu 
losen. 



LA NOTATION DIFFERENTIELLE 
ET L'ENSEIGNEMENT 



VEtiscignement niatMrnatiqac, t. 1, p. 106-110 (j5 mars iSyij). 



Dans un article trfcs inte'ressant de M. H. Laurent (*) sur les malhe~matiques 
spe"ciales en France, je lis la phrase suivante. Ce n'est pas, je pense, ici qu'il 
convient de montrer combien la notation diflferenliellc est plus commode que 
celle des de'rive'es; c'est aux gens compe'tents que je in'adresse et non a des 
cloves, et je pense que personne ne contestera la haute porte'e philosophique 
de la doctrine diffe'rentielle. ;> 

Je ne clirai pas que j'ai lu cette phrase avec tHonnemcnt; car elle exprime 
une opinion assez re'panduc; mais, en ce qui me concerne, je conteste abso- 
lumcnt les avantages de la notation diflorcntielle et je crois qu'on ne doit 
1'enseigner aux debutants que quand ils sont d'e'ja familiarises avec la notation 
des de'rive'es. 

La notation de Leibniz, dit M. Laurent, est plus commode que celle de 
Lagrange. Pourquoi plus commode? J'en cherche les raisons et je n'en trouve 
que deux : 

i Si on emploie les accents pour repr6senter les de'rive'es, on sera prive" de 
cette ressource pour distinguer les unes des autres des quantite's analogues, 
mais diffe>entes ; on ne pourra plus dire, par example : soient #, y : z, eta?', 
y\ z ] , deux points dans Fespace; 

2 Pour faire connaitre la variable par rapport a laquelle on difl^rentie, il 
faut affecter les letlres d'indices qui peuvent devenir g^nants pour le typographe 
si la lettre porte d6ja d'autres indices pour une autre cause. 

(*) Voir VEnseignement mathernatique, n 1, p. 38. 



126 LA NOTATION DIFFERENTIELLE. 

Ge sont la des inconve'nienls tout mate'riels, tout exie'rieurs et qui peuvent 
tre compense's par des avanlages de me'me ordre, tel que le suivant : 

Je veux repre"senter la valeur que prend la de'rive'e dc /(#) pour x = o; je 
n'ai aucun moyen de le faire avec la notation de Leibniz ; avec celle dc 
Lagrange je n'ai qu'a 6crire/'(o). 

Mais, dira-t-on, c'est la prendre la question par le petit cote. Que sont cos 
considerations purement materielles aupres de la haute portt$e philosophiquc 
d'une notation qui rappelle a chaque instant la definition, le sens proibnd des 
quantite's que Ton a a manier? 

Helas, elle ne les rappelle que trop, et il vaudrait mieux les rappeler moins 
que de les rappeler imparfaitement. Neuf ibis sur dix, on n'e>itera les erreurs 
qu'en tachant d'oublier la signification primitive de ces symboles; c'est ce que 
je vais montrer bientot. 

Quant a moi, j'emploie d'ordinaire la notation diffe'rentielle, d'abord parcc 
que c'est la langue que parlent la plupart de mes contemporains et ensuite a 
cause des petites raisons mat6rielles que j'ai expose'es plus haut. Mais si j'e'cris 
en diffe'rentielles , le plus souvent je pense en de'rive'cs. 

J'ai dit que la notation diffe'rentielle est impartaite et nous expose a 1'erreur; 
c'est ce qu'il me reste a demontrer. 

Tout va bien quand on se borne aux diffe'rentielles du premier ordre et quand 
il n'j a qu'une variable mde"pendanle. Oh alors, j'approuve sans reserve lout 
ce qu'on peul dire au sujet de la port6c philosophique du symbole leibnizien el 
de ses avantages. 

Mais, des que Ton passe aux de'rivees du second ordre, on nage dans Pabsur- 
dit6; soit z une fonction d'une variable y qui est elle-mOmc fonction de x\ 
j'ecris 

d'*s _ cfiz dy- dz d-y 
~cLv* ~~ ~df* TUP "*~ "dy ~dx^ 

Dans cette formula j'e'cris deux fois d^z, et cc symbole a deux significations 
differentes. Dans le second membre, il signifie que si je donne a y deux 
accroissements successifs egaux, la fonction z subit deux accroissernents 
successifs dz et dz -^d^z* Dans le premier, il signifie que si je donne a x 
deux accroissements successifs <gaux, d'ou re"sultent pour y deux accrois- 
sements successifs inegaux, la fonction z subit deux accroissements successifs 
dz et dz + d*z. 



LA NOTATION DIFFERENTIELLE. 127 

La difficult^ s'aggrave si Ton a plusieurs variables ind(5pendantes ; j'^cris 

, dz , dz 
dz = -r- ax H dr. 
dx dy J 

La encore nous avons trois fois le symbole dz avec trois significations diff6- 
rentes. La premiere fois dz repr^sente 1'accroissement subi par z quand x et y 
se changent en x + dx et y -+- dy ; la seconde fois 1'accroissement de z quand 
x ety se changent en x-\-dx ety; la troisi&me fois 1'accroissement de z quand 
x et y se changent en x et y -+- dy. 

Que de pi^ges a viter ! Aussi les debutants ne les <5vitent-ils pas. J'ai vu un 
6lve intelligent et dja avanc exposer comme il suit la ihgorie de la vitesse du 
son, en masquant settlement par quelques artifices ce que sa demonstration 
avait de choquant. 

Nous avons a int^grer liquation 



je divise par d-z et je multiplie par d^r' 2 ; j'ai 



d'ou 

dx 



ce qui prouve que le son peut sc propager dans les deux sens avec la vitesse a. 

C'est singulier, r^pondait Fexaminateur, excellent physicien que je ne veux 
pas nommer; votre demonstration est bien plus simple que toutes celles que je 
connaissais ; et il lui donna la note 19. 

Si je voulais &tre m^chant, il ne serait pas difficile de trouver des erreurs 
analogues dans des livres imprimis. 

L'emploi des d ronds est un palliatif insuffisant. Ce n'est pas deux formes de 
d qu'il faudrait, il en faudrait cinq, il en faudrait dix. 

Pourquoi en somme est-on peu choqu6 de ces anomalies, pourquoi engen- 
drent-elles relativement peu d'erreurs? C'est parce qu'on oublie 1'origine de 
ces notations, qu'on ne consid^re pas -T~ comme le quotient de deux qualities 
d-z et dx 1 envisag(jes s6par6ment, mais qu'on regarde au contraire cette frac- 
tion comme un bloc, comme la dt5rive seconde de z par rapport a x. C'est en 
un mot parce qu^on pense en derivees. 

II faut done apprendre & penser en d^riv^es ; quand on aura pris cette habi- 
tude on pourra sans danger se servir de la notation leibnizienne. Ilestclairque 



128 LA NOTATION DIFFERENTIELLE. 

le meilleur mojcn de donner cette habitude aux eleves, c'cst clc leur enseigner 
d'abord la notation de Lagrange. Quand ils s'eront familiarises avec cc langagc, 
quaiid ils s'en seront servis dans de nombreux exercices, quand ils sauronl 
faire un changement de variables, on pourra sans inconvenient leur parler de 
la notation de Leibniz. Jusque-la on doit s'en abslenir, ou tout au moins se 
borner aux differentielles du premier ordre et settlement dans le cas ou il 
riy a gu'une variable independante. 

Si au contraire des le debut on veut leur apprendre a la ire des changcments 
de variables avec la notation de Leibniz, ils ne sauront jamais les fairc correc- 
tement. 

Je ne veux pas dire qu'il ne faut pas, plus tard, leur enseigner la notation 
diffe'rentielle ; ils faut qu'ils puissent manier ce langage qui est usite" par lout le 
monde, de m&mc qu'il faut savoir 1'allemand, bien que cette langue ait des 
regies de construction ridicules et un alphabet qui n'a pas de sens comnum, 
parce qu'elle est parl6e par soixante millions d'hommes dont beaucoup soul 
des savants. 

II est un cas cependant ou la notation diffe'rentielle reprend tons ses a van- 
tages, ou ses inconve"nients disparaissenl, et ou Ton ne pent lui refuser une 
haute valeur philosophique et Educative. C'est celui ou 1'on n'envisage quo des 
diffe'rentielles du premier ordre et avec une seule variable inde'pendanle. II 
peut 6tre utile de se familiariser de bonne heure avec celte notion, d'apprendre 
ainsi a raisonner correctement sur les infmiment petits. On comprenclra ainsi 
tacilement la the'orie des petites erreurs, si importante pour la pratique. 

En re'sume", en mathdmatiques spticiales, on doit employer presque exclusi- 
vement la notalion de Lagrange; on fera connaitre aux (Sieves les difl'drenliello.s 
premieres, en insistanL surtout sur le cas ou il n'j a qu'une variable indepen- 
dante. Si Ton aborde le cas ou il y en a plusieurs, on se servira exclusiveuiont 
de la notation de Lagrange pour les de'rive'es partielles ; on n'e'crira jamais 

if f) f i () /' r 

d = -/- dx -+- -: - dy\ 
J dx dy </5 

mais 

clf^Jldx-*-j" y dy, 

On s 1 abstiendra absolument de parler des differ etitielles secondes. 
A Pficole polytechnique et dans les Faculty's, on enseignera la notation diffe'- 
rentielle et on 1'emploiera de pr6fe"rence. 



LA LOGIQUE ET I/INTUITION 

DANS 

LA SCIENCE MATHEMATIQUE ET DANS L'ENSEIGNEMENT 



L'eiiseignetnent niatkematique, t. J, p. 157-1612 ( i5 mai 1889). 



Pour bien faire comprendre la question que je vais trailer et qui est a mes 
yeux d'une importance capilalc pour Penseignemcnt mathgmatique, il faut que 
jc jette un petit coup d'oeil retrospectif sur 1'histoire du de'veloppement de la 
science. 

Si nous lisons un livre 6crit il j a cinquante ans, la plupart des raisonne- 
ments que nous j trouverons nous sembleronl de'pourvus de rigueur. 

On admcLtait a cette 6poque qu'une fonction continue ne peut pas changer 
de signe sans s'annuler; on le de'nionlre aujourd'hui; on admettait que les 
regies ordinaircs du calcul sont applicables aux nombres incommensurables ; 
on le clgmontre aujourd'hui. On admeUait bien d'autrcs choses qui quelquefois 
etaient fausses. 

Nous voyons done qu'on a marcli6 vers la rigueur; j'ajouterai qu'on Fa 
alteinte et que nos raisonnements ne paraitrontpas ridicules a nos descendants ; 
je veux parler, bien entendu, de ceux de nos raisonnements qui nous satisfont. 

Mais comment a-t-on atteinl la rigueur? C'est en restreignant de plus en 
plus la part de 1'intuition dans la science, et en faisant plus grande celle de la 
logique formelle. Autrefois, on partait d'un grand nombre de notions, regard <3cs 
comme primitives, irre'ductibles et inluitives ; telles <5taiont celles de nombre 
entier, de fraction, de grandeur continue, d'espace, de point, de ligne, de 
surface, etc. Aujourd'hui une seule subsiste, celle du nombre entier; toutes les 
autres n'en sont que des combinaisons, et a ce prix on atteint la rigueur 
parfaite. 

Nos peres inscrivaient dans une aire plane une se>ie de rectangles, et 
obtenaient comme limite de la somme de ces rectangles une inte'grale qui repr^- 

H. P. XL 17 



l3o LA LOGIQUE ET L'lNTUITION. 

sentait cctte aire plane. En effet, disaient-ils, la difference entre la surface 
cherchee et la somme tend vers zero ; car on pent la rendre plus petite que 
toute quantity donne'e. Us faisaient ce raisonnement sans scrupule, parce qu'ils 
crojaient savoir ce que c'est qu ? une surface. Nous, au contraire, ce raisonne- 
ment ne nous satisfait plus, parce que nous savons qu'on ne sait pas ces choses- 
la en naissant, qu'on ne peut savoir ce que c'est qu'une surface que quand on 
sait le calcul integral. Nous ne demontrons plus que la surface est e'gale a 
1'integrale, mais nous considerons 1'integrale comme la definition de la surface. 
Cette notion de surface, autrefois fondle sur 1'intuition, ne nous parait plus 
legitime par elle-meme. 

D'autre part, les notions mathematiques n'ont acquis cette purete parfaite 
qu'en s'eloignant de la realite. On peut parcourir tout le domaine mathema- 
tique sans rencontrer aucun des obstacles qui le herissaient autrefois ; mais ces 
obstacles n'ont pas disparu, ils ont seulement ete transport's a la frontiere; et 
1'on aura a les vaincre de nouveau si Ton veut franchir cette frontiere pour 
entrer dans le domaine de la pratique. 

On possedait une notion plus ou moins vague, forme'e d'elements disparates, 
les uns a priori, les autres fournis par la generalisation de donn6es d'expe- 
riences ; on croyait connaitre par intuition ses principales proprietes. Aujour- 
d'hui on rejette tous les elements empiriques, on ne conserve que les elements 
a priori; on prend 1'une des proprietes pour definition et on en deduit toutes 
les autres par un raisonnement rigoureux. Mais il reste a prouver que la 
propriete qui sert de definition appartient en effet aux objets reels, que nous 
connaissions par 1'experience, et d'ou nous deduisions autrefois la notion 
intuitive par une generalisation inconsciente. G'esl ce que M. Milhaud a fort 
bien mis en evidence dans la these qu'il a soutenue devant la Faculte des 
Lettres de Paris. 

Voila dans quel sens la science a evolue depuis un demi-siecle. 

C'est alors qu'on vit surgir toute une foule de fonctions bizarres qui semblaieiit 
s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honne'tes fonctions qui 
servent a quelque chose. Plus de continuite, ou bien de la continuite, mais pas 
de derivees, etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions 
etranges qui sont les plus generates ; au contraire, celles qu'on rencontre sans 
les avoir cherchees, et qui suivent des lois simples, n'apparaissent plus que 
comme un cas tres particulier; il ne leur reste plus qu'un tout petit coin. 

Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'etait en vue de 



LA LOGIQUE ET L'lNTUITION. l3l 

quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprs pour mettre en 
defaut les raisonnements de nos p&res, et on n'en tirera jamais que cela. 

Or, si la logique doit 6tre notre seul guide dans les questions d'enseignement, 
c'est e>idemment par les fonctions les plus bizarres qu'il faut commencer. 
C'est le debutant qu'il faut d'abord familiariser avec ce muse t6ratologique. 
Faute de 1'avoir fait, on n'atteindra jamais la rigueur, ou on ne 1'atteindra 
que par Stapes. 

Voila a quoi la logique absolue voudrail nous condamner; devons-nous lui 
fairc ce sacrifice? Telle est la question a laquelle, pour mon compte, je n'h^site 
pas u repondre non. 

Sans cloute il est dur pour un maitre d'enseigner un raisonnement qui ne le 
satisfait pas enti&rement; et ce ne sera a ses jeux qu'un palliatif insuffisant de 
dire : nous admettons que, ou : il arrive souvent que, au lieu de dire : il est 
Evident que. 

Mais la satisfaction dxi maitre n'est pas 1'unique objet de 1'enseignement, et 
Ton doit se prt^occuper avant tout de ce qu'est 1'esprit de l'6lve et de ce qu'on 
veut qu'il devienne. 

Les zoologistes pretendent que le d^veloppement embrjonnaire d'un animal 
resume en un temps trs court toute 1'histoire de ses anc^tres des epoques 
g^ologiques. II semble qu'il en est de m6me du developpement des esprits. La 
tache de 1'educateur est de faire repasser 1'esprit de 1'enfant par ou a pass6 
celui de ses p&res, en passant rapidement par certaines Stapes mais en n'en 
supprimant aucune. A ce compte, 1'histoire de la science doit &tre notre guide. 

Quand un l&ve commence s6rieusernent a etudier les math^matiques, il 
croit savoir ce que c'est qu'une fraction, ce que c'est que la continuity, ce que 
c'est que 1'aire d'une surface courbe ; il considre comme Evident, par cxemple, 
qu'une fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler. Si, sans 
autre preparation, vous venez lui dire- : Non, tout cela n'est pas Evident, il faut 
que je vous le demontre ; et si dans la demonstration vous appujez sur des 
premisses qui ne lui semblentpas plus ^videntes que la conclusion, que pensera 
ce malheureux? II pensera que la science math6matique n'est qu'un entasse- 
ment arbitraire de subtilit^s inutiles ; ou bien il s'en d^goutera, ou bien il s'en 
amusera comme d'un jeu et il arrivera a un 6tat d'esprit analogue a celui des 
sophistes grecs. 

Au contraire, quand il sera plus avanc^, quand il se sera familiarise avec le 
raisonnement mathematique e! que son esprit se sera muri par cette frquen- 



132 LA LOGIQUE ET L'lNTUITION. 

tation meme, les doutes naitront d'eux-mmes, et alors votre demonstration 
sera la bien venue. Elle en eveillera de nouveaux, et les questions se poseront 
successivement a 1'enfant, comme elles se sont poshes successivement a nos 
p&res, jusqu'a ce que la rigueur parfaite puisse seule le satisfaire. II ne suffit 
pas de douter de tout, il faut savoir pourquoi Ton doute. 

Ce n'est pas tout; j'ai dit qu'au point de vue de la pure logiquo, il no resle 
plus qu'une notion irr6ductible, celle du nombre enlier, et que toutes les autres 
n'en sont que des combinaisons. Mais des combinaisons pareilles, on en pent 
imaginer des milliers ; pourquoi celles-la plutot que d'autres? Le choix ne 
s'explique que par le souvenir de la notion intuitive dont cette combinaison a 
pris la place; et si ce souvenir m&me fait d6faut, le choix semblera injuslifi(5. 
Or, pour comprendrc une th^orie, il ne suffit pas de constater que le chemin 
que Ton a suivi n'est pas coup<5 par un obstacle, il faut se rendre compte des 
raisons qui Font fait choisir. Pourra-t-on done jamais dire qu'on comprend 
une thcSorie si on veut lui donner <Tembl<Se sa forme definitive, cellc que la 
logique impeccable lui impose, sans qu'il reste aucune trace des tatonnements 
qui j ont conduit? Non, on ne la comprendra pas r<5ellement, on ne pourra 
mtime la retenir, ou on ne la retiendra qu'a force de 1'apprendre par cceur. 

Le but principal dcPcnseignementmath6matique est de d^velopper certaines 
faculties de 1'esprit, et parmi elles 1'intuition n'est pas la moms pr6cieuse. C'cst 
par elle que le mondc mathemalique rcste en contact avec le monde rtfel; et 
quand m6me les mathtjmatiques pures pourraient s'en passer, il faudrail 
toujours y avoir recours pour combler 1'abime qui s(5pare le symbole dc la 
ralit(3. Le praticien en aura done toujours besom, et pour un genome- tre pur il 
doit y avoir cent praticiens. 

Mais pour le gom&tre pur lui-mmc, cette faculty est necessaire; c'est par la 
logique qu'on d^montre, mais c'est par Fintuition qu'on invente ; et il ne suffit 
pas d'etre & m6me de critiquer les th6or&mes des autres, il faut en inventer de 
nouveaux. II ne suffit pas de savoir faire des combinaisons correctes, il faut 
poss^der Part de choisir entre toutes les combinaisons possibles. Get art, j'ui 
dit plus haut pourquoi, c'est Fintuition qui nous 1'apprend. Sans elle le 
g^om^tre serait comme un 6crivain qui serait ferr6 sur la grammaire, mais qui 
n'aurait pas d'id^es. 

Or, comment cette faculty sc d6velopperait-elle si d6s qu'elle se montre, on 
la pourchasse et on la proscrit, si on apprend a s'en d6fier avant de savoir ce 
qu'on en peut tirer de bon? 



LA LOGIQUE ET L'lNTUITION. 1 33 

Mais 1'art de raisonner juste n'est-il pas aussi une quality precieuse, que le 
professeur do rnath^matiques doit avant tout cultiver? Je n'ai garde de 1'oublier, 
et on doit s'en pntoccuper avant tout d&s le d(but; mais^on a assez d'occasions 
d'exercer les l6ves au raisonnement correct, dans les parties des math^matiques 
ou les inconv^nients que j'ai signals nc se pr^sentent pas. On a de longs 
enchainements de th<5or6mes ou la logique absolue a r6gn du premier coup el 
pour ainsi dire tout naturellement, qui ont par consequent consent la forme 
que les premiers gttom&tres leur avait donn^e. 

Ce qu'il faut 6viter seulement, c'est de chercher la petite b6te dans 1'exposi- 
tion des premiers principes. Celan'emp6cliepas d'apprendre a raisonner juste, 
pourvu que Ton aitsoin de ne pas donneraux 6ltjves des id^es fausses, Quelque- 
fois il faudra pour cela beaucoup de tact de la part du maitre; souvent il lui 
suffira, comme je 1'expliquais plus haut, de dire : nous admettrons que, au lieu 
de dire : il est Evident que. 

Parmi les jeunes gens qui recoivent une Education mathtoatique complete, 
les uns doivent devenir des ing&nieurs; ils apprennent la Geometric pour s'en 
servir; il faut avant tout qu'ils apprennent a bien voir et a voir vite ; c'est de 
1'intuition qu'ils ont besoin d'abord. Les autres, moins nombreux, doivent a 
leur tour devenir des maitres ; il faut done qu'ils aillent jusqu'au fond; une 
connaissance approfondie et rigoureuse des premiers principes leur est avant 
tout indispensable. Mais ce n'est pas une raison pour ne pas cultiver chez eux 
1'intuition, car ils se fcraient une idee fausse de la science s'ils ne la regar- 
daient jamais que d'un seul cottf, et d'ailleurs ils ne pourraient d^velopper 
chez leurs 6lves une qualite qu'ils ne possdderaient pas eux-m^mes. 

J'ai (5crit un bien long article sur une question bien abstraite et bien gn- 
rale. Pour que le lecteur me le pardonne, je vais (Snoncer quelques conclusions 
precises. 

En sp6ciales et dans la premiere ann^e d'ficole Poly technique, on ne parlera 
pas des fonctions sans d6riv6es, on n'en parlera que pour dire : il peut y en 
avoir, mais nous ne nous en occuperons pas. 

La premiere fois qu'on parlera aux dl&ves des int^grales, il faudra les d^fmir 
par les surfaces et ce n'est que quand ils auront pris beaucoup d'int^grales 
qu'on leur donnera la definition rigon reuse. 



NOTES 



Dans les tomes I a X des GEuvres de Henri Poincare a <H<3 ins<5r P ensemble 
des articles, notes, mdmoires, a caractre scientifique et classes par Ernest Lebon 
dans sa Bibliographic analytique des ecrits de Henri Poincare dans les 
sections Analyse math^matique, M^canique analytique et M6canique celeste, 
Physique math^matique. Figurent reproduits ci-dessus dans la premiere partie 
du tome XI quelques textes parmi les plus importants des publications 
de Henri Poincar classes dans la Bibliographie d'E. Lebori dans les sections 
Philosophie scientifique (articles, discours, conferences), Histoire des Sciences 
(discours n^crologiques, articles et notices n^crologiques, discours, rapports, 
articles, prefaces, analyses), Publications diverses (notes, articles, confe- 
rences, discours, rapports, prefaces, analyses). Nous y avons ajcmUS en outre 
les correspondances entre Henri Poincar^ et Mittag-Leffler, L. Fuchs et 
F. Klein publfees dans les tomes 38 et 39 des Ada mathematica. 

La Bibliographie d'Ernest Lebon mentionne done un grand nombre d'ecrits, 
qui ne seront pas ins(5r6s dans les ceuvres scientifiques. Parmi ceux-ci nous 
signalerons notamment Pimportante s6rie d'articles publics par Henri Poincare 
dans la Revue de Metaphysique et Morale. Toulefois ceux-ci ont pour la 
plupart <H6 r6insr6s sans modification par Henri Poincar6 dans ses Ouvrages 
de Philosophie scientifique. Citons : Le continu math6matique (Rev. Met. 
Mar., t. 1, 1898, p. 26-34) dans La Science et Vhypothese (chap. 2) ; Sur la 
Nature du raisonnement math&matique (ibid., t. 2, 1894, p. 371-384) dans 
La Science et Fhypothese (chap. 1); L'espace et la gomtrie (ibid., t. 3, 
1894, p. 63 1-646) dans La Science et Vhypothese (chap. 4) ; La mesure du 
temps (ibid., t. 6, 1898, p. i-i3) dans La valeur de la Science (chap. 2) ; Sur 
lavaleurobjectivede la Science (ibid., 1. 10, 1902, p. 263-2g3) dans La valeur 
de la Science (chap. 11) ; Uespace et ses trois dimensions (ibid., 1. 11, 1908, 
p. 28i-3oi et 4o7~49) dans La valeur de la Science (chap. 4) ; Les Mathg- 
matiques etla Logique (ibid., 1. 13, igoS, p. 8i5-835 et 1. 14, 1906, p. 17-34 



NOTES. l35 

et 294-317) dans Science et Methods (chap. 3) ; La logique de Vinfini (ibid., 
t. 17, 1909, p. 4^1-482) dans Dernieres pensees (chap. 4). De m6me la celebre 
conference de Henri Poincare' au Congres international des Mathe'maticiens 
tenu a Ziirich en 1897, Sur les rapports de V Analyse pure et de la Physique 
mathematique (Acta Math., t. 21, 1897, P- 33i-34i) a gte* re'inse're'e par 
H. Poincar dans La valeur de la Science (p. i36-i55) et 1'adresse de Henri 
Poincare' a la Section de Mathe'matiques du Congres international d'Arts et de 
Science de 1'Exposition universelle de Saint-Louis : L^etat actuel et V avenir 
de la Physique mathematique (Bull. Sc. math., 2 C s(3rie, t. 28, i re partie, 
1904, p. 802-824) ft cite republic^ dans La valeur de la Science (p. 170-21 1). 



HOMMAGES 



A HENRI POINCARE 



HENRI POINCARH 
EN MATHEMATIQUES SPECIALES A NANCY 



PAH P. APPELL 



(Lettre a M. Mittag-Leffler . ) 



Acta Mathematica^ t. 38, p. 189-195 ( 1921 ). 



Vous me demandez, mon cher ami, de vous raconter mes souvenirs de 
College sur Henri Poincar6. Je vais tacher de le faire, le plus simplemenl 
possible, avec le seul souci de la sincrit6 eL de la v6rit(3, sans me laisser 
dominer parl^motion que soul^ve en moi Invocation de ces annexes dejeunesse, 
& la fois si lointaines et si proches, ou naquil entre Poincar<3 et moi une amiti6 
profonde, cliaque jour accrue, si cruellement brisc^e. 

G'est en oclobre 1872 que je le vis pour la premiere fois. 

Apr6s les fetes de Paques, ma m6re m'avait envoy 6 de Strasbourg a Nancy, 
pour suivre la classe pr^paratoire a 1'ficole Poly technique. Je tombai, jeune 
colier inexpriment6, dans la classe de M. Pruvost, qui voulut bien m'admettre, 
quoique les cours fussent tr6s avanc^s, et qui me donna des conseils dont je lui 
garde une grande reconnaissance. A la rentr^e d'octobre, la classe de sp6ciales 
fut confine a un jeune agr6g6 des plus distingu6s, Elliot ( d ), math^maticien de 
valeur qui eut la plus heureuse influence sur tous les 6l&ves. 

C 1 ) Elliot, leve de la promotion de 1866 & PEeole Normale, agr5g6 en 1869, docteur en 1876 
apras soutenance d'une these : Determination du Jiombre des integrates abeliennes de premiere 
espece (Ann. tc. Norm. Sup., 2 C s6rie, t. 4); collaborates des Acta; mort en 1894, tant pro- 
fesseur a la Facult^ des Sciences de Besancon. Je tiens de M. le Recteur Liard le fait suivanl : 
pendant les vacances de Piques en 1878, Elliot, rencontrant ^ p^ris son camarade Liard, lui dit 
J'ai dans ma classe un leve qui est un monstre de math6matiques ; il parlait de Poincare" (P.A.). 



l4o H. POINCARE EN MATHEMATIQUES SPECIALES. 

Ds la premiere classe, un de mes camarades me dit, on montrant Poincare : 
voila un type tr&s fort, il vient d'etre recu second a 1'ficole Foresti&re, il a 
remporte le premier prix de malh^matiques el^mentaires au concours general, 
il a r^solu tout seul 1'ann^e derni^re le probl^me donn^ a 1'ficole Polytech- 
nique . 

La pliysionomie de Poincard me frappa : il n'avail pas, a premiere vue, le 
type ordinaire de Thieve intelligent : il etait comme absorb** dans ses pcnsees 
interieures, avec des yeux en quelque sorte voiles par la reflexion : quand il 
parlait, ses yeux s'animaient d'une expression de bont<5, a la fois malicieuse et 
profonde. Je me sentis allirt} vers lui : comme nous (Hions externes tous deux, 
nous ediangeames quelques mots en sortant. Je fus frapp6 de sa fagon de parler 
un pen breve et saccad6e, entrecoup^e de longs silences. 

D&s les premieres interrogations en classe, sa superiority apparut dclatante : 
il r(5pondait aux questions en supprimant les raisonnements intermediaires, avec 
une brivet6 et une concision telles, que le professeur lui demandait toujours 
de d^velopper ses r^ponses : il lui disait : Si vous ri^pondez uinsi a Fexamen, 
vous risquez de n'^tre pas compris . 

Nous primes Phabitude, Poincar6 et moi, de causer en sortant de classe et 
bientot nous fumes tout a fait lies. 

Deux de nos camarades demeuraient assez loin du Iyc6e ; 1'un nanct^ien, 
Henry, aujourd'bui professeur agr(5g(5 au lycue do Saint-Qucntin, habitait en 
ville, rue de Malzeville ; 1'autre strasbourgeois, Hartmann, aujourd'liui comman- 
dant d'arlillerie en relraite, chef des travaux de M^canique a IMicobi Polytecb- 
nique, habilaitle village de Malz6ville. Accompagner ces deux camarades devint 
notre promenade quolidiennc aprtis la classe de 1'aprcis-midi. Nous no prenions 
pas toujours le chernin le plus court. Parfois, tout en discutant un probl^me de 
matb^matiques, nous interrompions notre promenade : surle nmr voisin, Poin- 
car6 tracait du doigt une figure gom6trique id^ale, qui nous aidait & suivre 
son raisonnement. Apr&s avoir traverse la grande rue Ville-Vieille, nous fran- 
chissions les portes de la Craffe et de la citadelle, pour arriver jusqu'a la rue 
de Malzeville, ou nous laissions Henry; quelquefois nous allions plus loin, 
mais, ordinairement, nous revenions Poincar^ et moi, seuls ou avec Hartmann, 
et nous allions jusqu'a la porte de Poinear<3 : 6, rue Lafayette. Nous parlions 
des grands 6vnements qui venaient de bouleverser notre pays, do la guerre, 
de la Commune, de la liberation du territoire, de FAlsace-Lorraine et de son 
immuable attachement a la France : puis aussi des incidents de la vie publique, 



H. POINCARE EN MATHEMATIQUES SPECIALES. l4l 

de Election Barodet-Re"musat, des d^bats de l'Assemblt5e nalionale, des 
partis politiques .... 

Nancy 6tait occup par les vainqueurs ; la tristesse de la d<*faite, 1'annexion 
de FAlsace-Lorraine pesaient lourdement sur nos entretiens : mais nous avions 
une confiance enti&re dans 1'avenir : nous de'sirions que Thiers put fonder une 
Re^publique ordonn^e et active, qui nous apparaissait comme le regime le plus 
capable de relever la Patrie el de lui rendre sa place dans le monde. Cette 
opinion, qui 6tail celle de la grande majority de nos camarades, se manifesta 
quand Thiers fut renvers^ le 16 mai : une adresse dc sjmpatliie el de protes- 
tation, au President tombed, circula sur les banes, pendant une classe d'Allemand, 
et fut signec par tous les 6lves de sp^ciales, a 1'exceplion d'tm seul. 

Dans nos promenades nous parlions aussi, comme on peut le penser, de nos 
etudes, des probl&mes pos6s par noire professeur, des generalisations qu'on 
pouvait leur apporter, des solutions fournies par la g6ome"trie. II nous arrivail 
quelquefois de philosopher : Poincar^ souriait doucement de la psychologic et 
de la the"odic6e naives qu'on enseignait alors en vue du baccalaur6at. Je me 
souviens 6galement de longues conversations, sur les raisons scientifiques et 
philosophiques de croire a F existence de la vie dans les autres plan&tes. 

Poincar^ lisait beaucoup : il etudiait Falg6bre de J. Bertrand, Fanalyse de 
Duhamel, la gom6trie superieure de Chasles, la geometric de Rouch6. Avec la 
plus grande simplicity et la camaraderie la plus cordiale, il donnait a ses 
condisciples tous les renseignements et toutes les explications qu'ils d^siraient. 
II avait des apercus synth^tiques des probl&mes ; ainsi, le professeur ayant 
demand^ le lieu g6om6trique des points d'ou 1'on voitune ellipse sous un angle 
donn<5, Poincar6 dit imm6diatement : la tangente de Tangle sera un rapport; au 
num<raleur se trouvera le premier membre de liquation de 1'ellipse, au d^no- 
minateur le premier membre de liquation du cercle lieu des sommets des 
angles droits circonscrits : il reste a voir seulement avec quels exposants et 
quels facteurs constants, figureront ces polynomes. Dans les problemes de 
G^om(5lrie analytique il donnait des solutions g<3omtriques souvent tr6s 
(5l6gantes. En voici des exemples qui me reviennent a. la m^moire : 

A la question de trouver analytiquement le lieu des projections, d'un point 
fixe, P, sur les tangentes a une parabole, Poincar6 donna imm^diatement la 
solution g6om6trique suivante. Soient F le foyer, AB la tangente au sommet 
de la parabole, TH une tangente qui rencontre AB en H, M la projection de 
P sur cette tangente ; projetons F sur PM en I et prenons PK. gal et parall&le 



142 



H. POINCAR EN MATHEMATIQUES SPECIALES. 



a FH, de m^me sens que FH ; le point I de"crit une circonfe'rence de diametre 
PF, le point K une droite DD' parallele a AB. On peut done deTmir le lieu du 
point M a 1'aide d'une droite et d'un cercle, de la facon suivante : on donne une 
circonfe'rence et une droite fixes, un point P fixe sur la circonfe'rence, on mene 
par P une s^cante variable PKI qui coupe la droite en K, la circonfe'rence en 
I, et on prend, sur cette se'cante, IM = PK, les deux segments ayant le meme 
sens ; trouver le lieu du point M. Partant de la, Poincare' discute la forme de 
la courbe suivant les positions relatives de la droite et du cercle, trouve 
1'asymptote, les tangentes au point P, et reconnait les cas particuliers ou lu 
courbe est une cissoide ou une strophoiide. 





Fig. i. 



Fiff. 2. 



Pour re"soudre le problfeme de Gt3ome"trie analytique, de trouver les directions 
de diametres conjugu^s communes deux coniques donne'es, Poincar6 rend les 
coniques concentriques en conside'rant en m^me temps les coniques conjugiuSos ; 
il fait varier 1'une d'elles homoth^tiquement par rapport au centre commun, 
jusqu'a ce qu'elles soient bitangentes (si cela est possible) : la corde des 
contacts AA r et la parallele aux tangentes communes en A et A' forment le 
systme cherch^; la discussion d^coule facilement de cette me"thode. 

Notre professeur donnait quelquefois des devoirs sp^ciaux aux 6l^ves les 
plus avanc^s : un de ces exercices consistait dans 1'e'tude des fonctions 

e x _j- e ~ x e x -^ e x . . , . . . , 

, : addition des arguments, division par deux et par trois. 

Tandis que nous cherchions & re'soudre directement la question, Poincare' se 
servant de la formule d'Euler qu'il avait vue dans Duhamel, ramena imme'dia- 
tement le probleme aux fonctions circulaires. 



H, POINCARE EN MATHiMATIQUES SPECIALES, l43 

En Physique, il s'int<3ressait beaucoup au cours qui 6tait tr&s bien fait ; la 
Chimie par centre, enseign^e par le mme professeur, 1'ennuyait, probablement 
parce qu'il etait visible que le professeur ne s'j int6ressait pas. Ce professeur, 
qui nous enseignait aussi la M^canique, nous donna un jour a trailer, comme 
exercice, F^tude du mouvemenl d'un point qui peut glisser sans frottement sur 
une droite tournant, dans un plan horizontal, avec une vitesse angulaire 
constante co, autour d'un dc ses points supposd fixe. Le professeur croyait que 
la trajectoire tait toujours une spirale logarithmique. Poincar^ contesta son 
raisonnement, en imaginanl un observateur qui serait entrain^ avec la droite 
et qui observerait le mouvement relatif. II donna liquation exacte du probl&me : 

/= 0)2 7' 

et en conclut la veritable trajectoire. Le professeur maintint son opinion el 1'on 
prit comme arbitre le professeur Bach de la Faculty des Sciences, qui dut donner 
raison a l'6l&ve. 

Au concours general de math^matiques spe'ciales, la composition de Poincar6, 
non seulement fut class^e la premiere sur P ensemble de Paris et des departe- 
menls, mais fut Lr6s remarqu^e des correcteurs. 

A 1'approche des examens, notre professeur manifestait de plus en plus la 
crainte que Poincar6 fit des r6ponses trop elliptiques, qui pourraient paraitre 
obscures aux examinateurs. II arriva, en effet, qu'al'EcoleNormale Sup6rieure, 
un. des examinateurs, mort aujourd'hui, trouva que Poincart s'exprimait mal 
et qu'il ne serait pas un bon professeur ; aussi lui donna-t-il une note qui, a 
notre stupefaction g(5nc5rale, le fit recevoir cinqui&me. fitrange destin^e du 
g6nie qui ne pcutrentrer dans les classifications des hommes ordinaires ! Erreur 
moins grave pourtant que celle qui fit refuser Galois a TEcole Polytechnique, 
sur une question relative aux logarithmes> a la suite d'une discussion, dans 
laqueile il avait eu raison contre son examinateur. 

A ce mfime concours de 1'Ecole Normale^ se place un incident amusant. 
Les candidats admissiblos, devaient fairo a Paris, au moment des examens 
oraux, une <5pure de G6om6trie descriptive : en voici le sujet, que je dois a 
Tobligeance de M. Caron, alors maitre d,e conferences de Gom<3trie descriptive 
a 1'ficoie. 

Intersection d'un hyperboloi'de de revolution et d'un cone de revolution 
dontles axes se rencontreut. Le centre de rhyperboloi'de est ie point x = o, 
y=: 10 cm, z= 10 cm; 1'axe est vertical; le rayon du cercle de gorge est de 



1 44 H. POINCARE EN MATHEMATIQUES SPECIALES. 

2 cm; enfm les generatrices font, avec Faxe, un angle de 45. Le sommet du 
cone est le point # = 0,7 = 10 cm, s = 9 cm : Faxe est parall&le a la ligne de 
terrc et les generatrices font, avec Faxe, un angle de 45. Solide commun . 

Poincare, qui ne voyait aucun intent mathematique a tracer des lignes de 
rappel et a faire un dessin minutieux qui 1'ennuyail, prefera, apr&s avoir mis 
Louies les donnees en place, chercher par le calcul liquation de la projection 
horizontal de la courbe d'inlorsection. II ironva ainsi cette courbe, avec une 
perfection qtie n'alteignirent pas ceux qui avaient employ^ les constructions 
classiques : mais, en la dessinant sur sa feuille, il eut une distraction et la placa 
a Fenvers, la faisant tourner dc 180. Le correcteur fut tr6s intrigue par eetle 
solution, a la fois inexacle el parfaite. 

Apres les examens de FEcolc Normale, nous revinmes a Nancy, faire les 
compositions ecrites pour FEcole Poly technique du 4 au 6 aoul 1878. Nous 
trouvames la ville dans Fallegresse : des drapeaux partout, a toutes les nutisons, 
a toutes les voitures, jusqu'aux charrettes des laitiers ou des maraichers : les 
troupes allemandes venaicnt de partir, et precisemcnt, pendant la. composition 
de lavis, Favant-garde de Farmee francaise fit son entree a Nancy. Jour do joie 
et de delivrance, bien melancolique pour nous, les Alsaciens, qui ne pouvions 
pas perdre de vue que la liberation du territoire frangais allait s'amHer, pour 
longlemps peut-6lre, aux Vosges. Poincare, rendu nerveux par Femotion, avait 
particulieremenlmalreussi son la vis, exercice uuquel iln'excellailpas d'ailleurs; 
il avait colle sa feuille de papier trop vile, puis il avait etendu trop rapidomonl 
les couches d'encrc de Chine successives, avant que les precedonlos fusscuit 
s^ches. II avait hate de rejoindre, a FHotel de Ville, su famille qui atlendaii 
Farrivec des troupes frangaises sur la place Stanislas. 

Pendant que nous preparions les examens oraux de FEcole Poly technique, 
Poincare, pour rendre service, consentaita interroger ses camarades : il prenait 
les feuilles d'examens et, imitantles intonations des examinateurs, reproduisant 
leurs habitudes d'esprit, il poussait des colles terribles, dont il riait ensuito 
discrtitement. II demandait, par exemple, a un candidat, de construire la courbe 



' , / 

yi -h sin 2 3 

de chercher Fasymptote, les points de rencontre de la courbe et de Fasymptote 
avec les axes, avec la bissectrice des axes . , . points qui comcidaient tous, 
jusqu'a ce qu'enfin le candidat decouvrit que la courbe se confondait avec son 



H. POINCARE EN MATH&MATIQUES SP^CIALES. l45 

asymptote. Je le vois encore disant, avec un air de pince-sans-rire, a un 
candidat d'un college voisin, terrifie par cette revelation, que Uexaminateur 
Moutard demandait les propriety du lim.ac.on de pascaloide de revolution. 

Apres des examens tres brillants etun examen de G6ometrie particulierement 
remarquable avec Tissot, il futregu premier a Fficole Poly technique. 

Nous nous retrouvames, a la rentr^e suivante, a Paris, Poincare" a 1'ficole 
Polytechnique, et moi a 1'Ecole Normale. Mais je dois m'arr^ter, puisque je ne 
parle que de Nancy. 

Vous voyez, mon cher ami, que, des le lyce, Poincar etait un grand 
intuitif, rapide et sur, pe"n6trant et fin, un bon frangais, un ami fidele, un. 
camarade simple et d6vou6 : tel il 6tait alors, tel je 1'ai toujours connu, admire 
et aime. 

Paris, le 22 decembre 1912. 



H. P. - XI. rcj 



LETTRE DE M. PIERRE ROUTROUX 

A M. MITTAG-LEFFLER 



Acta Mathematica^ t. 38, p. 197-201 ( 19?! ). 



Vous voudriez avoir, cher Monsieur, quelques details sur la vie in lime de 
mon oncle, sur la fagon dont il travaillait, sur ses habiludes et son caracl^re? 
Je n'ai cependant rien d' extraordinaire a vous raconter. Les enquStes sensa- 
lionnelles, faites un peu bruyamment par certains psychologues modernes, 
lendraient a nous faire croire qu'un savant est un &tre anormal dont lous les 
actes doivent &lre Granges. Vous savez pourtant qu'on ne pourrait imagiuor 
une existence plus simple, plus exempte d'6v6nements, plus uniforme en 
apparence, que celle de Henri Poincar^. L'activit^ de sa pens^e lui suffisait et 
se suffisail. Point ne lui 6tait besoin de chercher des excitations au dehors, ou 
d'entretenir chez lui par des moyens artificiels cette exaltation sp<$ciale, cette 
fivre intellectuelle, sans laquelle certains inventeurs ne sauraient produire. II 
ne fuyait pas, il recherchait m6me, les distractions, les voyages, les plaisirs 
artistiques; mais c'est qu'il y tail port<3 par un int6rt veritable, par une 
curiosity naiurelle tr6s 6tendue, en m6me temps que par le besoin de se 
dtSlasser. C'est chez lui, en famille, c'est dans le calmede son existence journa- 
li&re, qu'il a accompli la plus grande partie de sa tache. 

Dans son paisible cabinet de travail, rue Claude-Bernard, ou sous les 
ombrages de son jardin, a Loz&re, Henri Poincar< s'asseyait quelques heures 
par jour devant une main de papier ^colier r<^gl6 7 et Ton voyait alors les 
feuillets se couvrir, avec une rapidit6 et une rgularit surprenantes, de son 
^criture fine et anguleuse. Presque jamais une rature, tr^s rarement une 
tation. En quelques jours un long M&naoire se trouvait achev, pr^t & 
imprim^, et mon oncle ne s'y int^ressait plus dsormais que comme & une 



LETTRE DE P. BOUTROUX. I 47 

chose du passed A peine consentail-il ses diteurs en savenl quelque 
chose a Jeter un rapide coup d'oeil sur les ^preuves. 

Voila a quoi se bornait le travail, je veux dire le travail apparent d'Henri 
Poincar. A quel labeur sa pense avait-elle du se livrer au pr^alable, lui seul 
Fa jamais su. II pensait dans la rue lorsqu'il se rendait a la Sorbonne, lorsqu'il 
allait assister a quelque reunion scientifique, ou lorsqu'il faisait, apr&s son 
dejeuner, une de ces grandes marches a pied dont il tait coutumier. II pensait 
dans son antichambre, ou dans la salle des stances dc 1'Institut, lorsqu'il d<3am- 
bulait a petits pas, la physionomie tendue, en agitant son trousseau de clefs. 
II pensait a table, dans les reunions de famille, dans les salons mmc, s'inter- 
rompant souvent brusquement au milieu d'une conservation, et plantant la 
son interlocuteur, pour saisir au passage une pens^e qui lui traversait 1'esprit. 
Tout le travail de d^couverte se faisait mentalement chez mon oncle, sans 
qu'il eiit besoin, le plus souvent, de controler ses calculs par 6crit ou de 
fixer ses d6monstrations sur le papier. 11 altendait que la v<5ril fondit sur 
lui comme le tonnerre, et il comptait sur son excellente memoire pour la 
conserver. 

On a souvent remarqu6 que Henri Poincar6 gardait jalousement pour lui 
ses pens^es. A Finverse de certains savants, il ne croyait pas que les communi- 
cations orales, F^change verbal des id^es, pussent favoriserla d^couverte. Cette 
reserve de mon oncle me frappa sp<5cialement lorsque, passant quelques mois a 
Gottingen, je fus te'moin d'habitudes toutes diff^rentes. On sait quel admirable 
foyer de pens6e en commun et de travail collectif est la cl&bre university 
allemande. La tout se passe au grand jour. A peine F^tranger est-il d6barqu6 
dans la petite cit<3 hanovrienne, qu'il sait d<3ja quels sont les travaux dont 
s'occupent les illustrations du lieu, jusqu'ou elles sont parvenues et quelles 
difflcult^s les arr<Hent. Les id^es, colport^es, confront<5es, discuses, au cours 
des promenades dans la for6t et aux stances de la Soci^t6 math^matique, 
murissent d'elles-m^mes dans ce milieu fertile, ou la curiosit6 toujours alerte 
et la n(5omaieutique de M. Klein contribuent a entretenir un ferment inpui- 
sable. Le profit que peuvent retirer les jeunes gens d'un contact aussi intime 
avec leurs maitres est manifeste. Ce n'est point, cependant, par accident, 
ou par besoin 6goi"ste de solitude, que mon oncle s'abstenait d'imiter sur ce 
point ses collogues allemands. Nul n'^tait plus liant que lui, nul n'6tait plus 
port^ a la sympathie, pour les jeunes en particulier. Mais mon oncle se faisait 
de la d^couverte math6matique une id^e qui excluait toute possibility de 



148 LETTRE DE P. BOUTROUX. 

collaboration. La recherche telle qu'il la comprenait doit tre une lutte & deux. 
C'est un corps-a-corps avec la ralite fuyante el rebelle, qu'il s'agit de frapper 
au co3ur. Dans un tel duel il n'y a pas de place pour des t&noins. L'intuition, 
par ou s'op&re la d6couverte, est une communion directe ? sans intermediates 
possibles, de 1'esprit et de la verite. II ne convient pas, il faut se garder, 
de troubler ce tte-a-t6te. 

Sans doute, une fois 1'idee conquise, il peut 6tre utile de se mettre a 
plusieurs pour 1'exploiter. Mais c'est la une besogne, en parlie m^canique, qui 
n'avait qu'un intent secondaire, il faut bien le dire, aux yeux de Henri 
Poincare. Avez-vous 1'idee, demandait-il? Si vous ne Favez pas, je ne puis 
vous lre d'aucun secours pour la decouvrir. En revanche, je suis prt a vous 
faire credit, Quoi qu'il me semble de la voie ou vous vous engages, je ne vous 
adresse aucune critique, aucune objection de principe. Je sais trop bien que la 
verite surgit souvent aux carrefours ou Ton s'attendait le moins a la rencontrer. 

Je m'explique ainsi que mon oncle ait ete, a 1'egard des debutants, Tun des 
juges les plus bienveillants, les plus larges d'esprit, que j'aie rencontres, et, en 
m6me temps, 1'un des plus s6v6res. Loin de pretendre entrainer ses el6ves a sa 
suite et de leur dieter leur tache, il voulait laisser a chacun une initiative 
complete; il etait toujours dispose a s'interesser aux recherches les plus 
inusitees, les plus paradoxales m6mes; aucune nouveaute ne lui faisait peur. 
Mais, quand venait le moment d'apprecier les resultats, il se montrait extr^me- 
ment exigeant. Si vous ne lui apportiez que des propositions qu'il consid^rait 
comme acquises et, dans sa tendance a aller de 1'avant, il regardait comme 
virtuellement acquis tout ce dont nous nations plus s^par^s par des difficult<3s 
de principe si vous ne lui ouvriez pas des apergus nouveaux pour lui, on 
devinait qu'il avait aux l&vres Internal et d^courageant a quoi bon? ; non 
que vous eussiez, selon lui, perdu votre temps; mais vous lui aviez appris 
que votre m^thode sur laquelle il avait jusque-l& r6serv6 son jugement 
n'ofirait, en r^alit^, aucun avantage. 

Ceux qui approch^rent mon oncle de pr&s ont 6t surpris de le voir 
rarement se servir de livres. II lisait peu, en effet je ne parle ici, bien 
entendu, que de ses lectures scientifiques , et il lisait d'une fagon tr^s 
particuli&re. Henri Poincar^ ne pouvait s'astreindre & suivre la longue chaine 
de deductions, la trame serr^e de definitions et de theor&mes, que Ton trouve 
gen6ralement dans les M^moires de math^matiques. Mais, allant tout droit 
au r^sultat qui lui paraissait le centre du Memoire, il I'iiiterpr4tait et le repen- 



LETTRE DE P. BOUTROUX. 



salt a sa maniere; il le controlait par ses propres moyens; apr&s quoi, seule- 
ment. reprenant le livre en mains, il jetait un rapide regard circulaire sur les 
lemmes propositions, et corollaires, qui constituaient la garniture du Me'moire. 

II faut insister sur ces details, car nous touchons ici peut-6tre a Fun des 
caracteres distinctifs de la pens^e de mon oncle. Au lieu de suivre une marche 
lin^aire, son esprit rayonnait du centre de la question qu'il e'tudiait vers la 
priph6rie. De la vient que dans Fenseignement et m6me dans la conversation 
ordinaire, il 6tait souvent difficile a suivre et parfois semblait obscur. Qu'il 
exposat une th^orie scientifique, ou qu'il contat une anecdote, il ne commen- 
gait presque jamais par le commencement. Mais, ex abrupto, il langait en 
avant le fait saillant, l'(5v^nement caract^ristique, ou le personnage central, 
personnage qu'il n'avait point m6me pris le temps d'introduire et dont parfois 
son interlocuteur ignorait jusqu'au nom. 

Cette tournure d'esprit explique comment la pens^e de Henri Poincar6 a pu 
&tre si agile et s'appliquer a tant d'objets diflferents, comment, par suite, il lui 
a 6t6 possible de satisfaire une curiosit6 presque universelle. 

Habitu6 a n^gliger les details et a ne regarder que les cimes, il passait de 
Tune a 1'autre avec une promptitude surprenante; et les faits qu'il d^couvrait, 
se groupant d'eux-m6mes autour de leurs centres, 6taient instanlan^ment et 
automatiquement classes dans sa me'moire. D'ailleurs mon oncle n'^tait pas 
de ceux qui vivent sur les tresors acquis et qui se complaisent a faire chez eux 
le tour du propri^taire. II se contentait de savoir qu'il possddait et, sans 
regarder en arriSre, il travaillait sans relache a remplir de nouvelles cases de 
son cerveau. 

Henri Poincar^ avait un gout marqu6 pour la geographic et pour les 
voyages. Conform^ment a ses tendances ordinaires, il voulait voir dans 
chaque pays les sites et les monuments les plus caract^ristiques, et il 
n'6prouvait point le d&sir de s'^carter des routes traditionnelles. II 3tait 
Foppos6 de, ces romantiques qui voyagent pour donner un cadre a leurs 
reveries et qui, souhaitant ce cadre indit, s'efForcent de s'isoler du flot des 
touristes. Ses jouissances a lui 6taient d'un ordre tout intellectuel. Extrayant 
d'ailleurs du premier coup, et traduisant imm6diatement en concepts, les 
traits essentiels des impressions qu'il recueillait, il n'avait que rarement 
besoin de voir deux fois les monies contr^es. Sans doute, il est possible qu'a 
la fin de sa vie, mon oncle ait 6t( sensible, lui aussi, a Fattrait qu'exercent sur 
presque tous les bommes Invocation de leurs souvenirs et les lieux qui leur 



l5o LETTRE DE P. BOUTROUX. 

sont de"ja familiers. Cependant le besoin incessant de voir du nouveau, a bien 
e"t6, si je ne me trompe, un trait dominant de son caractere. 

Des sa jeunesse Henri Pomcare" lisait avec un intent passionne" les remits 
de voyage du Tour du Monde et suivait au jour le jour les progres de 1'explo- 
ralion du continent africain. C'est, je crois, un sentiment du m6mc genre 
qui, en toutos circonstances et dans tons les domaines, le lancait vers la 
poursuite de I'inconnu, et lui faisait assignor a sa vie et a la science un but 
simple et precis : comme les grands voyageurs de 1'Afrique, remplir les espaces 
blancs de la carte du mondc. 

Je me rappelle qu'un jour, parlant devant Henri Poincar<$ d'un mathe'ma- 
ticien qui quittait ses Etudes pour d'autres occupations, quelqu'un laissa 
e"chapper cette remarque : Tout se vaut, apres tout; il sera sans doute aussi 
heureux que s'il avait continue' a faire des mathe'matiques . Mon oncle eut un 
mouvement de protestation qui arr&ta la conversation. Venant d'un specialists 
enferme' dans des Etudes 6troites, pareille intransigeance n ? eut point titonn6, 
et on Petit mise sur le compte d'une foi un peu naive. Mais Henri Poincare' 
n'avait point les d^fauts des sp^cialistes; il avait des gouts tres varies et ne 
pre"tendait millement placer ses propres occupations au-dessus de toutes les 
autres. Que signifiait done sa protestation? Tres cat^goriquement, je crois, 
mon oncle estimait que si Ton s'est une fois mis au service de la science, on 
n'a plus le droit de deserter son poste. Tanl qu'il reste des blancs sur la carte 
du monde, il ne nous est pas permis de nous reposer. 

En efiet, bien qu'il ait 6t6 sensible autant qu'aucun autre a la grandeur et 
la beaute' de la science, mon oncle n'appartenait pas a cette e'cole de dilettantes 
qui se livrent aux math^matiques parce qu'elles leur procurent des jouissances 
esth6tiques. La recherche e"tait pour lui un devoir, d'autant plus attachant 
qu'il lui coutait plus de peine. Je n'ai jamais entendu mon oncle parler du 
travail scientifique - du sien ou de celui d'autrui qu'avec le plus grand 
s^rieux et le plus grand respect : lui, si gai & ses heures de delassernent, lui 
qui aimait et pratiquait Tironie, il n'en avait point lorsque la science e"tait 
en cause. 

Voila, cher Monsieur, quelques-unes des reflexions qui me venaient a 
1'esprit, voila ce que je sentais ou croyais deviner quand j'avais le bonheur de 
converser avec mon oncle. Henri Poincare', je vous Tai dit, ne parlait gure de 
ses travaux; encore moms se fut-il complu &. de'crire ses sentiments intimes 
et les ressorts de son intelligence; mais il aimait faire causer les autres, et, 



LETTRE DE P. BOUTROUX. 1 5 1 

lorsqu'on se trouvait exprimer une id6e qui lui 6tait ch&re, lorsqu'on dcou- 
vrait une pens^e conforme a la sienne, son sourire et son regard rv6laient le 
plaisir qu'il prouvait. C'est par de tels signes a peine perceptibles qu'Henri 
Poincar6 manifestait sa sympathie et sa bienveillance. Lui qui, par discretion, 
n'a pas voulu se faire des disciples, lui que sa reserve naturelle faisait passer 
pour froid, il avait un coeur chaud, un grand d^sir de se sentir entour, un 
profond besoin d'affection. 

Paris, le 18 juin 1918. 



L'ffiUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE 



PAR JACQUES HADAMARD 



Acta Mathematica^ t. 38, p. 208-287 (1921). 



Poincar^ lui-m&me a fourni aux lecteurs des Acta une analyse d^taill^e de 
son ceuvre ( d ). 

On comprendra que, sur tous les points qui ont 6t port^s a leur connais- 
sance dans un des styles les plus lumineux, les plus d^finilifs que la langue 
scientifique et la langue frangaise aient connus, nous nous croyons 
dispenses d'insister. II nous arrivera done tr6s souvent de renvoyer a V Analyse 
dont il s'agit. 

Nous n'essaierons pas, d'autre part, de chercher dans tout 1'ensemble de 
cette ceuvre une unit6, d'en d<gager une personnalit6 intellectuelle. Cette 
tentative, qui s'imposerait pour tout autre, serait, a notre sens, chim&rique 
en ce qui concerne Poincar6, et nous croirions diminuer en m&me temps que 
d^naturer son oeuvre en nous y essayant. Ce serait m^connaitre cette pense 
capable de faire tenir en elle toutes les autres pens^es, de comprendre 
jusqu'au fond, et par une sorte de d^couverte renouvel^e, tout ce que la science 
humaine peut aujourd'hui comprendre ( 2 ). 

Assur^ment, tout penseur tend a marquer de son sceau personnel ce que 
son cerveau fagonne. Mais si cette tendance est une des forces de Fartiste, le 
savant, lui, bien loin de chercher a Pentretenir, la subirait plutdt. Elle est, 

(*) Analyse de ses travaux scientifiques (Acta Math., t. 38). 
( 2 ) PAINLEV^, Temps du 18 juillet 1912. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. i53 

chez lui, combattue par une ntScessite' toule contraire, celle de 1' objectivity. 
Nous sommes serviteurs plutot que maitres en mathematiques , aimait a 
dire Hermite, et 1'adage tout analogue de Bacon est aussi vrai des inath^ma- 
tiques elles-mmes que des sciences exp^rimentales. Le savant surtout 
le mathematicien ne dispose gu&re, au fond, des moyens d'attaque. Tout 
au plus suit-il en g^n^ral son temperament dans le choix du terrain. 

Poincar^ ne fit m&me point ainsi. II emprunta ses sujets delude noil aux 
ressources de son esprit, mais aux besoins de la science. II a 16 present 
partout ou il y avait une lacune grave a combler, un grand obstacle a 
surmonter. Lorsque nous aurons essay d'6numerer m6me aussi rapide- 
ment qu'il nous faudra le faire les questions auxquelles il s'est atlaque", 
il nous semblera avoir touche a toutes celles auxquelles peuvent s'int^resser 
les mathe'maticiens et qui n^cessitent encore leurs efforts. Son oauvre est 
devenue, des lors , le patrimoine commun de tous. Si Poincar6 a une 
cc maniere , si m6me on pcut employer a son gard ce mot qui ressemble 
a maiiie , nous en avons tous he'rite', et elle esl en chacun de nous. 

De ses rsultats se d^gage souvent une unite", mais celle-ci n'est pas 
inhrente a 1'auteur. Elle est elle aussi, objective el reside dans les faits eux- 
mmes. Nul mieux que Poincar^ ne sut, en efFet, decouvrir, entre les diverses 
parties de la science, des relations impr6vues, parce que personne ne sut mieux 
dominer cette science de tous les cote's a la fois. 

Cette souplesse et cette universality, cette adaptation rapide et parfaite a 
tous les probl&mes pos^s paries math6matiques et leurs applications, se sont 
manifestoes de mani&re d'aulant plus clalante qu'a notre 6poque, Tune des 
sciences qui diclent surtout ces probl^mes, la Physique, volue avec une plus 
dconcertante rapidit6. On sait, et d'autres le diront ici mieux que moi 
a qael degr^ Poincar^, d^s qu'il s'est m6l^ a cette Evolution, a su toujours la 
suivre et souvent la guider. 

L'histoire de Toauvre de Poincar6 ne sera done, au fond, autre chose que 
1'histoire m^me de la science math^matique et des probl^mes qu'elle s'est 
pos^s a notre ^poque. 

Le plus important d'entre eux est encore aujourd'hui le m6me qui est 
apparu a la suite de Pinvention du Calcul infinitesimal. 

Nous sommes loin d'avoir r^solu les difficult6s qu'il pr(5sente. Mais la 
m^me ou nous y sommes arrives, ce n'a ete", le plus souvent, qu'en modifiant 
profond^ment nos id^es sur ce qu'il faut entendre par solution , Celles que 
H. P. - XI. 20 



j54 L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

nous avons acquises aujourd'liui se r^sument toutes dans la forte parole que 
Poincar prononcait en 1908 (*) : 

II n'y a plus des probl&mes r^solus et d'autres qui ne le sont pas, il y a 
seulement des probl&mes plies ou moins r^solus c'est-a-dire qu'il y a des 
solutions donnant lieu a des calculs plus ou moins simples, nous renseignant 
plus ou moins directement et aussi plus ou moins compl&tement sur 1'objet 
de notre 6tade. 

On peut dire, a ce point de vue, qu'une premiere solution est acquise dans 
la plupart des cas, et cette conqu6te, <3bauch3e d&s Newton, est surtout 
1'ceuvre de Caucliy et de Weierstrass : des relations entre (Mats infaiiment 
voisins, on sait d^duire, ce qui est fort different, la connaissaiice de tous les 
6tats suffisamment voisins d'un 6tat donn6. Si, par exemple, le ph^nom&ne 
a ^tudier depend de la position d'un point dans un plan, on sait l'6tudier dans 
toute une petite region entourant un point quelconque donn. 

En un certain sens, il peut 6tre. ainsi consid^r^ comme connu, puisque, avcc 
de petites regions de cette esp&ce accol^es les unes aux autres, on peut consti- 
tuer des regions plus e'tendues et m6me aussi 6tendues qu'on le voudra. 

Mais cette connaissance est souvent tr6s insuffisante, beaucoup plus encore 
que ne le serait, pour un voyage d'un bout a 1'autre d'un pays, la possession 
des feuilles partielles de la carte a quelqu'un qui ne disposerait d'aucune 
autre donn^e g^ographique. Elle 1'est a des degr^s divers suivant la nature du 
probl&me postS; mais dans la plupart des cas, le r^sultat est connu, dans 
chaque domaine partiel, par des operations d'une convergence mediocre, 
c'est-a-dire assez mal et assez p6niblement; d'autant plus mal et d'autant plus 
p^niblement m6me que le domaine en question est plus petit. 

Quoi qu'il en soit, ces premiers r^sultats, m6me si 1'on n'est pas r^duit 4 
s'en contenter, servent tout au moins d'interm^diaires obliges pour en obtenir 
de meilleurs, de sorte que, presque partout, la marche de la science mathg- 
matique actuelle comporte deux Stapes : 

La solution locale des probl6m.es ; 

Le passage de celle-ci a une solution d'ensemble, si cette sorte de synth&se 
est possible. 

Le premier probl&me qui avait arr^t^ le Calcul infinitesimal, celui des 

C 1 ) Conference prononcee au Congres international des Mathematicians, Rome; t. 1, p. 17$ 
des Actes du Congres. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. i55 

quadratures, est, en somme, re'solu, au sens pre'ce'dent, d'une maniere assez 
satisfaisante. Cette solution differe assure'ment beaucoup de celle que cher- 
chaient, sans aucune chance de succes, nous le savons maintenant 
les contemporains de Leibnitz. Elle contient cependant 1'essentiel de ce qu'on 
pent savoir dans le cas ge'ne'ral et des renseignements beaucoup plus impor- 
tants dans tous les cas particuliers les plus usuels. 

Mais le probleme ge'ne'ral des Equations diffe'rentielles est autrement difficile. 
Les petites regions dont nous parlions ne peuvent mme plus &tre conside're'es 
inde'pendamment les unes des autres. On doit les ranger dans un ordre 
determine', et les calculs relatifs a Pune d'elles ne peuvent tre commences 
sans qu'on ait exe"cut jusqu'au bout ceux qui concernent les pr6ce'dentes. 
En ge'ne'ral, il arrive qu'on ignore a priori jusqu'a Famplitude des pas succes- 
sifs qu'on peut ainsi effectucr, c'est-a-dire jusqu'aux dimensions des regions 
partielles successives : c'est ce qu'on ne connait qu'au moment m&me ou Ton 
atteint chacune d'elles. 

Les difficulte's dont nous venons de parler s'aggravent encore et mme 
d'autres toutes diffe'rentes apparaissent si, au lieu d'e"quations differ entielles 
ordinaires, on a a traiter des Equations aus d^rive'es partielles. 

L'inte"gration des Equations difF^rentielles et aux de"rive"es partielles est 
reste^e jnsqu'ici le probleme central de la math.e'matique moderne. Elle en 
restera vraisemblablement encore 1'un des problemes capitaux, m6me si la 
Physique poursuit vers le discontinu Involution qui se dessine a 1'heure 
actuelle. 

La th6orie des Equations diff^rentielles fut aussi la premiere a attirer 
1'attention de Poincare". Elle fait Tobjet de sa These (1879). 

Notons cependant que, sous Fmfluence du maitre qui gouverna la ge'ne'ra- 
tion pre'ce'dente, j'ai nomm^ Hermite, le debutant ne craignait pas de suivre 
presque au m^me moment une voie pour ainsi dire oppose'e a la premiere, 
celle de l'Arithm<3tique. 

La These de Poincar contient d^ja sur les Equations difF^rentielles un 
r^sultat d'une forme remarquable, destin6 a ^tre plus tard pour lui un puissant 
levier dans ses recherches de Me"canique celeste. Des ce premier travail, 
il 6tait, d'autre part, conduit a perfectionner le principal outil dont se fut 
servi jusque la, la the'orie des Equations difF^rentielles, outil qu'il allait utiliser 
mieux que qui que ce soil, en me"me temps que, le premier, il allait enseigner 
& s'en passer : la the'orie des fonctions analytiques. 



156 L'CEUVRE MATH^MATIQUE DE POINCARE. 

Celle-ci allait, presque imm^diatement apr&s, lui devoir une de ses plus 
belles conqutes : c'est en iSSoque les fonctions fuchsiennes vinrent designer 
Poincar^ a Fattention et a Padmiration de tous les g6om&tres. 



I. La theorie des fonctions. 

1. LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 

Auxiliaire puissant pour tout le Calcul infinitesimal, la Th6orie des 
fonctions analytiques a fait ses preuves de fa^on particuli&rement <clatante 
dans la resolution du probl&me des quadratures, mais surtout lorsqu'il s'est 
agi de celles qui portent sur des fonctions alg^briques, c'est-a-dire des 
integrates elliptiques et ab^liennes ( 1 ). 

On sait et, avant de parler des fonctions fuchsiennes, nous rappellerons 
les circonstances grace auxquelles ce degr6 de perfection a pu <Hre atteint. 

La premiere d'entre elles n'est autre que la polydromie de Tintegrale cher- 
ch^e, c'est-a-dire, par un ph6nomne qui n'est pas isol6 en Mathtknatiques 
n'a-t-on pas dit de Cauchy que ses deux grandes forces furent ce qui avait 6t 
Peffroi de ses pr(Jd(5cesseurs, Tinfini et Fimaginaire ! le fait m6me qui 
paraissait devoir constituer la principale difficult** de son tude. C'est a cette 
polydromie que la fonction inverse, obtenue en prenant Pint<Sgrale considdrtSo u 
comme variable ind^pendante , doit sa double p^riodicite. 

Cette fontion inverse doit, par contre, <Hre uniforme et, pour qu'il en soit 
ainsi, on doit choisir de mani6re convenable Tintegrale elliptique qui sert 
de point de depart. Ici, ce choix celui de 1'integrale de premiere esp^ce 
est ais a faire. 

La double p&riodicite, a son tour, donne la clef de toutes les autres 
propri^tes. II y a plus. L'analyse moderne laisse compl^tement de cdte, au 
premier abord, le probl&me d'integration pos^ et prend pour premier objet 
I'^tude gn6rale des fonctions doublement p^riodiques d'une variable. Parmi 
celles-la, on d^couvre ensuite les solutions du probl^me en question. 

On obtient ainsi tout Tensenible de r^sultats qui font de Integration des 

( ! ) Poincar^ a eu ici meme ^ retracer 1'histoire de ces theories : voir sa Notice sur Weier- 
strass, t. 22 des Acta Mathematica, p, 1-18, 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. i5? 

differentielles elliptiques Fun des problemes les mieux r^solus de 1'Analjse : 
celui mme que Poincare, dans la conference a laquelle nous faisions allusion 
plus haul, prenait comme exemple typique a cet egard. 

Les proprietes des fonctions abeliennes sont assur^ment moins simples et 
surtout moins commodes pour le calcul nume'rique que celles des fonctions 
elliptiques : elles sont toules paralleles, neanmoins, et ne contentent pas moins 
completement ce sens de la beaute dans lequel Poincare nous a appris a 
discerner le veritable mobile du savant. 

La notion de periodicity suffit a elle seule pour constiluer ces deux theories, 
modeles d'harmonie et d'elegance. 

Mais par cela m6me, on peut dire qu'elle avait rendu tous les services qu'on 
en pouvait attendre, et nulle autre notion fonctionnelle analogue ne paraissait 
offrir la mme fecondite. 

Les deux exemples qui ont inspire Poincare etaient cependant deja connus : 
je veux parler de la fonction modulaire eL de 1'inversion de la serie hyper- 
geometrique, objets 1'une des admirables travaux d'Hermite, 1'autre du 
Memoire fondamental qu'on doit a M. Schwarz. Us n'avaient pas fait apercevoir 
aux geometres la generalisation bardie qui devait conduire aux fonctions 
fuchsiennes* 

Cette generalisation etait si audacieuse que le premier mouvement de 
Poincare fut de la regarder comme impossible. II nous apprend lui-me'me ( 1 ) 
qu'il s'efforga tout d'abord de montrer Vmexistence des fonctions dontils'agit. 
C'est par une de ces intuitions d'apparence spontanee dont on verra 1'histoire 
dans Sciences et Methode, qu'il s'engagea dans la voie opposee. 

Poincare va se placer dans des conditions incomparablement plus generates 
et plus variees que les fondateurs de la theorie des fonctions elliptiques; mais 
la marche suivie sera cependant toute semblable de part et d'autre. 

A la place du probleme de quadrature, il considere une equation diffe- 
rentielle lineaire ^ coefficients algebriques. Ce probleme depasse le premier 
de toute la distance qui separe 1'integration des equations differ enti elles de la 

( x ) L'exemple des fonctions fuchsiennes est precisment, on le salt, celui que Pomcar a choisi 
pour de'crire au point de vue psychologique, 1'invention naath^matique et montrer le role 
essentiel qu'y joue 1'inconscient. 

Ajoutons que, chez Poincar^, I'ide'e premiere d'une recherche est toujours mise en 6vidence 
avec une merveilleuse nettet6 qu'on est loin de trouver toujours au meme degre" chez les plus 
grands maitres. G'est dire que Paccusation d'obscurit lancde parfois contre lui nous parait, du 
moins au point de vue du lecteur qui va au fond des choses, exprimer le contraire de la ve"rite\ 



1 58 L'ffiUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

simple recherche des primitives; parmi les Equations differ entielles, toutefois, 
les Equations lin^aires se pr^sentaient a lui comme les plus simples de toules. 

La polydromie des fonctions obtenues par quadratures se retrouve chez 
celles qui sont dgfinies par des Equations lin^aires; quoique plus complete 
que le premier, ce nouveau mode de polydromie 6tait bien connu par les 
recherches de Fuchs, auquel Poincar sera ainsi conduit a dtfdier la nouvelle 
conception. 

On apergoit d6s lors imm^diatement ce qui devra corresponds a la notion 
de priodicit6 : ce role appartient a un certain groupe de substitutions 
lindaires. 

Tout ceci apparaissait sur les deux exemples que nous citions tout a 1'heure, 
de la fonction modulaire et de la s(3rie liypergomtrique. Dans ces deux cas, 
c'est bien un groupe de substitutions lin^aires qui intervient, et ce groupe 
satisfait a la condition indispensable nous renvoyons sur ce point a I'cxposti 
de Poincar^ ( 4 ) d'etre discontmu, c'est-a-dire tel que les transform^ d'un 
mme point n'aillent pas en s'accumulant en nombre iniini dans le voisinage 
imm^diat de 1'un quelconque d'entre eux (sauf dans certaines regions 
particuli&res ou, plus exactement, le long de certaines lignes du plan). 

II poss^de m6me la seconde propri<5t6 par laquelle, entre les groupes lin&nres 
discontinus, Poincar< distingue les groupes fuchsiens, a savoir celle de laisser 
invariant un certain cercle (dit CQYclefondamental). 

Mais il restait a s'inspirer plus 6troitement encore de 1'excmple des fonctions 
elliptiques : je veux dire, conform^ment a ce qui pr^c&de, u partir a priori 
du groupe en question, en laissant de cot d'abord liquation diflferentielle. 

II fallait m^me faire un pas de plus, et cette premiere transformation de la 
question, suffisante dans les cas trails ant^rieurement, ne I 7 (5tait plus cette 
fois; c'est sans doute pour cette raison que les d(5couvertes mentionn6es plus 
haut d'Hermite et de Schwarz ^taient jusque l resides isol^es et n y avaient pas 
mis sur la voie de 1'infinie multiplicity d'autres groupes analogues qui allait 
s'offrir a Poincar^. Dans le probl^me actuel, on ne remonte pas assez loin en 
s'adressant a la notion du groupe, trop complexe elle-m&me pour jious servir 
de fondement premier. II faut, si nous osons nous exprimer ainsi, placer plus 
bas encore les fondations et appuyer a son tour la notion du groupe sur un 
autre substratum. 



(!) Voir son Analyse, p. 43, OEuVres, t. I, p. 



VIII. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 169 

Ce substratum est essentiellement g6omtrique : Poincar le trouve dans 
le polynome generatem^ c'est-a-dire (*) dans la figure qui est au groupe 
ce que le parall^logramme des p&iodes est a la double periodicity. " 

Cette notion intervenait forc6ment dans les examples d'Hermite et de 
Schwarz. Mais Poincar montre qu'elle caract^rise tout groupe discontinu. 
Pure intuition dans le premier M^moire sur les groupes fuchsiens, ce fait est 
(5tabli en toute rigueur dans un des M^moires suivants ( 2 ), et une r&gle 
g^n^rale est nonce d'apr&s laquelle, a chaque point, on pent faire corres- 
pondre un de ses transform^ et un seul (a des cas limites prs) de mani&re 
que, le premier prenant toutes les positions possibles, le second d^crive le 
polynome gnrateur demand^. 

Mais, nous 1'avons dit, loin de chercher sjst^matiquement ce dernier en 
partant du groupe, Poincar^ suit bien plutot la marche inverse et part de la 
notion du polygone, aussi intuitive pour nous que celle du groupe nous est, 
au fond, peu familiSre encore. L' expression de polygone gn6rateur 
exprime d'une mani&re parfaite comment les choses se passent dans 1' Analyse 
de Poincar^ : c'est lui qui engendre v6ritablement le groupe. Non seulement 
il suffit enti&rement a le d^finir, mais on lit imm<3diatement et sans la 
moindre difficult^, sur cette figure, toutes les proprits essentielles que Ton 
veut en connaitre : substitutions fondamentales, relations entre ces substi- 
tutions, etc. 

En particulier, il convient de noter, au point de vue des applications des 
fonctions fuchsiennes, la simplicity avec laquelle s'exprime ainsi la relation 
entre un groupe et ses sous-groupes : le polygone gnrateur P 7 du sous- 
groupe est form par la juxtaposition du polygone gn6rateur P (corres- 
pondant au groupe contenant) et de quelques-uns des transform6s de P. 

On voit combien serait chim^rique, ici, la distinction, dont on a tant abus6, 
entre la tendance gom6tiique et la tendance analytique. Tout n'est que 
formes et que vue g6om6trique a la base de cette srie de M^moires auxquels 
la haute Analyse allait devoir un de ses progr&s les plus importants ; et toute 
1'oeuvre de Poincar^ offre des exemples analogues. 

La th^orie est ainsi fondle moyennant une hypoth^se essentielle, ci laquelle 
doit satisfaire un polygone g6n6rateur pour donner naissance a un groupe 



(!) Voir Analyse, p. 44, OEuvres, t. I, p. ix. 

( 2 ) Acta Mathematics t. 4 (i884), p. 201-812, OEuvres, t. II, p. 3oo. 



160 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

discontinu : il faut que ce polygone et ses homologues successifs puissent 
paver, sans chevauchement ni lacune, le plan, ou plutot une portion deter- 
minee du plan (dans le cas des groupes fuchsiens, Pinterieur de ce cercle 
fondamental qui est suppose invariant par toutes les substitutions du groupe). 
Nous ne redirons pas en detail, aprs Poincare (*) comment la condition 
qu'il indiqua a cet effet, si simple que fut son enonce geometrique, etait d'une 
demonstration particuli&rement difficile, ni comment, pour triompher de 
cette difficult^, il fut conduit a faire intervenir un auxiliaire inattendu, la 
geometrie non euclidienne. La forme sous laquelle il Pemploya, voisine, 
au surplus, de celles de Cayley et de M. Darboux (-) diff&re a peine, 
au fond, de 1'image bien connue par laquelle, plusieurs annees plus lard ( :{ ), 
il mettait en Evidence, d'une maniere frappante, Pimpossibilite de trouver 
une contradiction dans cette geometrie. 

La rume methode est employee pour fonder la theorie des groupes 
kleineens (groupes lineaires discontinus autres que les groupes fuchsiens, 
c'est-a-dire sans cercle fondamental invariant), ma is avec un caract&re 
nouveau sur lequel il y a peut-tre lieu de dire un mot. Poincare est conduit 
a une introduction de Pespace a trois dimensions tout analogue a la tli^orie 
des imaginaires qui est, g6om6triquement parlant, la gt^om^trie du plan 
employee a e"clairer celle de la droite. On sait qu'une telle generalisation 
de la th^orie des imaginaires a 1'espace n'est pas viable en general. Elle e.st 
possible, cependant, quand les raisonnements ne font intervenir que certaines 
operations particulires, les transformations conformed de 1'espace (c'est- 
a-dire les inversions et leurs combinaisons); et c'est precisement ce qui a 
lieu pour Tetude des groupes kleineens. 

Mais nous n'en avons pas encore ilni avec 1'aspect geometrique de la 
question. Non seulement nous venons de voir qu'il fournit a la theorie sa 
meilleure base, celle qui lui assure la marche la plus claire et la plus intuitive, 
mais, en lui m&me, il reservait a Poincare de surprenantes decouvertes. 

Le groupe admet en effet toujours des points singuliers^ en lesquels son 
caract^re discontinu disparait, c'est--dire que, au voisinage de Pun d'entre 
eux, les homologues du polygone g^nerateur se font de plus en plus petits et 



C 1 ) Analyse, p. 45, OEuvres, t. I. p. x. 

( 2 ) Poincar^ se rapprocha plus troitement encore de ces dernieres dans les applications 
qu'il fit des fonctions fuchsiennes et de la ge'ome'trie non euclidienne 4 TArithm^tique. 

( 3 ) Revue generate des Sciences, t. 3, 1892, p. 75. 



L'CEUVRE MATH^MATIQUE DE POINCARE. l6l 

de plus en plus series, de sorte que les homologues d'un mme point 
quelconque vont en s'y condensant a 1'infmi : points qui sont forc6menl 
singuliers pour la fonction correspondante. 

Dans les groupes fuchsiens, ces points sont forc^ment tous situ^s sur le 
cercle fondamental. Us peuvent constituer par leur ensemble ce cercle tout 
entier, lequel sera alors, pour la fonction, une ligne singuliere ou coupure 
essentielle. 

La connaissance de ce genre de singularity des fonctions analjtiques tait 
alors relativement r^cente. Toutefois, la fonction modulaire (qui, nous 1'avons 
dit, est une fonction fuchsienne particuli^re) en avait d^ja offert un exemple 
int&ressant. A cot de ce premier exemple, les fonctions fuchsiennes viennent 
en offrir toute une cat^gorie d'aulres analogues. 

Le cas oppos6, ou les points singuliers, tout en tant encore en nomhre infini 
sur la circonference du cercle fondamental, ne 1'occupent pas tout enti&re, 
de sorte que la fonction fuchsienne consid^ree esl prolongeable au-dela de ce 
cercle, semblait au premier abord plus simple et plus conforme a la norme 
ordinaire que celui ou ce cercle est une coupure. II est, en r<5alit6, beaucoup 
plus remarquable encore. La figure form^e par ces points singuliers n'estautre, 
en effet, que 1'ensemble par fait non continu, Fune des conqu^tes les plus 
importantes de la th^orie des ensembles. 

Or, a cette poque, celle-ci n't^tait pas encore constitute. 

G'est seulement apr^s 1'apparition de la th^orie des groupes fuchsiens que 
M. Bendixson et Cantor Iui-m6me retrouverent ces ensembles si paradoxaux. 
C'est avec elle ? par consequent, qu'ils firent leur premiere apparition dans la 
Science. 

Ce n'est pas tout. Les groupes klein6ens peuvent, eux aussi, admettre des 
lignes singuli^res. Mais celles-ci ne sont plus des cercles. Elles ne cessent 
d'affecter cette forme simple que pour prendre une de celles que 1'ancienne 
Math^matique ignorait, que, sans le secours de PAnalyse, notre esprit est 
impuissant a concevoir, et auxquelles est attach^ le nom de M. Jordan. 

C'est une courbe jordanienne qui, cotnme le montre Poincar6, tient la place 
du cercle lorsqu'on passe de F<Stude des groupes fuchsiens a celle des groupes 
klein^ens, et une courbe jordanienne dgpourvue soit de tangente, soit de 
courbure en tous ses points. 

Certes, les examples de courbes sans tangentes, sont classiques depuis 
H. P. XI 21 



1 62 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Riemann et Wcierstrass; mais toutle monde comprendra la difference profonde 
qui existe enlre un fait obtenu dans des circonstances rassemblees a plaisir, 
sans autre but el sans autre inttfret que d'en montrer la possibility sorle de 
piece de musee teralologique, et le meme fait rencontre an cours d'unc 
theorie qui a toutes ses racines dans les probl^mes les plus usuels ct les plus 
essentiels de F Analyse generale. 

La theorie des groupes kleineens offre le premier exemple de cello cspfcce, 
le seul mme que Ton connaisse, si nous ne nous trompons en ce qui 
concerne la notion de courbe jordanienne. Le fait qu'on conduise ainsi 
necessairement a cette notion nous fait sentir, ds cet exemple, combien les 
resullals de Poincare pen&trenl profondemenl dans la nature int.ime des choses. 



La notion des groupes fuclisiens et kleineens etant ainsi fondle, unv function 
fuchsienne (ou kleineenne) est celle qui reste invarianle par toutes les 
substitutions d'un de ces groupes, Pour trouver un tel invariant, Poincare 
[brine d'abord un invariant relalij\ c'est-a-dire une ibnction qui, an lieu de 
tester inalt6ree par une quelconque des substitutions en question, est 
nultipli^e par un facteur de forme connue et simple. C'est un inleriiiddiairc 
^lassique dans beaucoup de recherches dc cette nature non seulement dans la 
,h(5orie des fonctions elliptiques (lesquelles se pr^sentent comme quotients de 
biictions 0) mais dans celle des invariants de Falg&bre, ou niOme de certains 
nvariants diff&rentiels ( 1 ). Pour les fonctions th<Hafuchsiennes, comme pour 
es invariants alg^briques, le facteur dont il s'agit est uno puissance du d^ter- 
ninant de la substitution. Par la, et par lour mode mme de formation, l<*s 
bnctions th^tafuchsiennes different des fonctions ordinaires ct lendonl bien 
>lutot & se rapprocher de la fonction elliptique pu elle-m6me, telle que la 
brme Weierstrass. Mais celle-ci poss^de la propiut3t6 d'invariance absolue et 
jvite, par consequent, le detour employe dans la theorie actuelle, detour dont 
a necessite, comme un peu de reflexion suffit a le faire upercevoir, est 
ndissolublement liee & la presence des points singuliers du groupe. 

Par contre, Poincare a montre que la methode ainsi modifier s'applique 
L un. groupe discontinu quelconque. 

Une fois obtenues les fonctions ihetafuchsiennes, le quotient de deux 

(*) Voir, par exemple, plusieurs travaux de M. Tresse, 



L'CEUVREVMATHEMATIQUE DE POINCARE. i63 

d'entre ellcs, c'est-a-dire de deux invariants relalifs, doniie, comme dans la 
theorie classique des formes algebriques, une des fonctioiis invariantes 
cherchees. 

Les fonctions fuchsiennes son! formees. 

La nouvelle notion ainsi creee, si superieure en generallte, en extension, a 
celles sur le modele desquelles elle avait ete edifiee, ne leur cede en rien sous 
le rapport de la comprehension. Si Pon ne dispose pas, celle fois, de series 
rapidement convergentes a la facon des series G), on pent dire que loutes les 
autres proprietes dont 1'imposant ensemble forme la theorie des fonctions 
elliptiques trouvent encore leurs analogues. Une seule, le theoreme d'addi- 
tion, n/a ete etendue par Poincare qu'a certaines categories de fonctions 
fuchsiennes, en relation, comme nous le dirons plus loin, avec les applications 
arithmetiques. 

Mais 1'une d'elles domine toutes les autres : les fonctions fuchsiennes 
presentent, comme les fonctions elliptiques, ce caractere que deux quel- 
c.onques d'entre elles appartenant au meme groupe, sont liees par une relation 
algebrique. 

Dans le cas des fonctions elliptiques, cette relation est force'meiit tres parti- 
culiere : elle est de genre o ou i. Au contraire, ce qui fait 1'importance des 
fonctions fuchsiennes, c'est que toule Equation algebrique a deux variables 
donne"e peut 6tre obtenue par leur moyen. 

Dans la demonstration de cette proposition residail une autre, la plus 
profonde peut-^tre des grandes difficult*^ du probl^jme. 

L'ope"ration qu'il s'agit d'effecluer est deja de celles auxquelles s'appliquent 
les reflexions emises par Poincare dans son Analyse ( A ), c'est-a-dire qu'elle 
correspond, dans la nouvelle theorie, a ce qu'est le choix de Pintegrale de 
premiere espece dans celle des fonctions elliptiques (-). Mais autant sont 
simples les regies qui president a ce dernier choix, autant celui de la variable 
a 1'aide de laquelle les coordonnees d'une courbe algebrique s^expriment par 
des fonctions fuchsiennes est un resultat cache. 

Poincare y parvint par une audacieuse methode de continuite. M. Klein, 
qui avait ete immediatement frappe par la puissance de la nouvelle conception 



(') Page 48, GEuvres, t. I, p. xm. 

( 2 ) G'est ainsi que la representation d'une cubique par les functions elliptiques repose sur 
['introduction de I'int^grale de premiere espece attache 1 e a cette courbe. 



164 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

et avail attire sur elle 1'attention g^n^rale, obtenait a pen pres en mme temps, 
par line voie analogue, le m6me re^suTlat, a une objection pres que Poincare 
fuL seul a apercevoir et dont la refutaiion n'est pas une des parties les moins 
delicates de cette delicate mtithode (*). 

Gelle-ci repose, en effet, sur la comparaison de deux multiplicites, 1'une 
dont un point quelconque correspond a un groupe fuchsien et a pour 
coordonn^es certains param^tres dont depend ce groupe, 1'autre dont chaque 
point correspond de mme a une equation lineaire du second orclre salisfaisant 
a certaines conditions donn^es. Or ces multiplicity, on! re lesquelles il s'agit 
d'elablir une correspondance univoque, sont limitees, et la demonstration 
ii'est complete que moyennant une 6tude appro fondie de Icurs fronti&res. 

Ainsi tut etablie cette grandiose proposition qui, suivant P expression de 
M. Humbert, apporlait los clefs du monde alg^brique en versant sur les 
propriety les plus cacliees des courbes algtibriques quelconques la imnne 
lumi^re dont les fonctions elliptiqucs avaient eclaire celles des courbes du 
troisi^me degre. 

D'autre part, la methode employee exprimait deja, par les fonctions fuoh- 
siennes, les int^grales de certaines Equations diff6rentielles linoaires du second 
ordre ajant pour coefficients des fonctions alggbrJques attachees a la courbt* 



Ces equations etaient parliculi^rcs, et devaient forceSmenl 1'tHre pour les 
raisons m^mes dont nous avons parle tout a 1'hcure. 

Mais une ibis trouv6es ces equations lineaires particulieres qui s'inl6#rent 
par des fonctions fuchsiennes et dont la recherche est Pobjcl de la methods 
de continuite, celles-ci a leur tour, mojennant une nouvelle extension de lu 
methode, conduisent a 1' integration de toutes les Equations difl^rentielles 
lin^aires a coefficients alg^briques. II suffit, pour cela, d'introduire un nouvel 
algorithme, generalisation du premier : les fonctions zetafuchsiennes. 

Ainsi, ce que les fonctions elliptiques et abeliennes avaient donn< pour le 
probl^me des quadratures, la th^orie nouvelle le fournit pour le probl&rne 
beaucoup plus g<*n6ral et beaucoup plus difficile, de rintegration des Equa- 
tions diflferentielles lin^aires. 



( l ] Plus lard, une remarque de M. Schwarz devait fournir ^ Poincar^ 1'occasion de revenir 
apres M. Picard sur celte question et de donner du mme the"oreme une seconde demonstration 
se rattachant a ses recherches de Physique maihtoatique. 



I/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 1 65 

Ce grand re'sultat aurait, a lui seul, attire" sur cette the'orie et sur son auteur 
Fattention universelle des ge'ometres, si 1'ampleur des generalisations, la 
hardiesse des me'thodes, 1'imporlance des obstacles surmonte's n'y avaient pas 
suffi. 

Gomme dans toute la suite de ses travaux, Poincare" n'avait pas seulement 
enrichi la science de faits, mais de toute une cate'gorie nouvelle de me'thodes, 
Combien celle-ci 6taient f(3condes en progres ulte'rieurs, c'esl ce que montrait, 
imme'diatement apres , la belle the'orie des groupes hyperfuchsiens due a 
M. Picard et que, d'ailleurs, Poincare' lui-mme devait, a son tour, perfec- 
tionner (*), en me" me temps qu'il allait de'fmir une autre cate'gorie de trans- 
cendantes remarquables , celles qui admettent un the"oreme de multipli- 
cation (-). 

Mais surLout les fonctions fuchsiennes donnent nn nouvel instrument, leplus 
puissant que Ton possede, pour l'e"tude des fonctions algebriques et de leurs 
integrates : instrument qui a fait ses preuves entre les mains de plusieurs 
auteurs citons, entre autres, les resultats obtenus par M. Humbert relati- 
vement aux sommes qui font 1'objet du the'oreme d'Abel. C'est, d'autre part, 
grace a lui, nous allons le voir, que Poincare" a re'alis^ une partie des progres 
qu'il a fait faire c\ cette e'tude. 



La the'orie des fonctions elliptiques est aujourd'liui, sinon achevee mot 
qui n'est guere do mise a propos de science du moins suffisamment 
e'claircie, ct Poincare" n'a pas eu a s'y attaquer directement, bien que, 
a 1'occasion de ses recherches arithm^tiques, dont nous parlerons plus loin, il 
ait forme'*plusieurs de"veloppements nouveaux de ces fonctions. 

Mais les fonctions abeliennes posent encore, et ont post} a Pomcar6, toute 
une se"rie de problemes. 

Pour une partie, ces recherches se rattachent eHroitement a celles qui 
precedent, en vertu des relations qui existent entre les fonctions fuchsiennes 
et la the'orie des fonctions algebriques, avec laquelle cclle des fonctions 
abeliennes ne fait qu'un. 



(*) Voir Analyse p. 85. GEuvres, t. IV, p. 296. 

( 2 ) On sait les r^sulluls cbsenliols que M. Pieard a egalemenl obtenus dans cello derniere voic 
en formant les fonctions qui subisscnt des tvansformallons birationnellcs lovsqu'an augment e la 
variable de certaines periodes. 



l66 L/GEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

C'est ainsi que Poincare put decouvrir les relations particuliSres tres 
cachees qui prennent naissance entre les periodes des integrales abeliennes 
lorsque la courbe algebrique dont elles derivent verifie une Equation diiferen- 
tielle lineaire, grace a Pisomorphisme qui a lieu entre le groupe de cette 
Equation lineaire et celui que la the'orie des fonctions fuchsiennes conduit 
a introduire pour representer la courbe . Par 1'interme'diaire des belles 
recberches de MM. Frobenius et Cartan, celte analyse, dont il faudrait aussi 
dire les relations avec PAlgebre proprement dite et la theorie de Galois, se 
rattache a une autre de"couverte de Poincure, la liaison entre les quantities 
complexes les plus generales et la throne des groupes. 

Ce sont egalement, pour une grande parlic, les fonctions fuchsiennes qui lui 
permircnt de trailer les cas singuliers des fonctions abeliennes; ils'agitdes cas 
de reduction, dans lesquels, parmi les int6grales abeliennes attachees a une 
courbe algebrique, en figurent une ou plusicurs susceptibles dc deriver d'une 
courbe plus simple, c'est-a-dire de genre inf(5riour. 

On verra par son Analyse (*) comment, conduit une premiere fois a cettti 
question par la pr6c6dente, il y fut ranienc un peu plus tare! par deux tb<k>~ 
remes de Weierstrass. Lorsqu'il eut fourni et generalise la demonstration <h 
ces theoremes (que Weierstrass n'avail pas publiee), d'autres consequences 
lui apparurent. 

Ici encore, ce fut la theorie des fonctions fuchsiennes qui lui fit apercevoir 
quelques-unes des plus lointaines, et cola non seulement parce qu'elle clominc 
la question au point de vue analytique, mais aussi parce qu'elle apporta Taide 
efficace de sa figuration geometrique, si lumineuse, nous 1'avons tlit, en co qui 
regarde les relations d'un groupe fuchsien avec ses sous-grouptfs. 

Poincare considere en particulier les cas ou la reduction entrahie, enlre 
deux courbes algebriques, une correspondance simplernent ratiormelle. D< 
cette propriete ressortent, lorsqu'on lui applique les principes cle la lluSorio des 
fonctions fuchsiennes, une serie de consequences aussi simples et aussi ele- 
gantes qu'elles sont cachees au premier abord. 

Les cas de degenerescence dont nous venons de parler ne furcnt pas sim- 
plement pour Poincare des difficultes a resoudre. Ce furent, au contraire, les 
proprietes de ces fonctions degenerees qui Faidfcrenl par la suite a 
celles des aulres fonctions abeliennes. 

(!) Deuxi^me partie, X. OEuvres, t. IV, p. 20o-2gS. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 167 

Mais cette deuxi&me categorie de recherches decoule d'une tout autre source, 
et, avant de les aborder, il nous faut avoir laisse de cote les transcendantes par- 
ticuli&res pour nous occupcr de la theorie gen^rale des fonctions analytiques. 

2. RELATIONS AVEC L'ARITHMBTIQUE. ENSEMBLES. GHOUPES CONTINUS. 

Toutefois, avant d'abandonner les groupes et les fonctions fuchsiennes, nous 
parlerons de travaux qui, dans 1'ceuvre de Poincare, s'y rattachent plus ou 
moins etroitement. 

Tel est d'abord le cas pour la partie de cette oeuvre qui Louche a 1'Arithme- 
tique. 

A c6te des perspectives largement ouverles dc 1'Analyse pure et de ses appli- 
cations geometriques et physiques, la theorie des nombres, isolee, au moins en 
apparence, du reste de la Science, n'a pas cesse cependant d'etre cultivee par 
les mathematiciens de race. Avec MM. Jordan et Picard, c'est surtout Poincare 
qui contribua a perpetuer a cet egard, dans notre pays, la tradition d'Hermite. 
Nous avons dit que de cette tradition proc&dent des notes presque contempo- 
raines de la Thse dont nous avons parle en commengant. Poincare, transporte 
d&s cette ^poque les m6thodes d'Hermite au cas le plus g6n6ral des formes de 
degr quelconque a un nombre quelconque de variables. 

Nul domaine ou ces generalisations soient plus cach^es que celui de I'Arith- 
mlique qui nous occupe en ce moment. La discontinuity qui en fait le carac- 
toe essentiel s'y r6v^le en quelque sorte, au point de vue logique, par celle qui 
s6pare souvent les notions destinies a se montrer analogues entre elles, en ne 
les laissant se rattacher les unes aux autres que par un fil t^nu. En lisant les 
Notes dans lesquelles Poincar6 traite ainsi les notions de genre et d'ordre d'une 
forme, on se convaincra a quel point de telles analogies sont difficiles a saisir. 
Poincar6 sut les rendre claires et evidentes et par consequent, 1& comme 
ailleurs, introduire la simplicity et la cohesion la ou semblait devoir regner 
1'artifice. G'est ce qui apparait encore a un haut degr6 dans ses recherches sur 
la reduction des formes, 

M. Jordan venait de montrer que la methode m&me d'Hermite permet 
d'etablir pour les formes quelconques, le th6orme d'aprSs lequel le nombre 
des classes algebriquement equivalentes estfini. Poincare, poursuivant lamme 
voie, put ainsi g6neraliser la notion de reduction, generalisation que (comme 



i68 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

la precedente, d'ailleurs) Hermite n'avail donnee, du. moins pour des variables 
en nombrc superieur a 2, quo rclalivemenl aux formes decomposables en 
facteurs lineaires, 

Avec Poincare'j on pent dire que toute question disparait, en ce sens qu'une 
ide"e d'une rare simplicity fournit d'un seul coup la regie applicable a tous les 
problemes de cette cate'gorie. La reduction demande'e est de'compose'e en deux 
operations dont Tune ne depend que de 1'Algebre : c'est la reduction de la forme 
donne'e, au senspurement alg^brique du mot. L'autre operation est entierement 
mde"pendante de la forme considered etnede'pend que des proprie'tes du groupe 
arithme'tique : c'est une sortc de reduction par rapport a ce groupe, des substi- 
tutions du groupe line'aire de 1'Algebre, reduction qu'on sail efiectuer par cola 
inline qu'on salt reduire les formes quadra Liques definies. 

La solution de cette seconde partie du probleme elimine, en somme, toules 
les difficultes de nature aritbmelique. 

La reduction des formes cubiques lernaires se prusente comme application 
imme'diate de ce principe. 

Ces recherches, ainsi que celles que Poincaru consacra a l'(Uude des points 
de coordonn^es rationnelles surune courbe du troisiemedegr6, sont foncla men- 
tales dans la tbe'orie, si peu exploree encore, des formes de degr6 siipcrieur. 

La the'orie des formes quadratiques dut, elle aussi, a Poincare des progrks 
essentiels; et ceci nous ramene aux fonctions fuchsiennes. 

C'est, on le sait, un titre de gloire de quelques-uns des plus grands matbe- 
maticiens du xixsiecle de Dirichlet, de Riomann, d'Hermite enlre uutros 
que d'avoir su e'clairer 1'Arithme'tique a 1'aide do 1'analyse du continu qui sem- 
blait, au premier abord, ne devoir jamais y penetrer. 

Ce re'sultat rcmarquablc a mOme <Hc obtenu de deux, mnnieres enli^rcment 
diffe'rentes. Le point de depart de Riemann est le meme que celui do Dirichlet 
(et aussi, au fond, que celui qui a servi a Jacobi dans les Fundamenta). Mais 
celui d'Hermite est sans rapport avec le premier. 

Gr&ce aux fonctions fuchsiennes, Poincare' rcussit a son tour a dtablir uue 
alliance analogue, et cela sous deux formes, elles-memcs profondement dis- 
tinctes, respectivement en relation avec les deux grands priiicipes qui viennent 
d'etre mentionne's. Aux iddes d'Hermite se rattachent les recherches que 
Poincare' entreprend sur les formes quadratiques, dans le cas qui appellele plus 
de recherches, celui des formes ind6finies. La particularity qui fait la difficult^ 
et 1'int^r^t de cette cat^gorie de formes est, on le sait, que chacune d'elles se 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 169 

reproduil sans alteration par une infinite de substitutions lineaires formant un 
groupe disconlinu. Or on est ainsi rainenc aux groupos fuchsions. 

Non seulement ccux-ci se trouvcnt ainsi et cela, comrae le montre 
Poincare (* ), par 1'intermediaire de la Geometric non euclidieune eclairer la 
theorie des nombres, mais il est remarquable qu'en I'esp&ce 1'inverse a ega- 
lement lieu : c'est par cette voie qu'on etend a certaines fonctions fuchsiennes 
la seule propriety remarquable des fonctions elliptiques dont 1'extension, dans 
ce domaine, ne parait pas-pouvoir se faire d'une mani&re enticement generale, 
le theor&me d'addition. Poincare montre, en invoquant une fois de plus les 
propriety geometriques des polygones generateurs, que cette extension depend 
d'une sorte de commensurabilite entre le groupe de la fonction fuchsienne et 
une substitution determinee, non comprise dans ce groupe; et cette commen- 
surabilite, qui n'existe pas dans le cas general, se pr6sente au contraire lorsque 
le groupe fuchsien consider^ a une origine arithmetique. 

Mais ce rapprochement n'est pas, nous Pavons dit, le seul que Poincare ait 
eiabli entre les fonctions fuchsiennes ct 1'Arithmetique. Des le debut de ses 
recherches, en effet, il a donne du probleme de 1'equivalence une solution g6ne- 
rale toute nouvelle, fondle sur 1'extension au domaine arithmetique de la notion 
d'invariants. Gj i aco a la discontinuite des groupes auxquels conduit la th6orie 
des nombres, les invariants arithmtHiques existent la m^me ou il n'y a point 
d'invariants alg6briques et, independamment d'expressions par int^grales 
definies, ils en possOdent d'autres sous forme de series sur lesquelles leur pro- 
priet( d'invariance est mise imm6diatcment en evidence. Les series auxquelles 
on aboutit ainsi sont tr^s voisines des series connues de Dirichlet, mais leur 
formation, qui par consequent se rattache aux recherches de ce ggom&tre, 
s'inspire cependant, commc on le voit, d'un principe d'une bien plus grande 
gen6ralite et dont la relation avec les mulhodes suivies en Alg&bre apparait 
immediatemeiit. 

Elles sont, d'autre part, etroitement liees aux series d'une part, aux fonc- 
tions fuchsiennes dc 1'autre et montrent la relation qui existe entre ces deux 
sortes de fonctions par 1'intermediaire de la fonction modulaire. C'est ce point 
de vue qui a donne a Poiacare de nouveaux developpements des fonctions 
elliptiques. 

L'etudc de la categorie de fonctions fuchsiennes a laquelle appartient ainsi 

( l ) Analyse, p. 97. OKtivres, t. V, p. 8. 

H. P, XI. 22 



I7 L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

la fonction modulaire devait attirer a nouveau son attention; elle fait 1'objet du 
dernier travail qu'il nous ait laisse ( [ ). 

Outre la theorie des formes, Ics deux principaux chapitres de 1'Arithmetique 
moderne sont la theorie des nombres premiers el cello des ideaux. PoincanS 
les a abordes tous deux ensemble dans le Memoire intitule Extension aux 
nombres premiers complexes des llieoremes de HI. Teliebiclieff. La m<Hhode du 
geom&tre russe, conservee dans son principe general, a du subir d'importantes 
modifications pour s'adapler a ces nouvelles circonstances. II est remarquable 
que le resultat obtenu soit independent de deux Clements qui s'introduisent 
d'une manure n6cessaire dans les calculs, le nombre des unites independantes 
du corps consider^ et celui des classes d'ideaux qu'il renferme, et que d'autre 
part, cc resultat relatif aux nombres imaginaires puisse servir a etudier la distri- 
bution des nombres premiers reels entre les formes f^n -f- i , l\n -f- H. 

Enfin, rappelons qu'une des premieres publications de Poincare avail cnrichi, 
en m6me temps que rassembl(5 dans une sjiilhtise particulierement lumiiieuse, 
les proprieties des corps quadratiques et des ideaux correspondants, en les 
rattachant a une nouvelle theorie g^ometrique des r^seaux (au sens cle Bravais). 
On sait avec quel succes unc synth^se analogue fut reprise plus tarcl par"M. Klein, 



D'aulre part, vers le m^mc temps ou PoincanS se rev^lail, deux tlieoriiss 
g6n^rales nouvelles sont venues modifier la marche ch 1 la science : la theorio 
des groupes continus de S. Lie et celle des ensembles de Cantor. 

L'une et 1'autre ne pouvaientmanquer de recevoir de Poincart 1 d'imporlantes 
contributions. 

La premiere lui doit une etude nouvelle de ses notions gdnerules, qu'ii 
eclaire (-) grace a un remarquable emploi de FinlcSgrale de Cauchy, en mon- 
trant, en particulier, que les probl&mes que Lie avait r^ussi a ramener ?\ des 
equations differentielles peuvent se resoudre par quadratures, sinon par des 
operations enti&rement algebriques. 

Mais la theorie des groupes continus vaut surtout par ses applications. On 



(*) Ce Memoire (Ann. Fac. Sc. Toulouse, 191,3. OEuvres, t. 2, p. 592-618), n'a paru qu'upres la 
mort de Poincar cL ne figure pas dans la liste qui pr6cede son Analyse. 
(-) Voir p. 98 de son Analyse, OEuvres^ t. V, p. 4. 



L/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 171 

doit a Poincare 1'une des plus remarquables et des plus inattendues, celle qui 
est relative aux quantites complexes en general, c'est-a-dire aux diverses gene- 
ralisations que, apr&s Hamilton, Grassmann et d'autres, on peut essayer de 
donner a la theorie des imaginaires. Poincare montre que ce probl^me se 
ram&ne enticement a 1'etude et a la discussion de certains groupes continus 
lineaires. 

La theorie de Lie intervient d'ailleurs dans plusieurs autres travaux de 
Poincare. Elle joue par exemple, un r6le essentiel dans les recherches dont 
nous parlerons plus loinsurla representation conforme et les foiictions de deux 
variables et c'est par elle, ne 1'oublions pas, qu'il guida la theorie naissante de 
la relativity. 

Ailleurs, il m on Ire que son emploi s'impose dans un sujet qui semblait 
epuise, la mise en Equations des problfcmes de Mecanique rationnelle. Dans la 
methode classique suivie <\ cet egard, les deplacements virtuels sur lesquels on 
op6re sontobtenus en faisant varier isolemeiit chaque pararnelre ; si au contraire, 
comme Poiiicare est oblige de le faire en vue de certaines applications a la 
Mecanique celeste, ccs deplacemenls virtuels sont choisis d'une mani&re quel- 
conque, il montre qu'on doil les trailer comme des transformations infmit6- 
simales et introduire la structure du groupe ainsi d^iini, 

L'hisloire des relations de Poincar^ avec la th^orie des ensembles est plus 
curieuse. Nous avons dit, en effet, qu'il la devanca (voir plus Iiaul, p. 161) en. 
Pappliquant avant m6mo qu'ellc ful nde, et cela dans un deses re^sultals les plus 
saillants el l(s plus justement ct^bres. 

Cette th^orie s'est depuis constammenl remontr^e vers la plume. Qu'il 
s'agisse dethrone des fonctions, d'^quaiions diff^rentielles, on la verra toujours 
se pr^senler a lui, comme elle s'imposera d(5sormais a tout g^om&tre qui, dans 
un domaine quelconque, tentera d'aller vtSritablement au fond des choses. 

l^es hauls probl&mes qu'elle soul^ve en elle-mme ne pouvaient, eux non 
plus, laisser.Poincar6 indifferent. II les a trailes ici-m6me ( A ) et repris souvenl 
dans ses livres. Le terme de definition non predicative qu'il a inlroduil, 
suffit a refuter plusieurs des sophismes dont les notions fondamentales relatives 
aux ensembles etaient 1'objet ( 2 ). 



( ! ) Acta, t. 32, 1909, p. igS-aoo. CRtwres : (Ho Volume p. II/J-TIQ. 

( 2 ) Lc scul raisonnemcuL que nous defcudrions conlro les criLiques dc Poiacarc a ce point de 
vue est celui de M. Zerrnelo sur Ui possibilite d'ordonner tin ensemble quelconque. 



172 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

3. LA TllfiOlUti G fiN fl HAWS. 

Avec Gauss, Cauchy, Riemann, Weierstrass, la notion precise de ce qu'on 
doit entendre par fonction analytique etait acquise, La theorie en etait faite, 
au fond, sur le module qu'offrait naturellement FAlg&bre. Toule fonclion 
analytique peut tre representee, dans tout domaine suffisamment restreint, sauf 
au voisinage de certains points particuliers, par un developpement en serie 
enti&re. 

Certaines d'entre elles peuvent tre ainsi representees, par un developpement 
unique, pour toutes les valeurs de la ou les variables : ce sont les fonctions 
entieres. Dans le cas d'uue seule variable independante, Weierstrass avait 
reussi a etendre a ces fonctions le theorme de la decomposition en facteurs, 
sous une forme identique a celle des polynomes, a ceci pres qu'aux facteurs 
binomes classiques de i'Alg&bre venaient s'adjoiiidre, et cela a deux titres 
differents, des facteurs exponentiels. 

Apr6s ces fonctions endures viennent les fonctions meromorphes , analogues 
aux fonctions rationnelles et qui se comportent comme elles au voisinage d'un 
point quelconque (a distance finie). Grace au theortiine qui lui a donne la 
decomposition en facteurs, Weierstrass montre qu'une fonction meromorphe 
d'une seule variable esl le quotient de deux fonctions entires, pendant que le 
th^ortjme de M. Mittag-Leffler t^lend a cc domaine la decomposition en elements 
simples. 

Ces deux cas sont les plus elementaires. D'autres beaucoup plus compliqu6s 
peuvent se pi6senter, m^me si Ton se borne aux fonctions uniformes. Mais 
celles-ci sont loin d'etre la rejgle. La grande difficult^ de la th^orie est pr^ci- 
s^ment 1'existence des fonctions non uniformes, qui, en un certain sens, 
mettent en d6faut la definition m6me de la notion de fonction. 

De ces fonctions non uniformes, on n'avait qu'une notion purement nega- 
tive, du moins dans le cas general. Quelques categories particuli&res avaient 
seules ete etudiees. A la plus classique d'entre elles, celle des fonctions alge- 
briques, Poincare avait, des la Th&se dont nous avons parle plus haut, adjoint 
sa generalisation la plus naturelle et la plus importante, celle des fonctions 
algebroides, que ses recherches de Mecanique analytique devaient ramener 
souvcnt sous sa plume. 

D6s que le nombre des variables devenait superieur a i, il ne restait de tout 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE". 178 

cela que le point dc depart : le dereloppement en serie emigre, applicable a 
une fonclion analylique quelconque dans le voisinage d'un point non singulier, 
et a une fonction entiere dans tout 1'espace. En parliculier, la decomposition 
en facteurs de ces fonctiqns entieres n'ayant plus lieu, la demonstration donnee 
par Weierslrass de 1'expression d'une fonclion meromorphe par le quotient de 
deux fonctions entieres disparaissait du m6me coup. 

De 1'outil qui permet de manier si surement les fonctions d'une variable, la 
the'orie des fonctions de deux variables ne posse'dait que le manche. 

Tel etait 1'^tat de cette branche de la science a la venue de Poincare. Voyons 
comment, grace a lui, 1'evolution ulterieure Cut possible. 

Tout paraissait dit, en un sens, en ce qui regarde les fonciions entieres 
d^ane variable* Cependant, Laguerre avait montre, a 1'aide de la formule de 
decomposition en facteurs, que, comme les polynomes, les fonctions entieres 
ne devaient pas 6 tre placees toutes sur le m6me plan et presentaienl des degres 
de complication in^gaux tout an moins sous ce point de vuc. Avec une pene- 
tration qui a e'te' justement admir^e, il avait appris a mesurer cette complication 
par un nombre, le genre, qui fait intervcnir a la fois les deux especes de fac- 
teurs exponentiels menlionne'es plus haul, 

Le probleme se posa alors, pour Poincare, de savoir si cette complication 
plus ou moins grande de la decomposition en facteurs de Weiers trass avait ou 
non son retentissement sur les autres propriety de la fonction, II put moiitrer 
qu'en effet toute limitation supposed connue pour le genre en 'entrainait une 
correspondante pour 1'ordre de grandeur du module de la fonction elle-m6me 
et aussi pour celui des coefficients de son developpement, c'est-a-dire pour ses 
propriet^s les plus simples et, en g<5n<5ral, les plus ais6ment consta tables. 

Ainsi fut fondle la nouvelle th^orie des fonctions entieres. C'est, en effet, do 
cc re"sultat et aussi, ajoutons-le, d'un celebre th^oreme diVa M. Picard, qu'est 
sortie toute cette the'orie, telle qu'elle s'est de'veloppe'e dans le cours de ces 
dernieres ann6es. 

C'est d'ailleurs de la m6me source que de"coulent encore les progres apport6s, 
principalement par MM. Borel et Boutroux, a 1'etude des fonctions me"ro- 
morphes : car la m^thode employee en cette circonstance derive manifestement 
de celle qui est appliqu^e aux fonctions entieres. 

On peut m6me en dire autant pour le point essentiel : c'est en effet dans le 
m^me ordre d'idees que les fonciions pr^sentant cette singularity, et elle seule, 
aulrement dit les fonctions quasi entieres, ont 6te trailers par M. Maillet. 



174 l/OSUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Les singularites fion isolees des functions imiformes sont un des sujels qui 
out le plus particuli&rement preoccupe" Weierstrass cL les ggom&ires qui, avec 
lui, out exploit la iheorie des (bnclions, el la realisation des diverses possibi- 
lites qui peuvenl sc presenter a eel 6gard a ete Tun des buls principaux do 
leurs efforts. Or, parmi les dispositions les plus etranges qui peuvenl se ren- 
contror, il u'eii est pas une dont Poincare" n'ait forme, comme eux, des 
oxemples, mais avec unc signification nouvelle. 

L'existeiice de coupures essentielles pour les functions dont il s'agdt etait 
connue depuis Weierstrass. Mais ce sont les fonctions fucbsiennes, apres la 
fonclion modulaire, il est vrai qui sont venues nous montrer combien il 
s'en fallail qu'on dul voir la un simple objet de curiosite. 

En mme temps, nous avons vu ces monies fonctions fuchsiennes impose r 
a Poincare une nouvelle categorie de singularit^s que 1'imagination de ses pr- 
ddcesseurs n'avait pu concevoir : les points singuliers formant un ensemble 
parfait non coiitinu. 

Rcste cnfin, a cote de la notion de ligne singuliere, la notion toute voisine 
d " espace lacunaire. C'est aPoincare que 1'on doit, a cet egard, Pexemple pout 
6tre le plus general et en toutcas, le plus fecond, car la mtjthode qui y conduit, 
fonde"e sur Fintroduction d'une serie de fractions rationnelles, est celle qui, 
ulterieurement, a permis a M. Borel d'etendre nos connaissances sur ce sujet. 

Mais ici encore, ce n'est pas uniquement pour elle-m6me et pour mo tiro en 
evidence ses singularity que Poincar forme la s^rie dont il s'agit. II y est 
amene" n^cessairement par les reclierches sur les Equations differentielles qui 
font Pobjet de sa ib^se. Les integrales qu'il forme n'existent, comme nous le 
rappellerons plus loin, que moyennant des conditions d'inegalite convenables 
entre certains coefficients qui figurent dans 1'equation et : des lors, consider^es 
comme fonctions d'un de ces coefficients, elles pr^sentent precis^ment la sin- 
gularite qui nous occupe. 

Le rdle de Poincar6, a propos des fonctions a espaces lacunaires, a done 
6le le m&me que nous lui avions vu jouer vis-a-vis des lignes singulieres, des 
ensembles parfaits discontinus, des courbes sans courbure. 

Certes, m^me si Tune ou 1'autre de ces circonstances avait et6 destinee a ne 
jamais se rencontrer dans les applications, leur decouverte n'en aurait pas 
moins ete importante pour nous. Poincare nous a montre, dans un de ses dis- 
cours (*), combien il faut rendre graces a FAstronomie d'avoir elargi notre 

I 1 ) Voir La valeur de la Science, Chap. VI. 



L'QEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 175 

esprit par la seule notion de ses distances enormes el d'avoir permis ainsi que 
notrc imagination, comme 1'cBil de Paigle que le Soleil n'eblouit pas, puisse 
regarder la verite face a face . Les singularite's clont nous venous de parler 
tiennenl unc place analogue, a ceci pres qu'elles ont soumis uotre imagination 
a des epreuves autremenL rudes encore, et jete" un desarroi passager, non seu- 
lemcnt dans les habitudes que nous tenons de nos sens, mais dans celles que 
nous pouvions croire issues de notre logique elle-m6me. 

Poineare n ? a pas laisse a 1'avenir le soin d'utiliserla lecon qui s'en degageait. 
Au lieu de signaler de loin d'etranges regions que la science pouvait &trc 
exposee a rencontrer sur sa route, il les a travers6es pour trouver, au-dcla, le 
but qu'elle avait a poursuivre. Ses decouvertes semblent ainsi aller d'un coup 
aux limites, non seulement de ce que I'humanite d'aujourd'hui peut decouvrir, 
mais de ce qu'elle peut comprendre. 

C'est ce que la theorie des fonctions vient a nouveau de nous montrer. La 
inline impression s'imposera a nous, et plus fortemenl mme, lorsqu'il s'agira 
des Equations differentielles. Plus complexe encore qu'en Theorie des fonc- 
tions, la verite que nous verrons alors se degager des travaux de Poiiicare 
depasse probablement la capacite actuelle de nos cervcaux. 

La th^orie des fonctions non uniformes fut tir^e du n6ant grace a un th^o- 
reme d'une demonstration des plus d6licates. 

Une fonction analytique quelconque (par consequent, non uniforme en 



donn6e, on peut exprimer x en fonction uniforme d'une variable auxi- 
liaire , de mani^re que z soit aussi une fonction uniforme de t. La conclusion 
s'etend m&me ci un nombre'quelconque de fonctions d'une m^me variable. 

La the'orie des fonctions non uniformes est ainsi ramen^e a celle des fonc- 
tions uniformes. 

Un tel fait ne pouvait manquer de s'imposer a un Poincar^ apres la d^cou- 
vcrte des fonctions fuchsiennes. Celles-ci, nous 1'avons vu, le mettaient en 
Evidence, et fournissaient la variable auxiliaire cherchee, en ce qui regarde les 
fonctions alge"briques. II j a plus, elles permettent de le de" montrer, sinon dans 
le cas ggngral, du moins dans un cas tr^s 6teiidu, a savoir, toutes les fois que 
les points singuliers sont en nombre fini et tous reels. 

Mais si Ton veut ne faire aucune restriction relativement aux points singu- 
liers, d'autres mojens d'action sont necessaires. 



176 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Ici (comme deja d'ailleurs pour les fonctions fuchsiennes) ce sont les prin- 
cipes me"mes sur lesquels Riemann avait fonde" la theorie des fonctions ab6- 
liennes qui s'elargissent entre les mains de Poincare, et acquierent 1'ampleur 
nouvelle que la question comporte. D'une part, tout le calcul va reposer sur la 
formation d'un domaine geome"trique, la surface de Riemann, par lequel on peuL 
se representer la variation simultane'e de z et de x. En second lieu, un element 
physico-mathematique, la theorie du potentiel, joue dans ce calcul le role prin- 
cipal. Mais son maniement exige une puissance d'analyse nouvelle, en raison 
de la complication de la surface de Riemann qui est ici a une infinite" de feuil- 
lets. La notion d'une telle surface de Riemann, et surtout dcs fonctions harmo- 
niques correspondantes est tr&s delicate et ne peut 6tre atteinte que par des 
passages a la limite appropries. 

On aboutit ainsi a la formation d'une certaine fonction analytique t. La 
propriety essentielle de cette quantite consiste en ce qu'elle ne prend jamais 
deuxfois la m6me valeur sur la surface. C'est ce que 1'onetablit ais6mental'aidc 
de Fintegrale classique de Gauchy, 6tant donne* que t est la limite de fonctions t tl 
qui possedent la propriety en question. 

Cette grandiose decouverte de V uniformisation des fonctions analytiques 
ne pouvait manquer de provoquer les recherches des geometres, du moins de 
ceux qui, capables de ressentir son importance, avaieni aussi les forces n<ces- 
saires pour aborder ce sujet ( 1 ). A la suite de ces travaux, Poincare' revint lui- 
m^me sur sa de'couverte pour la comple'ter. 

Dans 1'intervalle, il avait donn^, pour la resolution des problemes fonda- 
mentaux de la th^oiue du potentiel, une m6thode nouvelle, celle du balayage. 
Cr^(5e, semble-t-il, en dehors de la preoccupation du probleme qui nous occupe, 
cette me'tbode se trouvait cependant s'y adapter d'une maniere remarquablernent 
parfaite. L'une des difficult6s de la question est, nous Favons dit, la presence 
d'une infinite de feuillets de la surface de Riemann, dont, par suite de cette 
circonstance, la forme totale et en particulier la frontiere ne peuvent, au moins 
an premier abord, tre de"finies sans de s^rieuses difficult^s. Orilse trouve que 
celles-ci ne gtoent en aucune fagon Tapplication de la m6thode du balayage, 
pour laquelle il suffit de suivre la marche m^me, classique depuis Weierstrass, 
de la definition d'une fonction analytique parune suite indefinie d' elements . 



( J ) Outre les auteurs dont nous parlerons dans un instant, nous nous contenterons de citer ici 
JML Kcebe. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 177 

Poincare avail, d'autre part, a 1'occasion de son enseignement a la Faculty 
des Sciences de Paris, perfectionne" toute la technique de la theorie des fonc- 
tions harmoiiiques : il avait, par example, reconnu tout le parti qu'elle peul 
tirer d'un remarquable theoreme de Harnack. 

ForL de ces nouvcaux moyens d'action, il put, re'pondant a un desideratum 
de M. Hilbert, ecarter en toute certitude pour les fonctions cherche'es, les trois 
points singuliers dont le raisonnenicnt primitif n'excluait pas la possibility. 

D'autre part, les fonctions obtcnues ont, en general, un domaine d'existence 
Ilniit6 par une ligne singuliere essentielle (un theoreme de M. Picard est venu 
monlrcr que la solution n'est pas possible sans 1'introduction de fonctions pre- 
sentant ce caractere). MM. Osgood et Broclen s'etaient pr6occup6s de deter- 
miner la forme exacte du domaine qui, dans le plan de la variable , correspond 
ainsi a la surface de Riemann donn6o. La nouvelle methode de demonstration 
permet de preciser davantage les resultats de ces deux auteurs. 

Enfin, chose plus prcicieusc encore, elle fournit la solution la plus simple, 
et non plus une solution, quelconque , du probleme pose". Des lors, celte 
solution est parfaitement determine, du moins a une substitution line"aire pres. 
De la rcssort encore, cornme consequence, une propriety fonctioiinelle qui 
place les fonctions obtenuos a cot,6 des fonctions fuchsiennes. 

Ce n'est pas la scale contribution que Poincare' ait apport^e a la theorie des 
fonctions non tmiformes. Tout d'abord, c'est a lui qu'on doit la limitation, 
au sens de la th<3oric des ensembles de la multiplicity des valeurs que 
pout prendre une telle fonction pour une valcur unique de la variable et aussi 
cles elements (au sens de Weiers trass) qui suffisent a la representer : limi- 
tation essentielle d'ailleurs au second raisonnement par lequel il a etabli le 
theoreme d'uniformisation. 

DC plus, il a indique une methode permettant d'6tablir que toute fonction 
analytique z en general, non uniforme, de la variable x peut 6tre definie 
par une equation de la forme G(^, cc) o, ou G est une fonction entiere : pro- 
gres moins essentiel peut-6tre que le theoreme d'uniformisation, mais, nean- 
moins, extension irnportante aux fonctions transcendantes de la propriete 
fondamentalc des fonctions alg6briques. 

Mais cette methode est en relation avec les travaux dont nous avons a parler 
en second lieu, et qui concernent 1'otude des fonctions de plusieurs variables. 

* 

H. P. XL 23 



jr$ L 1 OEUVRE MATHEIMATIQUE DE POINCARE. 

Pour celle-ci plus encore quo pour la pr^c^dente, on peut dire quo les 
impulsions dt5cisives viennent de Poincare. 

Dans cet ordre d'id5es, un seul tli(k>reme, le Vorbereitungssatz avail $te 
anterieurementobtenu. Mais, par deux fois, il (Stall rest<5 ignorg du public scien- 
tifique. Weiers trass Pa reserve, comme il le faisait souvenl, au cercle resireint 
dc ses auditeurs, jusqu'en 1886, et M. Lindelof a 616 le premier a d^couvrir (*) 
que le veritable auieur en cst Gauchy. 

II pent n'tre pas inutile, dans ces conditions, dc noter que les r<3sultats 
relatifs aux fonctions algdbroi'des, obtenus par Poincart* dans sa Th&se, Equi- 
valent au thor&me en question ( 2 ). 

Gelui-ci d'ailleurs, pour Poiacartf comme pour Weierstrass, n'eHait que pr<5- 
paratoire. L'^tude des fonctions de plusieurs variables ne fut v^ritablement 
inauguree que lorsquc, peu d'annes aprfcs, Poincar6 r^ussit a leur etendre le 
th^orfeme de Weierstrass sur les fonciions m&romorphes. 

Quel que soit le nombre des variables, une telle fonction est caractt5rist5e par 
la propri^te de se comporter au voisinage d'un point quelconque autrement 
dil, localernent comme une fonction rationnello. Localement done, elle 
s'exprime par le quotient de deiix series entires convergenles dans un rayon 
suffisammenl petit. G'est ce r<5sultat qu'il s'agit d'6tendre a tout 1'espace en 
exprimantla fonction consid^r^e par le quotient de deux series entires ton- 
jours convergentes. 

IMous avons dit qu'on ne pouvaii songer a employer, a cet effet, la method e 
qui r(5ussit clans le cas d'une variable. Poincar^ recourl encore une fois a la 
th^orie du potentiel ou plutot a la thdorie analogue dans 1'espace a quatre 
dimensions, celle des fonctions V qui satisfont a liquation 

( 



Cette m6thode semblo cependant, au premier abord, inapplicable au probldtne 
actuel. Liquation aux d^riv^es partielles pr^c(5dente ne suffit plus, en effet, a 
caract^riser la partie r6elle d'une fonction analytique : cette partie r^elle doit 
satisfaire a quatre Equations aux driv6es partielles et non a une seule. Tl 



( 1 ) Voir ses Legons sur la theorie des residus (Paris, Gauthier-Yillars, igo5, note de la 
page 2.7). 

( 2 ) Us en fournissent meme une extension, dans laquelle, au lieu de liquation obtenue en 
6galant une fonction unique a z6ro, on considere un systeme d'^quations a plusieurs inconnues. 



l/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 179 

semble done que la formation d'un potentiel verifiant Funique equation ci- 
dessus ecrite soil sans valeur au point de vue du r^sultat final. 

II n'en est rien : si Ton a obtenu ce potentiel, Poincare montre qu'il suffit 
d'y ajouter une fonction r^guli&re convenable pour int^grer Fensemble des 
qua Ire Equations mentionn6es tout a Fheure eten deduire la fonction qu'il a en 
vue, a savoir le logarithme du denominateur cherche. 

Quant a la formation du potentiel en question, elle consiste en une sorte de 
raccordement analytique entre plusieurs fonclions (les logarithmes des denomi- 
nateurs des diverses fonctions qui repr^senlent localemenl la fonction donnee) 
definies chacune dans une portion seulement de 1'espace, mais dont les diffe- 
rences mutuelles dans les regions ou deux d'entre elles existent a la fois, sont 
reguliSres. Ce raccordement, 1'ernploi de potentiels, tous analogues aux poten- 
tiels de simples et de doubles couches, permetdel'operer. Lorsqu'ils'agitenfin 
de passer a la limite pour le cas de 1'espacc indefini en tous sens, la m^thode a 
appliquer est connue : c'est celle par laquelle on demontre le theor&me de 
M. Mittag-Leffler sur le developpement des fonctions meromorphes d'une 
variable en serie d'elements simples. 

Poincare a eu a revenir sur la demonstration de ce theor&me, pour 1'adapter 
a la th.6orie des fonctions ab^Kennes. Dans ce cas, en effet, la fonction donn^e 
^tant p6riodique, il importe de diriger le calcul de mani&re que le num- 
rateur et le d&nominateur obtenus poss^dent eux-ra&mes, non la periodicity 
proprement dite, mais, a la fagon des fonctions 6 (auxquelles, d^s lors, ils se 
ram^nent) la p6riodicit6 de troisi^me esp^ce au sens d'Hermite, qui est a la 
periodicity ordinaire ce que Finvariance relative est a Tinvariance absolue. 
Poincare' reprend, a cet effet, la demonstration de son th6or^me general, tant 
celle qu'il avait donmte que celle qui avait t fournie depuis par M. Cousin. 
II en indique m6me, dans le m6me but, une autre, toute diflferente de celles 
dont il vient d'etre question par la nature des potentiels employes. Au lieu 
d'etre, dans 1'hyperespace, les analogues d'un potentiel newtonien de surface, 
comme dans la demonstration primitive ceux~ci peuvent, en effet, 6tre 
analogues a des potentiels (newtoniens) de lignes attirantes, de sorte que nous 
devons a cette circonstance la connaissance des singularites (en general loga- 
rithmiques) des potentiels de cette esp&ce. ' 

Un autre point important de la theorie des fonctions d'une variable attirait 
Fatteation au point de vue de son extension au cas actuel : la notion de r&sidu, 



i#o I/GEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

base des plus belles d<5couvertes de Caucliy. En general, c'est-a-dire dans toute 
region ne comprenant pas de points singuliers, 1'intggrale d'une fonction ana- 
lytique le long d'un contour fermg est nulle. Au contraire si ce contour contient 
a son int^rieur un point singulier, I'int^grale esL proportionnelle a un certain 
nombre determine^, caracteristique et en quelque sorte, mesure de la singularity, 
qui cst le residu. 

Gotte pierre angulaire de la theorie de Cauchy devait cHre transport^ a la 
the^orie desfonctions de deux variables, si Ton voulait fonder utilemeiil celle-ci. 
II fallait, a cet efifet, considerer les integrates doubles prises le longde multipli- 
cittis f cringes de 1'espace a quatre dimensions, et montrer tout d'abord que ces 
integrates etaicnt independantes de la forme de la surface d'integration (tant 
que cclle-ci varie continument sans rencontrer de singularity ), une condition 
cl'integrabilite analogue a celle qui intervicnt pour les differentielles totales 
ordinaires etant verifie'e. 

Mais ceci fait, le calcul de la valeur de cette integrate autour d'une singu- 
larit^ donnee, pr^sentait des difficult(5s inattendues. Stieltjes qui 1'avait effectue 
clans un cas particulier, n'avait pu le publier, le r(5sultat donnant lieu a une 
objection qui scmblait sans r<5plique. Dans I'int6grale qu'il avait traitt^e, la 

quantity sous le signe // e^tait de la forme -^j P, Q, R (^tant trois polynomes 

entiers dont les deux derniers s'annulent ensemble sur la singularity consider(5e. 
Or Stieltjes trouvail, pour le residu, une valeur qui change de signe quand on 
permute entre eux les deux facteurs du dt^nominateur. 

Pour faire cesser cette contradiction apparente, il fallait arriver a une vue 
exacte et pen6trante des propriety g^om^triqnes d'une figure Irac^e dans 
1'hyperespace. Poincar(5 montra ainsi comment 1'ordre des deux facteurs en 
question influe, dans cet exemple, sur le sens de I'inleSgration. 

Ces deux series de recherches de Poiiicar^ rcst^rent longtemps la seule base 
des travaux entrepris sur les fonctions de deux variables (*). Les plus impor- 
tants, tels que celui de M. Cousin, derivcnt du the^orSme sur les fonctions 
m^romorphes et fournissent une seconde demonstration de ce th<5orme. 

Ce vaste domaine des fonctions de plusieurs variables devait, plus tard, offrir 
encore a Poincar^ un autre objet de meditations. La representation conforme 



( l ) C'est seulement dans ces toutes dernieres annees que d'autres voies se sont ouvertes avec 
des travaux parmi lesquels nous nous contenterons de citer ceux de MM. Faber, Hahn, Hartogs, 
E. E, Levi, etc. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE". l8l 

ofFre, d6s le cas d'une variable, un remarquable exemple de la difference pro- 
fonde qui existe entre les proprietes locales des fonctions et celles qui inter- 
viennent lorsqu'on les consid^re non plus au voisinage imrmSdiat d'un point, 
mais dans tout leur domaine d'existence. 

Le probl&me (probl&me local) qui consisle a representer, par rmtermediitire 
d'une fonction analytique, un arc (sufflsamment petil) d'une courbe donn^e c 
sur un arc d'une aulre courbe donnde G a, en efTet, une infinite de solutions 
dependant d'une infinite d'arbitraires, Landis que le probl^me etendu qui 
consisLe a representer, dans les m6mes conditions, la courbe fermde c tout 
entiere, sur la courbe fermee C (et 1'airc s limitee par c sur 1'aire S limitee 
par G) est, au contraire, determine a une substitution homographique prs. 

A cetLe difference, on apercoit immedialement deux raisons : la premiere 
residant dans ce fait que les courbes c et G sont ferm^es et que ds lors le pro- 
longement de la fonction cherch^e tout le long de ces courbes doit presenter 
par rapport a Fare de Tune d'elles, par cxcmple, une periodicity qui n'appa- 
raissait point lorsqu'on se bornait a consid^rer des parties tr&s petites des 
courbes en question ; la seconde, dans celui que la fonction cherch^e ne doit 
pas seulement 6tre definie au voisinage de c, mais dans tout I'inlgrieur de s. 

C'est cette 6tude que Poincare transporte au cas de deux variables, en s6pa- 
rant mme, par 1'introduction d'un probl^me intermediaire ( 1 ) (danslequel on 
demande que les fonctions cherch<3es soient reguli^res sur toute la fronti<^re, 
mais non dans tout le domaine qu'elle limite) ces deux caracteres qui diffe- 
rencient 1'un de 1'autre le probl&me local et le probl^me 6tendu. Les r^sultats 
cbangent d'ailleurs notablement de forme dans cette extension. Le probl^me 
local cesse lui-m^me d'etre possible en general. Une infinite de conditions de 
possibilite apparaissent et ces conditions de possibilite introduisent une s^rie 
d'invariants differ en dels, obtenus en ecrivant que la transformation de 1'une 
des frontires donnees en 1'autre est possible, dans la region infiniment voisine 
d'un point donne, aux infiniment petits du n^' G ordre pr^s. 

Ge Memoire de Poincare ouvre d'ailleurs la voie a touLe une serie de 
recherches ou, commeill'a montre, intervienl d'une manure necessaire Fetude 
approfondie de certains groupes continus. 



( l ) En vertu d'un th^oreme de M. Hartogs, il se trouve que la solution de ce probleme inter- 
tn^diaire peut 6tre utilisee pou-r celle du probleme, Etendu, 



182 L'GEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

G'est a ces propositions fondamentales sur les fonctions de plusieurs variables 
qu'il faut rattacher les resultats obtenus par Poincare sur les fonctions ab<?- 
liennes, ceux qui derivent de 1'application des fonctions fuchsiennes exceptes. 
Leur point de depart est la distinction qu'il etablit entre la theorie des fonc- 
tions abeliennes et celle des integrates abeliennes, theories que, depuis 
Riemann, on etait habitue a confondre 1'une avec Fautre. 

Si, comme on le sail depuis Riemann, les integrales des fonctions algebriques 
s'expriment par le mojen des series 0, la solution ainsi obtenue depasse en 
quelque sorte le but. Certaines fonctions correspondent a des probl^mes de 
quadrature de 1'espSce indiquee, mais elles sont speciales; il enexiste une foule 
d'autres qui n'ont point une origine de cette esp&ce. 

Quelles sonL les relations qui caracterisent ainsi les fonctions speciales ? 
et, d'autre part, que peut-on dire des autres fonctions ? 

Mais auparavant, une autre question analogue se presentait, qui s'etait deja 
pos6e a Riemann m6me (lequel 1'avait signalee a Hermite, puis a Weierstrass 
et qui, en m6me temps quePoincare preoccupa MM. Picard et Appell (*), celle 
de savoir si les fonctions p^riodiques obtenues comme quotients de fonctions 
sont les plus g6nerales parmi celles qui pr^sentent le m^me nombre de 
p^riodes. 

Cela est d'autant moins Evident que les fonctions ne peuvent pas <Hre 
form^es avec des p^riodes enti&rement arbitraires. Au contraire il ne semble 
nullement a priori, que la definition des fonctions p^riodiqucs doive impliquer, 
entre ces p^riodes, une condition quelconque. G'est cependant ce qui a lieu et 
toute fonction m^romorphe zp fois p&riodique de p variables complexes peut 
^tre repr^sent^e par un quotient de series 0. Poincar6 publia sur ce point, en 
collaboration avec M. Picard, une demonstration qui, un peu plus tard fut 
reconnue identique a celle qu'avait obtenue Weierstrass. Nous avons ditquele 
m&me fait se pr^senta plus tard a. lui comme une simple consequence du th6o- 
r&me fondamental sur les fonctions meromorphes, moyeixnant une etude plus 
approfondie des operations par lesquelles on etablit ce theor^me. 

Geci elucide, il fallait entreprendre 1'examen des fonctions indepen- 
damment- de toute origine algebrique, pour apprendre a, distinguer entre les 
fonctions appelees plus haut speciales (c'est-^.-dire celles qui ont une telle 
origine) et les autres. 

( l ) Yoir Analyse, p. 82; Cftuvres, t. IV, p. 293, 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. i83 

Dans eel ordrc d'idees, Poincare, des i883, considere un systeme de p fonc- 
tions a/? variables, toutes aux m6mes mnltiplicateurs, et determine le nombre 
des solutions (essentiellement dislinctes, c'est-a-dire telles que la difference de 
deux quelconques d'entre elles ne soil pas une periode) communes aux Equa- 
tions obtenues en egalant ces fonctions simullane'ment a zero. 

C'esl a cette occasion que Poincare utilise, pour la premiere fois, le the'oreme 
par lequel Kronecker venait d'exprimer le nombre des solutions d'un sysleme 
donne, admirable instrument qui semblait avoir ete cree en vue d'un tel ouvrier, 
et que nous retrouverons a lant de reprises dans 1'etude de son oeuvre. Grace a 
lui, il put montrer que le nombre en question ne depend que du nombre p des 
variables et du degre des fonclions 0. 

La difference entre le point de vue de Poincare' et celui de ses predecesseurs 
apparait par la comparaison entre cette question et celle que s''etail posee 
Riemann relativeraent au nombre des zeros d'une fonction du premier degre. 
Si, dans une telle fonction, on substitue aux/> variables les valeurs des/? inte- 
grales abeliennes de premiere espoceallackees aun nie~me point M de la courbe, 
on a une Equation (a une inconnue, cette fois) qui admet/? solutions. 

Get eiionce differe, on le voit, du precedent, non pas seulement en ce que la 
fonction conside're'e doit 6tre sp^ciale, mais en ce que les variables ne 
peuvent prendre que des valeurs ires particulieres, ne dependant que d'un seul 
parametre et non de p. Poincare 6tend d'ailleurs le re'sultat de Riemann aux 
fonctions de degre' quelconque (le nombre des solutions devenant alors e'gal 
a np] et a une se>ie de questions qu'on peut coiiside'rer comme intermddiaires 
entre les deux pre'ce'dentes. 

La relation entre ces diffe'rents points de vue est e'galement mise en lumiere 
dans la representation ge"om6trique qu'il emploie. 

II y a nP fonctions de degr^ n ayant des rnultiplicateurs donnas. Si 1'on 
considere les valeurs de ces n p fonctions comme des coordonn^es homogenes 
dans 1'espace a n 13 r dimensions, le point qui a ces coordonne"es point qui 
reste inaltere par Taddition aux variables d'une p^riode quelconque, puisque 
toutes ses coordonn^es sont multipli6es par la m6me quantity, de"crit, dans 
cet espace, une vari6t6/> fois etendue V. Lorsque les fonctions 0sont sp^ciales 
et de"rivent d'une courbe alg^brique C, si 1'on remplace les variables par les 
int^grales abeliennes attach6es a cette courbe, on a une courbe B situ6e sur V. 
Le th6or^me de Riemann etendu par Poincard montre que cette courbe est 
alg^bricjue et fait connaitre pn degre. Poincare constate d'ailleurs qu'elle est 



1 84 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

plane, ou, plus exactcment, qu'elle est situ6e sur une vari<5l<3 plane a (n 1)/> 
dimensions. Quant au the'oreme mentionne' plus haul sur les ze'ros communs 
a p fonctions 0, il fait connaitre le degr<5 de la variete V, laquelle esL alggbrique, 
et cela, cette fois, m6me si les fonctions conside'rees ne sont pas spe'ciales. 

Unseul resultatappartenanta cette categoric porte, comme celui de Riemann, 
sur une seule equation a une seule inconnue, Lout en n'cxigcant pas que la 
fonction qui y intervient soit sp^ciale. 11 ge'ne'ralise la relation de Lcgendre 
entre les p6riodes des inte'grales elliptiques de premiere et de deuxieme espece, 
relation quc la thdorie des fonctions nous a montre'e dependant du nombre des 
ze'ros de la fonction dans un parallelogramme des periodes. Pour arrivcr a im 
r^sultat pre'sentant ces caracteres, il fallait vaincre une difficult^ de nature 
ge'ome'trique par laquelle cette recherche se rapproche de celles que Poincare 
avait dtjveloppees sur la th^orie ge'ne'rale des fonctions de plusieurs variables. 

Apres avoir, par son the'oreme de i883, 6tendu une proposition classique sur 
le nombre des z6ros d'une fonction elliptique, Poincare va plus loin ct donne 
une extension analogue a celle qui fait connaitre la somme de ces ze'ros. 

Des le premier de ces deux the"oremes, on voit intervenir occasionnellement 
comme auxiliaires les cas de reduction dont nous avons parl(5 pr6c6demment. 
Cette premiere intervention n'est toutefois qu'accessoire, pour ainsi dire : 
1'emploi du the^oreme de Kronecker ayant montre', comme nous 1'avons dil, que 
le nombre des zeros communs est constant, 1'examen d'un cas de reduction ou 
tout se ramene aux fonctions elliptiques fournit simplement la valeur de celte 
conslante. 

M*is c'est seulement avec le the'oreme sur la somme des ze'ros que ces fonc- 
tions abeliennes re'ductibles jouentun role essentiel et, ainsi que les irajoctoires 
pe'riodiques de la M^canique celeste auxquelles on pourrait a la rigueur les 
comparer, sont pour nous, toutes particulieres qu'elles soient, le moyen 
d'atteindre toutes les autres fonctions abeliennes. 

Poincar6 remarque, en effet, qu'on peut trouvcr, d'une infinite de manieres, 
des fonctions abeliennes re'ductibles aussi pen diflf^rentes qu'on le veut d'une 
fonction abelienne quelconque donn^e, de m^me qu'au voisinage d'une incom- 
mensurable donn^e, on peut trouver une infinite de nombres commensurables. 
II suffit des lors de resoudre le probleme pour les fonctions r^ductibles, la 
solution s'e'tendant imme'diatement, par voie de continuite aux fonctions abe"- 
liennes quelconqu^s. 



' L'QEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE". i85 

Un nouvel emploi des cas de reduction va e'galement permellre d'aborder le 
probleme principal dont nous avons donne' tout a 1'lieure Ft$nonc6 : la recherche 
des conditions moyennant lesquelles les fonctions sont spe'ciales. 

Ainsi est exploit tout d'abord Faspect ge'ome'lrique du probleme. Comme on 
pouvait au fond, 1'inf^rer des rccherches de Lie, et comme Poincar<j le de'montre 
d'une facon nouvello et particulierement intuitive, la condition n^cessaire et 
suffisante pour qu'un systeme de fonctions soit special esL que la variety S 
dont Fequation s'obtient en e"galant 1'une d'entre elles a z6ro soit de translation 
et cela de deux manieres diff6rentes. L'tHude de la courbo dont la translation 
produit ainsi la varie'te' S n'est autre que celle de la courbe spe'ciale B dont il a 
e"te" question plus liaut (voir p. i83). On est ainsi conduit a de'finir cette courbe 
en adjoignant a Fequation de S un sjsteme d'autres Equations analogues. Mais, 
quoique les variety's repre'sente'es par ces Equations soient en nombre suffisaiiL 
pour de"fmir par leur intersection une courbe, elles ne fournissont pas uiii- 
quement celle que 1'on cherclie : Fintersection se decompose, et la courbe clicr- 
ch6e n'est qu'une des composantes. 

Pour rendre possible 1'intelligence complete du me'canisme de ceLie de*com- 
position, Poincare est oblig6 de faire intervenir a nouveau les cas de reduction. 
La marchc suivie en cette circonstance est celle me 1 me qui est class ique en 
Calcul infinitesimal : F6tude (au moins 1'^tude approcliee) des cas infiniment 
voisins d'uii premier cas donn6 dans lequel la solution est connue ou peut 6tre 
oblenue. Ce cas initial est ici un cas de reduction. Toutefois Femploi de la 
me'tliode est ici particulierement difficile. Si, en efFet, la discussion d'uii cas 
singulier tel que le cas d<i reduction est ici la seule prise que nous ayoiis sur 1<J 
cas ge'ne'ral, les m6mes raisons qui nous la rendcnt accessible font et nous 
retrouverons ce fait a propos des Equations diff6rentielles qu'elle nous oiFre 
de ce cas general une image plus ou moins fortement dt5form6e, ou toutes les 
proprie't^s ont en quelque sorte d^gt^ne"r^. Aussi nefaut il point s'etonner de ne 
la voir e'lucide'e que par une dissection d'une finesse extreme et d'y irouver les 
interpretations aussi delicates que Fcst pour le naturaliste celle d'organes 
dont les formes atropbiees ou regressives sont seules accessibles a Fobser- 
vation. 

Mais la condition qui caracte'rise une fonction abelienne spe'ciale doit 

s'exprimer, en derniere analyse, par une relation entre les p^riodes. C'cst la 

partie la plus difficile du problenie, celle pour laquelle Poincar6 ne pout fournir 

qu'un commencement de solution. La me'thode pre"ce"dente donne cependant, 

H. P. XI. 24 



i Nf L'QEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

sinon la forme complete des premiers membres des relations cherche'es enlre 
les periodes, du moins les premiers termes de leurs developpements. 



Peut-lre convienL-il des'arreHer un instant pour jclcr sur ce qui precede un 
coup d'ceil chronologique. La llieorie des fonctions fuclisienncs an rait a elle 
seule suffi pour fonder la gloire de Poincare. Mais si elle fat d'abord la plus 
remarquee, d'aulres, parmi les decouvertes qui remonient a la inline e"poque, 
ne lui cedent nullement en importance et Ton ne pent enregislrer sans stupe- 
faction la rapidite avec laquelle elles se succederent a partir de 1879, date de la 
These de doctorat de Poincarti. Parmi celles qui apparurent depuis cette date 
jusqu'en iS83, nous avons deja signale : 

les fonctions fuclisiennes ; 

le th<oreme fondaniental sur le genre, duquel decoulo toute la theorie des 
fonctions entieres ; 

Puniformisation des fonctions analytiques; 

la representation des fonctions mtSromorphes de deux variables par quotients 
de fonctions entieres ; 

le the'oreme sur les zeros des fonctions G) qui devail donner naissance a la 
nouvelle theorie des fonctions abe'liennes ; 

1'extension des notions de genre et d'ordre aux formes de degre" superieur, 
et la notion d'invariants arithme'tiques. 

Nous avons essaye' de donner une ide'e de Fimportance fondamentale de ces 
diffe'rentes decouvertes. Mais la plus essentielle peut-6tre nous reste a men- 
tionner. Nous savons, en effet, que la th^orie des fonctions, si grande quo soit 
la place prise par elle dans les mathe'matiques contemporaines, n'est en somme 
qu'un moyen. On trouvera naturel, des lors, que la theorie des courbes deft- 
nies par les Equations differentielles, dont nous aurons a parler tout a 1'heure 
ait eu sur toute Toeuvre de Poincar6 et sur toute la marche de la science une 
influence plus decisive encore que les recherches meme dont il a <H6 question 
jusqu'ici. Or, dans ses deux premieres parties, elle remonte a la zn^me ^poque, 
et de cette pe~riode encore date une courte Note, grosse de toute une revolution 
dans nos conceptions astronomiques. 

En quatre ann^es, dans les domaines les plus divers, dans les directions les 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE". 187 

plus oppose"es, quelle arme"e de de"couvertes primordiales dont chacune aurait 
suffi a consacrer une reputation. Encore n'avons-nous cil& que celles et non 
peut-6tre toutes qui marquent comme un lournant pour une branclie de la 
science. 

II n'est pas vrai que le temps ne fasse rien a FafTaire, dans la vie d'un grand 
savant. N'oublions pas que celle de Poincare", sans avoir la tragique brievet6 de 
la carriere d'un Galois ou d'un Abel devait 6lre arret^e en pleinc fe"condite. 

L'accumulation de ces oeuvres me"morables un seul tome du bulletin de 
la Societe mathematique de France renferme trois de celles que nous venous 
de citer n'en est d'ailleurs pas la seule caracte"ristique. Le dieuqui les iiispi- 
rait manifeste son impatience dans leur style me" me. Dans nombre d'entre elles, 
particulierement dans ces trois articles du Bulletin de la Societe mathe- 
jnatique de France deux ou trois pages lumineuses autant que concises, 
suffisent au veni, vidi, vici d'un triomphe de 1'esprit humain. 



II. Les equations diffe"rentielles . 

{. LES VOIES CLASSIQUES. 

Le centre de la math^matique moderne est, nous 1'avons dit, dans la the'orie 
des Equations difF^reiitielles et aux d6riv<5es partielles. 

II nous faut maintenant montrer Poincare' aux prises avec ce double pro- 
bleme et tout d'abord, avec les Equations difTe'rentielles. 

La place n'est point de celles que Ton puisse emporter de liaute lutte; il faut 
Fatlaquer successivement sur toute sorle de points et se contenter d'avantages 
partiels. Essayons d'e"nume"rer les directions a suivre. 

I. On peut se pre~occuper de perfectionner (sp6cialement autour des points 
singuliers) l'6tude que nous avons appel^e locale des solutions. 

II. II faut, d'autre part, savoir d^couvrir les cas ou celles-ci s'expriment a 
1'aide de fonctions connues. C'eHait a eux que Ton r6duisait le probleme aux 
debuts du calcul infinitesimal. Tout d^chus qu'ils soient de cette ancienne 
importance, il importe de ne pas les laisser e"chapper lorsque, exceptionnel- 
lement, ils existent. 



1 88 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

III. A defaul des fonctions deja existantes, il peul arriver que certaines 
transcendantes nouvelles, douses de propriety qui en permettent 1'eiude et le 
calcul, gouvernentj d'autre part, une categoric etendue d'equations differen- 
tielles dont elles permettent d'exprimer les integrates. 

TV. On pent etudier les solutions, supposees analytiques, an point de vue 
de la Theorie des fonclions el chercherles cas cm elles se comporLenta ce point 
de vue d'une maniere remarquable. 

V. On peat essayer de substituer, dans le cas general, aux developpemeiils 
en series qui conviennent localement, des developpements de forme diffe'rente 
valables pour loules les valours de la variable, etc. 

Poincare suivit avec succes toutes ces voies, en me" me temps que nous le 
verrons en frajcr d'autres sinon entierement nouvelles, du moins presque 
inexplorees avant lui, et plus fecondes que les premieres. 

Sa These marque suriout un progres essentiel au premier point de vue qui, 
nous 1'avons dit, dominait depuis Cauclij, celui de 1'etude locale des solutions. 
Elle n'est, en un sens, qu'une generalisation des recherches de Briot et 

BoLiquel sur les points singuliers en lesquels la valeur de ~- se pr^sente sous la 
forme - : generalisation a un systemc d'equations du premier ordre (*), au lieu 

que Briot et Bouquet n'avaient traite qu'une equation unique. Mais ici cette 
generalisation fait apparaitre des resullats de forme toute nouvelle. Dans 
1'exemple de Briot el Bouquet, un seul coefficient influait sur la forme des 
resultats, et la discussion ne reposait que sur le signe de ce coefficient. Cclle de 
Poincare inlroduit au conlraire plusieurs nombres (dependant, comme le coef- 
ficient unique de Briot el Bouquet, des termes du premier degre de liquation) 
el les conditions d'inegalite que Ton doit former ne s'exprimenl aisernent quo 
sous forme geometrique, en circonscrivant un polygone convexe au systeme des 
poinls qui ont pour affixes les nombres en question. Le resultat obtenu entrainc 
des lors que, considers comme fonctions de Fun d'eux, les solutions pre- 
sentent un espace lacunaire (en Tespece, un poljgone reciiligno); c'est 
Pexemple dont il a cjeja ete parle plus haul et qui, comme on le voit, ne pouvait 
etre soupgonne tant qu'on s'en tenait au cas de Briot et Bouquet. 



considere plus specialement, dans ce travail," liquation aux ddrivees partielles du 
premier ordre equivalente au systeme. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 189 

Une autre question qui, bien qu'appartenant a cette premiere categoric des 
Etudes locales, soul&ve de serieuses difficult^, non encore compl&lement sur- 
montdes, est le calcul des inl^grales irrgguliSres des Equations lin&iires, les 
seules que la m^thode de Fuchs ne permette pas d'obtenir. Deux sortes de 
de"veloppemenls, trs semblables au premier abord, compl&lemeni diflferents en 
r^alite, peuvenl 6 ire proposes pour represenler les solutions : les uns sont 
convergent, mais on ne sait pas en irouver les lermes ( ! ), les aulres peuvent 
cHre formes effectivemenl a 1'aide des donates de la question, mais ils soul 
divergents en general. 

PoincartJ, utilisant une transformation classique due a Laplace, inonLre, 
comme il le fera bieniol en M^canique celeste, que ces developpements diver- 
gents out une signification : ils font connaitre, jusqu'a lei ordre de pelilesse 
qu'on le veuL, 1'allure de la fonction. De plus, il obtient par la mgme voie uiiu 
condition n^cessaire eL suffisante pour qu'il y ait convergence. 

Sur un point, la recherche de la limite vers laquelle tend la d^rivee loga- 
rithmique de la solution la meHhode employee se rapproche bcaucoup de 
celles que nous retrouverons plus loin a propos del'lude, nonplus locale, mais 
gn6ralc du probl&me des 6quations diff&renlielles ; et dans le fail que la ques- 
lion donl nous parlons en ce moment n'est locale qu'en apparence reside 
sans doute la veritable raison des grandes difficult^s de cette question qui mri- 
lerait encore tant de nouvelles recherches. 

La connaissance des cas ou ^integration se fail par les fonclions classiques 
a ^galement (5L(5*notablement <5tendue par Poincar^. II en a (5L<5 ainsi en parti- 
culier en ce qui concerne Fint^gralion des Equations Iin6aires par les fonclions 
ab^liennes. Mais surtout, il s'est atlaqu6 a la question si simple d'^nonce, si 
difficile en r6alit<3, qui se posait apr&s les recherches de M. Darboux et qui 
consiste a reconnaitre si Fint^grale g6n6rale est alg^brique. II a pu, dans plu- 
sieurs categories de cas nouveaux, oblenir le r^sultat essenliel, la limitalion du 
degr^. Ici encore, une partie de ses r<5suliats esl due a 1'inlervenlion des fonc- 
tions fuchsiennes. 

Si grandes que soient les difficult de cette question, on ne doil aujourd'hui, 
nous 1'avons dit, voir la que le petit c6t6 du calcul integral. Au lieu de recher- 

( l ) On connait aujourd'hui, thdoriquement parlaat, grace aux Memoires de M. Helge von Koch, 
un moyen de combler cette lacune en calculant les termes dont il s'agit : nous dirons plus loin 
comment ce re"sultat derive des travaux de Poincar6 lui-meme. 



HJO L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

c h er non S ans peine, nous venons de le dire, si un extraordinaire hasard 
iie nous a pas mis en face d'une Equation integrable elementairement, il est autre- 
ment important de disposer des transcendantes necessaires pour integrer les 
equations diffe'rentielles telles qu'elles se presentent en fait. 

A ce point de vue, nul geometre n'a remporte de victoire plus glorieuse que 
1'inventeur des fonctions fuchsiennes, qui permettent d'atteindre toutes les 
Equations diffe'rentielles line'aires a coefficients algebriques. 

L'etude des solutions analytiques au point de vue de la the'orie generale des 
fonctions doit a Poincare un travail qui a joue dans les recherches contempo- 
raines un role primordial, quoique la conclusion en ait ete essentiellement 
negative. L'lijpothese la plus simple que 1'on puisse imaginer en ce qui regarde 
la disposition, inconnue en general, des points singuliers des integrates d'une 
Equation differentielle, celle des equations a points critiques fixes, avail 616 pour 
la premiere fois conside're'e par Fuchs. Ge savant etait parvenu a ecrire un 
systeme de conditions mojennant lesquelles les points critiques sont les monies 
pour toutes les solutions d'une mme Equation du premier ordre. Mais il n'y 
avait la que 1'amorce d'une response a la question ainsi pos6e; il restait a savoir 
quelles etaient les Equations diffe'rentielles remplissant ces conditions et si, par 
leurs integrates, on pouvait tre conduit a des transcendantes nouvelles. 
Poincar<5, pour qui les Equations de cette nature se pre'sentaientne'cessairemeiit 
comme generalisation naturelle des equations lineaires qu'il venait d'iiitegrer, 
montra que toutes se ramenent a des cas deja etudies. 

Geci semblait uniquement terminer, sans laisser apercevoir d'issue nouvelle, 
les recherches de Fuchs. 

II n'en etait rien : ce Memoire, et particulierement la methode employee par 
Poincare" methode sur laquelle nous reviendrons un instant plus loin 
devaient servir de base a toute la theorie analytique des equations differentielles 
qu'on doit a M. Painleve. 

Enfin, dans le cas general, il importe tout d'abord, nous 1'avons dit, de 
former des developpements valables pour toutes les valeurs (au moins reelles) 
de la variable. Aucun resultat de cet ordre n'avait pu tre atteint, et Ton voit 
quelle transformation essentielle un tel resultat devait operer dans la question, 
puisque, jusque-la, c'etait uniquement a propos d ? 6quations tres particulieres 
qu'on avait pu aboutir & autre chose qu'a une etude locale. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 191 

11 s'agissait done de"ja de fairc faire un pas a la the'orie dans une voie loule 
nouvelle. 

Poincare' lui fit franchir ce pas important; il monlra qu'il suffit a cet effet 
d'ope'rer sur la variable inde'pendante un changement convenable, apres quoi 
le de>eloppement de Taylor Iui-m6me re"pond a la question. 

Applique'e au probleme des trois corps, cette me'thode permet d'obtenir des 
de>eloppements valables pour loutes les valeurs du temps, sauf dans un seul 
cas d'exception, celui ou, au cours du mouvement, deux corps viennenl a se 
choquer. 

C'est cette derniere lacune, laquelle restait assez importante, car on nc 
sait pas, a priori, avec des circonstancos initiales donne'es, si le choc en ques- 
tion pent se produire, et encore ruoins quand il se produira que les recents 
travaux de M. Sundman sont yenus combler. L'ide"e premiere de sa belle ana- 
lyse a savoir, un prolongement analytique de la solution au-dela de 1'instant 
du choc, a elle-me'me, ajoutons-le, ses racines dans les Methodes nouvelles 
de la Mecanique celeste. 

Mais Poincare" n'a entendu donner cette application au probleme des trois 
corps qu'a titre d'exemple. Si utiles que puissent 6tre les de'veloppements dont 
nous venons de parler, il ne les considere nullement comme r6solvant le pro- 
bleme g6ne>al. Tout en ducidant celui-ci sous les diffe'rents aspects qui pre- 
cedent, il va montrer, en effet, qu'on en avait oublid d'autres plus difficiles 
encore, mais assure'ment non moins importants. 

2. LA THfiORIE QUALITATIVE. 

Le point de vue nouvean que nous allons voir apparaitre est, en r^alit^, 
commun a toutes sortes de questions math^matiques. 

Dans les cas el6mentaires , 1'expression des inconnues par les symboles usuels 
fournit, en ge'ne'ral, aise'ment a leur e'gard tous les renseignements qu'on se 
propose d'obtenir. 

C'est ce qui a lieu pour tous les problemes mathe'matiques suffisamment 
simples. Pour peu que la question se complique, il en est autrement. Dans la 
lecture, si j'ose m'exprimer ainsi, faite par le mathe'maticien des documents 
qu'il possede, Poincar^ met en Evidence deux grandes e"tapes, 1'une qu'on peut 
appeler qualitative, 1'autre quantitative. 

Ici nous citerons les reflexions m^me qu'il de"veloppe a cet e'gard : ... Pour 



1 92 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

etudier une equation alge"brique, on commence par rechercher, a 1'aide du 
thejoreme de Sturm, quel est le nombre des racines re'elles : c'est la partie qua- 
litative; puis on calcule la valeur nume'riquc de ces racines, ce qui constitue 
1'etude quantitative de 1'^quation. De m6me pour e'tudier une courbe alge"brique. 
on commence par construire cetle courbe, comme on dil dans les cours de 
Mathomatiqucs speciales, c'est-a-dire qu'on cherche qu'elles sont les branches 
de courbes fermees, les branches infinies, etc. Apres celte (5ludc qualitalivc de 
la courbe, on pent en determiner exaclement un certain nombre de points. 

C'est naturellemenl par la partie qualitative qu'on doit aborder la tliuorie 
de toute fonction et c'est pourquoi le probleme qui se prusente en premier lieu 
est le suivant : Construire les courbes definiespar des equations differentielles. 

Gette (jtude qualitative, quand elle sera faite completement, sera de la plus 
grande utilite' pour le calcul numerique dc la fonction. 

... D'ailleurs cette e'tude qualitative aura par elle-m6me un inte"ret de pre- 
mier ordre. Diverses questions fort importantes d'Analyse et de Mecanique 
peuvent en effet s'j ramener. 

La plus importante d'entre elles est bien connue, et son exemple se pre'sente 
de Iui-m6me a tout esprit quo. pr6occupent les progres de PAstronomie : c'csl 
la stabilite du systeme solaire. Le fait seuLque cette question soit essciitiollo- 
ment qualitative suffil a montrer la ne'cessite" du point de vue dont il s'agit. 

Ainsi I'^tude qualitative de la variation d'une grandeur on du doplaccinont 
d'un point est indispensable a la fois en ollc-m^me et comme pr^cedant prtisquo 
ndcessairement Tetude quantitative. 

Cependant ce point de vue avait e'te' presque completement de"laiss6 et 
comme ignor6 par les pre'de'cesseurs de Poincar6. Quelques remarquables 
exceptions sont a citer : la demonstration du the"oreme de Lngrange sur la sla- 
l)ilittS de l^quilibre par Dirichlet; les travaux de Sturm; ccux dc Liotiville. 
Mais meme ceux d'entre cux qui avaient frapp6 les g6ometres, ce n'est pas 
le cas pour tous, nous le verrons plus loin e"taient rested isol(5s; Fexemplc 
significatif qu'ils donnaient n' avait pas e'te' suivi. 

La faute en est, pour une part, au grand d6veloppement de la th^orie des 
fonctions analjtiques, aux services m6mes qu'elle avait rendus, et qui de"tour- 
naient completement les esprits du domaine r6el. 

En abandonnant cet atixiliaire, Poincar^ cut a rompre avec une tradition 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 198 

vieillc d'un quart dc si&cle et a laquelle 1 J Analyse devail lous ses progres durant 
celle p^riode. 

D'auLre part, la Science se trouvait du coup complement d^sarm^e en face 
des hautes difficult^ des questions ainsi pos6es, les premieres pour lesquelles 
cctte th<3orie des fonctions analytiques n'apportait aucune solution. 

Comment ces difficultes ou plulol certaines d'entre elles, car il reste 
beaucoup a explorer dans cet immense domaine qui n'6lait hier encore que 
tnystfcre pour nous furenL-elles surmonle"es par Poincar^ ? 

Ici se retrouvc une circonstance qui (Hail deja apparue dans d'autres cha- 
pitres de 1'hisloire des rnathemaliques. 

C'est ainsi que, dans la resolution algebrique des Equations, il y eut une 
premiere p6riode ou 1'on porla son attention sur la recherche d'une racine 
clelermin6e de 1'equation propose^. Mais cclte lh6orie ne passa d'un elal quel- 
quc sorte empirique a F^tal de perfection logique ou I'amen&rent Lagrange, 
Rufini, Abel, Cauchy, Galois que lorsque Ton sc d^cida, au contraire, a envi- 
sager simultanement toules les racines cherch^es. C'est en examinant les 
relations qui existent enlre elles que furent conquis les principes modernes par 
lesquels, dans cetle question, tout s'^claire, s'expliquc et se pr^voit. 

Dans les premieres recherches sur les equations diff(rentielles et exception 
taite pr<cis6menl pour certains des travaux que nous citions il y a un instant, 
on avail g&n&ralemenl 6ludiu une a une les int<5grales d'une Equation diff^ren- 
tielle donn^e quelconque : en examinant chacune d'elles, on avait fait abstrac- 
tion de toutes les autres. 

Les M(5moires, Sui' les courbcs defmies par les equations differ entielles, 
vinrent montrcr que ce point de vue (Hail insuffisant et que les solutions d'un 
sysl&me d'equations diffdrentielles, coinme les racines d'une Equation alg^- 
brique, devaient, m6me en vuc do {'intelligence de chacune d'elles, Otre envi- 
sag6es dans leurs rapports mutuels. 

Ceci fail comprendre lout d'abord 1'imporlance que prend, dans Fccuvre de 
Poincare, le thgor&me d(5montr6 dans le MLemoire de 1889, Sur le probleme 
des trois corps et dans les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, rela- 
liveiuenL a la possibility de d^velopper les solutions d'un syst&me diff^rentiel v 
suivant les puissances des para metres qu'il renfcrme ou qui interviennent dans 
les donn^es initiales. 

L'un des M^moires mentionn^s pr6c6demment relive d^ja du principe dont 
il. P. - xi. 2^ 



I9 4. L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE". 

nous parlous, de la consideration simultanee de loutes les integrals d'une 
meme Equation diflferentielle : c'est celui qui iraite des Equations du premier 
ordre a points critiques fixes. Si, dans cette question, Poincare put degager le 
resultat decisif qui vidait le debat et qui avail echappe a Fuchs, c'est en consi- 
derant les valeurs de 1'inconnue y comme fonctions, non plus de la variable 
independante x qui figure avec elle dans liquation differentiellc, mais bien de 
leurs determinations initiales J pour une valeur fixe # donnee a cetle variable. 
La solution du probleme est pr6cis6nienl due a ce que, entre y et ro, existe 
une correspondance birationnelle. 

Nous verrons plus loin line autre serie de deScouvertes de Poincare partir du 
m&me principe, je veux parler des recherches relatives a la figure d'equilibre 
du fluide en rotation. Tous les progres qu'il realise sur cette question sont dus 
a ce qu'il n'en visage pas une des figures d'equilibre cherchees en clie-mrne, 
mais bien dans ses relations avec les figures d'equilibre voisines. 

Poincare procede dans le mme esprit, pour 1'etude des equations diflferen- 
tielles reelles, des le premier cas auquel il s'attaque. Ce cas est le plus simple 
de tous, celui d'une equation unique du premier ordre et du premier degre, 

donnant ; en fonction rationnelle de x et y. 

Quelles donnees possede-t-on sur les relations qui existent enlre les elide- 
rentes courbes int^grales de la mme Equation? Une seule apparait au premier 
abord : le fait que deux quelconques de ces courbes, si ellesne coincident pas, 
ne peuvent se couper, sauf en certains points singuliers. 

Geci a defaut de toute aulre consideration, montrait la necessite de discuter 
a part les points dont il s'agit. C'est encore une question locale, qui, en 1111 
sens, n'est pas nouvelle (c'est elle que Briot et Bouquet avait traitee dans le 
cas des equations differentielles a coefficients analytiques) mais qu'il fallait 
reprendre, avec quelques difficultes nouvelles, du moment que la distinction 
entre le reel et 1'imaginaire s'imposait. 

Des cette premiere etude, on'apergoit combien le nouveau point de vue est 
necessaire et combien vaines etaient les anciennes recherches, celles qui avaient 
en vue Tintegration formelle. 

Les ppints singuliers qu'elle fait apparaitre sont, en effet, de quatre especes : 

i les noeuds, ou viennent se croiser une infinite de courbes defmies par 
1'equation differentielle ; 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. lt)5 

2 les cols, autour desquels les courbes cherch^es ont une disposition ana- 
logue a celle des hyperboles xy = const.; 

3 les foyers, autour desquels ces courbes tournenl en s'en rapprochant 
sans cesse a la facon d'une spirale logarithmique ; 

4 les centres, autour desquels ces courbes sont ferm^es et s'enveloppent 
mutuellement en enveloppant le centre a la fac,on d' ellipses homotli^tiques et 
concentriques. 

Parmi toutes ces dispositions, quelles sont celles que 1'on peut rencontrer 
lorsqu'on peut crire Pinte'grale g&itSrale de liquation? 

II stiffit, pour s'en rendre compte, de consid^rer 1'exemple le plus familier 
que Ton puisse prendre a cet egard, celui des ligiies de niveau sur une surface 
topographique quelconque. II est clair que de telles lignes peuvent tre consi- 
dere^es comme deTmies par une Equation diffe"rentielle du premier ordre, dont 
rint^grale gen6rale est connue et s'obtienl en^galant Paltitude a une constante 
arbitraire. 

Quant aux points singuliers de cette Equation, ils ne peuvent <}tre ici que 
de deux esp^ces : 

des cols, a savoir les points mmes que la topographic d6signe sous ce nom ; 
des centres, a savoir les fonds et les sommets du terrain. 

Non seulement ces deux sortes de points singuliers sont les seules qui se 
pr6sentent dans le problfcme des lignes de niveau , mais il en est de mme toutes 
les fois que liquation a une integrate g^n^rale telle que 



F etant une fond ion holomorphe, ou plus g6n6ralement une fonction bien 
d6termine et partout finie ( 1 ). Les points singuliers sont ceux ou les deux 
d^rive^es partielles de F s'annulent a la fois ; on a ainsi un centre lorsque F est 
maximum ou minimum, un col dans le cas conlraire. 

Or si maintenant nous revenons a Pgtude directe d'une Equation diff6ren- 
tielle quelconque, nous constatons que, des quatre esp&ces de points singuliers 

/ y \ 

( l ) Un nceud peut existcr rneme si Pintegrale generaie esl univoque ( exemple; = coast.; i; 

\ & / 

mais alors cette integrale F s'y presente sous la forme - et peul j prendre des valeurs aussi 
grand es qu'on le veut. 



I gG L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

e'nume'res plus ha at, trois se rencontrent dans le cas general (elles sont caracle"- 
rise"es par certaines conditions d'ine'galile' entre les termes de plus bas degre 
de liquation au voisinage du point singulier) : ce sont les noeuds, les cols, et 
les foyers. 

Mais il en est tout aulremenl des centres, c'est-a-dire des seuls points sin- 
guliers qui, avec les cols, puissent se rencontrer, comme nous 1'avons vu, dans 
le cas d'une inte'grale ge'ne'rale uniforme et finie. Ces centres sont des points 
singuliers tout exceptionnels. Pour que Fun d'eux se pr6sente, il faut qu'une 
infinite" flcgalites (auxquelles conduit le calcul du de"veloppemcnt en serie de 
la fonction F) soient ve'rifie'es. 

C'est ce qui ne saurait avoir lieu pour une Equation <2crile au basard, et 
m&me si cela etait, il serait impossible dc s'en assurer par un nombre fini 
d'ope"rations (du moins en 1'absence de donn^es particulieres sur les proprietos 
de liquation). 

En deliors des points singuliers, on peut utiliser sans restriction la proprie'te 
fondamentale rappele"e tout d'abord et d'apr&s laquelle deux courbes integrates 
distinctes ne se croisent pas. 

Ce point de depart, si le"nu qu'il soit, donne a lui tout seul la solution du 
probleme difficile qui nous occupe. II suffit, a cet efFet, de 1'appliquer, non 
seulement a des courbes, completement difte"renles, mais a des arcs convenn- 
blement clioisis d'une m6me courbe inte'grale. 

Mais si la me'lhode employee est, au fond, ires simple, les resultals sont 
tout a fait impre'vus et montrent encore que la solution n'^tait aucunement 
pre'pare'e par toutes nos connaissances ante'rieures sur ce sujet. 

Dans le cas des lignes de niveau, tontes les courbes cherchees sont ferme"e$. 

C'est ainsi que 1'on serait presque fatalemenl amen6 a se figurer les choses 
si 1'on voulait s'en faire une ide"e d'apres les cas ou 1'on sait e"crire 1'int^grale 
g^ne'rale. C'est ainsi, en efiet, qu'elles se passent toutes les fois que cettc inte'- 
grale F est uniforme (ou me'me uniforme au point de vue re'el, c'est-a-dire bien 
d^termine'e en tout point re'el) et partout finie. Tout au plus, en conside"ranl 
des formes fractionnaires de F, peut-on, comme nous 1'avons vu, obtenir des 
courbes inte'grales aboutissant a des noeuds. 

Que cette vue elle-m^me soit trop simpliste, a moins de compliquer encore 
notablement 1'expression de F 7 c'est ce que Ton reconnait des Fexemple des 
lignes de pente. Ici on ne peul dejci plus, en ge^ne'ral, obtenir I'inte'grale 



L'(EUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 197 

tairenient, mais il est Evident quo les lignes en question parlent des sommets 
et aboutissent aux fonds ( exception 6tantfaite, toutefois, pour cerlaines d'entre 
elles, les lignes de faite, qui aboutissent a un col). 

Seulement, il y -a, en g6n6ral, plusieurs fonds et plusieurs sommets, et c'est 
Tun ou 1'autre des fonds qui sert de point d'arriv^e, suivant cclle des courbes 
int6grales que Ton envisage : le passage des courbes qui aboutissent a un fond 
determine a celles qui aboutissent a un fond voisin se fait par rintermediaire 
d'une ligne de faiie. 

Des dispositions de cette esp&ce sont deja peu usuelles pour les Equations 
differentielles dont I'iniegrale gen6rale a pu lre ecrite elementairement. 

Mais les resultats obtenus par Poincare dans le cas general presentent un 
degre de complication de plus. II existe alors un certain nombre de courbes 
integrales qui sont des courbes ferriages (des cycles, suivant la terminologie 
qu'il emploie). Toutes les autres, sauf celles qui aboutissent a des points sin- 
guliers (*) s'enroulent asymptotiquement autour de certains de ces cycles, dits 
cycles limites. L'enroulement a d'ailleurs lieu autour de Fun ou de 1'autre des 
cycles limites, suivant que la courbe integrate consideree est situee dans Tune 
ou 1'autre de certaines regions determines. 

Rien de tout cela ne pouvait 6tre prevu a 1'aide des exemples trails anie- 
rieurement. Non seulement ceux-ci donnaient une idee fausse des choses ; 
mais, on le voit, il etait inevitable qu'il en fut ainsi. 

Nos r^sultats sont, en effet, plus encore que Lout a 1'heure, contradictoires 
avec 1'existence d'une int^grale g^n(5rale queTonpuisse^crireaveclesproc^d^s 
6l6mentaires. Us ne pouvaient, par consequent, se rencontrer dans les pro- 
bl^mes que Ton avait r^solus avant Poincar^. L'opinion s'(5tait faite, jusque-la 
sur des figures exceptionnelles, d6gnr6es en quelque sorte, parce que c'^taient 
les seules que 1'on avait su tracer. 

Ces r^sultats si extraordinaires demandaienta 6tre compl^t^s par la recherche 
effective des cycles limites lorsque liquation est donn^e. C'est une question 
d'une extreme difficult^, m^me si Ton entend se borner a une determination 
approximative. 

triomphe plus ou moins compl^tement de cette difficult^, suivant 



( : ) Dans le cas des lignes de pente, ces clernieres existaient seules. Get exemple eL autres 
analogues (tels que, les lignes de force du spectre magne"tique) e"taient done, eux aussi, incapables 
de faire prevoir la solution ge"ne>alc T 



ic)8 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

les cas. Pour des equations de forme convenable ( L J, il determine exaclemenl U 
nombre des cycles limiles et obtient cerlaines regions dans lesquelles chacun 
d'eux doit ne'cessairement se Lrouver. 

II emploie, a cet efiet, un second principe qui dtail de'ja inlervenu dans son 
etude des points singuliers et qui sert de fondcment a toutes les autres recher- 
ches entreprises sur ce genre de questions. 

Analytiquement, il consiste a chercher le sens dans lequel varie une fonction 
convenablement choisie des coordonne"es, lorsqu'on se de'place le long d'uno 
courbe inte'grale. On salt avec quel succes un principe de cetle nature fut 
applique', peu d'anne'es apres, par M. Liapounoff, dans son celebre Me'moire 
sur la stability du mouvement. 

Poincare" 1'applique, non seulement a une irajectoire de'termine'e, mais a 
toutes celles qui traversent une courbe donne'e. Ge'ome'triqueinent parlant, cela 
revient a conside'rer en chaque point d'une courbe arbitrairement donne'e, le 
sens dans lequel elle est traversed par la courbe inte'grale qui passe en ce point. 
Ce sens, qui peut tre determine par des ope'rations e'le'mentaircs du moment 
que liquation difle"rentielle est donne'e, ne change qu'en un point ou les deux 
courbes sont tangentes. On comprend d&s lors Timportance que prennent, 
dans la discussion, les courbes fermcSes ou cycles sans contact c'est-a-dire 
qui ne sont tangents en aucun de leurs points a une courbe inte'grale et le long 
desquels, par consequent, ce sens ne peut changer. 

La maniere dont varie, lelong d'une courbe ferme'e quelconque, le sens dont 
il s'agit, est d'ailleurs Ii6e a la disposition et a la nature des points singuliers 
de liquation par une relation simple qui est d'un grand secours dans les dis- 
cussions dont nous venons de parler, et que Poincare" retrouvera lorsqu'il 
passera aux equations d'ordre sup^rieur. Les considerations qui la fournissent 
Equivalent, au fond, au the"oreme de Kronecker mentionn6 plus haul, et que 
plus tard Poincare' traduira explicitement. 

Les r(5sultats pr^ce^dents ne snbsistent pas pour toutes les Equations du pre- 
mier ordre et de degr6 supe"rieur an premier en ^; mais ils splendent cepen- 
dam d'eux-m^mes a un grand nombre d'entre elles. 

Ce n'est pas, en effel, le degre" qui joue ici un role essentiel : Poincar^ ren- 
contre une notion qui Sum apparue une premiere fois dans la science avec 
Riemann, mais dont les recherches que nous reunions en ce moment devaient 

( l ) Voir Analyse, p. 5g; QKuvres, t. I, p. xxv. 



L'GEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 199 

montrer la veritable signification. C'est la geometric de situation, la science 
des propriety g<5om<5triques qui ne changent pas quelles que soient les defor- 
mations subies par une figure, pourvu qu'il n'y intervienne ni d<5chirure, ni 
soudure. 

Tant que Ton se borne au point de vue local, rien ne fait pnSvoir la n6cessit 
d'une pareille etude. Sinon toutes les figures que les geom&tres out pu imaginer, 
du moins toutes celles dontils se sont servis effectivement, soit pour les etudier 
en elles-mmes, soit pour representer des relations analytiques, sontidentiques 
entre elles au point de vue de la geometrie de situation lorsqu'on se borne a les 
considerer dans leurs portions suffisamment petites, pourvu qu'elles aient sim- 
plement le mme noinbre de dimensions : par exemple, toute portion suffisam- 
ment restreinte de surface quelconque peut tre remplacee a ce point de vue 
par un petit disque circulaire. 

Aussi cette decouverte est-elle de cellos qui se firent le plus attendre. La 
theorie des fonctions algebriques, a laquelle elle est indispensable, avait ete 
inlassablement etudiee et perfectionnee avant que la necessite en fut apercue : 
cette necessite avait echappe a Cauchy lui-mme. 

Puis, lorsqu'a cette occasion, Riemann 1'eut mise en Evidence d'une mani^re 
^clatante, ses successeurs ne virent point que la port^e de ce principe n'^tait 
pas limitde a la circonstance particuli&re qui 1'avait fait apparaitre. 

Mais, apr&s le second exemple fourni par PoincanS, cette port^e est claire- 
ment ^tablie. Elle est indissolublement li^e a ce passage du local au g6nral 
qui est la plus grande preoccupation du Galcul infinitesimal. Dans tout passage 
de cette nature, on peut s'attendre a voir la geometrie de situation jouer son 
role. 

Pour 1'appliquer au probleme qui nous occupe, on doit regardci x, y et -- 

comme trois coordonn^es cart^siennes et considerer la surface definie, dans ces 
conditions, par liquation difFerentielle. Quel que soit le degre de celle~ci, si 
cette surface est de genre z6ro, c'est-a-dire a une forme analogue a celle d'une 
sphere, on aura, pour les courbes integrales, la m6me disposition g^n^rale que 
dans 1'equation du premier degre. 

Pour d'autres formes de surfaces les conclusions peuvent &tre totalernent 
differentes. Lorsque, apr&s 1'etude de la sph&re, Poincare entreprend, au m6me 
point de vue, celle du tore, il constate que ce second cas peut offrir uno foule 
de circonstances nouvelles que le premier ne permettait nullement de prevoir. 



o.oo L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Encore s'en faut-il qu'il arrive toujours a determiner exactement ce qui se passe. 
Les difficulle's, olles aussi, sont nouvelles, el telles qu'il esl oblige" de se poser 
un certain nombre de questions sans les r^soudre. 

Ces questions, qui soulevent des problemes ardus d'aritliinelique, soul, 
depuis, resides sans reponse, 

Avec le cas du second ordre, qui fail 1'objct du qualriemeet dernier Memoire 
de celte se'rie, ce sont de'ja les difficultes du cas ge'ne'ral qui sonl aborde'es, I-.es 
remarques faites dans le cas pre'ce'dent subsistent, mais ne suffisenl plus, a elles 
seules, a re"soudre le probleme. 

Celui-ci 6tant mis sous la forme de la recherche de courbes tracees dans 
1'espace ordinaire et verifiant un systeme de deux Equations du premier ordre, 
Poincare' ge'ne'ralise sans difficult^ la classification des points singuliers oblouur 
pour une Equation du premier ordrc unique. 

II existe encore une relation cntre leur distribution ct les surfaces fermees 
sans contact, qui sont ici les analogues des cycles sans contact, c'est-a-dire les 
surfaces qui ne sont tangentes, en aucun de leurs points, a une courbe inte- 
grale. Seulenient, cette fois, la relation en question ne pourrait &tre dt5montree 
si Poincare' ne partait de la formule de Krone cker. 

C'est surtout dans la theorie actuelle, en efl'et, que cette formule se pr^sente 
comrne Fauxiliaire indiqu^ et mnie indispensable dont 1'apparition, a I'lieure 
m^nie ou Toeuvre de Poincar^ allait naitre, semble respond re a une sorte d'harmo- 
nie pre'e'tablie. Deux caracteres : la maniere dont il d(5passe d'enible'e le domaino 
local et, d'autre part, le peu d'hypotheses qu'il implique, font que nul autro 
n'a pu, jusqu'icl, lui 6tre substitute a ce point de vue, 

Poincar^ en a notablement augments la puissance par une remarquable 
proposition qui, dans beaucoup de cas, dispense m6me du calcul de la formule 
en question. Gelle-ci, si, pour fixer les ide'es, nous la consid6rons dans 
Tespace ordinaire fait, comme on le sait, intervenir un systeme de trois 
fonctions F, G, H et exprime le nombre des ze"ros communs a ces trois fonc- 
tions dans un volume de'termin^ V (ces z6ros e"tant compt6s avec des signes 
convenables) 4 Taide des valeurs que les fonctions en question prennent sur la 
frontiere S de ce volume. 

Or, Poincare' trouve une condition tres simple et tres g^ne'rale moyennant 
laquelle on est certain que le nombre ainsi obtenu ne change pas lorsqu'on rem- 
place le systeme des fonctions F, G, H par un autre analogue quelconque/, g r h. 
Ou bien, en effet, on peut affirmer que le nombre en question restera i 



l/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. o j( >J 

dans cette substitution, ou bien il exislera sur S, au moins un point ou F, G, II 
seront proportionnels a /, g, li ct cela m6me avec un facteur de proportionna- 
lite de signe connu a 1'avance. Cette proposition a ete obtenue a nouveau, un 
pen plus lard, sous une autre forme et avec une autre demonstration, par 
M. Bohr, a qui elle a fourni toule une nouveJle s^rie de r^sultats dynamiques. 

Elle s'applique imm6diatementaux surfaces ferm<5es sans contact, en prenant 
/, g, h proportionnels aux cosinus directeursde la normale a une telle surface S. 
Le nombre trouve par la formule de Kronecker depend alors de la courbure 
totals de + 

Mais cette premiere conclusion se simplifie encore, et tout se ram&ne a une 
question de geometric de situation, la courbure totale ainsi inlroduite depend 
uniquernent du genre de S. Les r^sultats de ce type devaient donner lieu, on le 
sait, a d'importantes reclierches de M. W. Dyck. 

Avec le cas du second ordre apparaissent egalement los deux notions qui out 
eu sur Pceuvre de Poincart;, dans le domaine de la M^canique et, particuli&re- 
incnL, de la M^canique celeste, la plus grande influence. 

L'hoiineur d'avoir recherche sp<5cialement, entre toutes les solutions des 
Equations diff(5rentielles du mouvement des plan^tes, UJIG solution per io clique, 
telle, autrement dit, que les diflferents coi^ps mobiles d<crivenl des courbes fer- 
m6es (lout au moins par rapport a un syst^rne d'axes convenablement choisi) 
revient a 1'astronome Hill, qui a donne un premier example remarquable a 
cet gard, en ce qui concerne le probl6me des trois corps. 

Mais c'est a Poincar6 qu'il appartient d'avoir montr6 dans les solutions 
p^riodiques un instrument, 1'un des plus puissants dont on dispose, pour la 
recherche et P^tude des autres solutions. 

Que les solutions p^riodiques soient capables de jouer ce role capital, c'est 
ce que, apr&s les reflexions qui precedent, nous pouvons faire comprendre d'un 
mot. Une courbe int(5grale ferm^e d6termin(5e etant suppos^e connue, Poincar^ 
consid^re toutes les courbes int<5grales voisines de celle~la. 

On voit imm^diatement qu'une telle question est a cheval sur les deux points 
de vue entre lesquels pivote toute la th^orie des Equations differ entielles ; et 
cela, en combinant les avantages de tous deux. Accessible aux monies procd6s 
qni s'appliquent au domaine local, elle est d'embl6e cependant en dehors de ce 
dornaine, puisque les nouvelles trajectoires obtenues n'<5voluent nulleme.nt au 
voisinage d'un point unique et sont tudi6es sur des parcours aussi ^tendus que 
la solution p^riodique primitive elle-m6me. 

W P YT ofi 



SOT, L'CEUVRE MATHE"MATIQUE DE POINCARE. 

Ainsi s'explique commenl, les solutions periodiques se sont montrcSes la 
seule breche par ou nous puissions essayer do pene'trer dans une place jusqu'ici 
reputee inabordable ( 1 ). 

En faisant pour le voisiiiage d'une solution pe"riodique ce que nous avons fait 
pour le voisinage d'un point unique, c'est la m6me marche ascensioimelle que 
nous entreprendrons, niais avec un point de depart plus eleve. 

Gette identite de methode se vtfrifie bien lorsqu'on examine le detail des 
operations. De m6me que tout le calcul infinitesimal repose sur la comparaison 
approchee des valeurs d'une fonction en un point et aux points infinimenl voi- 
siiis, on commencera par etudier, en vue du nouveau probleme, les solutions 
infmiment voisines d'une solution donnee. 

En prenant T(3cart entre les deux solutions comme un infmiment petit 
principal et en en negligeant les puissances superieures a la premiere, on. est 
conduit ainsi, avec Poincare, a introduire systematiquement les Equations 
lineaires qu'il a appelees equations aux valuations pendant que, de son cote". 
M. Darboux qui en a, lui aussi, d6couvert 1'importance, leur donnait le nom 
(liquations auxiliaires. 

Si la solution prise comme point de depart est periodique, il en est de me* me 
des coefficients des Equations aux variations. Poincar6 se trouvera ainsi raiment 
quel que soit 1'ordre, a des sjstemes dont les propri(5ts soiit connues et de"pen- 
dent essentiellement de certaines constantes qui vont jouer un role essential 
dans ses recherches djnamiques, les exposants caracteristiques. A cliacun 
de ceux-ci correspond, pour le systeme, une solution poss^dant, non pas la 
pe"riodicit6 proprement dite, mais une pe"riodicit6 relative (pe'riodicile' de 
seconde espece, au sens d'Hermite) caract6ris6e par le fait que toutes les valeurs 
des inconnues sont multipliers par un merne facteur constant lorsque la variable 
augmente d'une quantity ^gale a la p^riode des coefficients. 

Par ces exposants caracteristiques se trouveront ainsi definies les principales 
relation's entre une solution pe"riodique et les solutions infiniment voisines. En 
particulier, toutes les propriety's analytiques de liquation auront lear r^per- 
cussion sur celles de ces exposants. 

Cette etude prepare celle des courbes integrates suffisamment (et non plus 
infmiment) voisines de la'courbe fermee donhee. Poincare entreprend cette 

C 1 ) POINGAR^:, Les Methodes nouvelles de la M&canique Meste. 



L/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. P,o3 

derniere, en ce qui regard e le second ordre, d6s le Memoire donl nous parlons. 
L'analogie que nous avons essaye de fa ire ressortir tout a 1'heure so manifeste 
d'une mani&re tout a faitimprevue dans les resultats. La disposition des courbes 
nouvelles L' an tour de la courbe primitive L rappelle d'uno maniere frappante 
les formes rencontrees pr6c6demmenl dans l'<Hude des equations du premier 
ordre au voisinage inline" dial d'un point singulier. 

Imaginons, en effet, en un point quelconque P de L mi petit ^leaiient de 
surface normal a L. Toute courbe integrate L' suffisamment voisine de L per- 
cera cet element de surface en un nombre infini ou, en lout cas, tres grand de 
points successifs P'. 

La figure formee par ces points suffit a nous faire connailre la disposition 
des arcs successifs de la seconde courbe integrate L'. Chacun d'eux nous ren- 
seigne en effet, sur 1'arc qui le contient, puisqne tons ces arcs, de part et 
d'autre de notre surface, cbeminent plus ou moiiis parallelement les uns aux 
autres et a la courbe primitive. 

Si maintenant on joint chacun des points P' au suivant, on aura une ligne, 
variable d'ailleurs avec celle des courbes L' que 1'on considere : c'est la dispo- 
sition de ces lignes qui est tout analogue a celle des courbes inlegrales d'une 
equation du premier ordre autonr d'un point singulier. 

Poincar^ met d'ailleurs en Evidence la raison de ce parallelisme. Elle doit 
<Hre cherchee dans 1'etroite parent^ qui existe entre I'e'tude des Equations diflfe- 
rentielles et celles, beaucoup moins avanc6e, des Equations aux differences 
finies. Ce n'est pas la premiere fois que Poincar^ 6clairait, par le mme rappro- 
chement, cette. derni&re question. Les int6grales irr^guli^res des Equations 
diff^rentielles lin^aires (voir p. 189) lui avaient fourni une illustration du 
m^me principe, dont les travaux ult^rieurs devaient montrer la fcondit. 

Conform6ment a 1'analogie dont il vient d'etre parl, il y a quatre disposi- 
tions principales possibles, correspondant aux quatre esp^ces de points singn- 
liers de Fe'quation du premier ordre. Les exposants caract^ristiques permettent 
(ainsi que le faisaient pr6c6demment les coefficients des termes de plus bas 
degr6 autour du point singulier) de reconnaitre trois d'entre elles, celles qui 
correspondent aux nceuds, aux foyer et aux cols. 

Dans chacune de celles-ci, la m6me analogic nous montre que les points P ; 
peuvent aller en se rapprochant ind^finiment de P (puisque, dans chacune des 
trois hypotheses correspondantes relatives a liquation du premier ordre, tout 
ou partie des courbes integrates aboutissent au point singulier). On voit alors 



9.0/j L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

que Loate la nouvelle courbe L' va en se rapprochant indeimimenl do L, du 
moins si on la suit dans un sens convenable, ainsi que le faisaient Lout a 1'heure 
les courbes integrates de liquation du premier ordre vis-a-vis des cycles 
limiles : c'est une solution asymptotique. II peul en 6lre ainsi quel que soit le 
choix de la courbe L/ dans le voisinage de L (ou, ce qui revieni au meme, celui 
du point P' initial dans le voisinage de P) : c'est le cas correspondant a celui 
d'un HOB ud ou a celui d'un foyer. 

Dans le cas correspondant a celui des cols, au conlraire, le point P' doit e~tre 
clioisi d'une fac.on convenable, a savoir sur 1'une ou 1'autre de deux courbes 
qui se croisent en P de sorte que les courbes integrates asymptotiques a L se 
distribuent sur 1'une ou Fautre de deux surfaces passant par L). Une page du 
quatrieme Memoire, Sur les courbes de finies par les equations differentielles, 
resout, par une remarquable application du Galcul des limiles de Cauchy, la 
question, en realite difficile, du calcul de ces courbes et transforme ainsi la 
theorie des Equations aux differences finies en integrant une des categories les 
plus etendues d'equations de cette espece qu'il ait ete possible de trailer 
jusqu'icL 

Plus lard, lorsqu'il eut a passer au probleme des trois corps, cette m&me 
recherche se presenta a lui pour des systemes d'ordre superieur-au second. La 
generalisation, x^emarquons-le, n'etait pas ^vidente ou, plus exactemenl, ne 
1'auraitpas &l sans le complement que la These dePoincard avail prealablemcnt 
apporte a Tetude des systemes difierentiels au voisinage des points singuliers. 
Nous savons, en eflet, que, dans ce cas, Pintroduction de plusieurs inconnues 
cr6e une difficulte d'un genre nouveau dont on ne savait pas triompher avant 
le travail en question. C'est done grace a lui qu'il pent de"montrer 1'existence de 
ces solutions asymptotiques qui sont une importante conquete de la Mecanique 
analytique. 

Jusqu'au moment dont nous parlons, d'ailleurs, celle-ci n'a pas 616 envisagee 
d'une maniere speciale. Les r^sultats precedents concernent un systeme quel- 
conque d'equations difFerentielles. 

3. LES CAS DES AQUATIONS DE LA DyNAMlQUE. 

Les proprietes particulieres des equations de la Dynamique apparaissent une 
premiere fois des le quatrieme Memoire, Sur les courbes de finies par une 
equation differentielle, et cela,, a propos de la derniere hypothese qui reste & 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 2o5 r 

examiner relativement aux courbes L/, d'apr^s 1'analogie mme qui nous a 
guides jusqu'ici : c'est celle qui correspondrait, pour 1'gquation du premier 
ordre, au cas d'un centre. 

La disposition correspondantc, pour le problem e actuel, est celle ou les 
points P' sont disposes, autour de P, le long d'une ligne ferm^e, la m&me pour 
chaque courbe L/, les diverses lignes ferm6es ainsi oblenues s'emboitant les 
unes les autres autour de P. 

Notre courbe primitive L sera alors enlouree d'une famille de surfaces fer- 
mees tubulaires (analogues aux tores contenant a leur inl^rieur une circonference 
de 1'espace) telles que chacune d'elles soit un lieu de courbes integrates. 

Absolument comme lorsqu'il s'agissait d'un centre, nne telle disposition 
implique, comme condition necessaire, I'tivanouissemenl d'une infinite 
d'expressions constantes G. 

C'est seulement si toutes ces constantes G sont iiulles que les developpemenls 
trigonome'triqiies figurant dans liquation polaire des courbes lieux de point P' 
et, par consequent, dans celle des surfaces tubulaires pourront 6tre Merits. 

Or c'est ce que, en Fabsence d'autres renseignements, les calculs ne permel- 
tent jamais d'affirrner, si loin qu'on les pousse. 

Pour les Equations de la Dynamique il en est aulrement, et 1'on sait a priori 
que toutes les constantes C sont nulles. 

Pour le d&nontrer, un nouveau principe iiilervicnt, la notion N invariant 
integral, Cette fois encore il s'agit, mais sous une nouvello forme, de la consi- 
d^ration sirnultanee des difl3rentes courbes inltSgrales et des relations qu'elles 
ont entre elles. 

Repr6sentons-nous notre syst^me d'6qua lions differentielles comme definis- 
sant le mouvement d'une molecule tluide. Au lieu dc consid(5rer une seule ira- 
jectoire, c'est-a-dire le mouvement d'une molecule unique et d6lermin6e, on 
considerera toutes les molecules qui, a un instant d6termiii6 , remplissent un 
volume determine V de 1'espace (plus cxactemeiit de 1'espace a zn dimensions, 
s'il s'agit d'un problkme de dynamiquc dans lequel 1'ctat du systeme a 6tudier 
d(5pende de n param^tres). 

Si maintenant on consid^re les nouvelles positions de ces mmes molecules 
a un instant ulterieur T, celles-ci rernpliront un nouveau volume V 7 . 

Or, dans le cas des Equations de la Dynamique, quel que soit T, ce nouveau 
volume est Equivalent a 1'ancien. Autremcnt dit V reste constant lorsque le 
temps varie : c'est, dans la termihologie de Poincar6 un invariant integral. 



2 o6 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Ainsi qu'il a ett; reconnu ensuite, cette belle d^couverte, qui est, au fond, 
une propriete de la notion de multiplicateur, est deja ancienne : on doit la 
faire remonter a Liouville ( 1 ). 

Mais, lors de sa premiere apparition, elle tait passe'e inapergue. Un autre 
inventeur genial 1'avait mme lant clle joue un role essentiel dans toute 
recherche profonde de Dynamique renconlre'e a son tour sur son chemin : 
Boltzmann 1'avail e'nonce'e (1871), ignorant le rtSsullat de Liouville comine 
Poincarg a ignore" Tun et Fautre; elle est, depuis cette date, a la base de toutes 
les theories cine'tiques ( 2 ). 

Mais a ce premier invariant integral, Poincare' en joindra touie une se"rie 
d'autres dont il indiquera les relations avec le premier. Lc volume , consi- 
d^r6 tout a 1'heure, s'exprime par une integrate d'ordre in e"tendue a une portion 
de 1'espace. Poincare constate que teutc nnc serie d'inte'grales de tons les 
ordres, c'est-a-dire simples, doubles, etc., le volume n' (Slant que la derniere 
d'cntre elles, possedent la proprie'le' d'invariance. 

Quoiqu'il se soit jusqu'ici montre" le plus f^cond, les autres invariants que 
Poincare" a forme's et dont il etablit qu'ils se de'duisent lous les tins des autres 
(en particulier de 1'invariant integral simple) constituent autant de proprie'te's 
importantes des Equations de la Dynamique. 

Dans le Memoire qui nous occupe actuellemenl, le volume suffit a trancher 
la question relative aux constantes C ci-dessus mentionne'es, c'est-a-dire a mon- 
trer que toutes ces expressions sont nulles. La liaison entre ces deux faits est 
encore due a la notion de surface sans contact : elle re'sulte de ce que, en pr- 
sence d'un invariant integral, une surface ferme"e sans contact ne peut exister. 
Or, comme le prouve Poincare', on en pourrait tracer autour de la courbc don- 
nee si Fune quelconque des constanles C e^aii diff^rente de ze'ro. 

Avec 1'analyse pre'c^dente, Poincar^ entre de plain-pied dans le domaine de 
la M^caniquc celeste. 

Les d6veloppements en se'ries qui peuvent 6trc Merits grace aux conditions 
G = o sont, pour ce probleme particulier, ceux par lesquels Lindstedt s'est 
proposd de representer les Ol^ments des orbites plane"taires et les conditions 



(!) /. Math, pares et appL, L. 3, ib>38, p. 348. 

( 3 ) Le theoreme de la stabilite a la Poisson, 1'une des applications les plus importantes des 
invariants integraux, a ete" ^galement enonce et derrioiitre' par Gibbs, mais en 1898 settlement. 
II ne se trouve pas, a notre connaissance, dans les travaux de Boltzmann. 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE*. 207 

dont il s'agit ne sont autres que celles qui, dans cette m^thode, permettent de 
faire disparaitre les lermes s^culaires. 

C'est, au fond, dans 1'existence des invariants int6graux que reside, par 
consequent, la veritable raison de la validity (au point de vue formel) de la 
m^thode de Lindstedt, validity qui est d'ailleurs Stabile sans les hypotheses 
restrictives que Linstedt lui-mme etait obligg de faire. 

Les questions qualitatives li^es aux calculs prc6dents sont des questions de 
stability tout analogues a celles qui pr^occupent les astronomes. 

Poincar nous a appris a distinguer plusieurs sens du mot stability et 
nous a montr la fecondit de celui que Poisson avail substitu^ a 1'acception 
primitive de Lagrange. Toutes les fois qu'il existe, dans le voisinage de L, un 
syst&me de surfaces ferm^es sans contact, les courbes U ne pourront jouir de 
la stability a la Poisson, c'est-a-dire qu'elles ne repasseronl pas dans le voisi- 
nage imm6diat de leur point de depart. G'est, nous 1'avons vu, ce qui arriverait 
si 1'une des constantes C <5tait diflferente de z&ro. 

L'instabilit^ (toujours au sens de Poisson) est ggalemenl la rtigle pour les 
courbes L' asymptotiques a L, telles qu'elles se pr^sentent dans les premieres 
hypotheses examinees prtSc^demment. 

Au contraire, dans Fhypoth&se actuelle eL du moment que toutes les con- 
stantes C sont nulles la stability devient possible. 

Des conclusions analogues s'appliquent a la stability de la trajecloire primi- 
tive L elle-m^me. Mais le sens que Ton doit adopter alors (et que Poincar<5 
adoptera 6galement en M^canique celeste, lorsqu'il (Hudiera, au point de vue de 
la stabilit6, les solutions p^riodiques) est encore different des deux premiers ( 1 ). 
G'est celui qui avait dja 6t6 consid6r6 dans plusieurs cas importants par les 
auteurs anglais, mais qui n'a 6t6 pr^cis6 d'une manure complete et g^n^rale 
que quelques anuses apr^s, par M. Liapounof, dans le MtSmoire dt^ja cit^, Sur 
la stabilite du mouvement, ou le g^om^tre russe a repris, pour les syst&mes 
dependant d'un nombre quelcoftque de variables, les questions m6mes dont 
nous parlons en ce moment. Au lieu que la stability a la Lagrange ou a la 
Poisson est une propriety inlrins&que d'une solution d^termin^e, la stability de 
Liapounof, seule analogue d'ailleurs a la notion d'^quilibre stable, concerne 
1'^cart entre cette solution et les solutions voisines. 

(*) Toutc solution periodiquc csl, pur definition, stable au sens de Lagrauge ou de Poisson. 



208 I/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Mais, en ruison inline de la signification aslronomiquc de scs rEsullals, 
Poincare se Irouve du mme coup aux prises avec les difficultes IbndamcnLales 
dc la Mtecanique celeste, elparliculi&rement avec la plus classique d'entre elles, 
celle des petits diviseurs . Dans le cas du premier ordre, le fait, suppose 
Etabli, de I'dvanouissement des consumes G aurait suffi pour mellre en Evi- 
dence d'une manifcre certaine 1'existence d'un centre : car Poincare demon Ur 
la convergence da diiveloppement en s^rie que Pon peut ecrire dans ces condi- 
tions. II n'en est plus de mfime cetle fois. Nos calculs nous permettent d'ocrire 
le d^veloppement; mais les pelits diviseurs inlerviennent : ce d^veloppement 
peut n'etre et n'est en general, que form el, de sortc que Insistence des surfaces 
tubulaires n'est nullement dmontr6e. 

Par I'examen de ces difficultes, les M6moires, Sur les courbcs defmies par 
les equations differentielles, inaugurenl Pimnuensc ceuvre dynamique ct aslro- 
nomique de Poincare. 



Cetle ceuvrc se poursail dans 1'ouvragG qui devail elre pour la jeune gloin* 
de son auteur une consecration niondiale. C'est avec le Memoire, Sur le pro- 
blems des trois corps et les equations de la Dynamique que Poincaru remporla 
le prix dans le grand concours inlcmational ouverl a Stockliohn en 1889, eiiln* 
les Math^maticiens du monde entier. 

Le grand traite intituled : Les Methodes nouvelles de la Meca/iique celeste 
prolonge a son tour les deuxM6moires precedents : c'cstdans ces irois Ouvra^xis, 
et aussi dans une s^rie d'articles insures an Bulletin Astronomiqiia, (jtie st; 
d^veloppent les id^es de Poincare sur le probl^rne des n corps. 

11 sera parle ici ni6me de ces problemes au point de vue aslruuoiuiquo avec 
plus de competence que nous ne pourrions le fairc. Au point de vuo analyli(juo, 
que nous ne saurions mmc cSpuiser lent il of Ire d j aspects divers dans Les 
Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, I'ceuvre dont" il s'agit osl, 
double : elle prtSscnte un ccH6 positif et un cot6 negutif. Ge dernier, comme il 
rEsulte de ce qui vient d'etre dit en dernier lieu, se dessina, lui aussi, d^s les 
M^moires, Sur Les courbes dejinies par les equations differenlielles. Etait 
m&me apparu auparavant, car les requitals dont nous allons avoir & parler sur 
ce point nc sont que 1'application de la note & laquelle nous avons fait allusion 
plus haut (p. 1 86). 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 209 

Exarninons done comment, tant dans ces deux travaux que dans ceux qui 
les suivirent, Poincare limile la portee des meiliodes qui avaient ete appliquees 
avant lui. 

L'integration, au sens elementaire du mot, avait, depufs longtemps, ete 
abandonnee. Pourrait-on songer a faire des progres dans ce sens, c'est-a-dire a 
chercher de nouvelles integrates? Pour les Equations de la Mecanique celeste, 
le nombre des inte'grales connues est de dix. En peut-il, en general, exister 
d'autres exprimables par les mojens classiques de P Analyse? II e"tait vraisem- 
blable que non. 

La preuve rigoureuse d'impossibilite's de cette nature est une categorie de 
questions dont la difficulte a, de tout temps, eveille I'inte'r&t des ge'ometres 
vraiment supe'rieurs. La demonstration de Tincommensurabilite' entre le cote' 
d'un carre et sa diagonale, dans 1'antiquite, celles de 1'impossibilite de la qua- 
drature du cercle et de la non-resolubilite des Equations alge'briques au-dela du 
quatrieme degrd, dans les temps modernes, comptent a juste titre, parmi les 
plus belles conqu&tes des mathe'matiques. 

En ce qui concerne les inte'grales des Equations de laMe'canique ce'leste, une 
demonstration de 1'espece en question avait e'te' partiellement fournie par 
Bruns ; mais c'est a Poincare* qu'il fut donne" de la completer et d'^tablir en 
toute rigueur 1'inexistence non seulement d'integrales alge'briques, mais plus 
g^ne'ralement, d'int^grales uniformes autres que les inte'grales classiques. 

Le re"sultat ainsi obtenu n'inte"resse pas moins 1'analyste pur quel'astronome. 
Sa port^e n'est pas limite'e au sjsteme diff&rentiel particulier qui fait 1'objet de 
la M^canique ce'leste. La mme m^thode qui Fa fourni, permet de discuter le 
nombre des inte'grales uniforrnes des problemes de la M^canique classique, et, 
lorsque ce nombre est insuffisanl pour Fint^gration, de trouver les seuls cas ou 
il puisse s'accroitre. Gette m^thode est done n^cessairement a la base de toutes 
les recherches ult^rieures sur ces sujets. 

Elle ne doit pas moins attirer 1'attention par les principes qu'elle fait inter- 
venir. Elle a conduit Poincar a etudier le de"veloppement de la fonction per- 
turbatrice sous un jour nouveau, en en conside'rant, non plus seulement les 
premiers termes qu'ils ont pu former explicitement, mais au contraire les 
termes d'ordres tres Sieve's. Dans cette 6tude, Poincare utilise non seulement 
les r^sultats de la th^orie des fonctions dus a ses pr^decesseurs et particuliere- 
ment a M. Darboux, mais leur generalisation aux fonctions de plusieurs 
variables, telle que la lui ont fournie ses recherches sur les residus et les periodes 
H. P. XI. 27 



210 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

des integrates doubles. La Theorie des fonctions est ainsi appliqutfe d'une 
fagon toute'nouvelle a celle des Aquations differentielles. 

Ces recherches fournissent, entre les coefficients successifs du developpe- 
ment, une infinite de relations qui montrent que, considers comme fonctions 
des elements des orbites, ils se reduisent a un nombre fini de iranscendanies. 

Un nouveau chapitre de la Mecanique celeste a ete ainsi ouvcrt et a donne 
lieu, depuis, aux travaux de plusieurs de nos jeunes geom&tres et astronomes. 

Mais 1'impossibilite d'integrer sous forme elementaire se degage egalement, 
a un autre point de vue, des resultats qualitatifs. 

D&s liquation du premier ordre, et a propos du cas le plus simple, celui de 
la sphere, nous avons vu que, par leur aspect mtoe, les formes des courbes 
integrales ne sont pas de celles qu'on aurait pu obtenir a 1'aide des moyens 
classiques. 

Des faits du m&ne ordre se passent dans le cas general de la Mecanique 
celeste, d&s que le nombre des corps en presence est superieur a 2. L' existence 
m&me des solutions asymptotiques est deja du nombre. Mais plus topique 
encore est 1'exemple des solutions doublement asymptotiques ^ dont la mise en 
evidence a ete 1'une des grandes difficultes qu'ait surmontees Poincare sur ce 
sujet. 

Soit une solution pckiodique L instablo : elle admettra des solutions L' 
asymptotiques pour = co, et aussi des solutions I/ asymptotiques pour 
t = co. Les premieres engendreront une surface S' passant par L, les 
secondes, une surface analogue S". 

Peut-il exister des solutions qui soienl a la fois des courbes L' et ties 
courbes L", c'est-a-dire qui apr&s avoir ete, pour t,^= oo, iafiniment voisinos 
de L, s'en ecartent d'une quantite quclconque pour s'en rapprocber ensuite 
indefiniment pour t = + oo ? 

Cela revient a se demander si les surfaces > f ct S" se coupent ailleurs que 
suivant L. Cette question est une des plus difficiles que Poincare ait abordees. 
Ce sont les invariants integraux qui, dans une hypoth&se particuli^re (telle que 
les surfaces en question passent trs pr^s 1'une de Fautre) lui ont permis d'y 
repondre. Eux seuls pouvaient evidemment remplir ce rdle, puisquc (en 
Fabsence d'integrales connues) eux seuls renseignent sur ce que deviennentles 
trajectoires au bout de tr&s longs intervalles de temps. Non seulement leur 
consideration montre qne les surfaces S' et S* se coupent, de sortc qu'il existe 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE*. 211 

des solutions doublement asjmptotiques, mais ces surfaces se coupent une infi- 
nite de fois, et la disposition des courbes d'intersection est extr^mement com- 
pliqu^e. En efFet, sur une surface asymptotique quelconque, entre deux solu- 
tions doublement asjmptotiques quelconques, il y en a une infinite d'autres. 

On comprendra mieux encore ce que ce r^sultat a de singulier si Ton r6fl- 
chit que, au contraire, une surface S ; ou une surface S" ne peut jamais se couper 
elle-mme. 

Avec Poincar6, substituons aux deux surfaces en question les courbes obtenues 
en coupant par un plan. Que 1'on cherche a se representer la figure form^e 
par ces deux courbes et leurs intersections en nombre infini dont chacuno cor- 
respond a une solution doublement asymptotique, ces intersections formenl 
une sorte de treillis, de tissu, de rtiseau a mailles infiniment senses ; chacune 
de ces courbes ne doit jamais se recouper elle-m6me, mais elle doit se replier 
sur elle-m&me d'une mani&re tr&s complexe pour venir recouper une infinite de 
fois toutes les mailles du r6seau . 

On sera frapp6 do la complexity de cette figure, quo je ne cherche m6mc 
pas a tracer. Rien n'est plus propre a nous donner une idt^e de la complexity 
du probl&me des trois corps et en gt^ndral de tous les probl&mes de Dynamique 
ou il n'y a pas d'inttSgrale uniforme (*). . . . 

D'autres consequences du m6mc ordre d<koulent des ni^mes premisses. 

Au lieu d'une seulc solution doublement asymptotique & L, considerons en 
plusieurs, LI, L 2 , . . . : toutes ces courbes seront, pour t= oo situ6es sur S ;/ 
et, pour t = 4- oo , sur S ; . 

Mais il r^sulte des fails etablis par Poincar6 que 1'ordre dans lequel ellos se 
succ&dent sur S' est sans rapport avec celtii dans lequel elles se succedaient 
sur S' ; . Si de deux solutions la premiere est plus voisine que la seconde de la 
solution pcSriodique pour t GO, il pourra arriver que pour t = + oo, la 
premiere soit plus eloignt^e que la seconde de la solution p^riodique, mais il 
pourra arriver que ce soit le contraire. 

Cette remarque est encore de nature a nous faire comprendre toute la 
complication du problkme des trois corps et combien les transcendantes qu'il 
faudrait imaginer pour le r^soudre dijBT^rent de toutes celles que nous connais- 
sons 2 . 



( l ) Les m&thode$ nouvelles de la M$canique cdleste, t. Ill, p. 38g. 
(*) Loc. cit., p. 3gi. 



2i2 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

La voie de Pinte'gration proprement dite e"tant ainsi ferm^e, la Me"canique 
celeste precede par approximations successives. La tache qui s'offre a Poincare" 
est de disculer la valeur des me'thodes imagines dans ce but ( l ). 

On savait que, grace surtout aux petits diviseurs, la convergence de toutes 
ces intHhodes est trs douteuse. II se trouve cependant, Poincar^ niontrera 
par quel m^canisme qu'elles suffisenl, en general, aux calculs nume'riques 
usuels. 

Mais ceux-ci ne sont pas seuls en jeu. II ne s'agit pas seulemenl de calculer 
les e"p lie" m brides des astres, quelques anne"es d'avance, pour les besoins de la 
navigation on pour que les astronomes puissent retrouver les petites planeies 
de"ja connues. Le but final de la Me'canique celeste est plus eleve" : il s'agil do 
re'soudre cette importante question : la loi de Newton peut-elle expliquer & elle 
toute seule tous les phe'nomenes astronomiques? Le seul mojen d'y parvenu* 
est de faire des observations, aussi precises qus possible, de les prolonger pen- 
dant de longues annttes on m6me de longs siecles et de les comparer ensuite 
aux re"sultats du calcul. II est done inutile de demander au calcul plus de prtS- 
cision qu'aux observations, mais on ne doit point non plus lui en demander 
moins, Aussi Fapproximation dont nous pouvons nous contenter anjourd'hui 
deviendra-t-elle un jour insuffisante ( u ). 

Or, non seulement les series classiques ne pouvaient nous assurer cette 
exactitude de plus en plus grande ; mais, en raison de leur forme mme, on ne 
pouvait leur demander de conduire a coup siir ii de bons resultats pour imo 
p^riode par trop longue. 

A plus forte raison ne pouvaient-elles nous renseigner sur la question de la 
stability, laquelle fait intervenir I'ind^finie dur^e des siecles. 

Aussi, au xix e siecle, des d^veloppements en series de forme nouvelle ont-ils 
(ite' proposes pour exprimer les 6l^ments des orbites plane*taires* 

Us ont pour but de diriger le calcul de maniere ne jarnais introduire que 
des termes pe>iodiques. 

Une premiere difficult^ de la question (celle qui provient des termes s<5cu- 



( J ) Leur nombre et la vari^t6 (au moins apparente) de leurs prmcipes vient en quelque sorte, 
dans I'e'tat actuel de la Science, ajouter un obstacle nouveau a toutes les difficult^s qui entourenl 
1'^tude de la M^canique celeste. 

On doit \ Poincar^ d'avoir montr^ (voir en particulier t. 14, 15 du Bulletin Astronomique\ 
GEuvres, t. VIII, p. 3i-32 et 33-4?) comment on peut passer des uties aux autres en changeant 
le groupement des termes. 

( 2 ) POHOAR^, Revue Generate des Sciences^ t. 2, 1891, p. 1-2; OBuvres, t, YIH, p. 529-37. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 21 3 

laires ), est ainsi evitee. Mais celle des pelits diviseurs suhsiste; et, par conse- 
quent une question prejudicielle se pose : les series ainsi obtenues celles de 
Lindstedt, par example, convergent-elles ? 

Jusqu'a Poincare, il paraissait de toute Evidence qu'une reponse a cette 
question, dans le sens de 1' affirmative, demontrait la stabilite. On etait mme 
tente de presumer eelle-ci par 1' existence seule de series telles que celles de 
Lindstedt. 

En d'autres termes, si, grace aux petits diviseurs , les developpements en 
series formes pour rendre compte des mouvements des corps celestes sont diver- 
gents, on etait porte a admettre qu'ils peuvent cependant fournir sur certaines 
proprietes des solutions particulidrement sur les proprieties qualita lives 
les indications qu'on se serait cru autorise a en deduire en toute rigueur en cas 
de convergence. 

Poincare va decider ces questions en sens tout conlraire. Non seulemenl les 
series de Lindstedt sont, en general, divergentes; mais il y a plus et cette 
paradoxaledecouverte, qui a boulevcrseles conceptions des asLroiiomes, remonte 
aux premieres annees de son labour , la convergence m^mede series de cette 
nature ne permettrail pas, a elle seule, d'affirmer la conclusion demandee, celle 
a laquelle on serait conduit en se fiant au calcul formel. 

Poincare montrera par des exemples que cette conclusion pent <Hre fausse. 
Cette demonstration est donnee sur le cas du second ordre, ou les repr^senta- 
tions gom6triques sont plus simples. Ici, toutefois, ce ne sont pas elles qui 
jouent le r6le important, et le point de vue purement analytique reprend ses 
droits. 

Une Note, contemporaine, nous 1'avons dit, des premiers travaux de 
Poincart5, contiont les principes essentiels de la solution. Les dtfveloppements 
habituellemeni considers en M^canique celeste sont, on le sail, des series 
trigonometriques 



mais bien differentes des series de Fourier en ce que les arguments des sinus 
et cosinus s'obtiennent en multipliant la variable ind^pendante (autrement dit, 
le ternps) par des coefficients a n qui ne croissent pas n6cessairement & Tinfini 
et qui peuvent m6me tendre vers z^ro. 

G'est la th^orie math^matique de ces series qui a 616 fondee par Poincare en 
quelques pages des Comptes rendus de tAcad&mie des Sciences, puis du 



214 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Bulletin Astrojiomique. Les resultats en offrenl, pour le moins, autant de 
singularity que ceux qui sont relatifs aux series de Fourier ; mais certaines 
proprietes essentielles de ces dernieres trouvent, moyennant modification 
convenable, leur generalisation. La plus importante est 1'expression des coeffi- 
cients A n , A'^ par des integrates definies : settlement celles-ci, etant donne que 
les series dont il s'agit ne sont pas periodiques, doivent tre etendues, non plus 
a un intervalle fixe, mais a un inlervalle indefiniment croissant. 

C'est cette expression qui permel a Poincare de mettre en Evidence d'une 
maniere irrefutable 1'erreur que Ton commet en voyant dans la convergence 
d'une serie trigonometrique de cette esp&ce pour toutes les valeurs de la variable 
une preuve du fait que la somme de cette serie resie finie m6me lorsque cette 
variable augmente indefiniment. L'expression en question montre en efiet que 
la somme de la serie ne pent rester fmie si les coefficients A, A' eux-mmes ne 
sont pas tous inferieurs en valeur absolue a une m6me limite fixe. 

Or I'hypothese que les coefficients A, ou certains d'entre eux, aillent en 
augmentant indefiniment n'est nullement incompatible avec la convergence de 
la serie, du moment que les coefficients a correspondants peuvent tendre vers 
zero. II en est ainsi me" me dans le cas de la convergence absolue, celui ou 
surtout on pouvait 6tre porte a croire le coiitraire, par analogic avec les autrcs 
types de series connus. 

A cet egard, les deux series particlles formees, 1'une par les termes cosinus, 
Fautre par les termes sinus, se comportent tres difTercmment. La premiere 



ne saurait evidemment converger absolument pour t = o sans converger 
uniformment pour toutes les valeurs reelles de t (la serie des coefficients A 
etant absolument convergente) et representer une fonclion bornee. 
II en est autrement pour la serie partielle des sinus 

i sin (*). 

Tout ce qu'on peut dire, c'est que, si elle converge absolument dans un 
intervalle, si petit qu'il soit ? autour de Torigine elle est absolument convergente 
pour toute valeur reelle de t : th^oreme qui s'^tend des lors aisement & la 
serie totale et au cas oh Pintervalle ou la convergence est donn^e ne comprend 
pas Forigine ; mais cette convergence, si elle est absolue, n'est pas 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 216 

sairement'uniforme et des exemples tels que celui de la s^rie \,2 w sin ( ^~ 

montrent qu'elle peut avoir lieu avec des coefficients ind^finiments croissants. 

Les principes ainsi 6tablis ne servent pas seulement a discuter les questions 
de stability dont nous parlons en ce moment. Combines avec ceux que Poincar6 
indique d'un mot a une autre occasion (*), ils ont donn<5 naissance a toute la 
th^orie des fonctions quasi p<5riodiques que Ton doit a MM. Bohr et Esclangon 
ot qui est destinde a prendre une place importante en M^canique celeste. 

Si maintenant on applique ces principes aux trajectoires L, L / considr6es 
plus haut, et aux series correspondantes qui, nous 1'avoiis dit, ne sont autre 
chose que des series de Lindstedt, on voit que non seulement ces d^veloppe- 
ments en series ne suffisent pas & d^montrerl'existence des sur faces ^tubulaires, 
mais qu'en fait ces surfaces en question n'exislent pas toujours etque plusieurs 
dispositions tr&s differentes, tant stables qu'instables, sont possibles. 

On voit alors a quel point les difficult^ que Pon rencontre en M(3canique 
celeste, par suite des petits diviseurs et de la quasi-commensurabilit6 des 
moyens mouvements, tiennent a la nature in6me des choses et ne peuvent &tre 
tourn6es. II est extr^mement probable qu'on les retrouvera, quelle que soit la 
m^thode que Ton emploie . 

Ajoutons que si Ton passe au problme des n corps Iui-rn6me, la divergence 
des series de Lindstedt, du moins en general, car la convergence reste 
encore, & la rigueur, possible quoique tr&s improbable, pour des valeurs parti- 
culi^res des constantes d'int(3gration ressortira, elleaussi, des proprits des 
solutions et, en particulier, de celles des exposants caract6ristiques. 

Sur cette question, d'ailleurs, les conclusions de Poincarcl ne furent pas 
purement negatives. S'il constate la divergence des series en question, c'esfc lui 
qui a montr^ a 1'aide des principes d6ja acquis par ses recherches sur les 
int^grales irr6guli&res des Equations lin^aires et qui ont regu une port^e 
nouvelle par les travaux ult^rieurs de M. Borel pourquoi elles peuvent 6tre 
n&xnmoins utiles et dans quelles conditions on pouvait en faire un usage 
l^gitime : pourquoi, autrement dit, tout en 6tant incapables de fournir une 
approximation ind^finie, m6me si on les poursuivait indcSfiniment, elles 
permettent n^anmoins, les masses perturbatrices tantpetites, de pousser cette 
approximation jusqu' un certain point, heureusement sufjflsaiit en pratique. 

( l ) Bull. Astr^ t. 14; GEuvres, t. VIII, p. 10-26. 



2I 6 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

En mme temps que Poincar6 est among a faire les reserves que nous vcnons 
d'indiquer sur la puissance des principaux moyens d'action employes avantlui, 
nous avons dja vu qu'il en apporte, a son tour, de nouveaux. 

Les invariants int^graux viennent rendre des services sinon <gaux, du moins 
analogues a ceux qu'auraient pu fournir ces integrates uniformes a la poursuite 
desquelles la M^canique celeste doit rcnoncer. Comme elles, ils represented 
des quantites qui restent constantes pendant tout le cours du mouvemenl, seule 
propriete qui permette d'tSlablir des relations directes entre des phases tfloigndes 
de celle-ci. 

Quant aux solutions periodiques et aux solutions asymptoliques qui en 
derivent, nous avons dit qu'elles servant, non seulement en olles-m6mes, mais 
comme intermediates permettant d'arriver aux autres solutions. 

C'est sous ce jour que les solutions periodiques apparaissent deja dans les 
recherches dont nous avons precedemment parle. Mais leur puissance, a cet 
egard, va surtout se manifester avecles methodes monies par lesquelles Poincar6 
d^montre leur existence. 

Nul sujet n'a retenu davanLage son attention. On peut dire qu'il s'en est 
pr^occup6 toute sa vie. Le premier travail qu'il y consacra date, en effot, de 
1 883; et Pombre de la mort planait dt^ja sur lui lorsqu'il t5crivit le dernier (*), 
en Pouvrant par les nobles et m^lancoliques paroles, veritable testament scienti- 
fique, que nul d'entre nous n'a oubli^es. 

Pour la formation des solutions periodiques, le M^moire de i883 emploie le 
th^or^me de Kroneckcr. Celui-ci se presente, en Pesp^ce, comme la gt 
sation naturelle au cas des syst&mes d'dquations a plusicurs inconnues 
auquel peut se ramener en derni^re analyse la cltStcrmination des solutions 
p^riodiques dont il s'agit) de la m^thode la plus <Sl6mentairc qui existe pour 
d^celer les racines d'imc Equation unique, celle qui est fondle sur les change- 
ments de signe du premier membre. 

Une autre m^thode classique qui permet ^videmment, elle aussi, dc montrer 
Pexistence des solutions des syst&mes d'^quations peut ^tre consid^rde comme 
une generalisation du theor^me de Rolle : elle consiste a utiliser Pexistence du 
maximum ou du minimum d'une fonction convenablement choisie des inconnues. 
On aura ainsi assur^ment une solution des Equations obtenues en 



( l ) Rendic. del. Circ. Mat. di Palermo ^ t. 33, i* r semestre 1912, p. 376-407; C&uvres, t. VI, 
p. 499-538. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 217 

les driv6es partielles de cette fonction. Poincar6 ne Femploie pas seule- 
ment sous cette forme, inais sous celle, sur laquelle nous reviendrons plus loin 
du Calcul des variations. 

Ces diflferents proc^d^s sont combines entre eux, et surtout, comme nous 
allons le voir, avec les r^sultats que donne la thtSorie des fonctions implicites, 
en vue de l'6tude plus particuli&re du probl&me des trois corps etdes Equations 
de la M^canique celeste. 

Au point de vue analytique, le systkme plan^taire se pr^sente comme un 
syst&me dynamique dependant d'un param&tre ^ (masse perturbatrice ou facteur 
proportionnel aux masses perturbatrices) auquel on ne donne que de tr&s 
petites valeurs. Pour JUL = o, Fint^grale g6n6rale est connue : tous les points 
materiels qui composent le syst&me d<3crivent des ellipses suivant la loi de 
Kepler. 

Lorsqu'un systtmie d'6quations (en termes finis) a un nombre 6gal d'incon- 
nues depend d'un param&tre et que son jacobien n'est pas nul, le th(5or6me 
classique relatif aux fonctions implicites montre 1' existence d'une solution pour 
les petites valeurs de ce param^tre d6s que la solution existe pour la valeur 
z^ro. 

PoincartS a parfois 1'occasion d'appliquer cc principe sous la forme que nous 
venons de rappeler; et le thtSor&me prc$cddemment cit6 (p. 198) sur la 
d^pendance des int6grales des equations difftSrentielles par rapport aux donn6es 
initiales et aux param&tres lui permet m<hne d'affirmer 1'analyticit^ des solutions. 
Mais, en g^n(5ral, dans le type de probl&mes qu'il traite, les choses se passent 
de manure un peu plus compliqu6e. Les Equations relatives a /^ = o, c'est- 
a-dire celles qu'on obtient quand on ne tient pas compte des perturbations, 
admettent une infinite de solutions p^riodiques, a savoir toutes celles dans 
lesquelles les moyens mouvements sont tous commensurables entre eux. Mais 
c'est prdciscment cette infinite d'une manidre plus precise, l'infinil(5 continue 
de solutions qui correspondent a un seul et m6me syst^me de valeurs des 
moyens mouvements qui fait ici la difficult^ : car elle entraine cette cons- 
quence que le jacobien est nul. 

Le th^or^me classique ne suffit done plus, et une ^tudeplus approfondie des 
fonctions implicites dont il s'agit doit 6tre entreprise. G^om6triquement 
parlant, si, aux coordonn^es initiales qui dtfinissent la solution cherch^e, on 
joint la valeur de fx pour d^finir ainsi un point de I'hyperespace, les Equations 
qui exprimeat que la solution est p^riodique d&finissent, dans cethyperespace, 
H. P. XI. 28 



2i 8 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

une vari6t6 dont certaines parties continues sont situdes sur le domaine /-t o. 
On ne pourra avoir une s6rie continue de solutions de ces Equations corres- 
pondant a p variable et dependant analytiquement de [j. quo lorsque Ton aura 
une courbe de 1'hyperespace appartenant a la varit^t^ en question et coupant le 
domaine /* = o, d'ou rtssultera un point multiple de celte variety. 

Poincar6, en usant des deux mojens d'actions indiques plus haul et en 
reliant entre eux par des lemmes remarquables qui permettent d'etablir 1'exis- 
tence de fonctions implicites dans des cas 6tendus ou le jacobien est mil, etablit 
1'existence de tels points multiples : a partir de Fun d'entre eux, la mtfthode 
classique devient applicable moyennant des modifications convenables et 
fournit une serie de mouvements priodiqucs dont les 6l6menis repr<3senlatifs 
sont d^veloppables suivant les puissances entires on fractionnaires de /JL. 

Mais la mtHhode devait devenir plus souple et plus g^ntole, grace aux 
recherches que Poincar^ developpait vers le m6me temps (1889) sur la figure 
des planktes et dont il sera question plus loin. La, on a a rtSsoudre, et dans des 
conditions beaucoup plus difficiles encore, puisqu'il s'agit d'une infinite de 
variables, des questions de m&me nature. Les principals notions qu'il va 
introduire a cette occasion, cellos de forme de bifurcation vide coefficients de 
stability trouvent ici leurs analogues. Les formes de bifurcation correspondent 
aux points doubles de notre vari6t<3 et, constituent par consequent les <$l<5ments 
essentiels qui permettent de la construire; les coefficients de stability ne sont 
ici autres que les carr^s des exposants caract<5ristiques, eftectivement litSs a la 
stability (a. la Liapounof) d'une solution pdriodique quelconque. 

Comme dans la th^orie de la figure des plan&tes, il y a une sorte d't^chan^e 
des stabilit^s chaque fois qu'on passe par une forme de bifurcation. Un fait du 
m6me ordre se produit d'ailleurs dans le cas qui s'oppose a un certain point de 
vue a celui de la bifurcation, celui ou, au cours de la variation de ft, il y a 
disparition de solutions p^riodiques. Cette disparition se fait par couples 
comme celle des racines r^elles des Equations alggbriques et les solutions qui 
disparaissent ensemble sont de stabilil6s diflferentes. 

Mais, sur un arc de courbe tracd dans notre hyperespace et le long duquel ju 
varie constamment dans le mme sens,"le th^or^me de l^change des stability 
admet au contraire une rciproque : il ne peut y avoir changement dans les 
stability autrement qu'en passant par les bifurcations. On ainsi un nouveau 
moyen efficace de mettre en Evidence celles-ci et tin nouvel example des services 
que peut rendre Fintroduction des exposants caract^ristiques. 



L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 219 

Ainsi elargie, la methode se generalise d'elle-m6me et suffit a faire appa- 
raitre des resultats" d'une complication inattendue, lorsqu'ou passe a ce que 
Poincare appelle les solutions periodiques du second genre. 

II donne ce nom a celles qui sont voisines d'une solution periodique deter- 
minee de periode T et qui sont egalement periodiques, mais dont la periodicity 
ne se retro uve qu'apr^s A* revolutions, de sorte que leur periode est voisine 
non de T, mais de A'T. Leurs points representatifs, dans notre hyperespace, 
engendreront une variete analogue a la precedente, laquelle en fera d'ailleurs 
evidemment partie. Mais il y aura en outre, des branches nouvelles et, par 
consequent, des points multiples nouveaux, intersections de ces branches 
nouvelles avec les anciennes; et nous trouverons ainsi de nouvelles series de 
solutions periodiques, greffees, en quelque sorte, sur les premieres. 

L'emploi des exposants caracteristiques montre bien, en effet, la condition 
qui caracterise les nouveaux points doubles comme plus large que celle qui 
caracterisait les anciens. 

Reste, il est vrai, a s'assurer, m6me lorsque cetle condition est remplie, si 
les nouvelles branches de courbes dont elle fail prdvoirl'existence sont reelles. 
Ce sont les invariants integraux qui permettent de triompher de cetle difficult^ 
en la ramenant a 1'etude des maxima et minima d'une certaine fonction, etroite- 
ment lieSe d'ailleurs au principe de la moindre action. Un lemme (analogue a 
ceux dont nous avons parle page 218 ainsi qu'a ceux dont il sera question 
a propos de la figure des plan^ies), qui constitue en lui~mme un progr&s 
essentiel pour l'6tude des fonctions implicites, fournit le rnoyen de constater 
que la condition precedemment ecritc est bien suffisante. 

Or, cette condition est que Fun des exposants caract^ristiques soit un 

T . i l 2t^ 

multiple de -prr 

Comme A- est un entier quelconque, on peut le prendre assez grand pour 
que les multiples de -77=r soient aussi rapproch^s les uns des autres qu'on veut. 

Comme ces exposants caracteristiques varient continument avec JJL, les bifurca- 
tions dont il s'agit se produiront d6s lors ^ intervalles aussi petits qu'on le 
voudra, au cours de la variation de ce param&tre. Ce ne sont done plus un 
certain nombre de families de solutions p6riodiques qui sont ainsi mises en 
Evidence, mais un reseau extrtoement complique de families de cet esp&ce, 
distribuees comme le sont les nombres commensurables dans la suite totale des 
nombres. Les periodes correspondantes seront, par contre, indefiniment crois- 



220 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

sanies, puisque ce seront des multiples plus ou moins 6loigns de la pt^riode 
primitive T. 

II est ais6 de comprendre qu'un tel r<5sultat eclaire d'un jour nouveau les 
precedents et ouvre de nonvelles perspectives. 

Nous avons vu Poincar^ rattacher aux solutions p^riodiques toutes celles qui 
en sont suffisamment voisines. Etant donntte la manure dont les solutions 
p^riodiques dependent des nombres commensurables, ne peut-on aueindre, 
par cette voie, toutes les solutions possibles (du moins toutes les solutions 
stables), de mme que, a. 1'aide des nombres commensurables, on peut repre- 
senter par approximation tous les nombres r^els? 

On aurait ainsi une voie conduisant en un sens a I'inUSgration complete du 
probl&me. Les clioses se passent d'ailleurs effectivement de cette fac,on pour 
certains probl&mes de Dynamique (*). 

Un recent travail, auquel la question ainsi soulev^e a conduit M. Birkhoff, 
est venu modifier nos id^es sur ce point. Mais, en nous amenant & ^largir le 
principe prtc6dent, il ne tend pas, loin de la, a en affaiblir la portt^e. 
M. Birkhoff, en effet, arrive a <5tablir la possibility d'une approximation ind- 
finie, analogue <L celle qu'avait en vue Poincar6, en remplagant, toutefois, les 
solutions p^riodiques par une autre cat^gorie de solutions un pen plus 



II semblerait, a un examen superficial, que nous ayons ainsi (5puis6 toutes 
les solutions p^riodiques du problteme de la M^caniquo celeste corrcspondant 
aux valeurs suffisamment pelites de fx, ou du moins toutes celles qui formcnt 
des sdries continues. Nous savons, en effet, que toute sdrie de cette esp&ce doit, 
a la limite, pour p.= o, donner une solution p^riodique du probl^me primitif, 
qui est celui ou 1'on ne tient pas compte des perturbations. Or il semble que 
nous ayons pass^ en revue toutes les solutions ptSriodiques de ce probl(!ime 
primitif, et qu'il suffise, par consequent, de chercher celles qui sont voisines 
de celles-la pour p voisin de z6ro. 

Mais nous avons d6j vu, avec Poincar(5j les difficult^ d'un genre tout parti-* 
culier que Ton rencontre lorsque, dans les questions vraiment arducs et vrai- 
ment myst^rieuses comme celles auxquelles il s'attaque, on chercne ^t pr^juger 
de la solution par T^tude des cas particuliers que Ton sait traiter. La simplifi- 

( x ) Par exemple pour les g6od^siques des surfaces & cowrbure negative* 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 221 



cation s'achte par une deformation ou il peut arriver que tous les 
deviennent meconnaissables. Nous sommes bien obliges d'accepter le marche 
(le cas des courbes definies par une equation differentielle du premier ordre est 
le seul ou Poincare ait pu operer autrement) du moment que, en dehors de lui, 
nous serions condamnes a 1'impuissance absolue; mais nous devons compter 
avec les pi6ges auxquels il nous expose. Nulle lecture n'est plus instructive a 
cet egard que celle des derniers paragraphes du Memoir e sur le probleme des 
trois corps, ou du chapitre correspondant des Methodes nouvelles de la Meca- 
nique celeste ( j ). 

Une chose rend suspecte, ici, la conclusion provisoire a laquelle nous 
songions tout a 1'heure. Parmi les param&tres dont depend Petat du syst&me, 
un certain nombre (les anomalies des plan&tes sur leurs orbites osculalrices, 
ou les longitudes des perihelies ou des nceuds de ces orbites) sont angulaires : 
il ne serait d&s lors pas necessaire, pour la p^riodicite, que ces param&tres 
reviennent a leurs valeurs primitives au bout de la periode T ; il suffit que 
chacun d'eux (ou plutot chacune de leurs differences mutuclles) ait alors 
augment^ de 2 JPTC, p etant un entier quelconque. Or, en ce qui concerne 
certains d'entre eux (les longitudes mentionn^es en dernier lieu), cet entier p 
a toujours la valour z6ro lorsqu'il s'agit du mouvement k<5pl^rien sans perturba- 
tion. II en est forc<5rnent de m6rne sur toutes les solutions p^riodiques dont 
1'existence a &t& jusque-la (5tablie pour p. voisindez<5ro, puisque/? ne pent, sans 
discontinuity, passer de z<5ro a une valeur entire non nulle. 

Cependant, 1'absence, pour fxdiflfcrentdez<3ro, de solutions p<5riodiques dans 
lesquelles les entiers p soient quelconques, nous apparait, non seulement 
comme tr^js peu probable, mais m6me comme lout a fait absurde lorsqu'on 
tient compte de ce que Tannulation des entiers p est une consequence des 
propri6tes toutes particuli^res du probl&me envisage et n'aurait plus lieu si on 
le rempla^ait par un autre probleme de Djnamique infiniment voisin. 

II faut done qu'il existe d'autres syst^mes de solutions periodiques deg6ne- 
rant, pour jjt.=:o, en courbes limites autres que celles dont nous avons parle 
jusqu'ici. G'est en effet ce qui a lieu. Poincar en indique la raison, pour la 
premiere fois, dans la conclusion du Memoire sur le probleme des trois corps. 

Si p. = o 7 c'est que les masses des deux plan^tes sont infiniment petites et 

(*) T. HI, chap. XXXH. 



222 L'CEUVRE MATH^MATIQUE DE POINCAR. 

qu'elles ne peuventagirl'une surl'autred'une mani&re sensible, a jnoins d'etre 
a une distance in finiment petite Vune de Fautre. Mais si ces plan^tes passcnt 
infiniment pr&s Tune de Tautre, leurs orbites vont 6tre brusquement modifies 
comme si elles s'etaient choqu^es. On peut disposer des conditions initiales de 
telle fagon que ces chocs se produisent periodiquement et on obtient ainsi des 
solutions discontinues qui sont de v&ritables solutions periodiques du probl&me 
du mouvement keplerien et que nous n'avons pas le droit de laisser dc cot6. 

Autour de ces courbes, compos^es chacune de plusieurs ellipses kepleriennes 
et presentant des points anguleux, se groupent les nouvelles solutions 
periodiques, dites de deuxieme espece, que Poincare examine d'ailleurs sommai- 
rement, dans les Methodes nouvelles, en raison de leur peu d'analogie avec les 
orbites observes, mais qui, comme on le voit, n'en sont pas moms d'un haul 
analjtique. 



Poincar6 reprend la recherche des solutions p^riodiques sous une autre 
forme, dix ans plus tard, dans un M^moire des Travis actions de la Socit< 
math^matique am<5ricaine. Nous dirons plus loin comment il lui applique les 
donn6es du Calcul des variations. 

C'est ce m6me probl^me enfin, et sous sa forme la plus difficile, qu'est 
alle Tune des derni&res meditations de sa vie, ce M^moire des Rendiconti del 
Circolo Mat. di Palermo qui a douloureusement dmu tous ses admirateurs par 
le triste pressentiment qui s'y trouve exprimd. 

Poincar(5 y cherche a ne plus se borner, comme il Tavait fait dans les 
Methodes nouvelles, aux petites valeurs de p., c'est-a~dire a obtenir des solu- 
tions p^riodiques m^me si 1'on n'est pas au voisinage d'un cas d'inl(5gration 
connu. 

Par une m^thode de forme toute nouvelle, il montre que tout se ram&ne ^ 
un thor&me de g<5om^trie relatif aux transformations des figures planes 
(existence d'un point invariant sous des conditions tr&s gn6rales impos^e a la 
transformation) et que, par consequent, la demonstration de ce th<5ordme 6qui- 
vaudrait ^ la resolution de la question, pos^e, au moms dans le premier cas 
qu'on soit conduit aborder. 

Cette demonstration, que Poincar s'excusait de ne pouvoir fournir, fut 
donne, peu de mois aprds sa rnort, par M. BirkhojBP, de sorte que les r^saltats 
qu'il enongait a titre hypothetique sont definitivement acquis aujourd'hui* 

Invariants integraux, solutions periodiques, solutions asymptotiques, sont 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE*. 228 

les mattSriaux dont sont tissues les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste. 
C'est par leur reaction mutuelle que sont obtenues les conqu^tes qui ont fait 
Fadmiration des gom6tres et des astronomes. 

Non seulement les notions ainsi crd^es sont grosses pour la Mecanique celeste 
de r^sultats nouveaux, mais elles constituent, pour les r^sultats obtenus par 
ailleurs, un important moyen de controle. Les invariants int^graux, par 
exemple, donnent une s6rie de v6rifications pour tous les calculs entrepris par 
les m^thodes connues ( 1 ). 

Les proprits des solutions p^riodiques ont, a cet 6gard, fait leurs preuves 
d'une mani&re remarquable a 1'occasion des m^morables travaux de G. Darwin ( 2 ). 
Les calculs du grand astronome anglais ont, on le sail, dans un exemple num6- 
rique d6termin, abouli a la formation d'une s6rie d'orbites p^riodiques de 
formes enti&rement nouvelles et sou vent inattendues. Ces orbites sont de 
plusieurs categories differ en Les ; elles sont tantot stables et tantot insLables. 
Certaines des transformations qu'elles subissent, lorsque la constante de Jacobi 
varie continument, ob^issaient bien aux lois 6tablies par Poincar<5. En parti- 
culier, on voyait a un certain moment apparaitre simullan(5ment deux d'entre 
elles, 1'une stable et 1'autre instable, et cependant trs peu difl^rentes Tune de 
1'autre lors de leur apparition. 

Au contraire, une des families d'orbites p(5riodiques trouv^es passait de la 
stability a I'instabilittS dans des conditions ou ce passage n'aurait pu se faire que 
moyennant ^change de stability et, par consequent, bifurcation. Celle-ci 
n'apparaissant pas en 1'esp^ce, PoincanS fut conduit a pr6sumer que les orbites 
instables n'etaient pas la continuation des orbites stables. 

C'est ce qu'a confirm^ ulterieurement, dans ce journal m6me ( :) ), M. Hough, 
en reprenant 1'tHude des transformations mutuelles des orbites pr6c6dentes. On 
retrouve, dans cet exemple, les ph(nom&ncs g6n6raux d^crits dans les Methodes 
nouvelles de la Mecanique celeste. 

En particulier, serrant les calculs de plus pr6s au voisinage du passage mis 
en doute par PoincanS, M. Hough constate que, effectivement, les apparences 
constat^es par Darwin sont dues & ce que, en vertu des donates num^riques 



( ' ) Les invariants int^graux possedent d'ailleurs d'importantes propri^t^s formelles ; S. Lie et 
depuis, MM. Kceaigs et Goursat leur ont consacre" leurs efforts. On sait qu'on doit \ M. de Bonder 
plusieurs exposes de leurs propri6te~s. 

() Acta Math., t. 21. 

{>) Acta Math., t. 24, p. 257-288. 



224 L'CEUVRE MATH^MATIQUE DE POINCARE. 

adoptees, I'apparition d'une famille do satellites coincide approximativemenl 
avec la disparition de 1'autre. 

Ce sont les invariants int6graux qui ont permis a Poincarg de s'attaquer an 
probleme de la slabilite des trajectoires, qui correspond, pour un sysleme 
djnamique quelconque, a celui de la stability du systeme solaire ( 1 ). 

Laplace a, on le sait, d6montr6 cettc derniere stability en premiere approxi- 
mation et Poisson a passti a I'approximation du second ordre. Mais nous savons 
mainlenant que les methodes d'approximation ne peuvent donner ici de reponse 
valable : on peut aeulement en infe'rer une certaine stability temporaire, nous 
renseignant pour une tres longue pe>iode. 

C'est la stability au sens de Poisson (moins precis que celui de Laplace) quo 
dans une categoric e'tendue de rnouvements (laquelle toutefois n'embrasse pas 
notre sjst^me solaire) Poincare" a pu d^montrer d'unc maniere rigou reuse et 
non plus approximative. 

Par contre, son rgsullat a une signification toule cliiferenle de ceux qui 
avaient 16 obtenus ante"rieuremenu II ne gouverne pas toutes les trajecloires 
sans exception, rn'ais seulement a des trajectoires exceptionnelles pres. 

Les mols ti^ajectoires exceplionnelles doivcnt s'interprcSler, ici t a Taide 
du Calcul des probabilites : ils veulent dire que, une irajecloire dtant prise au 
hasard, la probability pour qu'elle soit une de celles qui mettent en dei'aut l< k 
th<2oreme est in fmiment petite (et non pas seulement tres polite). 

Autrement dit, il n'est pas absolumenl certain qu'une trajecloin* arbilraire 
posstide la stability a la P'oisson, mais il y a iniiniment pen de chances qu'il ea 
soit autrernent. 



Le Calcul des probabilites, auquei Pomcare* <Hait une premiere fois amene 
par la Djnamique, devait, par la suite, tenir une place importante dans son 
ceuvre. 

En m^me temps qu j il s'occupait d'en e"lucider les principes, il est un de ceux 



(*) Encore ne s 7 agit-il ici que de la question prise au poiat de yue th^oriqae. Poincare* a soin 
de rappeler (Annuaire du Bureau des Longitudes, 18^8; CEuvres, t, VIII, p. 538-547) que le 
probl&me analytique ainsi pose" est tout diffe*rent du probl&me physique, Fiafluenee des elements 
ne"glig6s (les mare"es, entre autres, et le frottement qu'elles prodaisent) ne pouvant manquer de 
devenir, en fin de compte, pre"ponde>ante. 



L'CEUVRE MATHE"MATIQUE DE POINCARE*. 220 

qui en ont pousse le plus loin Papplication. Nous aurions a insister sur ces deux 
aspects de son oeuvre si, a quelques exceptions pres, le premier d'entre eux ne 
concernait le philosophe et le second le physicien. 

C'est le developpement des theories moleculaires qui a imprime au genie de 
Poincare celte derni&re orientation. Au point de vue du mathematicien, les 
theories en question ont eu pour effet : i de faire passer au second plan les 
Equations aux derivees partielles, au profit des equations differentielles ordi- 
iiaires ; 2 de faire reposer toutes les deductions sur le Galcul des probability . 

De la, et du role directeur que Poincare sut prendre dans ce grand mouve- 
ment, decoulent, par une consequence necessaire, les recherches qu'il eut a 
entreprendre dans cetle derni&re direction, recherches qu'il ne nous appartieiit 
pas de retracer dans leur ensemble. 

Contentons nous d'en rappeler 1'aspect proprement mathematique, tel qu'il 
est traite dans la deuxi^me edition des Lvcotis sur le Calcul des probabilites 
profess ees a la Faculte des Sciences de Paris. 

Tout cet Ouvrage renferme des apergus qu'il conviendrait de signaler : 
telle est, par exemple, 1'application nouvelle de la methode des moindres 
carres a Interpolation, si adequate, comme 1'a montre M. Quiquet (*), aux 
besoins de la pratique par la manitsre dont les calculs faits en vue de 1'approxi- 
mation par un polynome de degre determine peuvent tre utilises pour former 
le polynome d'approximation de degre superieur. Mais la question fondamen- 
tale au point de vue de 1'appli cation du Galcul des probabilites aux phenom&nes 
moleculaires fait 1'objet du dernier chapitre. C'est deja elle qui est abordee 
lorsque Poincare etudie le battage des cartes. 

Pourquoi, lorsque le jeu a ete battu assez longtemps, admettons-nous que 
toutes les permutations des cartes, c'est-a-dire tous les ordres dans lesquels ces 
cartes peuvent &tre rangees, doivent <^tre egalement probables? Le joueur qui 
bat les cartes a cependant des habitudes instinctives et, grace $. elles, si Pordre 
primitif des cartes est donne, on doit supposer que, pour 1'ordre obtenu apr^s 
un seul battage, certaines permutations sont plus probables que d'autres. 
Poincare va montrer en toute rigueur que, si le nombre des battages est grand, 
le resultat obtenu sera totalement independant de ces habitudes inconnues du 
joueur, toutes les permutations ayant finalement la mme probabilite. 

La question qui se pose & la base des theories cinetiques est tout analogue, 

(*) Congr&s de Cambridge, t. II, 1912, p. 385. 

H. P. XL 29 



226 L'OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

mais avec des difficulty's nouvelles; car l'6nonc comporte, cette fois, des cas 
d'exceplion. II doit, tout d'abord, subir une modificalion chaque fois que les 
Equations difftirentielles du probleme admettent des integrates . Mais cette 
reserve u'esl pas la seule a laquelle soil conduit Poincare, au moins theorique- 
ment; et quoique, physiquement parlant, la conclusion visee (a savoir que, une 
fois connues toules les integrates univoqucs, la probability de chaque elat final 
du systeme peat etre connue a priori, independamment du meeanisme do 
melange) reste vraisemblable, on voitque les conditions de sa validite mathe- 
matique sont a pr^ciser. 

Les nouveaux aspects que prenail ainsi la theorie physique out mis une iois 
de plus en Evidence, en en faisant sentir tout le prix, celte universalite, cellc 
maitrise simultane"e des domaines les plus divers, qui ost une des caracleris- 
liques du e"nie de Poincare. 

La substitution des equations dillerentielles ordinaires aux equations aux 
d^rive'es partielles lendait <$videniincnl a rapprocher les methodes de la Physique 
math^matique des pr^c^dentes, de celles de la M<3canique celeste. Mais, grace 
aux rccherches ci-dessus mentionuees de Poincare, on voil que 1'inlroductinn 
du Calcul des probability se trouvait agir dans le m6me sens. G'est, notons-le, 
sous la m6me forme que le Calcul des probabililes intervenait de part et d'autre : 
nous avons vu precedemment que le principe fundamental, a savoir I'exisUuic** 
de 1'invariant integral le plus usuel, esi cornmuii aux theories moteculaires et a 
la Dynamique de PoincanS. 

Ge rapprochement entre les methodes se retrouve d'une maniere remarquahle 
dans les r^sultats. Un astrologue aurait sans doutc trouve une prtMive de ridcu- 
Iil6 du microcosme et du me^acosme dans eette simililu(l<,' constattie eatre 
I'^tude de molecules dont il entre des millions de millions duns i nun :i el cHc 
d'astres separ^s par des distances que la lumiere met des milliers d'ann^cs a 
franchir, celles-la tant consid^rees pendant quelqucs milliardiemes dosecondc 
el ceux-ci pendant des millions de siecles. 

Ce sont, tout d 7 abord, nos connaissances sur le mouvemont des plan^tcs qui 
nous ont aid^s a comprendre la vie des molecules, 

Mais Finverse s'est produit lorsque, d j un unique syst&me planetaire lei que 
le notre, on a voulu passer a la foule de ceux qui composent le monde stellaire, 
mme limits k notre voie lactde. C'est Lord Kelvin qui e"mil pour la premiere 
fois une ide'e de ce genre; mais c'est Poincar6 qui montra tout ce qu'eUe est 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 227 

capable de donner. II suffit de parcourir son livre sur les Hypotheses cosrno- 
goniques pour voir combien de relations nous commeiiyons a p&ntHrer, qui 
nous resteraient encore incompr6hensibles si nous n'avions a noire disposition 
les cHudes statistiques entreprises par les physiciens sur le perpeluel el inextri- 
cable grouillemenl des molecules. 

Ge livre fut un des derniors de sou existence. 11 etait digne d'en marquer le 
couronnemenl. 

JNnl Ouvrage pour lequel il fut plus uecessaire. Pour 6clairer les propritHes 
des molecules par celles des n^buleuses et inversement, il fallail dominer a la 
Ibis les uncs et les autres. 11 fallail un successeur de Laplace qui iul en inline 
temps un successeur des Clausius etdes Boltzmanu, pour (Scrire les Lecons sur 
les hypotheses cosniogofiiques. 

4. ANALYSIS SITUS. CALCUL DKS VARIATIONS. DfiTKHMiNANTS INFIMS. 

JVaulres parties de 1'oeuvre de Poincare se ratta client encore a ses iravaux 
sur les equations difl'tfrentielles 

Geux-ci devaienl, tout d'abord, Taaiener logiquement a perlectionner la 
Gvometrie de situation. Nous 1'avozis vu niontrer qu'on ne saurail faire des 
progr^s imporiants dans la th^orie qualitative des Equations differenlielles sans 
rencontrer sur son chemin celte doctrine. 

Pour les lignes et les surfaces de Fespnco ordinaire, V Analysis sitfis. du 
rnoins dans les conditions oii les applications 1'introduisent, tient tout enliere 
dans les donn^es utilis6es par Riemann. Mais dejs que Ton augraente le iiombre 
des dimensions, les r^sullats se compliquent(Snormement, pendant qu'il devient 
impossible de los atloindre par 1'intuition directe. 

Poin.care se trouvail done amen6 a trailer la^ g<5om^lrie de situation dans les 
espaces a plusieurs dimensions. 

il en est, en un sens, le premier (budatcur, uon (ju'il ait el6 le premier a 
1'avoir abordee; mais seul, il a indiqu<5 exaclement les ^l^naents qu'on doit se 
donner pourddfinir, acetegard, une figure : ces 6lments avaient 616 dnum^re's 
incompl^jtement avant lui. 

Une premiere solution avail 6t6 fournic que 1'on pouvait croire, au premier 
abord suffisante. 

Betti avait gn6ralist2 a un nombre quelconque Ji de dimensions la notion 
d'ordre de coaaerion ; il avait d^fini n i nombres jouant visiblement un rdle 



228 I/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

tout analogue a celui de 1'ordre en question. De m^me qu'une surface esl 
complement d&finie, au point de vue de V Analysis situs, par son ordre do 
connexion (lorsqu'on donne, en outre, le noinbre de ses fronti&res), on admet- 
tait implicitement qu'une multiplicity quelconque etait suffisamment caractc- 
risee, an mme point de vue, par ses nombres de Betti. 

Pour fonder vuritablement V Analysis situs a plusieurs dimensions, Poiucare 
eut a corriger cette erreur. 11 montra que, an point de VUG dont il s'agit, la defi- 
nition precise et complete d'une multiplicity u un nombre quelconque do 
dimensions exige la connaissance d'un certain groupe de substitutions que Ton 
peut en deduirc. Ce groupe, et, par consequent, les propriety lopologiques 
de la multiplicity peuvcnt 6tre alleges dans certains cas ou, cependanl, les 
nombres de Betti conservenl tous leurs valeurs. 

Une loi remarquable fut enoncee par PoincanS sur ces nombres de Belli. A 
la suite d'une pentHrante critique de M. Ileegaard, elle Tamena a constaU'r quo 
la definition de ces nombres peut 6tre pnjcisee de plusieurs iacons differonles 
et que 1'une de ces modifications s'impose, an point de vue de Pexaeliludo do 
la loi en question. 

D'autres nombres que ceux de Betti furent decouverts dans la suite de <;<*s 
recherches et jouerit 6galemcnt un role important en Pespfecft : ce sont les 
coefficients de torsion, lies aux varietes a un seul cot6 que Ton pen I tracer sur 
la variete donn^e. Mais un exernple monlre que, pour caracteriser celle-ci, la 
connaissance simultan6e des nombres de Betti et des coefficients de torsion esl 
encore insuffisante. 

La nouvelle Analysis situs ainsi fonciee devait e^alennnt, conimc ct'llt* dt 
Riemann, conduire a des applications algebriques. 

La theorie des fonctions algebriques de deux variables veuail, en rilVil, d'etre 
fondee par les travaux de M. Picard. L'analogue de la surface de Riemann csf, 
dans cette theorie, un domaine a quatre dimensions donl il est mkessaire 
d'etudier la connexion. C'est une etude que M, Picard avait dej& commenc^o. 
Poincare y appliqua les donnees nouvelles dont il disposait. 

II faut d&s lors definir et etudier, sur les surfaces algebriques, des pvriodes 
cEint&grales doubles^ notion qui n'est pas sans relation avec celle des residus 
des integrates doubles considers plus Iiaut, mais qui est a celle-cx ce que les 
periodes cycliques des integrates abelienrxes classiques sont aux ptSriodes 
polairesy et qui devaient jouer un r61e important dans les r^sultats qu'il obtint 
eixsuite sur le developpement de la fonction perturbatrice en Mecanique celeste. 



I/OEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 229 

Nous nous bornerons a ces indications en ce qui concerne les fonctions alg<5- 
briques de deux variables. II landrail, si nous voulions insister el montrer 
quelle aide Poincar<3 a pu apporter a 1'eflbrl des Picard, des Castelnuovo, des 
Enriques, des Severi, retracer, plus longuement que nous ne saurions le faire 
ici, les principes de cetle th^orie et Fimportant d^veloppement qu'elle a pris 
dans ces demises ann^es. 

Nous avons aussi constate les relations de 1'oeuvre dynamique el astrono- 
mique de Poincar<3 avec le Calcul des variations. 

Tous les travaux de Poincar^ sur les Equations different! ell es, toutes les 
Methodes nouvelles de la Mecanique celeste et aussi toutes les recherches de 
Poincar6 sur la figure des plan^tes sont comme le remarque M. Hilbert (*), 
du Calcul des variations, si Ton prend ce mot au sens le plus large : 1'^tude des 
relations d'une fonclion avec les fonctions voisines. 

Quant au Calcul des variations propremenl dit, il a el6 6galement, nous 
1'avons dit, essentiel a la recherche des solutions p^riodiques. Poincar6 a m&me 
indiqu bri&vement a cet gard des voies qu'il importerait de poursuivre (-) eL 
par losquelles on pourra demonlrer imtnediatement 1'existence de solutions 
p^riodiques toutes les fois que, par des conventions convenables, on pourra 
consid^rer les lignes cherchties comme trac^es sur des vari6t6s a connexion 
(Iin6aire) multiple, en parliculier chaque fois que certains des cniiers d^signt^s 
plus liaut (p. 221) par p (nombre total de circonferences dont a augment^ 
pendant une p(5riode un param^tre angulaire) seront diflferents de z6ro. 

La question est beaucoup plus difficile lorsqu'on ne peut introduire de 
connexion multiple, ainsi qu'il arrive pour les geod(Ssiques des surfaces 
cori vexes, auxquelles est consacre le M<2moire des Transactions of the American 
Mathematical Society menlionne plus liaut. La proprit5td de minimum habi- 
luollement employee pour caracUSriser les g^odtisiques suffit encore ^. 6tablir 
1 'existence de g^odesiques fermees si la surface est tr6s pen difierente d'une 
sphere, c'est-^L-dire, une fois de plus, dans une hypoth&se mfmiment voisine 
<l'un cas d'intugration classique. Mais c'est en posant le problfeme d'une 
manidre toute nouvelle, en en faisant un probl&me d'extremum 116, que 
Pomeare arrive au m^me r^sultat sur une surface ferm<3e convexe quelconque. 



( l ) Congr&s international ties Matfiematiciens^ Paris, 1900, p, 107. 
{*} Voir Analyse, p. u>0; QKuvres, t, VII, p, !\. 



23o L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Dans le M^mofre dont nous venons de parler, il utilise le Calcul des varia- 
tions sans se proccuper de le computer. Au contraire, dans les Methodes 
nouvelles de la Mecanique celeste, il avail examine la question de savoir si une 
courbe solution des Equations diflferentielles fournit ou non un extremum de 
Faction. 

On sait que la mgthode obtenue par Weierstrass pour decider de 1'exiremum 
entre deux extremities donnees, com me plusieurs des d^couverles dunt nous 
avons eu Poccasion de parler pr^cddemnienl, avail ete une do cellos tjue le 
g^omfctre allemand s'elail contents dVnseigner oralement (les premiers Ouvrages 
portanl (race de eel enseignemcnl, la these de M. Zermelo et, pour les iutt 1 - 
grales doubles, le M 6 mo ire de M. Kohl), paraissaient vors le inline moment 
que POuvrage de PoincanS el PexpostS complet de M. Kneser, quelques anneos 
plus lard). Par conlre, M. Darboux avail, fait eonnailiv, sur Pexemple parli- 
culier des lignes geodesiques, une autre melhode conduisant a la .solution : 
M. Kneser devait (dans POuvrage auquel nous venons de fa ire allusion) Petemlre 
an cas g^n^ral. 

Poincar6 a-t-il reirouve, de son cote, les resultats de Weierstrass? Dans la 
notice qu'il lui a consacre (*), le Calcul des variations n'est pas montioniu't. 
D'autre part, dans les Mvthodes jivuvelles (-), la condition de Weierstrass est 
(hionc^e, mais non sous sa forme connue, quoique celle-ci el celle de Poincarr 
soient Equivalent es. 

Quoi qu'il en suit ft cot tSgard, le r<5sultat cjue Poincare a en vue, en Pesji^MU', 
est nouveau et lui apparlienl en propre : c^ost Pobtention des conditions mV< i s- 
saJres et suffisanles pour lY\lremum lorsque la ligne arbitraire csf a.ssujiMtic 
lion plus, comme dans le problems olassiquequi esi celui auquel s^elait alla<{u' 
Weierstrass, a, joindre <leux points donntfs, mais a ^tre lenn( ; e. 

A cet effet, Poincare emploie d'avance, mais sans (?n fairo la t!<Sorio gem 1 - 
rale, quelques-uns des moyens dont s'esl servi M. Kneser pour generalise*' la 
m<5thode de M, Darboux. En particular, si la notion d'orthogonalitt* suflit a 
P^tude de Pactlon correspondant au mouvement absolu, PoincartS est ament ; i\ 
consiruire des transversales , lorsqu'Jl passe au mouvement relaiif, f,(^ 
champ )> qu'il fait intervenir est d'ailleurs remarquable : il n'a pas, i notrc 
connaissance, eu d'autres applications ot n 7 a sans doute pas rondu tons !t*s 



(') Acta Matk,, t. 22, p. 
( 2 ) Tome III, p. 261. 



L'CEUVRE MATHE'MATIQUE DE POINCARE. 23 1 

services qu'on es.t en droit d'en attendre : il est form<5 par une des families de 
solutions asjmptotiques a la courbe ferm^e envisage. 

Le probl&me d'extremum tel qu'il se pose sous la forme classique, c'est-a- 
dire enLre deux poinls donnas, figure d'ailleurs galement dans les recherches 
de Poincar^ sur les solutions p^riodiques, etla manure dont la solution depend 
de la nature des foyers (suivanl que ceux-ci sont des points ordinaires ou des 
points de rebroussement de Tenveloppe de la famille d'extrt^inales correspon- 
dantes), y est indiqu6e. Poincarg applique surtoul sa discussion au cas ou les 
deux extr^mitos donnees coincident en un mme point A. Avec une autre 
remarque g^ometrique egalement imporlantc, I'mfluence du sens de 1'angle 
ainsi forme au point anguleux A, celte eHude esl, pour lui, le moyen d'arriver 
a une conception simple des solutions pdriodiques du deuxi&me genre et de 
pcriode A' uplc qui naissent, comme nous 1'avons dit, au voisinage de certaines 
solutions du premier genre convenablement choisies. Un exposant caractu- 

rislique 6tant, sur celles-ci, com mensurable avec ^-^~ il en r^sulte que chaque 

point sera a lui-m^me son 2/> I6m '' foyer, p 6tant un entier convenable; lous ces 
foyers seront d'ailleurs points de rebroussement, et de m6me sorte (c'est~a-dirc 
que le rebroussement y aura lion dans le m6me sens). 

Pour arriver a une solution p<5riodique du deuxieme genre, Poincar<5 fait 
varier d^une petite quantity, dans un sens convenable, le param^tre p. et constate 
que chaqtie point M de la courbe ferm^e primitive C peut6tre joint a Iui-m6me 
par une ligne satisfaisant aux Equations diiKrentielles avec la n on veil o valeur 
du param^tre. 

Si enfin on choisit M de mani&re que Faction le long de cette ligne soit 
la plus grande ou la plus petite possible, le point anguleux en M dis- 
parait, et on a une solution period ique du deuxidme genre, coupant C 
en zp points. 

G'est (Sgalement, du moins pour une partie, a propos des trajectoires de la 
Dynamique, en s'occupant de ItSgitimer la m6thode qui avait donn6 a Hill 
ses solutions pt^riodiques du probl(;me des trois corps et, en mme temps, celle 
que M. Appell avait appliqutSeaunnouveau d^veloppement des fonctions ellip- 
liques que Poincan5 a &1& amen^ & doter FAnalyse d'un nouveau mode de 
passage a la limite, voisin de celui qu'elle allait devoir a M. Fredholm, les 
determinants injinis et la resolution des Equations lin^aires a une infinite 
d'inconnues. 



23'2 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Nous ne redirons pas apres lui ( 1 ) les circonslances remarquables qu'il a 
renconlre'es dans cetle recherche. On sail, quo le nouvel algorithme ainsi fondt 1 
a du d'importanles applications a M. Ilelge von Koch. Nous avons ddja rappele 
que ce savant a pu ainsi calc tiler (sous leur forme convergenle) les inte*grales 
irre'gulieres des Equations line'aires, question lie"e d'ailleurs directomenta rinle- 
gration des Equations a coefficients period iques. 



TIL Les equations aux derivees partielles et les problemes 
de la Physiqiie mathematique. 

M<^me apres revolution qui a augment^ i'imporlance des Equations dille'ren- 
tielles ordinaires pour la Physique mathemalique, celle-ci continue et conli- 
nuera a s'appujer stir les Equations aux derivees par tiel fas. 

Pour ces derni&res tSgalement, et plus nettement m^me que pour les prt ; ce- 
dentes, la solution telle qu'on la concevait prJmilivcment, ce qu'on a appele 
1'int^gration formelle est hors de cause. Non seulement Vinlegrale gene- 
rale : par le moyen des symboles eklmentaires connus, est le plus souvent 
introuvable; mais m^me une fois obtenue, elle no rend pas les inOmos st'rvices 
que dans le cas des Equations differentielles et ne dispense pas de recherches 
aussi difficiles ou plus difficiles que cellos qui out conduit a 1'ecrire, lorsqu'ou 
vent 1'appliquer aux v(5ritables problemes qui so posent le plus gonoralonitjal. 

Les difficult<5s que ccux-ci prcsonionl peuvent i;tre, suivant h^scas, dt i ualuro 
ires diflerente. 

11 peut arriver qu'elles resseinblent, avec des <liilV?n i nce.s do degre, a r< ([H 1 eilos 
sont pour les Equations difftSronlielles, do sorie quo la solution puisso fitn* cousi- 
dor6e, au point de vue th(5orique, commo fournio localemont par los luelhodcs 
de Cauchy, quitte, dans unc secondo partio du travail, i fa ire la syntheses des 
diff(5rents <5l(5menls de solution ainsi obtenus. 

C 7 est ce qui se passe liquation (Slant supposed introduite par FtHudo iTim 
ph^nomene physique lorsquo celui-ci se d^roule librement dans Tospaco 
illimit^, et ou, par cons6quent ? pour dofinir son Evolution, il suffit de se dormer 
les conditions initiales, e'est~&-dire son, otat h. im instant de'termino', 

Mais si le ph^nomene a pour th^tUre une enceinte Hmite"e par des parois, 

( l ) Analyse, p.!9a-94; OEuvres, t. V, p. 3-5, 



l/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 233 

de sorte quo pour achever de le definir, il faut ecrire un systeme de conditions 
aux limites, exprimant lej'ole joue par les parois en question, uno difficult^ 
d'un lout autrc ordre apparait. 

II est encore vrai que, an voisinago d'uii point quelconque, la solution est le 
plus souvent represcntable par des developpements en series du m6me type que 
dans les problemes precedents. Mais, celle fois, aucun de ces elements de solu- 
tion, non pas m6me le premier (*), comme il arrivait pour les equations 
differentieiles ordinaires ne peut 6 ire de'terrnine' isolement : la connaissance 
de chacuii d'eux est inseparable de celle de tons les autres. 

C'est le renversemenl du principe m6me qui, en Unites les autres circons- 
tances, guide la ma re he- du calcul integral : la division de la difficult^ en une 
difficulte locale et une difficulie de syntlnYse. Une telle division eslici radicale- 
ment impossible. 

Aussi 1'apparition de ces series de problemes et surtout du premier dc tons, 
celui qui lour a servi de type, le probleme do Dirichlet o-t-elle change" 
profondemenl touie Failure de la malhe'matique moderne. 

Get exemple est pre'cise'ment celui que Poincare a choisi pour montrer 
comment la Physique impose aux maihematiques des problemes auxquels elle 
n'aurail pas songtf a elie sculp. On voit qu'il n'en pouvait exister de plus typique. 

Un tel probleme ne pouvait rnanquer d'attirer Faiiontion de Poincare commo 
il avail, altire celle de plusieurs de ses predecesseurs. La nouvelle solution qu'il 
y apporla, la metbode du balaycige* s'inspiro tres direclcment de la nature 
m6me de la question, de cette interdependance mutuelle de ton les les parties 
do la solution telle que nous venous de la signaler. 

Mais alors que la met bode du balayage elle-mfime se railachc aux autres 
travaux anterieurenicnl consacres a la iheorio du probleme de Dirichlet (-), 
ctitte theoriti devait peu apres entrer dans une phase toute nouvelle etsubir une 
revolution proionde dont Futility ressort, ellcaussi, des remarques prec^dentes. 

Son principe consistc a remplacer Pequalion aux dvriv&es partiMes, ainsi 
que les autres condilions aux<juelles doit satisfaire la fonction inconnue, par une 



( J ) Hit'n nr conduit, d'ailkuirs \\ tUahlir entre los elements en question un ordrc determine : ?t 
considerrr spi'cialenicut I'un d'onlrc eux plutot qu'uu autrc conune le premier, 

( 2 ) Kile se distingue des me'Uiodes d'approximations successives proposes jusqu'^, lui surtout 
en ce que cetles-ci, dans le choix des expressions destinies & servir de points de depart, se 
pr^occupaient tout d'ubord de satisfaire d^s I'abord & liquation aux de"riv6es partieltes, les autres 
conditions du probleme devant ^tre ve'rifie'es par le jeu des retouches successives, Poincare*, le 
premier, guide" par rinterpre"tation physique de ses calculs, songea ^ faire 1'inverse. 

H. P. XL 3o 



234 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Equation integrate. Au lieu de fa ire figurer 1'inconnue sous des signes do 
derivation, on la fait apparailre sous un signe d'inle'gration. 

Les premiers sonl (5videmment une sorte de microscope par laquelle on 
repre"sente des relations dans 1'iiifinimenL petit. Le second, an contraire, est 
essentiellemeni syathese et non analyse. Point n'ost besoin des lors de longues 
explications pour comprendre comment son emploi est autremenl l>ien adapte 
aux circonstances dont nous avons parle" quo celui de la differentiation. 

Ge cbangement complet d'orienlation dans Fe'tude du probleme de Dirichlol 
ot de tons les proble-mes analogues de la Physique malhe'matique e\oque. tout 
d'abord, le nom de M. Fredholm. 

On se tromperait cepomhmt du lout an lout en n'y rntlachant pas tSga lemon t, 
et d'une maniere tres <5lroiio 7 colui de Poincare. Co so rail uio*connailro eeUe 
virile aujourd'hui banale que les manifestations les plus imporlantes, les plus 
inattendues de 1'espril humain sont le produil non seulemenl <lu cerveau do 
lour an tour j ma is de toute 1'opoque qui les a vu naitre. 

Or notro o[>oque, <iu point do vue malh6xnali({uo, c'est avanf lout, Poincaro. 

Voyons comment son omvre a oto une condition indispensable, la iiiiissanro 
de la nouvelle me'thode. 

La premiere etape qui devuil coiiduiro a celle-ci peul^lro cliorcboo daiif> lo 
celebre travail dc M. Schwarz insere, a 1'occusion du jubilo do V\ tiiorstntss, 
clans les Ada Socielatis Fennlcae (i88:5). 

Le point de depart de M. Schwarz est une question de pure analyse ornprunloo 
ixu Caicul des Variations, Mais le re'sultat obtcnu admot uno iutorpre- 
tation physique immediate. L'equatiou aux dorivoos partiollos conyid^ri'fo par 
M. Schwarz est immodiateiuont Ii6o a celle qui gouverno los vibrations tl'une 
membrane teixdue ct co qu'il obtieat, c'ost lo son fondarnental loquel st* 
[yre'sente comme correspondsmt a la valour qu'il fatil doimer <\ un corlain 
param^tre 1 qui figure dans liquation aux d6rivoes partiellos. 

Dans Fetude de tout phe'nonieiie vibratoire dans tin milieu limite* I'iixpori- 
mentateur constate, on le sait, Texistencc d'un tol son fondamental, ou, s\\ s^i^ii 
d'autre chose que d'acoustique, d'une tollo frequence fondarmntal? . Mais ! 
de plus, cetto frequence fondamontale n'ost pas la soulo frequence propre : 
(Ui acoustiquo, par exemple, le son ibndamontal s'accornpagne d'une sciric 
inde'iimo d'harruoruquGS dont les propriele's, sous les rapports les phis 
essentiels, sont analogues a celles du premier. 

Experimentalemerit, Poxistenco de toutos cos frequences propres esl 



L'GEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 235 

feste. Mathematiquemenl, M. Schwarz etait le 'premier a demontrer par sa 
savante mtHhode celle de la plus simple d'entre elles, la frequence fondamentale. 
II est clair qu'un tel r^sultat demandait a &tre complete par son extension aux 
sons harmoniques. Dix ans apr^s, en effet, M. Picard parvenait a etablir 
P existence du premier d'entre eux, c'est-a-dire du second son propre. 

C'esL a Poincare qu'est due la solution generale, c'est-a-dire la demonstration 
de Fexistence de Urns les harmoniques suceessifs. 

Par Femploi de profonds lemmes geometriques, il demontre que, multipliaiil 
In solution par un polynome en X a coefficients indeterniines ? on pent toujours 
ehoisir ces coefficients de maniere a ce quo le developpement du produil 
suivant les puissances de A converge dans un rayon plus grand qu'avant la 
multiplication, et m6me aussi grand qu'on le veut si le degre du polynome a ete 
pris suffisamment elevu. Geci equivaut a dire que celLe solution est une ionction 
meromorplie de A. Son numeruteur seul est (bnclion de la position iFim point 
dans le domaine que remplit le milieu considere : son d(5nomiuateur et ? par 
consequent, ses poles en sont Ind6pendants. 

Clc sont eux qui iburinssent les frequences propres cherck^es. Les r^sidus 
correspondants ou fonctions fondctmentales c[ui donnent la forme des vibra- 
tions propres j rep nSsen tent une second(, partie importnule d<^ la dticouverte 
aiusi rdalis^e. 

Ce resultat capital, veritable fondement de loute celte partie de la Physique 
math^matique, ne suffisait cependant pas a prOparer revolution dont nous avons 
parle tout ik i'heure. En particulier, il n'auruit pas a lui seul rendu possifjlt 1 
1'application. de la mtHhode des equations inlegrales au probleme de Dirichlet, 
11 a fallu d'abord que Poincare reprit au rn^me point de vue In plus connue el 
la plus importante des methodes indiquees (indepentlanirnent de celle du 
balayage) pour la resolution de ce probitiine, la m<Hhode de Neumann. 

Ce qui fait peut-^tre du Memolre sur la Mctliode tie N<*unia?in et leprincipe 
de Dirichlet tin des plus beaux triomphes du g6uie do l > oiiicare, c'est que rum 
ne faisait prevoir 1'analogie qu'il allait etablir entre ce probl&me et le [>recedeut. 

Nous avons rappele que les constatHtions experimentales indiquaienta^/'/or/ 
1'existence, dans le problCune consider^ par Schwarz d'une serie d'hanno- 
ut(jueSj ainsi que de fonctions fondnmentales correspondanies. 

Rien de pareil ne se pr^sentait ^. propos de la m^thode de Neumann; 01 
e, rien ne conduisait^ introduire dans cette nouvelle question leparam^frc 
! ^ qui s'introduit de Iui~m6me dans celle des harmoniques. 



a36 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

[Yanalogie analylique eiai! a peine plus utilisable quo Fanalogie physique. 
Jl est vrai que la solution fournie par Poincare fait apparaitre dans les deux cas 
les monies r6sultats essentiels, mais noii pour les monies raisons. 

En un mot, les functions fondamentales, au lieu d'etre sugg&rttes par une 
interpretation physique simple, devaient ici sortir tout armies du cerveau de 
1'analyste. 

Poincare montra cependant, ici encore, que la vraie signification de la 
methode de Neumann n'etait autre que le developpement de la solution par 
rapports aux puissances d'un certain parametre qu'il introduit dans les donnees 
du probleme, et que toutes les autres circonstances principales rencontrees 
a propos de Tetude des sons harmoniques se retrouvent ici, 

Ces requitals etaient d'ailleurs essentiels pour la methode de Neumann elle- 
mme : car ils permettaient d'en etablir la legitimhe sans les restrictions qu'avait 
apportees son auteur. 

Avec eux, et aussi, ajoutons-le, apres la m^thode de Robin, d'tme part, 
a c6t6 de laquelle ilfaut citer, del'autre, les travauxbien connus de M. Volterra, 
tout e'tait pr^t pour I'entr6e en scene de la me'thode de M. Fredholm. 

Celle-ci, en effel, suit pas a pas la marche que nous venons de retracer. Elle 
repose essentiellement sur 1'introduction du parametre A de Poincare et sur la 
maniere dont il figure dans 1'expression de 1'inconnue. Seulement, grace a sa 
belle melhode de resolution des equations integrates, M. Fredholm peuL ecrire, 
sous forme de developpements en series immediatemenL connus, le numerate ur 
et le denominateur que Poincare n'obtenail que par de delicates approximatitjus 
successives. 

Ainsi les solutions de tons ces problemes fondamenlaux de la Physique 
malhematique, et en particulier, la determination des sons propres, ou la 
forme des domaines intervient d'une maniere si mysierieuse sont acquises 
des Poincare. 

Seulement, pour reprendre la parole m^me que nous citions en commen- 
cant, ces monies problemes sont plus resolus par la methode de 
Fredholm. 

Les recherches precedentes ne s'appliquent pas uniquement a la Physique 
mathematique ; elles interessent egalement la Mecanique celeste par le probleme 
des marees. Poincare montrait effectivement, dans deux Memoires SurVequi- 
libre et le mouvement desmers, comment 1'emploi des fonctions fondamentales 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 237 

qu'il venait de de"couvrir permet, quoique avec des difficult^ nouvelles (*) de 
tenir compte de Foment le plus complique' du probleme, 1'influence des 
continents. Nous nous avancerions encore ici sur un domaine qui n'est pas le 
noire en analjsant les consequences auxquelles il esl ici parvenu; et nous ne 
saurions, pour la m6me raison, insisler sur celles qu'il a oblenues lorsquc, npres 
1'apparition de la me'lhode de Fredholm, il est revenu sur ce sujet dans sa 
Theorie des Marees, une des premieres et des plus importanles applications 
qui (apres celles en vue desquelles elle avait e'le imaginee) aient ete donne'es 
de la me'thode en question. 

Mais nous avons a rappeler, quoique sommairement et au strict point de vue 
des principes analytiques, les recherches qui ont eu pour objel la figure des 
corps celestes, c'est-a-dire la figure d'e'quilibre d'une masse fluide en rotation. 
Ce probleme occupe une place a part, la plus haute en un sens, dans la Philo- 
sophie naturelle. Si difficiles que soient les problemes de Physique mathe- 
matique etudie"s lout a 1'heure, un caractere leur est commum, qui est une 
notable simplification : ils sont tous line'aires. Si Ton a obtenu la solution du 
probleme de Dirichlel, pour une surface donne'e, avec les donne'es a la 
fronliere V* d'une part, et avec les donne'es V 2 de 1'autre, cette solulion sera 
connue par cela m6me, si les donne'es ont les valeurs V 4 +- V 2 . II est aisc de 
se convaincre que toules les theories imagine'es pour la resolution de ce probleme 
et de tous ceux qui s'y rattachent reposent essentiellement sur ce fait. 

Le probleme de Fe'quilibre d'une masse fluide en rotation est, parmi toules 
les applications physiques ou me'caniques des Equations aux de'rive'es parlielles, 
la seule pour lequel la simplificalion pr6c6denle ne se produise pas; et, par 
cela me'me, il se montre d'un ordre de difficulie' supe'rieur a lous les aulres. 
C'esl aussi le seul ( 3 ) pour lequel, en me'me temps que la fonction qui doil 
verifier une Equation aux de'rive'es partielles, le domaine m&me dans lequel 
cette fonction est d6finie soil inconnu. 

Aussi les the'oremes d'existence les plus simples manquaienl-ils eux-m6mes 
dans cette th^orie. 

Ces hautes difficult6s ne pouvaient larder a tenter Poincar^. Voyons par 
quelles me'thodes, des i885, il travailla, ici m^me ( 3 ), a les re'soudre, 

( l ] Voir Analyse, p. 119; OEuvres, t. IX, p. l\. 

( 2 ) II faudrait toutefois, aux deux points de vue mentiounes dans le texte, faire exception 
pour le mouvement des liquides daris le cas le plus ge"ne"ral, c'est-a-dire avec une surface libre 
notablement diff6rente du plan horizontal. 

< 3 ) Acta Math., t. 7, p. 25g-38o (r885); QEuvres, t. VII, p. fc-ifo 



238 L/CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

Nous avons dit que ces methodes reinvent toutes du Calcul des variations si 
Ton prend ce mot dans son acceptation la plus large. Les considerations qui 
font 1'objet propre du Calcul des variations classique, celles de maximum et de 
minimum, y interviennent egalement el, outre 1'usage qui en est fait pour la 
demonstration des theor&mes d'existence, Poincare a rcpris et complete les 
resultats de M. Liapounof sur la sphere consideree comme donnanl le potential 
d'attraction maximum. 

Mais 1'essence do son analyse est dans 1'extension aux probl&rnes a une 
infinite d'inconnues, des methodes de discussion que fournissent, pour le cas 
d'une inconnue unique, le Calcul difFerentiel et la Geometric analytique. 

Gonsiderons une equation a une seule inconnue x^ inais contenant un 
param&tre p., soit 



Si Ton tienl compte des deux variables qui y entrent, on sera conduit a la 
representer par une courbe plane ou f/. sera 1'abscisse et x Pordonn<5e. 

Si en un point (#o, /J-o) de cette courbe, la derivee s'annule, on aura, 

en general, une tangente parall&le a 1'axe des x et, lorsque p. passera par la 
valeur /JL O , liquation precedente, consideree comme 1'equation en x, perdra deux 
racines (celles-ci venant se confondre entre elles en x pour devenir ensuite 
imaginaires) ou, au contraire, en acquerra de nouvelles : ^o est ce que Ton 
peut appeler une valeur limite pour JUL. Mais si JUL traverse la valeur p.o sans que 
1'equation en x cesse d'avoir, tant avant qu'apr6s cette valeur, des racines 
voisines de # 0j le point (# 05 p-o) est, en general, point multiple. Les discussions 
qui apprennent a decider s'il en est bien ainsi sont elementaires, mais Poincare 
leur emprunte un enonce d'une forme nouvelle. Pour qu'il y ait bifurcation, 
autrement dit point multiple, il suffit (sur un arc de courbe reel ou JJL est 
suppose pouvoir prendre des valeurs tant immediatement superieures 

qu'immediatement inferieures a /JL O ) que ~-i en s'annulant? change de signe. 

uSC 

Si maintenant on remplace 1'equation unique qui precede par* un syst&me 
d'equations a un nombre egal d'incounues, dependant egalement du para- 
m^tre /JL, on sait que le role de la derivee consideree tout a 1'heure est rempli 
par un determinant fonctionnel. Grace au theor^me de Kronecker, Poincare 
etend ^i ces nouvelles conditions la conclusion, precedents : en d'autres termes, 
si, au cours d'une variation continue dans laquelle ^ est cons tarn ment croissant 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 23y 

ou constamment decroissanl, le determinant fonctionnol en question change 
de signe, il j a bifurcation. 

Ceci suffirait theoriquement, dans un grand noinbre de cas, en ce qui 
concerne les Equations ordinaires. Mais Poincare se propose d'inlroduire ces 
notions dans un domaine nouveau. Un probleme Lei que celui de 1'equilibre 
de la masse fluide en rotation peul <Hre consider com me conduisant a un 
systeme d'equations, mais en nombre inOni et a. ime infinite d'inconnues. 

Rien ne semblail alors devoir subsister de toute la discussion prect'denle, 
car la notion qui en form ail le pivot, celle du jacobien, faisait defaut. Du moins 
il en etait ainsi au moment ou Poincare poursuivait les recherches dont nous 
parlons. La methode de Fredholm seule devait, quelques annees plus tard, 
fournir le moyen de combler directement cette lacune; et c'est d'elle en effet 
que s'est servi M. Liapounof lorsqu'il a continue les recherches de Poincare et, 
la ou celles-ci avaient simplement abouti a la demonstration de theor&mes 
<T existence, forme, pour repr6senter les solutions, des series convergentes. 

En 1889, Poincare n'avait pas le determinant de Fredholm a sa disposition. 
Mais il y a plus : les quanlites qu'il va introduire pour parer a cet inconvenient 
seront, par le fait m6me de leur nombre, appelees a rendre des services qu'on 
ne pourrait obtenir de la consideration du seul jacobien. C'est ce que nous 
a deja montre 1'exemple analogue des solutions p^riodiques ou, cependant, 
la definition du jacobien ne soufirait aucune difficult. 

Les quantites en question ne sont autres, dans les questions d'equilibre 
ainsi abordees par Poincare, que les coefficients de stabilite c'est-a-dire ceux 
par 1'examen desquels on reconnait [conformement au theor&me de Lagrange- 
Dirichlet ( 4 )], le minimum du potentiel. Ce calcul consiste, comme on sait, 
dans la decomposition en carres d'une certaine forme quadratique : les coeffi- 
cients de stabilite seronl les coefficients des carres ainsi obtenus. 

Pour un syst&me dont la position depend d'un nombre fini de param&tres, 
ces coefficients de stabilite ont un produit precisement egal au jacobien : par 
consequent, leur liaison avec les considerations qui precedent est evidente et 
entraine les consequences suivantes : 

Une solution des equations d'equilibre etant supposee connue pour une 
certaine valeur ^ de JJL, si tous les coefficients de stabilite correspondants sont 

( x ) Ge thSoreme, d'aiileurs, n'est plus seal ea jeu dans la discussion proprement dite de la 
stability et, ici encore, Poincar^ est conduit, avec Lord Kelvin et Tait a une nouvelle distinction 
entre plusieurs especes de stability possibles. 



240 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 

differents de zdro, les Equations admettront encore une solution pour p. voisin 
de fx (puisque alors le jacobien sera aussi different de zro). En second lieu, 
dans une s^rie continue de figures d'^quilibre telles que p varie constamment 
dans le mme sens, tout changement de signe de 1'un des coefficients de 
stability correspond a une figure de bifurcation. 

Toutefois, si Ton ne se servait que du jacobien, il faudrait, si plusieurs 
coefficients changent de signe a la fois, supposer que leur nombre total est 
impair. En r^alite, cette restriction est inutile, et Ton voit dtfja ici un cas ou 
il y a avantage a employer les coefficients de stability. 

Par leur moyen d'autre part, on va triompher de la difficult^ capitale du 
probl&me. Une fois mis sous la forme prec^dente, les enonc^s conserveront un 
sens, m&me pour un syst&me dependant d'une infinite de param&tres, d&s que 
les coefficients de stability auront pu 6tre definis. Mojennant une hypoth&se 
toujours v^rifi^e dans les applications qui se sont presences, Poincar6 6tablit 
(par des considerations d'extremum) qu'ils restent exacts. 

Ainsi les quantit^s qui, d'apr&s leur definition, n'int&ressaient que la stability 
de P^quilibre, se trouvent gouverner P existence mme de cet 5quilibre. 

En m6me temps, dans ces mmes formes d'^quilibre de bifurcation que 
Poincar^ enseignait a reconnaitre, les coefficients dont nous venons de parler 
ob6issent a une loi remarquable, non moins importante au point de vue de 
P application concrete qu'au point de vue purement analytique, celle de 
Vechange des stabilites, d'apr^s laquelle le nombre des coefficients positifs 
s'6change entre deux series de formes d'^quilibre qui se rencontrent suivant 
une forme de bifurcation. Si done une des series etait stable jusqu'a la 
valeur JUL O du paramtoe qui correspond a la bifurcation, c'est Pautre s<5rie qui 
poss^de cette propriety lorsque /JL varie au-dela de JLJL O . 

A Paide du premier des principes ciltfs tout a Pheure, Poincar6 dtmonlre 
ais^ment Pexistence des figures annulaires d'^quilibre, simplement affirm^e 
par Lord Kelvin et Tait dans leur trait6 de Philosophic naturelle, II lui suffit, 
a cet effet, de partir d'un premier ^quilibre (obtenu, il est vrai, en assujettissant 
d'abord le syst&me a une liaison suppl^mentaire) et de constater que, dans ce 
premier tat, aucun coefficient de stability n'est nul. 

C'est le second principe qui a permis la d^couverte des nouvelles figures 
d'^quilibre d^riv^es des ellipso'ides de Jacabi. Le lecteur verra dans V Analyse 
de Poincare ( 4 ) comment, en effet, la s^rie des ellipso'ides de Jacobi (comme 

( x ) Page n3; CEuvres, t. VII, p. 10. 



L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POINCARE. 24 1 

celle des ellipsoi'des de Maclaurin, du reste) comprend une infinite de formes 
de bifurcation, servant de point de depart aux nouvelles formes dont il s'agit. 
On verra e'galement, an m6me endroit, comment tin the'oreme sur 1'impossi- 
bilite' d'un equilibre stable au-dela d'une certaine valeur de la vitesse de 
rotation a fourni a Poincare' la reponse a la question que pose i'explication des 
anneaux de Saturne. 



Nous arrdterons ici cette revue de"ja trop longue et cependant si 
incomplete. 

Sans mGmo parler des applications aux sciences de la Nature qui seront 
e'tudie'es ici m6me, il resterait tout au moins a traiter le cote 1 philosophique de 
1'oeuvre de Poincare', qui tient une si grande place daas sa pensee et dans toute 
la pensee conlemporaine. Nous n'avons pas qualitcS pour le faire, et cependant, 
sur combien de points cette ceuvre philosophique n'est elle pas indissolublement 
li^e aux decouvertes scientifiques elles-m^mes. Qu'il s'agisse de ge'ome'trie non 
euclidienne, de the'orie des ensembles, de relativity, de calcul des probabilite's 
surtout, la seule science math6matique qui, des trois etats d'Auguste Gomte, 
n'ait pas entierement de'passe' le second une meme impulsion est commune 
aux deux domaincs j ctl'on s'explique deja, dans une certaine mesure la puissante 
contribution apporte"e par Poiricare', a la Me'canique statistique, lorsqu'on lit 
les reflexions sur le liasard qui figurcnt dans la Science et VHypothese, ou 
dans Science et Methode. 

D'autre part, les oeuvres aussi grandes et aussi g6niales que celles de 
Poincare', doiit I'e'tendue se refuse a une analyse d^taille'e et ne pent 6t,re 
parcourue qu'a grands traits, sont cependant celles qu'on peutle moins abre"ger 
sans les trahir. Chez lui comme chez tous les cr^ateurs vraiment grands, il 
serait essentiel, au contraire, de faire sentir, ainsi que nous 1'avons tent6 a uno 
ou deux reprises, comment chaque detail est souvent f^cond en conse'- 
quences, chaque ligne, en quelque sorte suggestive et grosse de travaux 
ult(5rieurs. 

Ceux que Finspiration Poincare'enne a deja engendre's, et dont nous avons 
pu a peine signaler, chemin faisant, quelques-uns, remplissent, a eux seul, 
plusieurs des chapitres les plus importants des mathe'matiques contemporaines. 
H. P. XL 3i 



2 {2 L'CEUVRE MATHEMATIQUE DE POlNCARE. 

Cependant, nul ge'ometre n'en doute, 1'Analyse de Poincar^ n'esl pas pres, tant 
s'en faut, d'avoir donn6 la mesure. Me'me, dans un grand nombre des voies 
qu'il a ouvertes, sa marche audacieuse nous a emport^s sans que nous puissions 
encore songer a la poursuivre. Si gTande qu'elle nous apparaisse, la pens^e de 
Poincar6, comme celle d'un Gauss ou d'un Cauchy, ne laissera d^couvrir toute 
sa puissance qu'a nos successeurs, a la lumiere des decouvertes futures. 



DIE BEDEUTUNG HENRI POINCARE'S FUR DIE PHYSIK 

VON W. WIEN 



Ada Mathematica^ t. 38, p. ^89-291 (1921). 



Der Tod Henri Poincare's hat nichl nur fur die Mathematik sondern auch 
fur die Pbysik einen schweren Verlust bedeutel. Gehorte er doch zu den 
wenigen Mathematikern, die an der alten Tradition festhielten, dass die beiden 
Wissenschaften enge zusammengehoren nnd ilire Anregungen von einander 
empfangen mussen. So hatte er nicht nur grosses Interesse und tiefes Ver- 
standnis fur die Physik, sondern hat sich auch in sehr ausgedehntem Masse 
selbst an der Weiterbildung der physikalischen Theorien beteiligt. Die 
folgenden Zeilen sollen einer Wiirdigung dieser Leistungen gewidmet sein. 

Zum ersten Male hat Poincar6 in die Physik eingegriffen, als er nachwies, 
dass H. Hertz in der grundlegenden Arbeit fiber elektrische Schwingungen 
einen Rechenfehler begangen hatte, durch den die Schwingungsdauer infolge 

1/2 

eines unrichtigen Faktors 2 im Werte der Kapacitat im Verhaltnis zu gross 

berechnet -war. Die Geschwindigkeit der Wellen war hienach zu klein 
gefunden, was auf den Gang der Hertz'schen Versuche von entscheidendem 
Einflusse gewesen ist. Seine weiteren Untersuchungen tiber Hertz'sche 
Wellen betrafen die Methoden, um die Frequenz des elektrischen Oscillators 
zu berechnen und die Einflusse zu bestimmen, durch die Schwingungsperiode 
geandert wird. 

Dann hat er sich weiter an der Theorie der Hertz'schen Wellen beteiligt, 
indem er zuerst die Dampfung der Primarschwingungen in richtiger Weise 
aufFasste. Er widerlegte damit die Theorie von Sarasin und de la Rive von 



2jj f HENRI POINCARE ET LA PHYSIQUE. 

der mulliplen Resonanz. Seine Theorie 1st dann spater von Bjerknes bestatigt 
vvorden. Auch die Ausbreitung der clcktrischen Wellen langs geraden 
Draliten hat Poincan* behandelt und die dabei auflretende raumliche Dampfung 
ffeschatzt und im Anschluss hieran die Reflexion an dem Ende eines Drahtes 

o 

behandelt. Fur die statistische Mechanik ist ein Salz Poincare's bedeutung- 
svoll geworden, der ursprunglich fur die Frage nach der Stabilitat des Planc- 
tensjstems aufgestelll war, dass niimlich cine bcstimmle Configuration von 
matericllcn Punktcn nach endlichcr Zeit wieder erreichl werden muss, wcnn 
nur conservative Krafte wirken. Durch diesen Satz ist nachgewiesen, dass 
die Irreversibililat, die wir in der Nalur beobachten, nicht durch rein mecha- 
nische Vorgange erUiirt werden kann. 

Eine wichtige Anregung ist von Poincare* ausgegangen, indem er nach der 
Entdeckung der Rontgen-Strahlen auf die Moglichkcit hinwies, dass dieses 
Phanomen mit der Fluorescenz in Zusammenhang stehen konnte. Wenn 
diese Auffassung aucli nicht richtig war, so hat sie doch die erste Veranlassung 
zu den Versuchen von Becquerel gegeben, die dann spater zur Entdeckung 
des Radiums geftihrt haben. 

Von sehr grosser Bedeutung fur die theoretische Physik ist eine Arbeit, 
die er im Jahre 1900 in dem Jubilaumsbande fur Lorentz vcroflentlicht hat. 
Er hat dort die elcktromagnetische Bewegungsgrosse eingefiihrt, clurch welchc 
der Widerspruch gegen das Prinzip von Aktion und Reaktion aufgchoben 
wird, eine Theorie, die fur die wcitere Entwickelung der Elektrodynamik sehr 
wichtig geworden ist. 

Ganz besonders bedeu lungs voll sind auch die Untersuchungen Poincare's 
ilber die innere Kraft eines Eleklrons geworden, wo er zum ersten Male den 
Ausdruck ableitete filr eine auf das Elektron wirksame Druckkraft, vvelche das 
Gleichgewicht der Krafte aufrecht erhalt. 

Sein grosses mathematisches Talent ermoglichte es ihm dann, die Schwio 
rigkeiten zu iiberwinden, vvelche der theoretischen Behandlung der drahtlosen 
Telegraphic entgegenstehen. Er hat die Ausdriicke abgeleitet, durch welche 
die Ausbreitung der elektrischen Wellen auf der Erde dargestellt wird. Er 
hat diese Ausdrucke zuniichst noch etwas korrigiert, aber das Resultat ist im 
wesentlichen schliesslich ein richtigcs gewesen und fuhrte zu Folgerungen, 
die in ihrem Verhaltnis zu den tatsachlichen Beobachtungen noch nicht 
aufgeklart sind. 

Auch seine Untersuchungen uber die Beugung enthalten sehr wichtige 



HENRI POINCARE ET LA PHYSIQUE. 2 f> 

Entwickelungen der mathematischen Physik im Anschluss an die grundlegende 
Theorie von Sommerfeld. 

Fur die moderne Relativitatstheorie hat er wichtige Ergebnisse beigelragen, 
indem er schon die in dieser Theorie anftrelenden allgemeinen mathematischen 
Beziehungen vorausgesehen hat, so die Einfiihrung der Lorentztransformation 
und des Vierervektors. Ferner hat er der modernen Theorie der Strahlung 
grosses Interesse entgegengebrachi und eine tiefgehende Untersuchung ver- 
offentlicht, in welcher er den Nachweis fiihrt, dass die von der Erfahrung 
verlangte Strahlungsformel notwendigerweise durch unstelige Vorgange veran- 
lasst sein muss, wie es von Planck in der Quantenhypothese angenommen ist. 

Auch auf kritischem Gebiete.hat Poincare der Physik sehr nillzliche Dienste 
geleistet. So hat er nachgewiesen, dass die Jaumann'sche Theorie der Katho- 
denstrahlen riicht richtig sein kann, die auf einer Differentialgleichung erster 
Ordnung beruht. Eingehend hat Poincare" sich mit den Grundlagen der 
Wiirmetheorie und dem Problem der Irreversibilitat beschiiftigt und nach- 
gewiesen, dass die Theorie der monocyklischen Systeme den Tatsachen nicht 
ganz gerecht Vverden kann ebensowenig wie die gewohnliche Begriindung der 
Gastheorie. 

Audi eine Kritik der Theorie des Zeemanphanomens hat Poincar6 gegeben 
und eine Theorie aufgestellt, die von der Lorentz'schen abweicht. 

Ueberblickt man diese Leistungen allein auf dem physikalischen Gebiet, so 
muss man ebenso erstaunt sein tiber die Fiille der Probleme, die er bearbeitet, 
v\ie Tiber die Tiefe seines Verstandnisses fiirphysikalische Theorien. Erzeigt 
dabei einen besonders scharfen Blick fur die Berechtigung der Fragestellung, 
wie er sich z. B. klar dariiber ist, dass die Kontroversen iiber unipolare 
Induktion oder uber die Entscheidung fiber die Schwingungsrichtung des 
polarisirten Lichts aus den Beobachtungen an stehenden Lichtwellen der 
physikalischen Bedeutung entbehren. Allerdings hat er selten den Versuch 
gemacht, eigene Hypothesen aufzustellen und hat im ganzcn mehr zu einer 
phanomenologischen Darstellung der physikalischen Erscheinungen geneigt, 
wie er ja die Meinung ausgesprochen hat, dass, sobald eine mechanische 
Theorie einer Erscheinung vorliege, auch unendlich viele andere moglich 
sein mtissten. Andererseits hat er auch viele Anregungen auf experimentellem 
Gebiet gegeben. Ausser der bereits erwahnten, die schliesslich zur Ent- 
deckung des Radiums fiihrte, hat er auch die Versuche von Cr^mieu veranlasst, 
bei denen untersucht wurde, ob stark convergente Kraftlinien des Gravita- 



246 HENRI POINCARE" ET LA PHYSIQUE. 

tionsfeldes eine andere Wirkung hervorrufen, als ein Feld paralleler 
Kraftlinien. 

So haben wir Physiker besondere Veranlassung, das friihe Hinscneiden 
des grossen Mathematikers sclimer2licli zu empfinden. Moge sein Beispiel 
seine Fachgenossen veranlassen, den Problemen der Physik erhohtes Interesse 
zuzuwenden zum Nutzen beidei^ Wissenschaften, da die Physik die mathe- 
matischen Hilfsmittel, die Mathematik die aus den physikalischen Problemen 
geschopflen Anregungen nicht entbehren kann. 



DEUX MEMOIRES DE HENRI POINCARE 
SUR ]A PHYSIQUE MATHfiMATIQUE 



PAR H. A. LORENTZ 



Acta Mathematica^ t. 38, p. agS-SoS (1921). 



Les pages suivantes ne peuvent aucunement donner une idee lant soil pen 
complete de ce que la Physique th6orique doit a Poincar^. J'aurais el heureux 
de rendre hommage a sa mtSmoire en pr^sentant au lecteur un tel tableau 
d'ensemble, mais j'ai recule devant cellc tache qu'on ne pourrail dignemenl 
remplir sans de longues et s^rieuses Etudes pour lesquelles le temps m'a manqu6. 
Je me suis done borne a deux Mdmoires, celui sur la Dynamique de Felectron, 
ecrit en 1906 et public Fannie suivante dans les Rendiconti del Circolo 
Matematico di Palermo, et Fetude sur la Th6orie des quanta qui parut dans 
le Journal de Physique au commencement de 1912. 

Pour bien faire apprecier le premier de ces travaux je devrai entrer en 
quelques details sur les idees dont le developpement a abouti au Principe de 
relativit6. Ament3 ainsi a parler un peu de la part que j'ai pu prendre moi-m&me 
a ce developpement, je doit dire avant tout que j'ai trouv6 un encouragement 
pr^cieux dans I'int(^r6t bienveillant que Poincar^ a constamment pris a mes 
Etudes. Du reste, on verra bientot a quel degr6 il m'a depass<5. 

On sait que Fresnel avait fond6 une explication de 1'aberrationastronomique 
sur I'hypoth^se d'un 6ther immobile que les corps celestes traverseraient sans 
Fentrainer. On connait aussi son cl6bre th^or^me, complement n^cessaire de 
cette hypoth^se fondamentale, sur Fentrainement partiel des ondes lumineuses 
par de la mature en mouvement. Un corps transparent anim< d'une translation 
ne communiquera aux rayons qu'une fraction de sa propre vitesse, fraction qui 



?48 DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

est determine par le coefficient de Fresnel i ? ? dans lequel TZ est 1'indice 

de refraction du milieu. 

Lorsque, grace aux travaux de Clerk Maxwell, nos vues sur la nature de la 
lumi&re avaient ete profondement changes il etait nalurel d'essayerune deduc- 
tion de ce coefficient basee sur les principes de la theorie electromagnetique. 
Voila le but que je me suis propose et qui a pu 6tre attcint sans irop de diffi- 
cuhe dans la theorie des electrons. 

La plupart des phenom^nes qui se rattachent a Faberration, et no lam men L 
1'absence d'une influence du mouvement de la Terre dans Louies les experiences 
ou le syslcme entier d'appareils est en repos par rapport a noire plante, purent 
maintenant 6tre expliques d'une manitjre satisfaisante. Seulemenl, il fallait 
faire la restriction que les effets considers devaient tre du premier ordre de 
grandeur par rapport a la vitesse de la Terre divisee par celle de la lumiSre, 
les termes du second ordre ayant ete negliges dans les calculs. 

Or, en iSSi M. Michelson reussit a faire interferer deux rayons lumineux 
parlis d'un mme point et y revenant apr&s avoir suivi des chemins rectilignes 
de longueur egale et perpendiculaires entre eux. II trouva que les phenom6nes 
observes sont de nouveau insensibles au mouvement de la Tex re; les franges 
d'interference conservaient les monies positions quelles que fussent les 
directions des bras de 1'appareil. 

Gelte fois-ci il s'agissait bien d'un efFet du second ordre et il etait facile de 
voir que I'hypolh&se de 1'ether immobile a elle seule ne suffitpas a rexplication 
du resultat negatif. J'ai ete oblige a faire une nouvelle supposition qui revienl 
a admeltre que la translation d'un corps a travers 1'etber produit une legere 
contraction du corps dans le sens du mouvement. Cette hypoih^se eiait bien 
la seule possible; elle avait aussi ete imaginee par Fitzgerald et elle trouva 
Fapprobation de Poincare, qui ccpendant ne dissimula pas le peu de satisfaction 
que lui donn&rent les theories dans lesquelles on multiplie les hypotheses 
speciales inventees pour des phenom^nes particuliers. Cette critique a ete pour 
moi une raison de plus pour chercher une theorie generale, dans laquelle les 
principes m6mes conduiraient a 1'explication de 1'experience de M. Michelson 
et de toutes celles qu'on avait tentees apr^s lui pour decouvrir des effets du 
second ordre. Dans la theorie que je me proposais, 1'absence de phenom^nes 
dus au mouvement d'ensemble d'un syst&me devrait 6tre demontree pour une 
valeur quelconque de la vitesse, inferieure a celle v de la lumi&re. 

La methode a suivre etait touie indiquee. II fallait evidemment montrer que 



DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 2/i9 

les ph6nom6nes qui ont lieu dans un systSme materiel peuventetre repre'sente's 
par des Equations de la m6me forme, que le sjsteme soit en.repos ou qu'il soil 
anime d'un mouvement de translation uniforme, cette ^galite' de forme e'tant 
obtenue a 1'aide d'une substitution convenable de nouvelles variables. II 
s'agissait de trouver des formules de transformation appropriates tant pour les 
variables ind^pendantes, les coordonne'es x, y, z et le temps t, que pour les 
diiKrentes grandeurs physiques, vitesses, forces, etc., etde montrer 1'invariance 
des Equations pour ces transformations. 

Les formules que j'ai e'tablies alors pour les coordonne'es et le temps peuvenl 
etre mises sous la forme (*) 

(i) 3?'=J(a?-i-eO, y'=ly, x'=ls, t f =fd(t-hz), 

ou s, A', I sont des constantes qui cependant se re'duisent a une seule. On volt 
imme'diatement que pour 1'origine des nouvelles coordonnees (&'=. o) on a 



ce point se de'place done dans le systeme x, y, z, t avec la vitesso e dans la 
direction de 1'axe des x. Le coefficient k est ddflni par 



et / est une fonction de qui a la valeur i pour o. Je Pai d'abord laisse'e 
inde'termin^ej mais j'ai trouv6 dans le cours de mcs calculs que pour obtenir 
1'invariance que j'avais en vue, on doit poser I =. i . 

Ce furent ces considerations publiees par moi en 1904 q^i donnerent lieu 
a Poincar^ d J 6crire son. M^moire sur la Dynamique de 1'e'lectroa, dans lequel il 
a attach^ mon nom a la transformation dont je viens de parler. Je dois remarquer 
a ce propos que la meme transformation se trouve de"ja dans un article de 
M. Voigt public en 1887 etque je n'ai pas tir6 de cet artifice tout le parti possible. 
En effet, pour certaines des grandeurs physiques qui entrent dans les formules, 
je n'ai pas indique la transformation qui convient le mieux. Gela a 616 fait par 
Poincare et ensuite par M. Einstein et Minkowski. 

Pour trouver les a transformations de relativity , comme je les appellerai 
maintenant, il suffit dans quelques cas de de'crire les ph(inomenes dans- le 
systeme #', y, ^, t l exactement de la m^me maniere qu'on le fait dans le 






f 1 ) Je me conforme ici aux notations de Poincar et je choisis les unites de longueur et de 
temps cle lelle fa^on que la vitesse de la lumiere soit ^gale ^ i. 

H. P. XL 3a 



25o DEUX ME"MOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

systeme x, j, z, t, Considgrons, par exemple, le mouvement d'un point. Si, 
dans le temps dt les coordonnees x, y, z subissentles cliangements dx, dy, dz, 
on a pour les coniposantes de la vitesse 



fix dy Y _ dz 

; = Tl = J ^" 



Or, en vertu des relations (i) los variations dx, dy, dz, dt entrapment les 



cliangements 



(2) dx f = kl(dx -+- t dt\ dy'=l<(y, dz'=ldz, dt 1 = kl(dt H- i dx) 

des nouvelles variables. II est naturel de dgfinir les composanles de la vitesse 
dans le nouvean systeme par les formulas 



_. 

"" dt 1 ' 



ce qui nous donne 



Pour avoir un autre exemple, on peut imaginer un grand nonibre de points 
mobiles dont les vitesses sont des fonctions continues des coordonne'es et du 
ternps. Soit d? un Element de volume situ6 au point #, y, z etfixonsl'attention 
sur les points du syst^me qui se trouvent dans cet ^le'ment a un instant de'ter- 
min^ t. Soit t' Q la valeur sp^ciale de t 1 qui correspond a x, y, r, t en vertu des 
equations (i), et envisageons pour les diffe'rents points les valours de a?', y 1 ', 
z 1 correspondant a cette valeur d^termint^e t'~ t' Q ] en d'autres termes, consi- 
derons les positions des points dans le nouveau systeme, prises toutes 
pour une mme valeur du temps t ] . On peut se demander quelle est 
1'^tendue de relement dr' de 1'espace #', y ! , ^ ; , dans lequel se trouvent a cet 
instant t\ les points choisis qui se trouvent en dr au moment t. Un simple 
calcul, que je puis omettre ici, conduit a la relation 



(5) 



Supposons enfin que les points dont il s'agit portent des charges electriques 
^gales et admettons que dans les deux systemes x, y, z, t et #/, y 1 , z r , t 1 on 
attribue les me~m.es valeurs nume'riques a ces charges. Si les points* sont 
suffisamment rapproch^s les uns des autres, on obtient une distribution 
continue d'electricite' et il est clair que la charge contenue dans 1'ele'ment dr 



DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 25 1 

a 1'instant t est gale a celle qui se trouve en dd a 1'instant t r . Par consequent, 
si p et p' sont les densit^s de ces charges, 

et, en vertu de (5) 

(7) P' = T> ( I- 



De cette formule, combin^e avec (4), on d^duit encore 

' >' _ ^ ' - ' _ 1 ' r z ? 

Ce sont les formules de transformation pour le courant de convection. 

Pour d'autres grandeurs physiques telles que les forces electrique et magne- 
tique, il faut suivre une methode moins directe; on cherchera, peut-6tre un 
peu par tatonnement, les formules de transformation propres a assurer 
1'invariance des Equations ^lectromagn(5tiques. 

Les formules (4) et (7) ne se trouvent pas dans mon M^moire de 1904. C'est 
que je n'avais pas song6 a la voie directe qui y conduit, et cela tient & ce que 
j'avais Fid6e qu'il y a une difference essentielle entre les systSmes x, y, z : 
t et #', y r , z r , t 1 '. Dans Fun on se sert telle 6tait ma pens6e d'axes des 
coordonn^es qui ont une position fixe dans Father et de ce qu'on peut appeler 
le vrai temps; dans Fautre syst^me, au contraire, on aurait affaire a de 
simples grandeurs auxiliaires dont Fintroduction n'est qu'un artifice math- 
matique. En particulier, la variable t f ne pourrait pas tre appel^e le . temps 
dans le m^me sens que la variable t. 

Dans cet ordre d'id^es je n'ai pas pens6 a d^crire les ph^nom&nes dans 
le syst^me x l , y 1 , z l ', t', ezactement de la m&me maniere que dans le 
syst&me x, y, z, t et je n'ai pas dfmi par les Equations (3) et (7) les gran- 
deurs ', YJ', C'j ?' q u i correspondront a g, YJ, ?, p. G'est plutot par tatonnement 
que je suis arriv6 a mes formules de transformation qui, avec notre notation 
actuelle, prennent la forme 



et que j'ai voulu choisir de maniere a obtenir dans le nouveau syst&me les 
Equations le^ plus simples. J'ai pu voir plus tard dans le M6moire de Poincar< 
qu'en proc^dant plus syst^matiquement j'aurais pu atteindre une plus grande 



2~>2 DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

simplification encore. Ne 1'ayant pas rernarque", je n'ai pas reussi a obtenir 
1'invariance exacle des Equations; mes formules restaient encombre'es de 
certains lermes qui auraient du disparailre. Ges termes 6taient trop petils 
pour avoir une influence sensible sur les phenomenes et je pouvais done 
expliquer Finde'pendance du mouvement de la Terre que les observations 
avaient rvl<5e, ma is je n'ai pas etabli le principe de relativity comme 
rigoureusement et universellement vrai. 

Poincare, au conlraire, a obtenu une invariance parfaite des Equations de 
1'^leclrodynamique, et il a formule le postulat de relativit6 , termes qa'il 
a 616 le premier a employer. En effet, se placant au point de vue que j'avais 
manque", il a trouve les formules (4) et (7). Ajoutons qu'en corrigeantainsi les 
imperfections de moii travail il ne me les a jamais reprochges. 

Jc ne puis m'^tendre ici sur tous les beaux r6sultats obtenus par Poincare. 
Insistons cependant sur quelques points. -D'abord, il ne s'est pas content^ de 
faire voir qiie les transformations de relativite' laissent intacte la forme des 
Equations electromagne'tiques. II explique le succes des substitutions en 
remarquant que ces Equations peuvent 6tre mises sous la forme du principe de 
moindre action et que liquation fondamentale qui exprime ce principe, ainsi 
que les operations par lesquelles on en d^duit les Equations du champ, sontles 
monies dans les systemes x, y : z, t et #', y 1 ', z 1 , t f . 

En second lieu, conforme'ment au litre de son Me"moire, Poincar^ considere 
parliculierement la maniere dont se produit la d^formalion d'un Electron mobile, 
comparable a celle des bras de Pappareil de M. Miclielson, qui est exige'e par 
le postulat de relativity. On avail propose a ce sujet deux hypotheses difl^rentes. 
D'apres toutes les deux un electron, suppose sphe'rique a l'6tat de repos, se 
changerait par une translation en un ellipso'ide de revolution aplati, 1'axe de 
symetrie comcidant avec la direction du mouvement et le rapport de cet axe au 
diametre de I'^quateur e"tant donn6 par \J i P-, si p est la vilesse. Mais les 
hypotheses diff6raient entre elles en ce qui concerne la longueur des axes etpar 
consequent le volume de 1'^lectron. Tandis que j'avais e'te' conduit a\ admettre 
que le rayon de l^quaieur reste t^gal a celui de la sphere primitive, 
M. Bucherer et M. Langevin voulaient plutot assigner une grandeur constante 
au volume. La premiere hypothese correspond a 1= i, la deuxi&me a kl*=. i, 
Ajoutons imm^diatement que la premiere valour est la seule qui soit compa- 
tible avec le postulat de relativity. 



DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. '253 

Si Ton vent se rendre comptc de la persistance et de Fequilibre d'un Electron 
en se servant des notions ordinaires de la Mecanique, il ne suffit Evidemmenl 
pas de considErer les actions Electrodynamiques. La particule que nous 
considErons ici comme une sphere porlant une charge superficielle explo- 
serait immEdiatement a cause des repulsions rauLuelles ou, ce qui revient au 
ineme, des tensions de Maxwell exercEes a sa surface. II faut done introduire 
aulre chose encore, et PoincarE distingue ici des liaisons et des forces 
supplEmentaires . 11 suppose d'abord qu'il y ait seulement la liaison reprEsentEe 
par liquation 



r Etant le demi-axe de 1'Electron, rO son rayon Equatorial, b et in des grandeurs 
qui restent constantes quand r et (ou 1'une de ces grandeurs) variant avec la 
vitesse de translation r. Cela posE, on connaitra pour une valeur quelconque 

_.! 

de 9 les dimensions de 1' Electron parce qu'on sait que = (i r-) ~ el 
on peut calculer par les formules ordinaires du champ electromagnEtique 
1'Energie, la quantilE de mouvement et la fonction de Lagrange. Entre ces 
grandeurs, considErEes comme des fonctions de p, il doit y avoir les relations 

bien connues. PoincarE demontre qu'elles ne se vErifient que pour rn= ~, 

ce qui nous ramEne a la Constance du volume, c'est-a-dire a Fhypoth&se de 
M. Buclierer et de M. Langevin. Mais nous savons deja que ce n'est pas cette 
hypothec, mais seulement celle d'un rayon equatorial constant, qui est en 
accord avec le postulat de relativitE. II faut done necessairement avoir recours 
a des forces supplEmentaires. 

En supposant qu'elles dEpendent d'un potentiel de la forme A7 >a OP, ou A, 
y. et (3 sont des constantes, PoincarE trouve que la Constance du rayon Equa- 
torial exige a = 3, (3 2, c'est-a-dire que le potentiel en question doit Etre 
proportionnel au volume. II en resulte que les forces supplEmentaires cherchEes 
sont Equivalentes a une pression ou une tension normale exercEe sur la surface 
et dont la grandeur par unite de surface reste constante quelle que soitla vitesse 
de translation. On voit immEdiatement qu'une tension dirigEe vers FintErieur 
convient seule; on en determinera la grandeur par la condition que pour un 
Electron qui se trouve en repos et qui a par consEquent la forme d'une sphere, 
elle doit faire Equilibre aux rEpuIsions electrostatiques. Si ensuite la particule 
est raise en mouvement, la tension de PoincarE, jointe aux actions Electro- 



234 DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

dynamiques, produira inevitablement Faplatissement qui esl exigt^ par le 
principe de relativity. 

Apres avoir trouve sa force supple"mentaire ? Poincare' fait voir que les trans- 
formations de relativity ne changentpas la forme des termes qui la repre"sentent; 
il de'montre ainsi que des mouvements quelconques d'un systeme d'electrons 
peuvent avoir lieu lout a fait de la me"me maniere dans le systeme #, y, z, t et 
dans le systeme x" r , y\ z l ', t l . 

J'ai d6ja parle' de la ne'cessite' de poser 1= i ( Constance du rayon equatorial 
de 1' electron), Je ne re"ptHerai pas ici la demonstration donne"e par Poincar6 et 
je dirai seulement qu'il a signals 1'origine math6matique de cette condition. 
On peut envisager toutes les transformations qui sont represented par les 
formules (i), avec des valeurs diff6rentes de la vitesse e, et les valeurs 
correspondantes de k et de , ce dernier coefficient devant tre conside're' 
comme une fonction de e; on peuty ajouter d'autres transformations semblables 
qu'on d^duit de ( i ) en changeant les directions des axes, et enfin des rotations 
quelconques. Le postulat de relativite' exige que toutes ces transformations 
forment un groupe et cela n'est possible que si / a la valeur constante i . 

Le groupe de relativity qu'on obtient ainsi se compose des substitutions 
line'aires qui n'alterent pas la forme quadratique 



Le Me'moire se termine par 1'application du postulat de relativite' aux ph6no- 
menes de la gravitation. II s'agit ici de trouver la regie qui en determine la 
propagation et les formules qui expriment les composantes de la force en 
fonction des coordonne'es et de la vitesse tant du corps attir que du corps 
attirant. En consid<3rant ces questions, Poincare' commence par chercher 
les invariants du groupe de relativite'; en effet, il est clair qu'il doit $tre 
possible de representer les ph^nomenes par des Equations qui ne contiennent 
que ces invariants. Cependant, le probleme est ind^termine". II est naturel 
d'admettre que la vitesse de propagation est e*gale a celle de la lumiere et que 
les hearts de la loi de Newton doivent tre du deuxieme ordre de grandeur par 
rapport aux vitesses. Mais, mme avec ces restrictions, on a le choix entre 
plusieurs hypotheses parmi lesquelles il y en a deux que Poincare' indique 
sp^cialement. 

Dans cette derniere partie de 1'article on trouve quelques notions nouvelles 
que je dois surtout signaler. Poincar6 remarque, par exemple, que si Ton 



DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 



considere x, y, z et t\j i comme les coordonnees d'uii point dans un espace 
a quatre dimensions, les transformations de relativity se r^duisent a des 
rotations dans cet espace. II a aussi eii I'ide'e d'ajouter aux trois compo- 
santes X, Y, Z (Tune force la grandeur 



qui n'est autre chose que le travail de la force par unite de temps et qu'on 
peut considerer en quelque sorlc comme une quatrieme composanle. Quand il 
est queslion de la force qu'un corps eprouve par unite de volume, les 
grandeurs X, Y, Z, T y' i sont affecte'es par une transformation de relativity 
de la me" me maniere que les grandeurs x, /, z, t \ i . 

Je rappelle ces idees de Poincare parce qu'elles se rapprochent des melhodes 
dont Minkowski et d'auLres savants se sont servis plus tard pour faciliter les 
operations mathematiques qui se pre'sentent dans la theorie de relativite. 



Passons maintenant au Me'moire sur la Theorie des quanta. Vers la fin 
de 1911 Poincare avait assiste a la reunion du Gonseil de Physique convoque 
a Bruxelles par M. Solvay, dans laquelle on s'e"lait surtout occup^ des phno- 
menes du rayonnement calorifique et de 1'hypothese des 6l6ments ou quanta 
d'&aergie imagine'e par M. Planck pour les expliquer. Dans les discussions 
Poincar^ avait montre" toute la vivacity et la penetration de son esprit et on 
avait admire" la facility avec laquelle il sut enlrer dans les questions de Physique 
les plus ardues, mfime dans celles qui devaient 6tre nouvelles pour lui. De 
retour a Paris, il ne cessa de s'occuper du probleme dont il sentait vivement 
Fimportance. Si Thypothese de M. Planck e~lait vraie, les phe'nomenes 
physiques cesseraient d'ob^ir a des lois exprimables par des equations diffe'- 
rentielles, et ce serait la, sans doute, la plus grande revolution et la plus 
profonde que la pbilosophie naturelle ait subie depuis Newton . 

Mais ces conceptions nouvelles sont-elles vi^aiment inevitables et n'y a-t-il 
pas moyen d'arriver a la loi du rayonnement sans introduire ces discontinuity 
qui sont en opposition directe avec les notions de la Mecanique classique? 
Voila la question que Poincare' se pose dans son Me"moire et a laquelle il 
donne une r^ponse que je me permettrai de r^sumer brievement. 



256 DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

Considerons un systems compost de n r^sonateurs de Planck et de p mole- 
cules, n et/? etant de Ires grands nombres; supposons que tous les r^sonateurs 
suient (jgaux entre eux et qu'il en soil de mme des molecules. Designons 
par Ei, . . . , lp les Energies des molecules et par ru, . . . , -r\n celles des r<5sona- 
teurs; chacune de ces variables pourra prendre toutes les valeurs positives. 

Poincare demontre d'abord que la probability pour que les quantit^s 
d'encrgie soienl comprises entre les limites t et 1 -+- Ji, . . . , /> et /j + rf^, 
rn et YU H- 6/7h, . . . , */3/i et 73,14- d'n n pent &tre repre"sent6e par 



oil (r est une fonction sur laquelle on peut faire differentes hypotheses. 

D^s qu'on connait cette fonction on pourra dire de quelle manure une quan- 
tit6 d't^nergie h se r^partlra sur les molecules et les r^sonateurs. A cet efiet, 
on peut se representer dans Fespace a/> + n dimensions 1? . . . , ? /; , yji, . . . , 73 n , 
la couche infiniment mince S, dans laquelle l'6nergie to tale 



trois integrates 



est comprise entre A et une valeur infiniment voisine h + ^A. On calculera les 

\i) , . . w(r llt ) d-r\i . . . d-f\ IL d%i... d\ Jn 



I = / w(t\i) , . . w(r llt 

r= / zw('t]i) .. . w('i} n )d-t] ] .. 

l"=j (A ar)w(7i l )... ^(Tirt 



r 

^tendues a la couche S, et on aura j pour 1'^nergie que preiinent les rt^sona- 

I" 
teurs et j pour celle dc rensemblc des molecules. Par consequent, si Y est 

1'energie moyenne d'un r^sonateur, et X celle d'une molecule, 



Pour calculer I'int6grale I, on peut d'abord donner des valeurs fixes aux 
variables YU, . . ., 73 n et, par consequent, aleur somme^r, et etendre 1'int^gration 
par rapport aux a toutes les valeurs positives de ces variables, pour lesquelles 
la somme^i 4-. . + $/> est comprise entre A x et h x-i-dh. Cela nous donne 



DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

2D7 



Ensuite on peut, calculer Pintggrale 

/ cv(-n 4 ) .. 



tStendue aux valeurs positives des v\ telles que YH -f- . . . -+- f\ n se trouve entre x 
et x -f- dx. Posons 

( 8) / tp(r,, ) . . . w('f[ n ')clf\ [ . . . dr in = 9(^7) ^; 

cp sera une fonction qui depend de la fonclion w et nous aurons 



[ f et I" se calculent de la m6me maniSre; on n'a qu'a introduire sous le signe 
d'int^gration le facteur x ou le facteur h x. En fin de compte, on peut crire 

r h 

( 9 ) n \ = G / x( h. ,K)/ J ~ I cp 

do; y >X = C^ (h jc)i>y(x 



ou le facteur C est le mme dans les deux cas. Nous n'avons pas a nous en 
occuper parce qu'il suffit de determiner le rapport de X a Y. 

On obtienl maintenant la formule de M. Planck qui peut 6tre regard^e 
comme 1'expression de la ralit si on fait sur la fonction w rhypoth&se 
suivante, qui est conforme a la th^orie des quanta. 

Soit E la grandeur du quantum d'^nergie qui est propre aux r^sonateurs 
consid^r^s et d<3sigiions par d une grandeur infiniment petite ( 1 ). La fonction w 
sera nulle, except^ dans les intervalles 

o (k = o, i ? 2, 3, . . . ) 



^A-S-HO 

et pour chacun de ces iiilervalles Fiiilegrale / w d~n aura la valeur i. 

Y 

Ges donn^es suffisent pour la determination de la foncUon cp et du rapport ^ 

pour lequel on trouve, comme je 1'ai dja dit, la valeur donn^e par la th^orie 



(*) U s'agitici de la premier^ tk^orie de M. Planck, dans laquelie on admet que 1'energie d'un 
r(sonatetir ne p,eut avoir qu'une des valeurs e>> s, 2s, 3e, etc. 

H. P. XI. 33 



2 58 DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

de M. Planck. Je ne m'arreterai pas a ces calculs et je passe imm^diatement 
a la question principale, celle de savoir si les discontinues que je viens 
d'indiquer doivent nScessairement 6tre admises. 

Je vais reproduire le raisonnement de Poincare", mais je dirai d'abord que 
dans les formules que nous rencontrerons, a d<5signe une variable complexe dont 
la partie rSelle ,. est toujours positive. Dans la representation graphique on se 
bornera a la moitie du plan a caract^risee par a,> o et dans les integrations 
par rapport a a on suivra une ligne droite Lperpendiculaire a 1'axe des a r5els, 
et prolonged indetfmiment des deux c6t^s. Les valeurs des integrates seronl 
independantes de la longueur de la distance a r de cette ligne a 1'origine des a. 

Poincare" introduit une fonction auxiliaire qu'il deTmit par liquation 

/*- 

u 

et il de"montre que la fonction w> et la fonction cp qui en derive peuvent 6tre 
exprime~es a Faide de ^. 

On a d'abord, par 1'inversion de ( 1 1 ) 



Pour obtenir une formule analogue pour o(a?) nous remarquerons que dans 
liquation ( 1 1) on peut remplacer yj par une quelconque des variables 7^4, .. . , ri n . 
En multipliant les n Equations qu'on obtient ainsi on trouve 

,1 y: /- -s. 

[*(a)]''=: / - / W('fu) " W^n^e-**'^ ' dr \n> 

' ' 

on bien, en vertu de la formule (8) 



el par inversion 

3<= . f [$(a;Je*- 

ajce ^(l.) 

Les formules (9) et ( 10) deviennent maintenant 






DEUX MEMOIRESJSUR LA PHYSIQUE. 269 

et Poincare les iransforme encore par les substitutions 

,/; = /ito, // = /i'j, /; = Jlk : 

co qui Ini domic 



ou il a pos6 

(-) = 4>(a)eaw(fi co)* 

Notons que co n'est auLre chose que l'6nergie moyenne d'un seul r^sonateur 
pour le cas ou Ton aurait 

r u -H. . .-+-T lre = .r, 

que (3 esl la valeur que prendrail co si toute l'6nergie disponible // se trouvait 
dans les r^sonateurs et que k est le rapport entre le nombre des molecules et 
celui des rt5sonateurs. 

Lorsque, dans les applications du Calcul des probability aux theories mole- 
culaires, on cherche 1'eHat d'un syst^me, qui pr^sente le maximum de probability, 
on trouve toujours que, grace au nombre immense des molecules, ce maximum 
est tellement prononc^ qu ? on peut n^gliger la probability de tous les (itals qui 
s'(5cartent sensiblement de Fgtat le plus probable. Dans le cas qui nous occupe, 
il y a quelque chose d'analogue. 

Ad meltons avec Poincar6 que, pour des valeurs donn^es de h et de (3, la 
tbnction a un maximum pour a = a ? w = co et faisons passer par le point a , 
le lieu du maximum, la ligne L dont la distance a a 1'origine pouvait ^tre 
choisie a volont^. Comme 1'exposant n est un nombre trs 6lev^, le maximum 
de /l est extrmement prononc6 et les seuls dUments des int^grales que nous 
ayons a prendre en consideration, sont ceux qui se trouvent dans le voisinage 
imm^diat de a et de o) . Gela nous donne imm^diatement pour le rapport 
cherchd 



et, en vertu de liquation 



3 
L 



2 6o DEQX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 

Pour determiner les valeurs de j el de Wo, on pent se servir des Equations 



d'ou Ton lire 

(10) 
et 



On voil par ces formules que # et o) dependent de la grandeur (3, c'est-a-dire 
de la quantity lotale d'energie A qui a ete communiquee au systeme; c'est un 
resultat auquel on devait s'attendre. Liquation (16) nous apprend en outre 
que a sera loujours reel. Gette grandeur determine imme'diatemenl Fe'nergie 
mojenne d ? une molecule, car il r^sulte de ( i4) et de ( 16) que 



X= - 



Or, nous savons que Fe'nergie moyenne d'une molecule est proportionnelle a In 
temperature absolue T. On peul done e"crire 



ou c est une constanle connue, el 1'equatioii 

<b'(a. n *\ 

(17) Y=- 



qu'on tire de (i3) et de (i5), nous donne l^nergie moyenne d'un r^sonaleur 
en fonction de la temperature. On voit que ce re'sultat est independant du 
rapport entre les nombres n et p. 

Supposons maintenant que nous connaissions pour toules les temperatures 
1'energie moyenne d'un r^sonateur. Par (17) nous connaitrons alors pour 

toutes les valeurs positives de a la derivee * ^ ; nous en deduirons <^(a) a 

un facteur constant pres. Bien entendu, ces conclusions serontd'abord limitees 
a des valeurs reelles de a, mais la fonction <&() est supposee 6tre lelle qu'elle 
est determinee dans toute 1'etendue du demi-plan a dont nous avons parle, 
quand elle est donnee en tous les points du demi-axe reel et positif. 



DEUX MEMOIRES SUR LA PHYSIQUE. 261 

Enfin, la formule (12) nous fournira la fonction de probability w pour une 
valeur positive quelconque de '/i. II est vrai que le facteur indelermine' de la 
fonction <D(a) se retrouvera en w, mais un tel facteur n'a aucune importance. 

On peut done dire que la probability w est entierement de'termine'e des qu'on 
connait la distribution de I'e'nergie pour toutes les temperatures. II n'y a qu' une 
fonction w pour une distribution qui est donn^e en fonction de la temperature. 
Par consequent, les hypotheses que nous avons faites sur w et qui conduisent 
a la loi de Planck sont les seules qu'on puisse admettre. 

Voila le raisonnement par lequel Poincar6 a e"tabli la necessite de Phypothese 
des quanta. 

On voit que la conclusion depend de Fhypothese que la formule de Planck 
est une image exacte de la re"alit6. Cela pourrait tre tire en doute, la formule 
ne pourrait 6tre qu'approche'e. C'est pour cette raison que Poincar6 reprend le 
probleme en abandonnant la loi de Planck et en se servant seulement de la 
relation que ce physicien a trouve"e entre l'e*nergie d'un r^sonateur et celle du 
rayonnement noir. Ce nouvel examen conduit a la conclusion que I'^nergie 

/"Ho 
wdf\ ne tende 


pas vers z^ro avec Y5 - La fonction w doit done presenter au- moins une disconti- 
(pour n = o), analogue & celles que donne la th^orie des quanta ( 1 ). 



( ! ) Ge r^sultat avail 6t6 trouv6 par M. P. Ehrenfest; voir Ann. Pfiysik, t. 36, 1911, p. 9 r - 



L'fflUVRE ASTRONOMIQUE DE HENRI POINCARE 



PAR H. \ON ZKfPEL 



Acta Mathematica^ t. 38, p. 3og-3y3 (1921). 



Dans 1'histoire de 1'Astronomie, Poincare restera toujours au premier rang 
des explorateurs les plus eminents qui par la force irresistible de leur gnie ont 
reussi a etendre les limites de la science de 1'Univers, Au premier coup d'ceil, 
cette opinion peut paraitre Strange, puisque Poincare n'etait ni observateur ni 
calculateur. Mais pour justifier notre sentiment, il suffit de rappeler que 
1'Astronomie dans ses efforts pour connaitre les lois du mouvement et 1'etat 
physique des corps celestes et de 1'Univers doit necessairement rester en 
cooperation intime avec 1' Analyse mathematique, la Mecanique et la Physique. 
C'est 1'honneur imperissable de Poincare d'avoir renforce les liens qui doivent 
rattacher 1'Astronomie a ces autres branches de la Science. Ainsi, 1'Astronomie 
a pu profiler de la rigueur et de 1'elegance des methodes de 1' Analyse moderne 
et des progr&s recents de la Physique mathematique. 

La plupart des travaux astronomiques de Poincare se rapporlent au probl^me 
des n corps et particuli^rement au mouvement des plan&tes et des satellites 
dans notre systkme solaire. Pour bien faire comprendre 1'importance de ces 
travaux, il convient de rappeler en peu de mots 1'histoire de ce probl&me cdl&bre, 

II est bien connu que la decouverte de Tattraction universelle avait ete bien 
facility par ce fait que les masses des plan&tes sont petites par rapport a celle 
du Soleil. De m^me, la plupart des m^thodes qui ont pour but le calcul du 
mouvement des corps celestes doivent leur succ&s & la petitesse des masses. 
Ainsi les fondateurs de la Mecanique celeste ont developpe les coordonnees ou 
les elements des plan&tes suivant les puissances d'un petit param&tre p. de Fordre 
des masses. Ges developpements perfectionnes plus tard par Hansen, Leverrier 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. a63 

Nevvcomb, Hill et Gaillot ont permis de determiner quantilativement pour 
plusieurs sicles le mouvement des planetes avec une exactitude comparable 
avec celles des observations. 

Toutefois, titant donnas les termes se'culaires ou le temps sort des signes 
trigonometriques, ces theories classiques ne peu vent pas suffire pour des espaces 
de temps tres longs. D'ailleurs, et pour la m6me raison, ces series ne nous 
apprennent pas grand' chose au point de vue de la stability du systeme. 

Pour demontrer la stability et afm d'etudier en general les orbites au point 
dc vue qualitatif, Lagrange developpa les perturbations se'culaires les plus 
importantes en se'ries trigonometriques. Ensuite, Delaunaj dans sa theorie dela 
Lune, demontra qu'il est possible d'eviter complement les termes seculaires. 
Mais c'est Newcomb qui enonc.a le premier en loute generalite que les coor- 
donnees des planetes peuvent se de'velopper en series purement trigonometriques . 
Toutefois Newcomb n'est pas entre dans tous les details de la demonstration. 
Gylde"n s'occupa de la m^me question dans sa throne des orbites absolues, mais sa 
ihe'orie ne semble jamais avoir obtenu sa forme definitive. Ensuite, MM. Lindstedt 
et Bohlin ont trait6 certaines Equations diffe"rentielles de types sp6ciaux qui se 
rencontrent dans la th6orie de Gylde"n, et ont montr6 que ces Equations peuvent 
6lre inte'gre'es au moyen de series purement trigonom6triques. 

Mais la resolution complete du probleme formel dont il s'agit fut r^serv^e 
t\ Poincare. II y est arrive en generalisant la mediode de M. Lindstedt. En 
somme, Poincare demontre que les elements canoniques des planetes peuvent 
se developper formellement en series trigonometriques suivant les- multiples 
d'un certain nombre d'arguments lineairesparrapportau temps. Les series sont 
ordonn^es aussi suivant les puissances des masses et de certaines quantites de 
Fordre des excentricites et des inclinaisons. Mais Poincare va beaucoup plus 
loin. II montre, d'une part, que les series en question ne sont pas convergentes, 
et que, par suite, elles ne donnentpas la solution complete du probleme celebre, 
la determination du mouvement des corps celestes pour tous les temps. Mais il 
demontre, d'autre part, que les series trigonometriques dont il s'agit sont semi- 
convergentes et qu'elles suffiront aux besoins de PAstronomie pendant des 
espaces de temps extr6mement longs. 

Dans ces derniers temps, M. K. Sundman est arrive a une solution du 
probleme des trois corps par une voie tout fait differente. Ce savant a applique 
une methode gen^rale due a Poincare, laquelle donne la solution complete 
d r nn syst&me d'equations difFerentielles tout le long de 1'axe reel, si la solution 



26 \ L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

reste holomorphe dans une bande quelconque autour de cet axe. M. Sundman 
a tourniS la difficult^ cause'e par la possibility des chocs et a montre que les 
coordonne'es des trois corps et le temps peuvent se d6velopper suivant les 
puissances d'une variable auxiliaire. Ces series sont valables pour toutes les 
valeurs du temps. Mais il reste a voir si les series de M. Sundman convergent 
assez rapidement pour satisfaire aux besoins pratiques de 1' Astronomic. En 
tout cas, les series en question ne resolvent pas le probleme de la stabilite. 
D'ailleurs la m6me m^thode n'est peul-6tre pas applicable au probleme ge'ne'ral 
des n corps (ou n >> 3), puisque la nature des singularites des solutions de ce 
probleme ge'n&ral reste encore inconnue. 

Pour 6tudier au point de vue qualitatif les solutions du probleme des n corps 
et d'autres problemes de Dynamique beaucoup plus ge'ndraux, Poincare' s'est 
engage' dans une autre voie. Ilcherche avanttoutles solutions spe'ciales les plus 
simples. II trouve ainsi les solutions p^riodiques dans lesquelles le systeme 
reprend apres un certain temps sa configuration et ses vitesses relatives initiales. 
II d^couvre aussi une classe de solutions plus ge'ne'rales : les solutions asympto- 
tlques qui se rapprochent asymptotiquement d'une solution pe'riodique pour 
t = oo ou pour t = + oo . Parmi ces solutions, il y en a d'ailleurs une infinite' 
qui se rapprochent de la solution pe'riodique non seulement pour t = oo mais 
aussi pour t = -\-vo. Ce sont les solutions doublement asymptotiques. Pour 
de'montrer leur existence, Poincare" a du inventer une notion nouvelle et 
extrSmement fe'conde : celle des invariants inte'graux. Tous ces r^sultats sont 
^tablis avec la rigueur absolue qu'exigent les Math6matiques. La the'orie des 
invariants inte'graux lui permet aussi de trailer la question de la stability. II 
trouve ainsi que dans un certain cas special du probleme des trois corps, le 
systeme revient en ge'ne'ral infmiment souvent aussi pres que Ton veut dc sa 
situation relative initiale. Les solutions qui ne jouissent pas de cette proprie'te' 
sont infmiment peu probables. 

En. poursuivant les recherches dont nous venons de parler, Poincar6 n'a pas 
r^ussi & pe"n6trer jusqu'au fond du probl&me propose', qui est d'une complication 
extreme. Toutefois les r^sultats auxquels il est arrive' forment dans leur ensemble 
un terrain solide sur lequel les chercheurs de Favenir pourront s'appuyer avec 
confiance. 

Les solutions p&riodiques sont surtout utiles quand il s'agit de calculer le 
mouvement d'un systeme dont les conditions initiales sont voisines de celles qui 
correspondent exactement a la solution p^riodique. On peut alors prendre cette 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 26 r > 

solution cornme point de depart etdevelopper ainsila solution cherchee suivant 
les puissances d'un certain nombre de quantite's petites. Ainsi on r^ussira 
parfois a resoudre certains problemes ou les methodes anciennes ne sont pas 
applicables. 

Pour le calcul des perturbations, le developpernent del'inverse de la distance 
de deux planetes en serie trigonome'trique, suivant les multiples des anomalies 
moyennes, est d'une importance capitale. Pour etudier les coefficients de ce 
developpement, qui sont certaines fonctions des elements, Poincare applique les 
theories generales des singularites et des periodes des integrates doubles. Enfin, 
pour calculer certains termes eloignes et de periodes tres longues dans le deve- 
loppement considere termes qui donnent parfois naissance a des perturbations 
assez importantes Poincare fait usage de la methode ingenieuse de M. Darboux 
qui donne 1'expression asymptotique d'une fonction dependant d'un grand 
nombre. 

La plupart do ces travaux importants, concernant le mouvement des corps 
celestes etles proprietes generates des equations de la Dynamique, ontete publics 
par Poincare dans un grand Memoire couronne (Actamathematica, t. 13) ( A ), 
dans les trois volumes de son admirable OuvrageLes methodes nouvelles de la 
Mecanique celeste et dans les deux premiers volumes de ses Lecons de Meca- 
nique celeste. 

Les chefs-d'oeuvre deja mentionnes auraient suffi a creer la gloire imperissable 
d'un savant. Mais Poincare a traite encore avec le m6me succes toute une foule 
de problemes astronomiques des plus importants. 

Rappelons des maintenant qu'il a perfectionne la methode de Laplace pour 
la determination des orbites, de sorte que cette me'thode elegante est devenue 
aussi la plus efficace au point de vue pratique. 

Dans la Geodesie, Poincare a attire F attention sur les mesures de lapesanteur 
en montrant que ces mesures suffisent pour determiner les irregularites du 
geoide. II a signale aussi 1'importance des mesures des azimuts dans les trian- 
gulations geodesiques. 

La th^orie des marees est certainement 1'une des plus difficiles de la Mecanique 
celeste. Avant Poincare, on ne savait trailer que des cas particuliers en 
admettant par exemple que la mer recouvre toute la Terre et que la profondeur 
de cette mer ne depend que de la latitude. Deja dans ses premiers travaux sur 

{') CBuvres, t. VII, f. 262-479. 

H. P. -r- XI. 3 4 



266 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE". 

ce sujel, dans le Journal de Mathematiques de 1896, Poincare a recherche la 
solution generale du probleme. Les methodes proposers etles resultats auxquels 
il est arrive onL eu la plus grande influence sur le developpement recent de la 
Physique mathematique en general. Maintenant, il est vrai, ces resultats 
s'obtiennent plus facilement par la methode de M. Fredholm, laquelle constitue 
pour ainsi dire le point culminant de ce developpemenl. C'est d'ailleurs Poincare 
qui a applique le premier cette methode ingenieuse a la resolution theorique du 
probleme general des marges. La plupart des recherches de Poincare sur la 
theorie en question se trouvent reunies dans le troisieme volume de ses Lecons 
de Mecanique celeste. C'est un travail d'une elegance et d'une clarte tout a fail 
remarquables. 

La theorie des figures d'e*quilibre relatif des masses fluides est d'une impor- 
tance capitale pour FAstrophjsique et pour la Gosmogonie. Une telle theorie 
nous permeltrait de suivre le developpement des n6buleuses et des astres et nous 
renseignerait probablement sur les causes de la variability des 6toiles. Malheu- 
reusement les problemes dont il s'agit ne semblent pas encore ^tre abordables 
dans toutes leurs g&ie'ralite's. D'une part, nos connaissances sur la constitution 
de la inatiere au sein des 6toiles, sous les pressions et les temperatures ^normes 
qui y regnent, sont encore tout a fait insuffisantes meme pour la mise en 
Equations des problemes; d'autre part, m^me dans le cas ideal ou les problemes 
peuvent tre analytiquement poses, les difficultes analytiques paraissent encore 
insurmontables, a moins qu'on ne se trouve dans le voisinage d'une solution 
particuliere et simple. 

Et neanmoins Poincare est arrive a plusieurs resultats d'une grande gene- 
ralite". II a montre que la rotation doit tre uniforme autour de 1'un des axes 
principaux d'inertie de la masse; il a trouve une limite superieure de la vitesse 
de rotation ; il a deduit la condition necessaire et suffisante pour la stabilite de 
l'e"quilibre en tenant compte de la viscosite" du fluide. 

Meme si le fluide est suppose homogene, les difficultes analytiques a 
survaincre sont considerables. L'une des plus belles decouvertes de Poincare se 
rapporte a ce cas ideal. Par une methode extr^mement feconde, il demon tre 
1' existence d'une infinite de nouvelles figures d'equilibre qui se rattachent, pour 
certaines valeurs du moment de rotation, aux ellipsoides deja connus de Mac 
Laurin et de JacobL On rencontre dans cette theorie la notion, nouvelle des 
coefficients de stabilite, lesquels presenteat des analogies interessantes avec les 
exposants caracteristiques des solutions periodiques dans les problemes de la 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. ^67 

Dynamique. Poincare demontre que les ellipsoldeb de Mac Laurin pea aplatis 
el les ellipsoides de Jacob! les moins allonges forment une suite continue de 
formes d'equilibre stables. Cette suite se prolonge apres par des figures piri- 
formes auparavant inconnues, dont la matiere semble enfin vonloir se partager 
en deux parties. 

Quoique les corps celestes lie soient pas homogenes, ces decouvertes de 
Poincare jettent une hmiiere assez claire sur la "genese des etoiles doubles et sur 
1'origine de la Lune. A ce point de vue, ces recherches forment pour ainsi dire 
le complement de celles de G. H. Darwin sur Involution des systemes doubles 
par 1'influence des marges internes. 

Poincare a public aussi des Lemons sur les hypotheses cosmogoniques. 
[1 y a expose les hypotheses qui ont une base scientifique solide, en a fait une 
analyse appro fondie et a signale les objections que soulevent les idees emises. 
Personne n'etait plus competent que Poincare pour se faire juge de toutes ces 
hypotheses parfois aussi incertaines qu'ingenieuses. 

Essayons enfin ce qui est impossible de caracteriser en peu de mots 
1'esprit des travaux de Poincare'. Toujours ce sont les problemes fondamentaux 
qui attirent son attention. Toujours ilfaitpreuve d'une faculty de generalisation 
eminente. Son imagination parait presque sans limites. Ses exposes se distin- 
guent par une elegance et une limpidite extraordinaires. Les cas particuliers 
etles details 1'interessent moins, ou peut-6tre le temps ne lui a pas perrnis de 
les approfondir. 

II est evident que, justement a cause de cette grande g6neralite, 1'ceuvre 
astronomique de Poincare restera pour longtemps comme une veritable mine 
d'or pour les chercheurs qui veulent y penetrer. 

Dans ce qui suit, nous allons essayer de donner une exposition rapide de 
cette oeuvre gigantesque. Nous mettrons en lumiere surtout les resultats, raais 
parfois aussi 1'essentiel des methodes. 



j . Forme des equations du mouvement. 

Dans 1'etude si compliquee du mouvement des corps celestes, il importe de 
donner aux equations differentielles une forme aussi simple que possible. 

On choisit d'ordinaire comme variables les coordonnees, X 4 , X 2 , ..., X 3N des 
N plan&tes rapportees au centre du Soleil. Comme variables conjugu^es Y 4 , 



268 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Yo, . . ., Y ; ; N , on prend les cumposanLes des quantites de mouvement dans ce 
mouvement relatif. La forme des equations devient alors semi-canonique, et la 
fonction caracteristique change d'une planete al'autre. Ilyalaun inconvenient 
considerable, surtout quand il s'agit du calcul des perturbations d'ordre 
superieur. 

Pour obtenir la forme canonique, il faut choisir les variables d'une autre 
maniere. C'est ainsi que Radaua faille choix suivant. II designe parXt, X 2 , X 3 
les coordonnees de la planete PI par rapport au Soleil S, par X 4 , X 5 , X 6 les 
coordonnees de P 2 par rapport au centre de gravite de S et PI, par X 7 , X 8 , X 
les coordonnees de P ;} par rapport au centre de gravity de S, PI et P 2 et ainsi 

de suite. Comme variables conjugue'es, il prend Y z =: m[ r-S in[ etant certaines 

masses fictives qui ne different que peu des masses replies . Avec ces variables, 
les equations du mouvement prennent la forme canonique, la fonction caracte- 
ristique F etant Fenergie totale du systeme en supposant le centre de gravite 
comme fixe. 

Les equations de Radau n'ont pas ete" employees dans la pratique, puisque 
F expression de F est trop compliquee quand il s'agit de calculer les perturbations 
d'ordre superieur. Pour remedier a cet inconvenient, Poincare [164; 187; 464, 
n 26] (*), ( 2 ) choisit les variables X/ comme dans les theories anciennes. Mais 
comme variables conjuguees Y,-, il prend les composantes des quantites de 
mouvement dans le mouvement absolu en supposant fixe le centre de gravite du 
systeme. Les equations ont encore la forme canonique, mais Fexpression de 
Fenergie totale F en fonction des variables X/, Y/ est beaucoup plus simple 
qu'avec les variables de Radau. 

Les masses des plane tes etant petites, ilconvientd'employer comme variables 
les elements du mouvement keplerien. Poincare regarde les coordonnees 
relatives X et les composantes de la quantite du mouvement absolue Y qui 
correspondent a la planete P/ { comrne les coordonnees et les composantes de la 
quantite de mouvement d'un point mobile attire suivant la loi de Newton par 
un centre fixe. La masse du centre fixe et celle du point mobile sont convena- 
blemenl choisies. Soit dans Forbite de ce point mobile a*, e k , i k , //., g k , O/. le 

( 1 ) Les nombres entre crochets se rapportent & la bibliographic qui se trouve dans V Analyse 
des Travaux Scientifiques de Henri Poincare faite par lui-meme dans les Acta mathematica 
t. 38. 

( 2 ) [164], QEuvres, t. VII, p. 49^-499; [187], OEuvres, t. VII, p, 5oo-5ir; [464, n 26], Leqons 
de Mecanique celeste prof essees & la Sorbanne^ i. 1, p. 33, 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 269 

demi-grand axe, rexcentricite", 1'inclinaison, 1'anomalie moyenne, la distance 
du pe"rihe"lie au noeud et la longitude du noeud. Les X, Y qui correspondent a la 
planete P^ seront ainsi donn6s comme certaines fonctions des elements /, , . . . , O/, . 
Cela e"tant, Poincar introduit au lieu des variables X 7 Y les variables [278; 
11 11; 464, n56] (*) 



LA = ?k \fal, Gr/ L = L/ u \/l e'-V, , e/ = GX- cub /A , 
l h 'h /o 

les p/- dependant de la masse du Soleil el de celle de la planele P/,. Apres ce 
changement de variables, les Equations reslent canoniques. La fonction caracte'- 
ristique F peut se mettre sous la forme 

F = FO+JJ.FJ, 

/JL (^lanl de 1'ordre des masses es planetes. F ne depend que des L/,. Enfin^F^ 
qui s'appelle la fonction perturbatrice, est de"veloppable en s^rie trigonom6- 
trique suivant les multiples des variables angulaires /, ^, 6, les coefficients 
dependant des variables conjugu^es L, G, 0. Avec les variables de Poincar^, la 
fonction perturbatrice est aussi simple que dans les theories anciennes. Mais le 
grand avantage, c'est qu'on aura une seule fonction perturbalrice pour toutes 
les planetes. 

Les Equations dont nous avons parle rentrent dans le type ge"ne"ral [278, 



ou 



ost de'veloppe suivant les puissances d'un petit parametre p.; F estindependant 
des yt] FI, F 2? . . . sont p^riodiques par rapport auxy/ avec la pe"riode 27r. 

L'^tude du probleme des N + r corps est beaucoup compliqut^e par le fait 
que les pe'rihe'lies et les noeuds sont fixes dans le mouvement non trouble. 
II en re"sulte que F ne depend que des grands axes, c'est-a-dire seulement de 
quelques-unes des variables #,-. Seulement dans le cas special le plus simple du 

( l ) [278, n 11], Les metliodes nouvelles de la mecanique celeste^ t. 1, p. 26; [464, n 56], 
Legpns de m&canique celeste^ t. 1, p. 7/j. 
( a ) Les methodes nouvelles de la mecanique celesle, U 1, p. 32. 



270 L'<UVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

problenie des trois corps, appel6 le probleme restreint, et qui comporte deux 
degrees de liberty F depend de tous les #/. 

Si -les excentricite's et les inclinaisons sont petites, il est avantageux 
d'employer d'autres variables canoniques. Poincar6 fait alors souvent 1'usage 
des variables [278, n 12; 464, n 57] ( : ) 



0/j, 



r,i= V / 2 (G A 6/,) sin A , 



ou X/t= //,-}- gk-{- OA est la longitude moyenne de P/ t . Les Equations rentrent 
alors dans le type 

dxj __ dV dvt _ dV 

dt dyi dt dxi 

dck dv dt\i- dc 

dt d'(\k dt d^k 

ou 

;JL F i -h ,'J. 2 Fa H- . . 



Ici F ne depend que des x\ F l5 F 2 , * . . sont p^riodiques par rapport aux y 
avec la pe>iode STT et d6veloppables suivant les puissances des et des y;. 



2. Solutions periodiques. 

C'est Lagrunge qui le premier a demontre 1'exisleiice des solutionb periodiques 
dans le probleme des trois corps. Dans ces solutions de Lagrange, les rapports 
des distances mutuelles restent invariables et les trois corps forment ou bien 
un triangle Equilateral ou bien ils se trouvent en ligne droite. Ces derniers 
temps, ces solutions de Lagrange ont acquis un intent particulier par la 
de"couverte des aste"roi*des du type Hector ayant le mme moyen mouvement que 
Jupiter. C'est a M. G. W, Hill que la science doit la de"couverte d'une classe 
nouvelle de solutions periodiques. En ne"gligeant dans la the'orie de la Lune 
1'excentricite' de Torbite terrestre et la parallaxe du Soleil, M. Hill parvient a 
d^montrer Texistence d'orbites periodiques renfermant comme parametre le 
rapport des duties du mois et de 1'ann^e. Elles pre"sentent des conjonctions 
sym6triques au commencement et au milieu de la p^riode. Parmi les solutions 

(*) [278, n 12], Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1, p. 29; [464, n 57 J. 
Legons de mecanique celeste, t. 1, p. 76. 



L : CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 27! 

periodiques de M. Hill, celle qui correspond au temps de revolution actuel de la 
Lime a servi, dans ces dernitires ann^es, comme point de depart pour lath^orie 
de la Lune de M. E. W. Brown. 

D^ja dans ses premiers travaux sur les courbes definies par des Equations 
difjferentielles, Poincar6 fut conduit a l'6tude des solutions periodiques. Dans 
ses recherches sur les solutions periodiques du problSmes des trois corps [38; 
92; 183; 278] (*) il se place dans les conditions actuelles de notre syst&me 
solaire en admettant que les masses de deux corps sont petiles par rapporl 
a celle du troisi&me. 

II est ainsi conduit a etudier le syst&me [183; 278, n 37] (-) 

(3) -- = Xz(#i, . .., 3c n \ 1-0 (' = i, 2? . .., n) 

les X, etant dvelopp6s suivant les puissances d'un petit param&tre^. En suppo- 
sant que pour /JL = o ces Equations admettent une solution p^riodique connue 

(4) *t=<?t(t) U = i, 2, . .., n\ 

de p^riode T, il se propose de trouver la solution periodique du syst&me (3) 
qui pour p. = o se r6duit a la solution p6riodique (4)- 

Soit cp,-(o) + |3< la valeur de xt pour t = o et cpi(o) 4- (3/+ fyi la valeur de xi 
pour t = T +r. En generalisant [183; 278, n 27] ( 3 ) la m^thode de Cauchy 
appel^e Calcul des limites, Poincar^ d^montre que les tyi sont d^veloppables 
suivant les puissances des (3/, de T et de JJL, pourvu que les fonctions X, soient 
holomorphes et uniformes au voisinage de la solution p6riodique (4) - fividemment 
les tyt s'annulent avec les ^-, r et f/.. C'est la condition de la solution p^riodique 
et cela s'6crit 

(5) ^(pi, ...,71, t, H-) = o (*= *> 2, ..., n). 

Puisque les Equations (3) ne contiennent pas le temps explicitement, il est 
permis de mettre par exemple (3 4 = o. On peut en general r^soudre les Equa- 
tions (5) en mettant pour (3 2 , . . . , (3 n , rcertaines series convergentes ordonntes 
suivant les puissances de p et divisibles par p.. 

(i) [38], OEuvres, t. VII, p. 253-a6i ; [92], QEuvres, 1. VII, p. a53-a6i ; [183], QEuvres, t. VII, 
p. 262-479; [278], es mtthodes nouvelles de la mecanique celeste. 

( J ) [183], OEuvres, t. VII, 262-479; [278, n 37], Les methodes nouvelles de la mecanique 
celeste, t, 1, p. 82,. 

(3), [J83], CEuvres, t, 7, p. 262-479; [278, u" 27], Les metfiodes nouvelles de la mecanique 
celeste, t. 1, p. 58. 



2;?, L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Ayant ainsi demontre ^existence de la solution periodiquc chcrchee, Poincare 
montre [278, n42] (*) comment on peut d^velopper lessen series de Fourier 

de Pargument ^ T * ^ Les coefficients de ces series sont developpes suivant les 

puissances de /j.. 

II arrive souvent quo les X/ sonL periodiques de periode 2.7: par rapport a 
certaines des variables xi par exemple par rapport a x, ...,#/,. On peut alors 
regarder comme periodique une solution dans laquelle # 4 , . . . , Xk augmentent 
de certains multiples de 271, tandis que les autres x\ reprennent leurs valeurs. 
Alors dans 1'expose precedent, r |<, ..., d; A . signifient les increments des #1, ..., #/ t 
diminues par les multiples mentionnes de 271. Les conditions (5) expriment 
encore la periodicite de la solution. 

Si les Equations (3) admettenl s integrates uniformes au voisinage de la 
solution (4), les conditions (5) ne sont pas independantes. Si n s des fonclions 
fyi s'annulent, les autres s'annulent alors en m&me temps. A ces n s conditions 
on peut alors adjoindre les s conditions qui expriment que les integrates ont 
certaines valeurs constantes arbitraires . La solution p^riodique consid6r6c 
contient alors ces s constantes comme param^tres. 

II peut arriver que certaines des fonctions ^ a sont divisibles par p. et que la 
solution p^riodique (4) contient autant de param^tres arbitraires. II faut alors 

determiner ces param&tres de sorte que les Equations o soient satisfaites 

pour (3/== T = /a = o. A chaque solution (4) ainsi d6termin6e correspond alors 
pour de petites valeurs de ^ une solution p^riodique qui coincide avec elle 
pour p. o. 

Poincar6 applique les principes precedents a 1'etude des solutions periodiques 
du probteme des trois corps [92; 183; 278, n os 39, 40, 47, 48] ( 2 ) en supposant, 
nous Favons deja dit, que les masses des plan&tes sont petites. En 6galanta z6ro 
le param^tre p, qui est de 1'ordre des masses, le probl&me admet des solutions 
p^riodiques tr&s simples. On obtient une telle solution en supposant que les 
deux masses infiniment petites d^crivent des cercles quelconques concentriques 
autour du Soleil et situs dans le m&me plan. On en obtient d'autres en supposant 
que pour p. == o les orbites se reduisent a des ellipses et que les dures de revo- 
lution sont commensurables entreelles. Puisque,pour^r^: o, les perihelies etles 

( r ) [278, n 42] Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1, p. 109. 
( 2 ) [92], CEuvres, t. VII, p. a53-26i; [183], CEuvres, t. VII, p. 262-479; [278, n* 39,40,47, 48J, 
Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, I. 1, p. 96, 97, i3g et 144. 



L'OEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 278 

noeuds sont fixes, certaines des fonclions 4*a sont divisibles par p.. Pour que les 
coefficients de /JL dans les d^veloppements de ces fonclions ^p a disparaissent, il 
faut choisir les l6ments (les grands axes except^s) de sorte que les d6rives 
premieres de la parlie s^culaire de la fonction perturbatrice (partie qui devient 
constante en vertu de la commensurabilit^) s'annulent. Poincar^ d^montre 
ainsi 1'existence de trois sortes de solutions p^riodiques dans le problems des 
trois corps. Au bout de la periode, le syst&me reprend la configuration qu'il 
avait au commencement, tout le syst&me ayant seulement tourn<3 d'un certain 
angle <p. Au commencement et au milieu de la periode, les deux plan&tes se 
trouvent en conjonction sym^trique, les vitesses 6tantperpendiculaires a la ligne 
ou au plan de conjonction. Les coordonn^es relatives des deux plantes peuvent 
6tre d^veloppte en series de Fourier d'un seul argument, les coefficients 6tant 
des series ordonn6es suivant les puissances du petit param&tre /*. Pour les 
solution de la premiere sorte, les inclinaisons sont nulles, les excentricit(s 
sont de Fordre de /JL et Tangle 9 est fini. En y mettant f* = o, ces orbites se 
r^duisent a des cercles concentriques autour du Soleil et situt5s dans le mme 
plan. En ne consid6rant pas comme distinctes deux solutions qui different 
seulement par la position des axes, par Porigine du temps ou par le choix des 
unites de longueur et de temps, les solutions p6riodiques de la premiere sorte 

ne renferment qu'un seul param&tre, qui est le rapport , entre les moyens 

mouvements dans les deux orbites circulaires limites (pour jx = o). Pour les 
solutions p^riodiques de la seconde sorte, les inclinaisons sont nulles, les 
excentricit^s finies et Tangle cp de Tordre de p. Eny mettant p. o. ces orbites 
se r^duisent a deux ellipses a foyer commun situ^es dans un mme plan et ayant 
leurs lignes d'apsides cozncidantes. Le rapport ~ des moyens mouvements dans 
ces ellipses est un nombre rationnel. Ces solutions sont caract<kis($es par le 
nombre rationnel ~ et par Texcentricit^ de Tune des ellipses limites qui y rentre 
comme param^tre arbitraire. Pour les solutions p6riodiques de la troisieme 
sorte, Tinclinaison n'est pas nulle, les excentricit^s sont petites et Tangle 9 de 
Tordre des masses. Pour^=o les orbites se r^duisent a des ellipses peu 
excentriques ou circulaires ayant le Soleil au foyer e t non pas situ^es dans le m6me 
plan. Les lignes d'apsides coincident avec la ligne des nceuds ouy sont perpen- 
diculaires. Le rapport , des moyens mouvements dans les deux ellipses limites 
est un nombre rationnel. Ce qui caract^rise ces solutions p^riodiques de la 
HP.- XI. 35 



2 ~4 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

troisieme sorte, c'est d'une part Ic nombre rationnel ^ et d'autre part 1'incli- 

naison des orbites limites, qui y rentre comme parametre arbitraire. 

Supposons donn^e la valeur du petit parametre p.. Si le rapport des mojens 
mouvements dans les orbites limites se rapproche d'un nombre rationnel de la 
forme p "*" l > p 6 taut un entier, les orbites pe'riodiques de la premiere sorte 
deviennent assez excentriques. Dans le voisinage imme"diat de ces commensu- 
rabilite"s, il arrive meme que les series ordonntSes suivant les puissances de p. qui 
donneat les solutions pe'riodiques de la premiere sorte ne convergent plus pour 
la valeur conside're'e de /ju Pour examiner ce qui se passe alors, Poincare' se 
limite au probleme restraint [367] (*) en supposant que Tune des masses est 
nulle et que 1'autre planete se meut dans un cercle. Si les series mentionne'es 
ordonne"es suivant les puissances de fjt, qui donnent les solutions pe'riodiques 
de la premiere sorte, cessent d'exister, Poincar6 montre qu'on peut les remplacer 
par des series proce"dant suivant les puissances de yp. L'excentricite" e est alors 

de 1'ordre de i/u, et c'est le rapport (3 = lim -^= qui rentre comme parametre 

li. =o V/JJL 

arbitraire. Pour |m o 1'orbite se re"duit a un cercle, et le rapport entre les 
moyens mouvements devient Si (3 croit, il arrive enfin que ces nouvelles 

series ordonn(5es suivant les puissances de \//j. ne convergent plus. Poincar6 
montre qu'on peut les remplacer alors par les series ordonne'es suivant les 
puissances de p., les monies qui donnent les solutions pe'riodiques dela secondc 
sorte. Ainsi au voisinage des commensurabilite's riientionne"es , les solutions 
p6riodiques de la premiere et de la seconde sorte ne sont pas analytiquement 
distinctes. En variant le parametre, on passe des unes aux autres. 

fividemment, il est infiniment peu probable que les conditions initiates qui 
correspondent a une solution pe"riodique se trouvent re'alise'es dans la nature. 
Mais il peut bien arriver et il arrive aussi souvent que le mouvement est a peu 
pres p^riodique. Alors il convient de prendre la solution p6riodique comme 
point de depart et de de"velopper les coordonnes ou les ^l^ments suivant de 
petits parametres, ainsi que Ton fait de"ja Delaunay, Hill et Brown dans le cas 
de la Lune. II semble que ce soit surtout les solutions pe'riodiques de,la 
premiere sorte qui auront ainsi une valeur pratique considerable et cela dans 
la th^orie du mouvement des aste"ro'ides et des satellites. 

( l ) [367], OEuvres, t. VIII, p. 4i 7 ~436. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 276 

3. Exposants caracteristiques. 



Soit 

(6) 







un systeme d'^quations difFe'rentielles admettant une solution pe'riodique #/=rp/() 
de pe"riode T. Pour etudier les solutions voisines de cette solution, Poincare' 
introduit #/= cp z - () + / et de"veloppe suivant les puissances des . En ne 
conservant que les termes du premier degr6, il arrive WXL equations aux varia- 



tions 



Dans les coefficients des au second membre, il faut introduire pour a?/ ses 
d6veloppements en series de Fourier. Les Equations aux variations qui corres- 
pondent a une solution pe'riodique sont done des Equations homogenes et 
lin^aires a coefficients peViodiques. 

On sait quelle est en ge"ne"ral la forme des solutions de ces equations; on 
obtient n solutions particulieres de la forme suivante ; 

(8) ^rrreVS,,,, ..., fn^fiVS,,^ (jD = 1 , 2, . . . , fl ), 



les <y.p etant des constantes etles S /i/? des fonctions pt^riodiques de m^me p^riode 
que les cp/(^). 

Si deux exposants a ont la mme valeur, on aura une solution particuli&re 

de la forme 

(9) ?/= e^^+tS'i} ( = r, 2, ..., /i), 



les fonctions S/ et S/ <^tant p^riodiques. 

Les constantes a^ s'appellent les exposants caracteristiques de la solution 
pe'riodique conside're'e. 

La nature des solutions voisines depend en premier lieu des valeurs des 
exposants caracteristiques. Si tous ces exposants qui ne sont pas nuls sont 
purement imaginaires, Poincare" dit que la solution pe'riodique est stable] si au 
contraire, pour quelques-uns des exposants, les parties replies ne sont pas nulles, 

(i) [183], GEwre$, t. VII, p. 262-479; [278, n 53], Les methodes nouvelles de la mecanique 
celeste, t. 1, p. 162. 



2 7 6 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 



la solution periodique est appelee instable. Si les valeurs initiates sont voisines 
de celles qui correspondent a une solution periodique stable, le mouvement 
restera pour longtemps semblablc au mouvement periodique; au contraire, les 
solutions qui avoisinent a un instant donne une solution periodique instable, 
s'en eloignent en general beaucoup plus tot. 

Rappelons bri^vemenl comment les exposants caracieristiques peuvent se 
calculer[183; 278, n60] (*). SoitT la periodede la solution periodique 
trice a?|3= yi(t}\ soit^-(o) 4- P/ la valeur de a?/ pour t= o et#/==<p,-(T) 
la valeur de #/ pour t = T. Alors Poincare montre que les exposants caracte- 
ristiques a satisfont a liquation 



-HI < 



ou dans les elements du determinant il faut mettre (3 4 = (3 2 =r. . , = (3 Al = o 
aprs les differentiations. 

Dans le cas des equations de la Dynamique, certaines symetries apparaissent, 
de sorte que les exposants caracteristiques sont toujours egaux deux a deux, 
mais avec des signes contraires. D'ailleurs, si la solution periodique ne corres- 
pond pas a une position d'equilibre relative deux exposants caracteristiques 
sont toujours nuls. 

Rappelons, que toutes reductions faites, les equations du probl^me general 
des trois corps peuvent se mettre sous la forme canonique avec quatre degres 
de liberte; dans le cas du mouvement plan, le degre de liberte s'abaisse a 3; 
enfin dans le cas restreint, on n'aura que deux degres de liberte. Si les masses 
des plan&tes sont petites, les seconds membres des equations differentielles 
sont developpes suivant des puissances d'un petit param&tre pu II en est de 
mteie des fonctions cp/(j) et^((3 l3 ..., (3 n ) mentionnees touta Pheure. Cela etant, 
Poincare demontre [183; 278, n os 74-78] ( 4 ) que dans le probl&me des trois 
corps les exposants caracteristiques des solutions periodiques de la deuxi&me 

A A \ 1 1 J. 

et de la troisi&me sorte disparaissent pour p. = o et sont developpables suivant 



(*) [183], QEuvres, t. VII, p. 262-479; [278], Les m&thodes nouvelles de la mecanique celeste; 
[n 60], t. 1, p. 178; [n os 74-78], t. 1, p. 201-218. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 277 

les puissances de y//ju Enfin en formant les premiers coefficients de ces deve- 
loppements, il d6montre que, dans le probl&me r^duit des trois corps, on n'aura 
que deux exposants caract^ristiques qui sont identiquement mils. 

D'ailleurs, Poincar6 r^sout [183; 278, n 79] (*) complement les Equations 
aux variations du probl&me des trois corps et montre comment on peut dve- 
lopper en series trigonomtHriques convergentes les fonctions S des formules (8) 
et (9). Les coefficients de ces series sont dvelopp6s suivant les puissances 
de yfj. et convergent pour des valeurs assez petites de ce paramktre. 

II va sans dire que, dans toutes ces discussions, Poincar6 ne regarde point 
seulement les Equations sp^ciales du probl^me des trois corps, mais les Equa- 
tions canoniques gnrales du type (i). 

Les solutions p^riodiques 6tudi6es dependent d'un petit param&tre fju Les 
solutions p^riodiques du probl^me des trois corps renferment encore une 
constante arbitraire essentielle C. Les exposants caract^ristiques qui ne sont 
pas identiquement nuls dependent de p. et de C. En faisant varier par exemple C, 
les solutions priodiques et leurs exposants caract^ristiques varient aussi. 

Supposons done qu'un syst&me quelconque d'^quations dififerentielles pos- 
s&de des solutions p^riodiques qui dependent d'un param&tre C. II peut alors 
arriver que pour C = C une solution periodique cesse d'exister. Poincar6 
d^montre que cela ne peut se faire que si la solution se confond pour G = C 
avec une autre solution periodique. Ainsi les solutions p6riodiques disparaissent 
(ou apparaissent) par couples a la facon des racines r^elles des Equations 
alg^briques [183; 278, n 37] ( 4 ). 

Admettons qu'il s'agisse des Equations de la Dynamique, etque pour C= C 
plusieurs solutions p&riodiques se confondent. Poincar6 d^montre que cela 
arrive et rie peut arriver que si pour l'un des couples d'exposants caract^- 
ristiques on aura aT = -h ikTt\j i, k 6tantun entier. Soit pour C > C p' le 
nombre des solutions p^riodiques consid6r6es, pour lesquelles aTn=2/:7r\/ i 
soit purement imaginaire, et p 1 ' le nombre des solutions pour lesquelles cette 
quantity soit r^elle. Soit q 1 et q' f les nombres correspond ants pour C < Co- II 
n'y a alors que trois hypotheses possibles : 



( l ) [183], QEwres, t. VII, p, 262-479; [278], Les m&thodes nouvelles de la mecanique celeste; 
[n79], t. 1, p. 82 ; [> 37], t. 1, p. 82. 



278 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Dans tous les cas, on a 



Dans le cas simple ou il n'y a que deux degrs de liberty, comme dans le cas 
restreint du problme des trois corps, il n'y a qu'un seul couple d'exposants 
caract&ristiques qui n'est pas identiquement mil. Poincart trouve alors le 
theor&me [280, n 378] ( 4 ) : Si, en variant les parametres, plusieurs solutions 
periodiques se confondent, alors il disparait (ou apparail) tou jours autant 
de solutions stables que de solutions ins tables. 

Voici encore un autre thor&me dans ce cas de deux degrs de Iiberl6 : Si, 
pour certaines valeurs des parametres, une solution periodique perd la 
stabilite ou Vacquiert (et cela de telle facon que Vexposant caracteristique 
a soit UTI multiple de 2K\/ i), tfest qu'elle se sera confondue avec une 
autre solution per iodic/ue, avec laquelle elle aura echange sa stabilite. 



4. Solutions asymptotiques. 

En 6tudiant les solutions voisines d'une solution periodique instable, 
Poincar^ a d6couvert une nouvelle classe de solutions auparavant tout a fait 
inconnue [183; 278, chap. VIIJ ( 2 ). II les a appel^es solutions asymptotiques. 
II y en a deux families : pour la premiere, la solution se rapproche asymptoti- 
quement pour t= oo de la solution periodique consider^e, pour la seconde 
famille, ce rapprochement asymptotique aura lieu pour 4-00. 

En partant des Equations (6) etd'une solution p6riodique #, cp/(^)Poincar6 
y pose #,-= <ft(t) -f- g/. II vient alors 



les S 6tant d6velopp6s suivant les puissances des <, les coefficients de ces 
d^veloppements 6tant p^riodiques de pdriode T = 271. 

Au lieu des variables f, Poincar6 introduit des variables nouvelles yj r - par 
une transformation lin^aire dont les coefficients sont les fonctions p^riodiques 
S/, p qui entrent dans les solutions (8) des Equations aux variations. Les 6qua- 

( : ) [280, n 378], Les m&hodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 3, p. 344. 
( 2 ) [183], OEuvres, t. VII, p. 262-479; [278, chap. VII], Les methodes nouvelles de la meca- 
nique celeste, t. 1, p. 335. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 279 

tions difFe>entielles des YJ/ ont alors la forme 

(10) . ^ = H^ar^+H^H-H^ + ... ; 

H| /J) elant un poljnome homogene de degrg /? en r) i: ..., ti n avecdes coefficients 
pe'riodiques en t de pe"riode 271. Les c/n sont les exposants caracte"ristiques. 

Poincare' monlre qu'on peut satisfaire formellement a ces equations en dve- 
loppant les m suivant les puissances de quantile's A/e 7 - 1 ' (i i , 2, . . . , /i), les 
A, e"tant des constantes arbitraires. Les coefficients de ces d6veloppemeiits sont 
pe'riodiques en t de peYiode 271. II n'y aurait exception que dans le cas ou il y 
aurait entre les oc/ une relation de la forme 

(ii) 

pour des valeurs entires non negatives des (3/ et entieres (positives, negatives 
ou zro) de y. 

En appliquant la rne'thode de Cauchy appele'e Calcul des limites, Poincar^ 
d^montre que les series en question convergent, si F expression (u) ne peut 
devenir plus petite que toute quantity donn^e s; c'est-a-dire si aucun des deux 
polygones convenes qui enveloppent, le premier les points dont les affixes sont 
les a et -+- \l i , le second les points ayant les affixes a et y i , si aucun 
de ces polygones ne contient Forigine; c'est-a-dire si les parties replies de toutes 
les quantity a sont diff(5rentes de ze"ro et du m^me signe. 

II peut arriver que ces conditions suffisantes pour la convergence ne soient 
remplies que pour un certain nombre des coefficients a, par exemple pour 
a l5 . , . , a m . Si par exemple a l7 . . . , a m ont leurs parties re'elles > o, on peut 
mettre A m+1 = A m4 . a = . . . = A 7l = o et de'velopper les ^ en series convergentes 
suivant les puissances des quantite's A d e ai , . .., A m 6 a l/ . On aura ainsi des 
solutions asymptotiques de la premiere famille. De m6me, auxexposants carac- 
t^ristiques dont les parties re'elles sont <o, correspondent des solutions 
asymptotiques de la deuxieme famille. 

Les principes pre'ce'dents s'appliquent aussi aux . Equations canoniques avec 
n degre's de liber t6. Toutefois deux exposants caracte'ristiques 6tant identique- 
ment nuls et ainsi dgaux enlre eux, la derniere des Equations qui correspondent 
aux Equations ( 10) aura la forme 



2 g L'CEUVPE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

c aant une constante. Neanmoins le nouveau syst&me se Lraite comme les Equa- 
tions (10) et tous les r&mltats pr6ct5dents sur 1'existence des solutions asymp- 
totiques subsistent. 

Si les Equations canoniques sont du type (i), comme dans le problkme des 
trois corps, les exposants caracUSristiques se dgveloppentsuivanlles puissances 
de v/fl et contiennent cette quantity comme facteur. Certains diviseurs (i i) sont 
done de 1'ordre de \/p.. Mais, en revanche, les quantit&i a int<5grer sont toujours 
aussi au moins du mme ordre. Poincar^ demontre qu'il existe aussi pour ces 
Aquations des solutions asymptotiques au voisinage de chaque solution p6rio- 
dique instable. Soil a l7 ..., a/, les exposants caract^ristiques qui ont leur 
partie r^elle positive quand \/fI>o. Pour les solutions asymptotiques de la 
premiere famille, les x f et les// sont d6veloppables suivant les puissances de 
Wi = Aie aif , . . ., O>A. = A/t0 a ", les A l5 . . ., A* giant des constantes arbitrages. 
Les coefficients de tous ces d6veloppements sont pdriodiques en t de m6me 
ptoode que la solution p<3riodique. Enfin les coefficients constants sont des 
fractions dont le num^rateur et le d^nominateur sont d<3velopp<3s suivant les 
puissances positives de v/p- Ces d^veloppements des xi et// convergent uni- 
formgment tant que t est assez voisin de oo et vV^ etassez voisin de z6ro. 
On aura aussi des solutions asymptotiques analogues qui se rapprochent 
asymptotiquement de la solution p^riodique pour t = + co . 

PoincanS demontre qu'en d^veloppant les coefficients fractionnaires suivant 
les puissances de \/f/, on n'aura que des puissances positives. Ainsi, pour les 
solutions asymptotiques des Aquations (i), les #/ et les // sont d^veloppables 
suivant les puissances de V/V-, w l7 ..., &)/ f , les coefficients tant p6riodiques 
en t, On peut ordonner ces series suivant les puissances de y//m et determiner 
les coefficients directement en partant des Equations differ entielles. Malheu- 
reusement ces series ordonn6es suivant les puissances de yp. ne sont pas 
convergentes. Mais Poincar6 demontre qu'elles sont semi-convergentes. 

5. Non-existence des int^gr^les uniformes. 

On sait que le probl&me des trois corps admet plusieurs int6grales trfes 
simples : celles du mouvement du centre de gravity, celles des aires et celle des 
forces vives. M. Bruns a ddmontr^ qu'il n'existe pas de nouvelle integrate alg^- 
brique en dehors de ces integrates d^ja connnes. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 281 

Poincar^ a complt la demonstration de M. Bruns sur un point d61icat et a 
confirm^ les r^sultats auxquels ce savant 6tait arriv6 [166] ( 1 ). 

Mais Poincar a examine la question aussi d'un autre point de vue [278, 
chap. V) ( 2 ). II admet toujours que deux des masses sont petites (de Tordre de p.) 
par rapport a la troisi&me. En traitant, selon son habitude, la question d'une 
manifere aussi g6nt^rale que possible, Poincar<3 ne regarde pas seulement les 
Equations sp^ciales du probleme des trois corps, mais les Equations g6n6rales 
du type (i). II d^montre que, sauf certains cas exceptionnels, les Equations (i) 
n'admettent pas d'autre integrate analjtique et uniforme que Pint6grale 
F = const. Voici ce qu'il entend par la. 

Soit $ une fonction analytique et uniforme pour toutes les valeurs r^elles 
des y, pour les valeurs suffisamment petites de JUL et pour les valeurs des x 
appartenant a un certain domaine D; le domaine D peut d'ailleurs 6tre quel- 
conque et 6tre aussi petit qu'on veut. Enfin <3> doit tre p6riodique par rapport 
aux y de p6riode 271. Dans ces conditions < est d^veloppable sous la forme 

(12) $ = $o -H H$i -+- ^ 2 $2 -1- 5 

<I>o, <^i, ^>2, - 6tant uniformes par rapport aux x et auxy et p^riodiques par 
rapport aux y. 

Poincar^ d^montre que en general une fonction > de cette 'forme ne peut 
pas etre une integrate des equations (i). 

En supposant qu'il existe une "telle inl^grale <& distincte de F, il est permis 
de supposer que <&o n'est pas une fonction de F . En effet, si <& ^tait une fonc- 
tion de F , Poincar^ montre qu'il serait possible de d6duirede<I> et F une nou- 
velle integrate de la nature consid^e et pour laquelle $ n'est pas une 
fonction de F . 

La condition n6cessaire et suffisante pour qu'une fonction & soit une int<5- 
grale s'6crit 

(13) [F,*]=o, 

la quantity au premier membre ^tant la parenth^se de Poisson. En <3galant a 
zro les termes de diverses puissances en p. dans le premier membre, onobtient 
une infinite d r tquations que nous nommerons (i3), (iS 1 ), (i3 2 ), .... 

En partant de liquation (i3), Poincar^ fait voir d'une mani^re tr^s simple 

() [166], OEuvres, t. VII, p. 5ia-5i6. 

(**) [2*78, cHap, V] Les mMhod&s rwuvelles de la micaniquG celeste^ t. 1 T p. 233. 

H. P. XI. 36 



282 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

que <I>o ne peut pas de"pendre de celles des variables y it y 2 , , J q u 
conjugates aux variables dont depend FQ. 

En mettant ensuite dans liquation (i 3 1 ) les de'veloppements trigonome'triques 
de FI et de $!, il montre que les coefficients du de'veloppement de FI doivent 
satisfaire a certaines conditions sp^ciales pour qu'il existe un certain nombre 
d'iiite'grales de la forme (12). Cela conduirait trop loin d'e'nume'rer ici ces 
conditions dont I'e'nonc^ est assez complique'. PoincarS de'montre que ces 
conditions ne sont pas satisfaites dans le probleme des trois corps. Pour 
de'montrer rigoureusement le the"oreme : quelque petit que soit le domaine D, il 
faut conside'rer des lermes infiniment loign6s dans le de'veloppement de FI. 
Poincare' fut ainsi conduit a former certaines expressions asjmptotiques pour 
les coefficients de tres haut degr6 dans le de'veloppement trigonome'trique de la 
fonction perturbatrice suivant les multiples des anomalies moyennes. Le 
r6sultat auquel arrive Poincar6 s'e'nonce ainsi : Quand deux des masses sont 
petites de Vordre de p, le probleme des trois corps n'admet pas d'autres 
integrales de la forme (12) que celles qui, sont deja co?inues. 



6. Series de M. Lindstedt. 

Pour determiner le mouvement desplanetes, les fondateurs de la Me'canique 
celeste ont cherche' a int^grer les Equations diffe'rentielles en d^veloppant les 
inconnues suivant les puissances des masses. Les termes d'ordre n de ces de've- 
loppements sont des polynomes en t d'ordre n au plus, dont les coefficients 
sont des de'veloppements trigonome'triques d'un certain nombre d'arguments. 
Depuis, ces m6thodes classiques ont ^ perfectionne'es et employees surtout 
par Hansen, Leverrier, Newcomb, Hill et Gaillot. II a e'te' ainsi possible de cal- 
culer le mouvement des planetes pour plusieurs siecles avec une exactitude 
comparable avec celle des observations modernes. 

Toutefois, 6tant donn6 que ces d^veloppements renferment le temps en 
dehors des signes sinus et cosinus, il est 6vident qu'ils ne peuvent pas suffire 
quand il s'agit de trouver les changements se'culaires des orbites. Pour e"tudier 
ces changements, Lagrange de"veloppa sous forme trigonome'trique les in6galite's 
s^culaires les plus importantes, pour lesquelles Fexposant du temps est e'gal a 
1'ordre par rapport aux masses. D'ailleurs Lagrange ne conserva que les termes 
du premier degre" par rapport aux excentricit6s et aux inclinaisons. II lui fallut 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. a83 

pour cela r^soudre un systfcme d'quations different! elles lineaires a coefficients 
constants. La theorie de Lagrange fut perfectionnee par Leverrier et Cell&ier 
qui ont conserve aussi les Lermes du troisifcme et du cinqui&me degre par rap- 
port aux excentricites et aux inclinaisons. 

Toutefois, il restait a demontrer la possibility d'eviter complement les 
developpements suivant les puissances du temps. C'est a Delaunay que revient 
Thonneur d'avoir forme le premier des series gnrales purement trigonomg- 
triques satisfaisant formellement aux Equations du mouvement. Mais Delaunay 
s'est occup^ seulement de la theorie de la Lune. 

C'est Newcomb (*) qui demontrale premier que les coordonn6es des huitpla- 
n^tes peuvent lre developpees en series purement trigonometriques renfermant 
3x8 i = 23 arguments variant lineairement avec le temps. La demonstration 
de Newcomb repose sur la methode de la variation des constantes un peu g6n- 
ralisee. II avancepar approximations successives, en partant des expressions de 
Lagrange ou les terrnes s^culaires les plus importants ont dtSja la forme trigo- 
nom6trique. Toutefois Newcomb avoue lui-mme dans la preface de son M^moire 
que sa demonstration ne peut ^tre consid^r^'e comme definitive. D'ailleurs, la 
methode de Newcomb, comme celle de Delaunay, demande un grand nombre 
de changements de variables assez compliques. 

Le probl^me dont il s \agit fut r^solu aussi par Gylden dans sa th^orie des 
orbites absolues. Mais le mode d'exposition de Gylden est malheureusement 
tr&s compliqu6, et il n'est pas facile de degager dans sa th^orie Fid6e fonda-* 
mentale. 

G'est pour simplifier les methodes de Gylden que M. Lindstedtcommenga a 
s'occuper de la question. M. Lindstedt ( a ) a traitg les Equations diflferentielles 
de la forme 
(14) ^H-7i*j? = ^ + iF ia . + ^ a? i + ... J( 

ou les fonctions W;, qui sont du premier ordre, ne renferment que des termes 
p^riodiques de la forme (3 cos(). + 6), les A (Slant incommensurables avec n. En 
supposant que liquation ci-dessus pr^sente certaines sym^tries, lesquelles 
d'ailleurs se trouvent ralis<es dans la plupart des applications, M. Lindstedt 
demontre que x peut se d^velopper en s^rie trigonometrique, ou un nouvel 



(!) Smithsonian Contr. to Knowledge, vol. 21, 1874. 

( 2 ) Mem. de VAcad, Imp. d. Sciences de Saint- Petersbourg, t. 31, n 4, i883. 



2 84 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

argument s'est introduitparrinte'gration. M- Lindstedt( 4 ) appliqua sa me'thode 
au problfcme des trois corps en admettant que les excentricite's, les inclinaisons 
et le rapport des rayons vecteurs des deux planetes sont des quantity's petites. 
II montre que les distances des trois corps peuvent alors e"tre de'veloppe'es en 
se'ries trigonome'triques avec quatre arguments. 

Voila a quel point se trouvait la ihe'orie en question quand Poincare' com- 
menca a s'y inte'resser. Poincare' se propose d'abord de perfectionner la me'thode 
de M. Lindstedt. II d^montre [97] (-) qu'on peut satisfaire formellement aux 
Equations (i4) par une se'rie trigonome'trique m6me dans le cas ge'ne'ral ou les 
fonctions ^F/ ne pr^sentent plus les syme'tries dont nous avons parle\ La 
demonstration tres int6ressante repose sur un the'oreme de Green d'apres 
lequel une certaine int6grale, e'tendue sur une surface ferme'e quelconque, est 
nulle. Poincare' fait preuve ici, comme souvent, d'une p^ne'tralion ge'niale qui 
lui permet de de'couvrir les liens internes qui raccordent parfois entre elles des 
questions en apparence tout a fait ind^pendantes. 

Plus tard, Poincare' trouve [115; 279, n 127] ( :} ) que liquation (14) peut se 
r^duire a un systeme canoniqae avec deuxdegre's de liberte', de la forme (i), F 
dependant de tous les #/. II se pose alors le probleme d'int<^grer formellement 
les Equations ge'ne'rales de ce type sans introduire de de'veloppements suivant 
les puissances de t. II suppose d'abord que F depend de toutes les variables 
#1, . . . , x n * II de'montre qu'on peut satisfaire alors aux Equations (i) en mettant 



}>.y 
OU 



Les constantes d'inte'gration sont &" et S/. Les constantes nt dependent des x\ et 
sont de'veloppe'es suivant les puissances de p.. Les x* et y* sont des fonctions 
p^riodiques de p6riode 2?r par rapport aux Wi et dependent d'une maniere 
quelconque des x\ mais sont ind^pendants des S/. II est facile de former direc- 
tement les coefficients des de'veloppements, si la fonction caracte'ristique F, 
de'veloppe'e suivant les multiples des y^ ne renferme que des cosinus. Mais en 



( x ) Ann. EC. Norm. Sup., S e s6rie, t. 1, 1881. 

( 2 ) [97], CEuvres, t. VII, p. 546-55o. 

( 3 ) [115], OBuvres, t. VII, p. 55i-554; [27&, n 127], Les methodes nouvelles de la mecanique 
celeste, t. 2, p. 28. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 285 

ne faisant pas cette hypoth&se, on rencontre les m6mes difficult^ que dans le 
cas ggngral de liquation ( i4) Par ['application de la m^lhode d'int^gration de 
JacoLi 7 Poincare' vite ces difficult^ [279, n 125] ( 4 ). 

Pour appliquer la m^thode de M. Lindstedl au problme g^n^ral des trois 
corps, il 6tait nticessaire de trailer le cas important d'exception oil la fonction Fo 
ne depend pas de toutes les variables # 4 , . . ., x n - L'cmploi de la me'thode 
d'intgration de Jacobi conduit alors a certaines difficulte's, puisque cerlaines 
quantit(Ss de 1'ordre des excentricite's apparaissent e'leve'es a des puissances 
negatives [279, chap. XI, XII]. Poincare' <5vile la difficult^ en faisant un chan- 
gement de variables dans lequel il fait usage des solutions p6riodlques de 
la premiere sorte. Toutefois, il semble que 1'emploi de liquation aux 
d^rive'es partielles de Jacobi ne soit pas bien convenable dans le cas dont il 
s'agit. 

Poincare" revient apres quelquos ann^es a la m^me question [208], ( 2 ) mais 
alors il part des Equations (2). II suppose d'abord que les ^ et v\ n'entrent pas, 
de sorte que F d^pende de toutes les variables de la premiere cate"gorie. Pour 
effectuer 1'int^gration, il determine les fonclions a?f et/f (A'> o) des dtSvelop- 
pements (i5) de sorte que la fonction F apr&s la substitution ne d^pende que 
des x\ et non pas des w/, et de sorte que Fexpression 



soit une diffe'rentielle exacte. En prenant alors pour variables nouvelles les w, 
et les #", la forme canonique ne change pas, et comme F ne depend que des 
x\ ces quanttos seront constantes, tandis que les wi seront des fonctions 
line'aires du temps. Poincare' d^niontre que les a?f et jf se d6terminent tres 
facilement d'apres ces principes. 

D'une manure tout a fait analogue, Poincare" effectue I'int^gration des Equa- 
tions gn<5rales (2). En ne supposant, pour simplifier, que deux plan&tes, il 
cherche a exprimer les variables en fonction de sk constantes a?J, a?J, pi, p 2 , 
p :) , p 4 et de six arguments fonctions lin^aires du temps wi, Wa, w 4 , a> a , 

w 3 , w /. 

Les w varient rapidement et les co tr^s lentement. II d^veloppe suivant les 

(!) [279, n 125], Les methodes nouvelles de la mecanique ctleste^ t. 2, p. 17. 
( 2 ) [208], CEuvrto, t. VII, p. 517-642. 



I p p 



280 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

puissances de p. : 



(16) 



Les fonctions #f, yf , , ^(P^ ) seront des fonctions p^riodiques des 
d^velopp6es d'autre part suivant les puissances des quantit^s 



Elles dependent en outre des # d'une mani&re quelconque. Enfin les yf cvv, 
les | et les yj. seront ind^pendants des w. Quand on annulera les p/ c , les fonc- 
tions yf wi, 1 et Y} se rt5duiront a z&ro. 

Cela 6tant, le probl^me dont il s'agit peut ^tre remplac^ par le suivant : 
determiner les series ( 16) de telle fagon que d'une part la fonction F, quand on 
y a substitu^ les series (16), se r^duise a une fonction <p ne dependant que des 
xl et p/ t et de sorte que d'autre part la quantity 



soit une diff^rentielle exacte. Au lieu des variables #/, //, ^/ r , Y3/ c , on peut intro- 
duire alors les #", p/ t , tp/, &>/,-. La forme canonique subsiste. Puisque F ne 
depend que des # et des p/ f , ces quantit^s seront constantes, tandis que les w/ 
et les w/ seront des fonctions lin^aires du temps, dans lesquelles les coefficients 
de t sont d^veloppables suivant les puissances de p. et des p|. Poincar6 
d^montre que les series (16) peuvent &tre d6termin6es d'apr^s ces prin- 
cipes. 

Une derni&re fois, Poincar^ est revenu sur le probl&me fondamental 
d'int^grer sous forme trigonom6trique les Equations du mouvement des pla- 
n^tes [464, chap. X] ( 4 ). Gette fois, il part des series mixtes que donne 1'appli- 
cation de la m(5thode classique de Lagrange. II en derive une transformation 
canonique, laquelle conduit aux Equations completes des ingalits s^culaires, 
jamais d^duites auparavant. 

PoincarS part des Equations (2). II y satisfait & Paide de d^veloppements de 

(*) [464, chap. X], Legons de mtcanique c&leste, t. 1, p. 267. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 287 

la forme 

Les 3#/, oy/, <3^ } $n/ f sont de>eloppables suivant les puissances de ,u, de : des 
, des 73 et suivant les cosinus et les sinus de multiples des arguments ^=71*, 
c'est-a-dire que ces quantity's peuvent etre mises sous la forme 

(17) ^ jj. a A Mo m cos 

Les pi sont des entiers; A et nl ne dependent que des constantes # ; les /* 
dependent seulement des y ; M est un monome enlier par rapport aux et 
aux 73 JL 

Les 3#/, ctyv, 3^, 373 /,- s'annulent pour j^ o ; elles s'annulentegalement pour 
= o, de sorte que les constantes x* , j!\ / c , 73^. sont les valeurs initiales des 
inconnus #/, ^/, ^, 73 / c pour t = o. 

Dans les de'veloppements (17), Poincar6 regarde les w- t comme des variables 
ind6pendantes. II y pose aussi t = o, de sorte que les termes pe"riodiques sont 
seuls conserve's dans les perturbations 3a?/, dyi, 3^/ f , 8737-. En appelant A#/, Aj/, 
A^/ ATJ/C ce que deviennent alors ces perturbations p^riodiques. Poincar^ forme 
les Equations 

( 1 8 ) Xi = x -+- A.'r/, yi = wt -h y\ ~h A^/, 



dans lesquelles les xf , w/, ^., 73^. sont des variables nouvelles, tandis que les 
yl sont encore regard^s cornme des paramtoes constants. 

fividemment, en introduisant dans F les fonctions (18) F ne d^pendra pas 
des wi en vertu de Tint6grale des forces vives. 

Toutefois, Poincar<5 ne conserve pas les x\ comme variables. En partant des 
ddveloppements (17), il forme cerlaines fonctions W, ind^pendantes des PP/, 
d^veloppables suivant les puissances de p, des ^ et des r\\, dependant d'une 
maniere quelconque des x\ et se r^duisant a x\ pour /JL = o. II determine ces 
fonctions de sorte que, apres avoir introduit dans (18) les x\ exprim^s comme 
fonctions des W*, des ^ et des 73^, 1'expression 



devienne une diff^rentielle exacte. La transformation est alors canonique. 
Comme F ne depend pas des wt, les W/ sont des constantes, et les Equations 



288 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

difTerentielles deviennent 

Wf = const., 



(19) 



dt clr", 1 dt d*l 



Les Equations de la seconde ligne sonL les Equations completes des m^galit^s 
se"culaires. Poincar6 montre qu'on peut j satisfaire en developpant les et rj 
suivant les puissances des quantite's 

(20) p/t <rH ff iM- 5 *> v^, 

les p/ f et s/ c e"tant des constanles d'int^gration. Les cr/. sont d^veloppables saivant 
les puissance de /u, et des p| et sont divisibles par p. D'ailleurs Fun des a k est 
identiquement nul en vertu des integrates des aires. 

Ayant determine ces d^veloppements pour ^ et YJ^, on obtient les wi par les 
Equations de la troisieme ligne des formules (19). En d6signantpar Hi certaines 
quantite's constantes, de"velopp^es suivant les puissances de p. et des p|, les 
Wi nit seront d6velopp6s suivant les puissances des quantite's (20). 

Ainsi se trouvent de'termine's les # 5 w/, % k et vj^. qui entrent dans les formules 
definitives (18). 

7. Series de M. Bohlin. 

Uapplicalion de la me'thode de M. Lindstedt aux Equations (i), ou F depend 
de tous les x, . . ., x n , suppose qu'il n'existe pas de relation a coefficients 

entiers entre les quantite's nf = ^~~o' En effet, dans les integrations succes- 
sives auxquelles conduit cette methode, on voit apparaitre des diviseurs de la 
forme ^.min^ les mi e"tant des nombres entiers. M^me dans le cas ou un divi- 

seur est de 1'ordre de ^Jt, les series de M. Lindstedt deviennent illusoires, 
puisque pour certaines suites de termes (termes de m6me classe] les de*nomi- 
nateurs sont du m^me ordre de grandeur que les nume'rateurs correspondants. 

On ne diminue pas la g6ne*ralite en supposant que ,le petit diviseur soit ;zj, 
de sorte que mi= i, m^ == o, . . . , m n = o. 

Pour eviter les difficult6s des petits diviseurs, une nouvelle m^thode d'inte"- 



I/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 289 

gration fut imaginee par M. Bolilin ( l ). II part de 1' Equation aux de'rive'es par- 
tielles de Jacobi, 



11 s'agit d'inte'grer cetLe equation en developpant la fonction inconnue S suivant 
les puissances de \//j.. D'ailleurs les de'rive'es de S doivent e"tre pe'riodiques par 
rapport aux y. M. Bohlin ne Iraite que le cas ordinaire, ou le de"veloppement 
de ji renferme un terme proportionnel aii temps. II exclutle cas de la libration 
ou la fonction y contient seulement des termes pe'riodiques. 

Imme'diatement apres, et d'une maniere inde'pendante, la nouvelle me'thode 
d'inte'gration fut dgcouverte aussi par Poincare" [183; 279; chap. XIX, XX] ( 2 ). 
Gelui-ci a trait6 aussi le cas si important de la libration. 

Dans le cas ordinaire, les fonctions S/,- qui apparaissent dans le de>eloppement 



sont iSnies pour toutes les valeurs r^elles de y, . . . , y n . L'application de la 
m6thode d' integration de Jacobi est alors facile. La forme de la solution 
devient 



Pour k > o, les %f et les y^ sont des fonclions pe'riodiques do n arguments 
Wi, . . ., Wn Iin6aires par rapport au temps. Les xl sont des constantes; les 
y" wi sont des fonctions p<5riodiques de 1'argument w\. Le coefficient de t 
dans cet argument est de 1'ordre de \,/^. 

Dans le cas de la libration, les difficult^ sont plus graves. Alors, la fonction 
Si devient imaginaire a moins que 1'argument y^ soit compris entre certaines 
limites. Quand ces limites sont atteintes, les fonctions S 3 , S 4 . ... peuvent 
devenir infinies. La m^thode d'int^gration de Jacobi doit done 6tre aban- 
donn6e. 

Au moyen d'une fonction S satisfaisant a liquation de Jacobi a des termes 

de Fordre (\/V) 3 pr^s, Poincar6 forme une transformation canonique par 

(!) Bihang till K. Svenska Vet. Akad. HandL Bd 14, Afd. I, n 5, 1888. 

( 2 ) [183] : OEuvres t. VII, p. 262-479; [279, chap. XIX, XX], Les methodes nouvelles de la 
mecanique c&leste, t. 2, p. 3i5 et 3gg. 

H. P. XI. 3 7 



2 go L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

laquelle les Equations differentielles (r) sont ramenees a un autre syst^mo 
canonique d'uiie forme analogue mais plus specialc. La solution cherchee de 
ce nouveau sysl^me peut etre obtenue par la methode de M. Lindstedt. 

Dans ce cas de la libration, la forme de la solution des Equations (i) reste 
a peu pr&s la m6me que dans le cas ordinaire. SeulementyJ,/!j w> 2 , ->/)! Wu 
seront des fonctions periodiques de 1'argument wi, dont le coefficient de t est 

de 1'ordre de y /JL. 

Poincare apporte aussi la plus graude attention au cas limite par lequel se 
fait le passage du cas ordinaire au cas de la libration. Ce cas limite correspond 
a une certaine relation entre les conslantes d 'integration. Les divers termes du 
developpement de la fonction S, qui satisfait a liquation auxderivees parlielles 
de Jacobi, sont alors finis pour toutes les valeurs des yi, . . . ,//i. Us sontperio- 
diques de periode 4^ p ar rapport a y\_ et de periode 2?r par rapport aux 

y*i ?/ 

L'application de la methode d'integration de Jacobi au cas limite 
montre que les variables x^ #/-, y\-, y/ f tv/ ; sont alors developpables en 
series ordonn^es suivant les puissances de \//JE. et des cosinus et sinus des mul- 
tiples de ppa, ^:j? . - - , w n et dont les coefficienls sont des fonctions uniformes 
de Wi ; ces fonctions uniformes sont developpables suivant les puissances de 
e a "'S si Wi est n(5gatif et suffisamment grand, et suivant celles de e~ afri , si cri 
est suffisamment grand (a dtant une constante). On voit ainsi apparaitre les 
puissances d'une exponentielle comme dans les solutions asymptotiques. Et en 
effet, pour n = 2, les series dont il s'agit coincident avec les d^veloppements 

semi-convergents des solutions asymptotiques suivant les puissances de y/p.. En 
ordonnant suivant les puissances de Pexponentielle seule (en r^unissant en un 
seul tous les termes qui contiennent une m6me puissance de 1'exponentielle 
mais des puissances diflferentes de yfv? e H es deviennent convergentes. 

Pour n^>2j les solutions formelles dont il s'agit doivent &tre consid6r^es 
comme une generalisation des solutions asymptotiques. Elles se rapprochent 
pour t = +00 ou pour t = oo de certaines solutions renfermant n i argu- 
ments qui forment une generalisation des solutions periodiques ins tables. 

Poincare a essaye d'etendre la methode de M. Bohlin au cas d'exception ou F 
ne depend pas de toutes les variables # l7 . . . , x tl [279, chap. XXI] ( 1 ). Le pro- 

( J ) [279, chap. XXI], Les m&thodes nouvelles de la mecanique celeste^ t. 2, p. 422. 



L'OEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 291 

bleme g&i&ral dn mouvoment des planetes rentre dans ce cas. Poincar6 forme 
alors aussi la fonction S de Jacobi, en la deVeloppant suivant les puissances de 
yp. et suivant les multiples des variables y\., . . ., y n . Toutefois, dans ce cas, 
les Equations auxquelles conduit la me"thode d 'integration de Jacobi ne peuvenl 
plus se re"soudre par le proc(jde~ employe auparavant, c'est-a-dire par le the'oreme 
de Cauchj sur le de"veloppement des fonctions implicites. Les relations entre 
les variables #,-, yi et les arguments fp/ sont beaucoup plus complique'es que 
dans le cas ou F depend de tous les x ( . Les requitals obtenus par Poincare" dans 
le cas important d'exception dont il s'agit sont considers par lui-m^me comme 
bien incomplets, de sorte que de nouvelles Etudes deviendront ne"cessaires. 

Apres quelques anne~es, Poincar6 est revenu sur la me"thode de M. Bohlin en 
supposant encore que F depend de toutes les variables x^ . . . , x tl [280, 
chap. XXV] ( 1 ). 

II reprend d'abord le cas deja trait ou il n'y a qu'une sealc relation Iin6aire 

a coefficients entiers entre les nl ~j~$' Rappelons que les xi et lesy/ W{ 
sont alors de"veloppables en series trigonom^triques de n i arguments 
(V 2 , ...,(p /2 . Quant aux coefficients de ces series, Poincar^ les avail d6ve- 
lopp(5es auparavant en series trigonom^triques d'un argument r^el (P 4 . Main- 
tenant, il montre que, pour les solutions voisines du cas limite, ces coefficients 
peuvent se de>elopper suivant les puissances de deux quantite"s Ke y - L et A'e~~ a S 
ou a est reel et d(5veloppable suivant les puissances du produit (AA ; ). De cette 
maniere, c'est la p^riode imaginaire des coefficients qui vient en apparence et 
non plus la p6riode r^elle comme auparavant. 

Ensuite, Poincar6 g6n<5ralise la m^thode de M. Bohlin en supposant qu'il y a 
A' relations a coefficients entiers entre les /i 4 . II monlre que les xi et y- L sont 
alors d^veloppables suivant les multiples de n k arguments rapidement 
variables WK+I, . . . , tp n et suivant les puissances de yp. et de zk quantity's 
A t e a ' s k\er"^ ..., A/, e*t', 



conjugu^es deux a deux. Les A et A' sont des constantes arbitraires d'inte~gra- 
tion; les exposants a qui sont de 1'ordre de y^, peuvent se de~velopper suivant 
les puissances de yfc et des (AiA'J, . . ., (A/,A^). Dans le cas particulier ou 
k = n i, onretrouve les solutions asymptotiques en annulant tous les A ou 
tous les A'. 

( J ) [280, chap. XXV], Les methodes nowelles de la mecanique celeste, t. 3, p. 88. 



2(yj L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARl 

On voit ainsi que les solutions g6n6rales qui existent an voisinage d'une 
solution p<3riodique (veritable ou ge'ne'ralise'e avec plusieurs arguments) ne sont 
autre chose que des series de M. Bohlin. 



8. Divergence des series de MM. Lindstedt et 

On pourrait 6tre tente" de croire que les d^veloppements trigonomcHriques 
g6nraux dont nous avons parle donnent la solution rigoureuse et complete des 
Equations de la Dynamique qui peuveut se mettre sous la forme (i). Poincare' a 
brise* ces esp($rances et montre" que les series en question ne peuvent pas 6tre 
uniform^ment convergenles par rapport aux quantite's arbitraires qu'elles ren- 
ferment [183; 279, chap. XIII, XIX] (*). 

L'^tude de la convergence des series (i5) se subdivise. II faut d'abord exa- 
miner la convergence des d^veloppements pour x\ et yf et ensuite la conver- 
gence des se'ries totales pour xi ety^. 

Les quantit6s #* et jf ont la forme de se'ries trigonometriques des arguments 
Wi, ...,<:v Al . Certains coefficients de ces series sont agrandis en vertu des 

diviseurs ^ rtijiil . 

Dans 1'^tude de la convergence de ces series, Poincar6 s'appuie sur un the'o- 
r^ine d^montre' auparavant par lui et d'apres lequel la somme d'une s^rietrigo- 
nome'trique ne peut constamment rester iiife'rieure a la moiti^ d'un quelconque 
de ses coefficients [31; 93] (-). 

Ensuile, ^tant donn^es certaines valeurs de n\, . . . , TZ, il montre d'une part 
qu'on peut toujours trouver, dans tout voisinage de ces valeurs, d'autres valeurs 
n\, . . . , TI telles que les valeurs absolues des coefficients dans les ddveloppe- 
ments de x k L etjxf ne soient pas limit^es. Alors, ces d^veloppements ne sont pas 
uniform^ment convergents pour toutes les valeurs r^elles du temps. Mais 
Poincare' d^montre aussi d'autre part que, dans tout voisinage de ces monies 
valeurs n\, . . ., T^, il existe d'autres valeurs n\, . . ., T& pour lesquelles les 
se'ries convergent uniform^ment par rapport au temp's. 

Gela 6tant, les series donnant x\ et y\ ne peuvent pas converger uniforme'~ 



( J ) [183] QEwreS) t. VII, p. 262-479; [279, chap, XIII], Les methodes nouvelles de la meca- 
nique celeste, t. 2, p. 96; chap. XIX, t. 2, p. 3i5. 
( 2 ) [31] : OEuvres, t, IV, p. 585-58 7 ; [93] : QEuvre*, t. IV, p. 591-698, 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 298 

ment pour toutes les valeurs du temps et pour toutes les valeurs des x? dans 
un domaine aussi petit que Ton veut. 

Pour e>iter cette difficult^, Poincar fait la remarque qu'on peut grouper les 
terines du deVeloppement de la fonction caracte>istique F des Equations (i) 
suivant les puissances de p, de sorte que les de'veloppements pour #f et yf ne 
renferment qu'un nombre limite de termes. II suffitalors d'examiner la conver- 
gence des de'veloppements totaux ( 1 5 ) pour x- L et jy. 

Pomcare" de"montre d'abord que ces se'ries ne peuvent pas converger unifor- 
me'ment pour toutes les valeurs re'elles des w;. pour les valeurs suffisamment 
petites de p. et pour les valeurs des # comprises dans certains intervalles aussi 
petits que Ton veut. En effet, s'il y avait convergence, on pourrait re'soudre les 
Equations (i5) par rapport aux x\ et W L . On trouverait ainsi n inte'grales uni- 
formes, pe'riodiques par rapport auxy/. Mais il y a plus. On pourrait choisir p. 
et les x\ de sorte que la condition ( i5) soit pe"riodique. Enderivantpar rapport 
aux x\ et par rapport aux parametres additifs qui se trouvent dans les w n on 
obtiendrait un systeme cornplet de solutions des Equations aux variations. Ces 
solutions seraient ou bien pe'riodiques ou bien line'aires par rapport a t avec 
des coefficients pe'riodiques. Ainsi tons les exposants caracte'ristiques de la 
solution p^riodique (i5) seraient nuls. Enge'ne'ral, il n'en est pas ainsi. Done 
les se'ries (i5) ne convergent pas uniforme'ment par rapport aux quantite"s p, 
wt et x* t . 

Enfin, Poincar^ se demande si les series (i5) peuvent converger uniforme'- 
ment pour toutes les valeurs re'elles des wi et pour les valeurs suffisamment 
petites de ^, les x\ 6tant cnoisis convenablement. Les raisonnements qu'il fait 
ne lui permettent pas d'affirmer que ce fait ne se pre'sentera pas. Toutefois, 
pour certaines raisons, Poincare' regarde cette convergence comme fort invrai- 
semblable. 

D'une mani^re analogue, Poincare' de'montre que les series de M. Bohlin 
sont divergentes au mme titre que celles de M. Lindstedt. En efiet, si les 
se'ries e"taient convergentes, on obtiendrait, en re"solvant les formules de Jacobi, 
n inte'grales uniformes par rapport aux x et y et p6riodiques par rapport auxy, 
ce qui est impossible. 

II n'est pas difficile de comprendre pourquoi les se'ries dont il s'agit sont 
divergentes. Pour les se'ries de M. Lindstedt, la divergence depend des petits 
diviseurs s'introduisant par les integrations ; h pour les se'ries de M. Bohlin au 



2 g4 L/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

contraire, elle r&ulte des grands muliiplicateurs qui apparaissent en vertu des 
differentiations successives. 

Toutefois, la divergence n'emp6che pas que ces series nepuissentrendre des 
services considerables d'une part dans 1'etude qualitative des orbites et d'autro 
part quand il s'agit du calcul pratique des perturbations. En general, les astro- 
nomes ne se sont pas occupes de la question de la convergence; ils ont forme 
des series satisfaisant formellement aux Equations du mouvemeni; ils ont 
constate que les premiers termes de ces series diminuent plus an mo ins rapi- 
dement et que la theorie est en general d'accord avec les observations. 

C'est Poincare qui le premier a explique d'une manifcre satisfaisante cet 
accord. II a montre [279, chap. VIII] ( L ) que les series qui satisfont formelle- 
ment a un syst^me d'equations differendelles sont semi-convergentes etqu'elles 
representent asjmptotiquement la solution cherchee pour un certain temps 
limite. Pendant ce temps, les series de la Mecanique celeste jouissent done des 
inmes proprietes que la serie de Stirling. Appelons par example Xf et Yf les 
sommes qu'on obtient en negligeant dans les developpements ( 1 5 ) et dans leurs 
arguments wt tous les termes en i*P +i , i*f }+z , . . . On aura 



lim 

u.o 



J.P 



= o ? lim 



Puisque p est donne, Tapproximation est limitee. D'ailleurs, 1'approximation 
diminue quand Pintervalle du temps augmente. Toutefois, etant donnees les 
petites valeurs des masses des plan&tes, les developpements nouveaux de la 
Mecanique celeste representeront probablement le mouvement des corps celestes 
avec une trs grande approximation pendant des iiitervalles de temps extr- 
mement longs. 

9. Invariants integraux, 

Pour arriver k certains resultats delicats, dans ses recherches sur les equa- 
tions de la Djnamique. Poincare s'est appuye souvent sur une notion nouvelle 
creee par lui, celle des invariants integraux [183; 280, chap. XXII, XXIII] ( 2 ). 



C 1 ) [279, chap. VIII], Les m&thodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 2, p. i. 
( 2 ) [183], CEuvres, t. VII, p. 262-479; [280, chap. XXII, XXIII], Les mtthodes nouvelles de la 
mecanique celeste, t. 3, p. i et t. 3, p. 40. 



L'GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 
Rappeloiis par quelques mots leur definition. Soit 

dxx c ^l _ clx >i _ // 

*' v ' * * v ? 



*' 

A 



un syst&me d'equations diflferentlelles. Soit #J, . . . , x* n un point quelconque 
d'un domaine D(o) a Jc dimensions. Les valeurs initiales x\, ..., x* n pour 
t o defmissent une certaine solution des equations (21). Soit dans cette 
solution x\, . . ., x n les valeurs des variables pour la valeur t de la variable 
independante. Quand le point #',', . . . , x* n parcourt le domaine D(o), le point 
a?i, . . . , x n parcourt un domaine D(t) appele le consequent de D(o). Conside- 

rons une integrate 

r 

J lj ; !?> ll)-> 

F etant une fonction homog&ne de degre A* par rapport aux differentielles. Si 
la valeur de I etendue sur le domaine D() est independante de t, Poincare dit 
que I est un invariant integral d'ordre A* du system e (21). 

Comme exemple, citons le volume constant d'une partie determinee d'un 
fluide incompressible dont le mouvement est permanent. 

Soit d'une manure plus generale M le dernier multiplicateur du systSme 
(21). Poincare demontre que 

I = / M dx\ . . .djs, n 

est un invariant integral. 

Dans le cas des equations de la Dynamique, on peut former un certain 
nombre d'invariants integraux tr6s importants. Soit #/, yi (i~ i , 2, . . . , n) les 
variables conjuguees. En partant des proprietes des equations aux variations, 
Poincare demontre que 

/^K^ 

Il= J i^'^" 

i 
h J ^ dxt dy t dx k dy k , 



(22) 



l n = / 



n dy n 



sont des invariants integraux, Le dernier peut &tre obtenu aussi par le dernier 
multiplicateur qui est ici 3gal a I'unit6. Dans ses recherches sur les solutions 
periodiques du deuxi^me genre, sur les solutions doublement asymptotiques et 



296 I/GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE, 

sur la stability du mouvernent, Poincare a tire' un grand parti des invariants 

Ii etl*. 

Soit X[ et y\ les projections des rayons vecteurs et des quantites de mouve- 
ment d'un syst^me de points mat6riels. En supposant que la fonctioii des forces 
est homogene de degre p par rapport aux#, Poincare' de'montre que 1'exprcssion 

1=1 ^ (2 x l dy L pyi dxi ) 

i 

est une fonction line'aire du temps. 

En partant de ce th^or^me, Poincare' de"duitcertaines formules de verification 
[149; 280, chap. XXIV] (*) auxquelles doivent salisfaire les series ge'ne'rales 
qui satisfont formellement anx Equations diff6rentielles de la Me'canique celeste, 
series dont nous avons parl dans les trois nume'ros pre'ce'dents. Ces proce'de's 
de controle ont une grande importance pratique, vules calculs longs et difficiles 
qui sont n^cessaires pour de'duire les series en question. 



10. Solutions periodiques du deuxieme genre. 

Les solutions pe'riodiques dependent en ge'ne'ral d'un certain nombre de 
parametres. Dans plusieurs probl^mes de la Me'canique ce'leste, la quantit6 JJL, 
qui estde 1'ordre des forces perturbantes, est un de ccs parametres. Rappelons 
que dans le probleme des trois corps les solutions pe'riodiques de la premiere, 
de la seconde et de la troisieme sorte renferment encore un parametre essentiel. 

Cela e'tant, Poincare' considere un systeme d ? 6quations diffe'rentielles ayant 
une solution pe'riodique P qui de'pend d'un parametre A et dont la pe'riode 
est T. De'signons par P et T la solution pe'riodique et sa pe'riode pour A = o. 
Poincar6 se demande si les Equations admettent d'autres solutions pe'riodiques 
dont la pe'riode, pour de petites valeurs de X, est a peu pres un multiple /?T 
de To, et lesquelles se confondent avec la solution pe'riodique P pour i = o. 
Ces solutions, si elles existent, s'appelleront solutions periodiques du deuxieme 
genre [183; 280, chap. XXVIII] ( 2 ). 

C 1 ) [149], OEuvres, t. VII, p. 555-557; [280, chap. XXIV], Les mtthodes nouvelles de la 
mecanique celeste, t. 3, p. 4- 

( 2 ) [183], CEwres, t. VII, p. 262-479; [280, chap. XXVIII], Les methodes nouvelles de la 
mecanique celeste, t. 3, p. aor. 



L'OEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 297 

Pour qu'une solution au voisinage de P ait la p^riode />(ToH-?), il faut et 
il suffit que r et les valeurs initiales des variables satisfassent a certaines Equa- 
tions de condition. En forrnant ces equations et en partant aussi de liquation 
qui donne les exposants caracte"ristiques de P conside're'e cornme une solution 
p6riodique avec la pdriode />T , Poincare* arrive au r^sultat suivant : pour qu'il 
existe des solutions pe'riodiques da deuxierne genre, il faut que pour A = o 1'un 
des exposants caracteristiques de P , qui n'est pas identiquement nul, soil un 

multiple de 2 n v ~~ l ( soil <*i = 9 ' i; ") r ~' 1 , k et p e"tant des entiers ) - 

P *~u \ p LO * / 

CetLe condition n'est pas suffisante en ge'ne'ral, puisque les nouvelles solutions* 
peuvent ne pas &tre reelles. Mais Poincare d<3montre que la condition e'nonce'e 
est aussi suffisante pour 1'existence de solutions p^riodiques du deuxime 
genre, quand il s'agit des Equations de la Dynamique. 

Pour la demonstration, Poincare part de 1'invariant integral Ii des formules 
(22). En designant par / et m les valeurs de x t et y- t pour t o et par X,- et Yj 
les valeurs de x- L et yi pour t pT on aura 



Fint^grale double 6tant (5tendue a une aire quelconque A. En remplagant Finte'- 
grale double par une int^grale simple ^tendue au contour de 1'aire A, Poincare' 
trouve que 1'expression 



est une difFe'rentielle exacte. 

S p est une fonction holomorphe des /, des 73 / et de T au vcisinage des valeurs 
, 73, To, en designant par^, rj z , les valeurs initiales qui correspondent a la 
solution p6riodique Po- Poincare" de'montre que S^ est aussi holomorphe par 
rapport aux variables X/ + ^, YZ-J- 73; et T. 

On peut regarder T comme le param&tre qui caract^rise la solution p6rio- 
dique. Les conditions de pe'riodicite' qui s'^crivent 

(23) X / -?/=o, 

prennent la forme 

dS 



H. P. XI. 38 



2 gS L'QEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE 

ou bien 



Ces Equations sont salisfailes par les valeurs $1= /, Y)/= vi/ (fonctions de T) 
qui correspondent a la solution pe"riodique P de pgriode T. Poincare pose 
,- = H,--f- - , YI/ = yj/-f- '/)) . S,, devient une fonction des t t et des rjj qui est station- 
naire quand les | et les ^ s'annulent, T 6tanl quelconque. Les lermes da 
second ordre par rapport aux E- et -fy peuvent se mettre sous la forme d'une 
somme de Carre's de fonctions line'aires et homogenes par rapport aux % et r\ i . 
En d6veloppant les formules, Poincare' de'montre que les coefficients de deux de 

ces Carre's, ajant le mme signe, renferment le facteur sin~~F=? lequel 
s'annule en changeant son signe quand T passe par T . Les coefficients des 
autres Carre's ne s'annulent pas alors. 

En partant de cette proprie'te' de la fonction S p , Poincare' de'montre que les 
equations (a4) res P* ( 2 3) possedent encore des solutions reelles difFe'rentes de 
/ = ,-, vjf= Tji et qui coincident avec cette solution pour T T . Ces nouvelles 
solutions donnent les valeurs initiates des solutions pe'riodiques du deuxieme 
genre. 

Les re"sultats subsistent aussi dans le cas ou la fonction caracte'ristique F des 
Equations diffe'rentielles est p(5riodique par rapport aux j^ de p^riode 27: et si, 
dans la solution pe'riodique, les yi augmentent de 2 W/TT au bout de lape"riode T 
(mi 6tant entier). On n'aura qu'a remplacer Y/ par Y, zmipn dans les 
raisonnements. 

Poincar6 a fait une 6 tude plus de'taille'e des solutions pe'riodiques du deuxieme 
genre dans le cas relativement simple ou il n'y a que deux degr^s de liberty 
(renfermant comme cas special le probleme restraint des trois corps). II montre 
alors comment on peut former effectivement ces solutions [280, chap. XXX] ( 1 ). 
Les de'veloppements, auxquels il arrive, precedent suivant les puissances de y/X. 
Quand p > 4 5 on aura deux solutions pe'riodiques du deuxieme genre essentielle- 
ment diffe'rentes, qui se confondent pour A = o avec la solution p^riodique du 
premier genre, et qui sont replies toutes les deux ou bien pour X> o ou bien 
pour A < o. L'une de ces solutions pe'riodiques du deuxieme genre est stable, 
Fautre instable. Quand p = 2, 3 ou 4, les choses se compliquent et plusieurs 
hypotheses sont possibles. 

t 1 ) [280, chap. XXX], Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 3, p. 294. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 299 

Dans le cas des Equations (i), on aura des solutions pe'riodiques du premier 
genre dans lesquelles les variables j/augmentent de multiples de arrau bout de 
la pe'riode. Les exposants caracte"ristiques sont de'veloppables suivant les puis- 
sances de y/fj. et sont divisibles par y/p.. Pour les solutions pe'riodiques du 
deuxieme genre qui j correspondent, le nombre p est done ne'cessairement 
considerable et la pe'riode tres longue. 

Supposons deux degre's de liberte'. Admettons que pour ^ = p. Q Tun des 
exposants caracteristiques de la solution pe'riodique du premier genre soit un 

multiple de 4p En admettant que p. ne soit pas trop grand, Poincare' 

de'montre que c'est pour u > p. qu'exislentalors les deux solutions pe'riodiques 
du deuxieme genre . 

Le probleme restreint des trois corps rentre dans ce cas, et alors ce sont les 
solutions pe'riodiques de la deuxieme sorte qu'il faut regard er comme du 
premier genre. 

Mais le probleme restreint possede aussi des solutions periodiques de la pre- 
miere sorte. Si la masse ^ est petite, les deux exposants caract^ristiques qui ne 

sont pas identiquement nuls sont voisins de * *~ ? T 6tant la pe'riode. On 

peut regarder /JL comme conslante, tandis que la constante G de Finte'grale de 
Jacobi joue le role du parametre A. En admettant que la masse de la planete 

perturbante (Jupiter) soit 3 la masse du Soleil e'tant choisie comme unite, 
G. H. Darwin ( 4 ) a calcule' par quadratures m6caniques les solutions pe'riodiques 
de la premiere sorte pour diverses valeurs de G. Pour une certaine valeur Co 
(correspondant a un moyen mouvement de Faste'roide un peu plus grand que 
trois fois celui de Jupiter), Darwin trouve que Fexposant caracte"ristique passe 

par la valeur ^~ (T e'tant la pe'riode qui correspond a Go). Pour les valeurs 

de C un peu plus grandes que C (T < T ), Fexposant caracte'ristique est pure- 
ment imaginaire, et Forbite p^riodique stable; au contraire, quand C est un 
peu plus petit que Co, 1'exposant caract6ristique est complexe, etl'orbite pe'rio- 
dique est instable, 

Poincare" a repris la question [280, n os 381-384] ( 3 ) par la voie analytique en 
ne"gligeant, pour abre'ger, tous les termes de courte pe'riode dans le de'veloppe- 

(1) Ada Math., t. 21, 1897. 

( 2 ) [280, n os 381-384], Les mithodes de la m6canique celeste, t. 3, p. 352-36i. 



3oO I/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

ment de la fonclion perturbatrice. Les Equations du mouvemcnt peuvent alors 
tre complement integr^es. Poincar<5 arrive aux conclusions suivantes : pour 
deux valeurs Co et Ci(G > Ci), correspondant a des moyens mouvements un 
peu plus grands et un pen plus petits que le triple du moyen mouvement de 
Jupiter, la solution p^riodique de la premiere sorte change sa stability. Si G 
est un peu plus grand que C , la solution p6riodique de la premiere sorte 
(considr6e comme du premier genre) est stable. Quand G passe par C , cette 
solution devient instable. En mme temps, deux solutions p^riodiques stables 
et du deuxi&me genre apparaissent qui n'existaient pas pour C >> Co. Elles 
coincident pour C C avec la solution p^riodique de la premi&re sorte. La 
periode de ces deux solutions (qui ne sont pas essentiellement difF^rentes 1'une 
de 1'autre) est d'abord deux fois celle de la solution p^riodique du premier 
genre. Entre Co et Ci, la solution p^riodique de la premiere sorte reste instable. 
Quand C passe par C u cette solution redevient stable. En m&me temps appa- 
raissent deux solutions p^riodiques (pas essentiellement distinctes) instables 
et du deuxikme genre, coi'ncidant pour C = Ci avec la solution p^riodique dela 
premiere sorte et n'existant que pour G < Gt- Leur p^riode est d'abord deux 
fois celle de la solution p6riodique de la premiere sorte. Poincar6 fait la 
remarque que les solutions p^riodiques du deuxi&me genre qui apparaissent 
ainsi quand C passe par C et d ne sont autre chose que les solutions appel^es 
auparavant solutions p^riodiques de la seconde sorte. 

Poincar6 n'a pas ^tudi6 d'une rnaniere g^n^rale la stabilit6 des solutions 
p&riodiques de la premiere sorte dans le probl^me des trois corps. II me semble 
qu'une telle 6tude pourrait nous donner des renseignements importants sur les 
limites entre lesquelles peuvent exister des orbites g^n^rales a peu pr^s circu- 
laires. Peut-6tre serait-il possible d'expliquer ainsi les lacunes fameuses dans 
Fanneau des ast6roides. 



11. Nouvelles generalites sur les solutions periodiques. 

Quand il s'agit de d^montrer 1' existence de certaines solutions dans un pro- 
bl&me dynamique, il est souvent utile d'appliquer les principes du calcul des 
variations. En effet, a cheque s.jsl6me dynamique correspond une int^grale, 
nomm^e V action maupertuisienne, dont la variation est nulle quand 1'int^- 
gration s'efFectue le long d'une orbite du systSme, Pour que Faction soit effec- 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3oi 

tivement minima en suivant une orbite S entre deux points M et M 4 , il faut 
et il suffit qu'il n'y ait aucun foyer de M entre M et M 4 . Rappelons que le 
foyer de M est un point M' sur 1'orbite S tel qu'il y ait des orbites qui se 
rapprochent de M et de M' a des distances infiniment petites du second ordre. 

Poincar6 applique la the'orie des foyers aux solutions pe'riodiques des Equa- 
tions de la Dynamique ayant deux degres de liberty [280, chap. XXIX] (*). II 
montre que cbaque point d'une orbite pe'riodique stable possede un foyer. Au 
contraire, les orbites pe'riodiques instables peuvent se re"partir en deux cate- 
gories. Sur une orbite pe'riodique de la premiere cate'gorie aucun point n'a de 
foyer. Une orbite pe'riodique de la seconde cate'gorie se partage en un nombre 
pair d'arcs. Chacun des points de 1'un des arcs aura son premier foyer sur Fare 
suivant. 

Cela e"tant, Poincare" de'montre la proposition : Pour qu'une courbe fermee 
corresponde a une action rnoindre que toutes les courbes fermees infiniment 
voisines, il faut et il suffit que cette courbe fennee corresponde a une solu- 
tion periodique instable de la premiere categorie. 

En partant du principe de moindre action, Poincar de'montre encore une 
fois 1'existence des solutions pe'riodiques du deuxieme genre, en supposant 
qu'il y a deux degre's de Iibert6 et qu'il s'agit du mouvement absolu [280, 
n os 371-376] ( 1 ). Soit P une orbite pe'riodique stable renfermant un parametre ).. 
Soit T la pe'riode et admettons que pour A = o 1'exposant caracte"rislique a ait 



la valeur a r^: ? *"'" ^~~ l , k et p 6tant des entiers (p > 4). Poincare' 

d'abord que, sur 1'orbite pe'riodique qui correspond a Az^ro, chaque point 
coincide avec son 2A > - i6me foyer et qu'on arrive a ce foyer apres avoir fait/? fois 
le tour de Forbite P. Puis il de'montre que, X extant a peu pros ze'ro et situ6 d'un 
certain cote' de z^ro, il est possible de dresser par chaque point M de Forbite 
pe'riodique deux autres orbites qui se recoupent en ce m&rne point apres avoir 
fait/> fois le tour de Forbite P et en la coupant 2/c fois. A chaque point de P 
correspondent ainsi deux boucles. En faisant la m6me construction pour tous 
les points M de P, on obtiendra deux series de boucles. L'action calcule'e le 
long d'une de ces boucles variera avec la position du point Mj pour chaque 
se"rie elle aura au moms un maximum et un minimum. Poincare' de'montre que, 
si Faction est ainsi maxima ou minima, les deux tangentes de la boucle au 

(*) [280], Les met/lodes nouvelles de la mccanique celeste, chap. XXIX, t. 3, p. 2^9; n os 371-376, 
t. 3, p. 33i-343. 



3 02 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

point M coincident de sorte que la boucle est une solution p&riodique. On 
obtiendra ainsi ^k solutions pgriodiques mais dont seulement deux sont 
essentiellement diff^rentes. L'une correspond au maximum, 1'autreau minimum 
de Faction. Les solutions ainsi troupes sont gvidemment les solutions p6rio- 
diques du deuxime genre. 

La demonstration ne s'etend au cas du mouvement relatif que si 1'action 
reste positive tout le long de P, ce qui n'arrive pas toujours. 

Poincar6 a consacre [361] ( x ) ses derniers efforts a la demonstration d'un 
theor&me de Geometric qui lui permettrait d'etendre considerablement nos 
connaissances sur les solutions p^riodiques des probl&mes de la Dynamique 
ajant deux degnSs de liberUS. Le th^orSme dont il s'agit fut demontr^ quelques 
mois aprtjs la mort de Poincare par M. G. D. Birkhoff ( 2 ). En voici I'6nonc6 : 

Regardons une couronne Iimit6e par deux circonferences concentriques. 
Supposons qu'une transformation ponctuelle biunivoque transforme la cou- 
ronne en elle-m&me, de sorte que les deux circonferences tournent en sens 
contraires. Admettons de plus que la transformation conserve les aires ou, plus 
g6neraiement, qu'elle admet un invariant integral positif, c'est-a-dire qu'il 
existe une fonction positive /(#, y) telle qu'on ait 



les deux integrates etant etendues a une aire quelconque et a sa transform^e. 
Alors, il existera toujours a 1'interieur de la couronne deux points qui ne seront 
pas alters par la transformation. 

Poincare applique [361] ( ) ce theorme, de 1'exactitude duquel il 6lait 
convaincu, aux probl^mes de Dynamique ayant deux degr6s de liber te et en 
particulier au probl&me restreint des trois corps. Rappelons bri^vement en 
quoi consiste ce probl&me : Un corps A, dont la masse est infiniment petite, 
est attir^e par deux corps S (Soleil) et J (Jupiter), qui se meuvent en cercles 
concentriques. Le mouvement de A a lieu dans le plan de ces cercles. Le pro- 
bl&me restreint admet une integrate premiere, appelee 1'integrale de Jacobi. II 
est bien connu par les travaux de MM. Hill et Bohlin que, pour des valeurs 
grandes de la constante de Tint^grale de Jacobi, le mouvement de A est limits 
par une certaine courbe ferm^e, sur laquelle la vitesse relative de A est nulle. 

(0 [361], CEuvres, t. VI, p. 499-538. 

( 2 ) Trans. Amer. Math. Soc., vol. 14, n 1, 1912. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3o3 

Si la constante de Jacobi est assez grande, 11 y a trois courbes limiles fermees, 
la premiere entourant le corps S, la seconde le corps J et la troisiSme Finfini. 

Poincare admet que la force vive dans le mouvement relatif ait une valeur 
determine et si grande que la courbe limile entourant S existe; il admet aussi 
que le corps A se trouve a Forigine du temps a Finterieur de cette courbe. Cela 
etant, en admettant qu'il existe une solution periodique stable, Poincare 
montre qu : il y a necessairement une infinite de solutioiis periodiques (ce 
qui n'etait demontre auparavant que pour de petites valeurs du rapport des 
masses de J et de S). Rappelons en peu de mots les principes de la demons- 
tration. 

Etant donn Fintegrale de Jacobi, qui donne en chaque point la grandeur de 
la vitesse relative, le mouvement depend seulement de trois elements : les 
deux coordonnees relatives du point mobile A et la direction de sa vitesse 
relative. Poincare montre qu'on peut faire correspondre d'une mani&re univoque 
a chaque element un point de Fespace. A chaque solution correspond ainsi une 
courbe dans cet espace; et par chacun des points de cet espace passe toujours 
une courbe et une seule. A chaque solution periodique correspond une courbe 
fermee et inversement. Soit C la courbe fermee qui correspond a la solution 
periodique stable donnee. Imaginons maintenant une aire D limitee par cette 
courbe. Poincare suppose que cette aire D est simplement connexe et ne se 
recoupe pas elle-meane, et de plus qu'elle est sans contact^ c'est-a-dire qu'en 
aucun point de cette aire line courbe C (correspondant a une solution gene- 
rale) ne vient toucher la surface courbe dont cette aire fait partie. 

Soit alors P un point quelconque de D, et P' le consequent de P c'est-a-dire 
le point ou la courbe C, qui passe par P, recoupe la procbaine fois Faire D. 
Poincare demontre que la transformation T qui fait passer d'un point a son 
consequent est une transformation ponctuelle continue de Faire D en elle- 
m6me. D'ailleurs, il r^sulte de la th^orie des invariants int^graux [280, 
chap. XXVII] ( A ) que la transformation T admet un invariant integral positif. 

Soit maintenant a \J i les exposants caracteristiques de la solution 
periodique stable consider6e. Poincar6 demontre qu'on peut assimiler Faire D 
a Faire d'un cercle, an point de vue de V Analysis Situs, de cette maniere que 
par la transformation T ce cercle se transforms en Iui-rn6me, la p6ripherie 

ayant tourne de Fannie > m etant un certain entier. 

J , a -h m 

C 1 ) [280, chap. XXVII], Les methodes nouvelles de la mec&nique celeste, t. 3, p. 176. 



304 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Un theor^me de Kronecker cnseigne alors qu'il y a, a rinterieur de D, un 
nombre impair de points inalle're's par la transformation; a cliacun de ces 
points correspond une solution pe'riodique; une au moins de ces solutions est 
stable. Soit Po le point correspondant; nous pouvons choisir nos coordonne~es 
de sorte que ce point corresponde au centre du cercle. 

Soit (3 Y/ i les exposants caracteristiques de la solution pe'riodique stable 
qui correspond a la courbe ferme'e G' qui passe par P . Poincare de"montre 
que, par la transformation T, la region pres du centre du cercle tourne de 
Tangle 27r(|3 -+- n) autour da centre, n etant un certain entier. 

L'aire du cercle peut tre ccmside're'e comme une couronne dont le rayon 
inte'rieur est nul. Cela pos6, ftffectuons d'abord la transformation T^ 3 , puis- 
sance jp ifeme de T, et ensuite une seconde transformation qui tourne tout le plan 
du cercle de Tangle 2^71, q 6Lant un entier quelconque. En combinant ces 
transformations, les deux circonfe'rences de la couronne tourneront des angles 



(25.) 



A moins que ((3 -f- n) (a -+ rn) = i , on pourra trouver une infinite de couples 
de nombres entiers p et q tels que les deux angles (a5) soient de signes 
contraires. Le th^or^me ge'omtoique de Poincar^-Birkhoff est done applicable. 

Comme p et q peuvent prendre une infinite de valeurs, cela nous fait une 
infinite de solutions pe"riodique s. 

En variant les donates du. problome, les solutions periodiques et les 
exposants caracteristiques clia.ngent. Les solutions p6riodiques qui corres- 
pondent au couple jt?, q ne peuA r ent disparaitre qu'en se confondant avec Tune 
ou 1'autre des deux solutions periodiques qui correspondent aux courbes 
ferm^es C et C' c'est-a-diro si 



On retro uve ainsi les solutions pe"riodiques du deuxieme genre. 

II reste a dire que, pour depetites valeurs de la masse JJL du corps J, on pent 
s'arranger de sorte que Co et C ; correspondent aux deux solutions periodiques 
de la premiere sorte. 

fividemment, ces derni&res; recherches de Fillustre savant ouvrent des 
perspectives tres 6tendues sur la the"orie g6nerale des solutions periodiques. 
Poincare dit lui-meme qu'il entrevoit, mais d'une mani^re beaucoup plus 



L'OEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3o5 

vague, qa'on pourrait se servir de cette me"thode pour montrer que les solutions 
p<5riodiques sont uberalldicht. 



12. Solutions doublement asymptotiques . 

Les solutions asymptoliques qui existent au voisinage d'une solution perio- 
dique instable se partagent en deux families. La premiere famiDe renferine les 
solutions qui pour t= oo se rapprochent asymptotiquement de la solution 
pe'riodique; dans la seconde famille au contraire, ce rapprochement asympto- 
tique a lieu pour 4-00. II est facile d'e~tudier les solutions asymptotiques de 
la premiere famille pour des valeurs tres grandes et negatives de t; mais il est 
encore impossible de poursuivre cette etude pour des valeurs tres grandes et 
positives de t. Inversement, l'6tude des solutions asymptotiques de la seconde 
famille doit 6tre tres complique'e pour des valeurs tres grandes et negatives 
de t. 

L'une des plus belles d^couvertes de Poincare se rattache a la the'orie des 
solutions asymptotiques. La the'orie des invariants inte'graux, cre'ee dans ce 
but, lui permet en eflet de de'montrer 1'existence de solutions doublement 
asymptotiques qui se rapprochent asymptotiquement d'une solution pe'riodique 
d'une part, pour t = oo et, d'autre part, pour = -|-oo [183; 280, 
chap. XXVII, XXVIII] (<). 

Dans 1'^tude de ces solutions, Poincare se borne a un cas tres particulier, 
celui du probleme restreint des trois corps. II admet que le rapport p. des 
deux masses attirantes est tres petit. II admet aussi que la constante de Jacobi 
a une valeur si grande que la courbe limite entourant S existe, et que le 
corps A se trouve a 1'origine du temps a 1'inte'rieur de cette courbe. Alors le 
corps A n'en sortira jamais (cf. p. 3o2-3o3). 

Les Equations du mouvement peuvent se mettre sous la forme (i) avec deux 
degre's de liberty. Poincare' d^montre d'abord que 1'on pent d^finir les variables 
canoniques x, #2, ^i, J"a de sorte que la variable angulaire y% soit toujours 
croissante. II y parvient en choisissant les variables de maniere que les solu- 
tions pe"riodiques de la premiere sorte et a mouvement retrograde prennent une 
forme particulierement simple. 

( x ) [183], QEuvres, t. VII, p. 262-479; [280], Les methodes nouvelles de la mecanique celeste^ 
chap. XXVII, t. 3, p, 176; chap. XXVIII, t. 3, p. 201. 

H. P. XL 3 9 



3o6 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Enfin, pour faciliter 1'exposition, Poincar6 fait usage d'un mode de repre"- 
sentation ge'ome'trique. Par les conditions 

o^ri<2~, o^j>- 2 <2^, F(> 15 J? 2 , yi, r s ; = G 

se definit une multiplicity a trois dimensions. Entre cette multiplicity et les 
points X, Y, Z de 1'espace tout entier, Poincare' <5tablit une correspondance 
ponctuelle biunivoque au moyen des relations 



** 



ou v = A la surface z = const, correspond ainsi un tore autour de 1'axe 

des Z. Ce tore se re"duit a 1'axe des Z pour z = o et au cercle Z o, X 2 -+- Y- = i 
pour z = co . 

Pour une orbite quelconque, le point repre~sentatif X, Y, Z tourne toujours 
autour de 1'axe des Z dans le sens direct. A chaque solution p6riodique corres- 
pond une courbe ferme'e faisant un certain nombre de tours autour de 1'axe 
des Z. 

MQ 




Regardons une solution pe"riodique instable de la deuxieme sorte et 1'en- 
semble des solutions asymptotiques qui y correspondent. Ces solutions 
engendrent dans Tespace X, Y, Z deux surfaces asymptotiques se coupant 
suivant la courbe ferme'e qui correspond & la solution peYiodique. Pour JUL = o 
les solutions asymptotiques deviennent toutes pe"riodiques, les deux surfaces 
asymptotiques coincident et se re"duisent a 1'un des tores mentionne"s, qui 
coupe le demi-plan XZ (ou X>o,Y = o) suivant un certain cercle C. 
Supposons maintenant fx>- o et tres petit. Admettons, pour fixer les id6es, que 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 307 

Porbite periodique rencontre le demi-plan XZ en deux points M et Mj. Ces 
points se trouvent a peu prfcs aux deux bouts d'un diam&lre du cercle C. 
SoitPoMoAo etPiM 4 Ai deux parties de 1'mtersection de la premiere surface 
asymptotique avec le demi-plan XZ et QoMoB^ Q^Eo deux parties de 
Fintersection de la seconde surface asymptotique avec ce mme demi-plan. 
Si p est assez petit, les deux courbes M A et MiBo suivent etroitement le 
cercle C aussi loin que Ton peut admettre que A et B se trouvent surle mtoe 
rayon du cercle C. Poincare montre sur un exemple particulier que les deux 
branches M A et M^Bo ne coincident pas en general. Gela etant, soit A et B 4 
les premiers consequents de A et B , A 2 et B 3 les premiers consequents de A! 
et Bi. Poincare montre que les distances A A 2 et B B 2 sont de 1'ordre de ^/jl, 
tandis que les distances A B et A 2 B 2 sont de 1'ordre infini par rapport a p. 

Poincare demontre que les deux arcs A A 2 et B B 2 se coupent ngcessai- 
rement. S'il en est ainsi, 1'existence d'une solution doublement asymptotique 
est evidentc. 

C'est dans cette demonstration qu'intervient la thuorie des invariants inle- 
graux. En partant de Pinvarianl integral 

/ dtti dj- } do:* dy* 

et en introduisant comme variables d'integratioii C, y*>, ^X 2 + Y 2 et Z, 
Poincare arrive a un invariant integral positif, ou la fonction a integrer est 
periodique par rapport a j 2 . En y mettant successivementy 2 = o, 271, 471, . . . 
et en laissant de cote dC et dy%, il trouve enfin une integrate 

1= 

jouissant de la propriete suivante. Soit a une courbe fermee quelconque dans 
le demi-plan XZ. Les orbites qui passent par a- forment une surface tubulaire 
dont les intersections successives avec le demi-plan XZ sont 0-4 , a 2 , ... (appelees 
les consequents de <r). Alors, 1'integrale I, etendue successivement sur les aires 
limitees par <r, <7 1? o- 2 , . . . , aura toujours la m^me valeur. Enfin, en vertu des 
suppositions faites, la fonction O est fmie et positive dans tout le demi-plan. 

Gomme courbe o-, Poincare choisit la courbe fermee MoAoBoMj. AtBtMo. Sa 
consequente o- 4 sera M 1 AiB i M A 2 B 2 M 1 . Puisque Fintegrale I aura la m6me 
valeur pour 1'aire limitee par a- que pour Paire limitee par Gr 4 , les arcs A A 2 
et BoB 2 ne peuvent pas tre situes comme le montre la figure. Car alors Pinte- 



3o8 L'GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

grale I elendue sur 1'aire A A 2 B 2 Bo serait nulle, ce qui n'a pas lieu. Ainsi les 
arcs A A 2 et B B 2 se coupent ne'cessairement. Par leur point de rencontre 
passe ^videmment une solution doublement asymptotique. 

Poincare' va beaucoup plus loin en de"montrant qu'il existe une infinite de 
solutions doublement asymptotiques. Pour le faire voir, il choisit A sur la 
solution doublement asymptotique deja trouve"e. Alors A et B coincident 
d'une part et A 2 et B 2 d'autre part. Cela etant, de 1'existence de FinttSgrale I il 
n'est pas difficile de tirer la consequence qu'il passe en eilel une infinite de 
solutions doublement asymptotiques entre A et A 2 . 

Citons enfin quelques mots dc Poincar^ en ce qui concerne ces solutions : 

Que 1'on cherche a se repr^senter la figure f ornate par ces deux courbes 
et leurs intersections en nombre infini dont chacune correspond a une solution 
doublement asymptotique, ces intersections torment une sorte de treillis, de 
tissu, de r6seau a mailles infiniment serrees; chacune des deux courbes ne doit 
jamais se recouper elle-m6me, mais elle doit se replier sur clle-m6me d'une 
maniere tres complexe pour venir recouper une infinite" de fois toutes les 
mailles du re"seau. 

On sera frappe de la complexity de cette figure, que je ne cherche me"me 
pas a tracer. Rien n'est plus propre a nous donner une ide"e de la complication 
du probleme des trois corps et en ge'ne'ral de tous les problemes de Dynamique 
ou il n'y a pas d'inte" grale uniforme et ou les series de Bohlin sont divergentes. )> 

fividemment, en vertu de leur caractere tout a fait special, il est infiniment 
peu probable qu'une solution asymptotique ou doublement asymptotique se 
trouve jamais re'alise'e dans la nature. Ne'anmoins 1'importance de ces solutions 
au point de vue des recherches qualitatives ne peut 6tre estimee trop haut. 
Prises ensemble avec les solutions pe>iodiques, ces nouvelles solutions de"cou- 
vertes par Poincare" forment pour ainsi dire le canevas du tissu si encheve'tre' 
forme' par la totality des orbites ge'ne'rales. 

13. Stabilite du mouvement. 

La question sur la stability du systeme solaire n'a pas cess d'int^resser les 
astronomes et les g^ometres. Rappelons & cet e"gard les th^oremes c^lebres de 
Lagrange et de Poisson sur Tinvariabilit^ des grands axes et aussi les travaux 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE, 3ot> 

classiques de Lag-range, de Leverrier et de Cell6rier sur le de'veloppement 
trigonome'trique des perturbations se"culaires des autres 6le"ments. fitant donn 
Pe*tat plutot formel de la science en ce temps-la il n'cst pas 6tonnant que les 
ge'ometres fussent alors convaincus de la stability du mouvemenl. 

Aujourd'hui nous sommes plus sceptiques. II arrive souvent avec le d^velop- 
pement de la science que les difficulte's paraissent s'augmenter a la lumiere des 
decou^ertes nouvelles. Par ses travaux admirables sur la convergence des 
series trigonome'triques [93] (/), sur les solutions periodiques, asymptotiques et 
doublement asymptotiques, Poincare a dirige ainsi 1'attention sur de nouvelles 
difficulte's qui embrouillent la question de la stability du mouvement. Voila 
deja qui est important, car avanl de pouvoir vaincre les difficulte's il faut les 
connaitre. 

Mais Poincare" a e'tudie aussi directement le probleme de la stability du 
mouvement et est arrive a des d6couvertes tres importantes. C'est encore la 
the'orie des invariants inte'graux qui lui a servi comme point de depart dans ces 
recherches [183; 280, chap. XXVI] (*). 

Rappelons d'abord la definition precise de la stabilile' donne'e par Poincar^. 
Pour qu'il y ait stability complete dans le probleme des trois corps, il faut trois 
conditions : 

i Qu'aucun des trois corps ne puisse s'eloigner indeTmiment; 

2 Que deux des corps ne puissent se choquer et que la distance de ces deux 
corps ne puisse descendre au-dessous d'une certaine limite ; 

3 Que le systeme vienne repasser une infinite' de fois aussi pres que Pon 
veut de sa situation initiale. 

Si la troisieme condition est seule remplie, sans qu'on sache si les deux 
premieres le sont, Poincare" dil qu'il y a seulement stabilite a la Poisson. 

Cela 6lant, Poincar^ d6monlre qu'il y a stabilit6 a la Poisson, si le mouve- 
ment est limite' a un certain domaine et si, de plus, il existe un invariant 
integral positif et fini dans ce domaine. 

Pour de'monlrer ce tb6oreme, il suffit de consid6rer le mouvement permanent 
d'un fluide incompressible enferm^ dans un vase. Dans ce cas, le volume d'une 



H [93], CEuvres, t. IV, p. 591-98- 

(-} [183], OEuvres, i. VII, p. 262-479; | W 280, cliap. XXVI], Les m&thodes 7iouvelle$ de la meca- 
nique c&leste, t* 3, p. i4^ 



3lO L'OEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

partie quelconque du fluide est invariable pendant le mouvement, c'est-a-dire 
Fintggrale triple qui mesure ce volume est un invariant integral. 

Soit U un volume quelconque int^rieur du vase, les molecules liquides qui 
remplissenL ce volume a 1'inslant z6ro rempliront a 1'instant r un certain 
volume Ui, a Finstant 27 un certain volume U 2 , ..., et a 1'instant /zr un certain 
volume \J n > 

Le volume V du vase etant fini, les volumes U , U l5 . . . , (J n ne peuvent pas 
lous 6tre ext^rieurs les uns aux autres, si n est assez grand. Si U/ et UA ont 
une partie commune, il en sera de mteie de U eL U/ ( _/, puisque le mouvement 
est permanent. On peul done clioisir le nombre a de telle sorle que U et U a 
aient une pa'rtie commune. Apr&s dcs considerations de cette nature, Poincar^ 
arrive a la -conclusion, qu'il y a des molecules qui traversent le volume U une 
infinite de fois tant avant qu'apr&s F^poque zro, et cela quelque petit que soit 
ce volume. 

D'autre part, en gtin^ral, il y a d'autres molecules qui ne traversent Uo qu'un 
nombre fini de fois. Poincar<5 monlre que ces dernikres doivent &tre regarddes 
comme exceptionnelles ou, pour pr^ciser davanlage, que la probability qu'une 
molecule ne traversera Uo qu'un nombre fini de fois est infiniment petite, 
si Von admet que celte molecule est a Fint6rieur de U a 1'origine du 
temps. 

Enfin, ces rgsultals sont ind^pendants de la definition du mot proba- 
bilittS. 

Les principes mentionnes s'appliquent presque sans modification an 
probl&me restreint des trois corps. Soit S et J les deux masses attirantes so 
mouvanl en cercles concentriques. Soient A la masse infiniment petite se 
mouvant dans le plan de ces cercles sous 1'attraction de S et J. Pour des valeurs 
assez grandes de la constante de Pint6grale de Jacobi, le mouvement relatif 
de A par rapport a la ligne tournante SJ est limits par 1'une ou par 1'autre de 
trois courbes ferm^es d, C 2 et C ;J entourant respectivement les points S, J 
et oo. Poincar^ admet que la valeur de la constante de Jacobi est si grande que 
les deux courbes Ci et C 2 existent et que le corps A se trouve, a 1'origine du 
temps, a I'int^rieur de G* (ou de C 2 ). Alors, le corps A n'en sortira jamais, et 
la premiere condition de stability est remplie. 

Les Equations pouvant se mettre sous la forme canonique, il existe certai- 
nement un invariant integral positif. En d^signant par ^, r\ les coordonn(5es 
relatives de A et par ', r/ les composantes de la vitesse relative, Finvariant 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3ii 

integral devient 

I = f d* dt\ d% ctf\' . 

Poincare montre que cette integrale est finie si Fintgration est effectuee sur le 
domaine limits par la courbe C 4 (ou C 2 ) et par deux valeurs de la constante de 
Jacobi voisines 1'une de 1'autre. Dans 1'dtude du mouvement dont il s'agit, 
Fint^grale I peut done jouer le me" me role que le volume invariable d'une 
partie du liquide dans le cas du mouvement permanent d'un fluide incom- 
pressible. II en re'sulte que la troisieme condition de stabilite est aussi remplie. 
La masse A repassera une infinite' de fois aussi pres que 1'on voudra de sa 
position initiale, si Ton n'est pas place dans certaines conditions initiales 
exceptionnelles dont la probability est infiniment petite. La the'orie des solu- 
tions asymptotiques montre que de telles orbites exceptionnelles existent 
vraiment. 

En voulant nppliquer ces considerations au probleme g6n6ral des trois corps 
on rencontre certaines difficulty's . Les limites que I'inte'grale des forces vives 
impose au mouvement ne suffisent pas pour rendre Pinvariant integral fini. 
Mais par Fintroduction d'une nouvelle variable inde'pendante t ! au lieu du 
temps , Poincare de'duit ne'anmoins un invariant integral positif qui est fini. 
Toutefois il peut arriver que t devient infini pour des valeurs finies de t'. En 
prolongeant la solution au-dela d'une telle valeur de t\ on rencontrera une 
autre trajectoire qui doit ^tre conside're'e comme un prolongement analjtique 
de Pautre. Ainsi, on arrive a la conclusion que Forbite consid6re'e et ses 
prolongements analvtiques mentionne's repasseront en g^ndral une infinite de 
fois aussi pres que 1'on veut de la situation initiale. 

II semble d'abord que cette consequence lie puisse int^resser que Fana- 
lyste et n'ait aucune signification physique. Mais cette maniere de voir ne 
serait pas tout a fait justifie'e. On peut conclure en effet que si le syst&me ne 
repasse pas une infinite de fois aussi pres que Fon veut de sa position primi- 
tive, le temps pendant lequel le p6rimtre du triangle des trois corps reste 
inferieur a une quantite" donne est toujours fini. 

14. Theorie de la Lune. 

Dans la th6orie de la Lune de 'Delaunay, les elements elliptiques sont 
d^velopp^s en series trigonom^triques suivant les multiples de quatre 



3i2 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

arguments fr/ nit 4- /(* = i , 2, 3, 4), fonctions lintfaircs dni temps; n et /i 2 
sont les mojTiis mouvcmcnls de la Luno ot du Solei), n-j el n% sonl ccux du 

p6rig(5e el du nccud. Delaunny pose = in. Les coefficienLs des series trigono- 

m^lriques ainsi que les quanliltis 72 ;! el n\ sonl d^velopp^s suivanlles puissances 
de m el de cerlaines petites quantit<3s a, e', e, y qui signifient respeclivement 
le rapport entre les distances mojennes de la Lune el du Soleil, i'excenlricil<3 
de 1'orbite terrestre, les modules de I'excentricittS et le module de 1'inclinaison 
de 1'orbile de la Lune. Les formules de Delaunaj ne conliennent que des puis- 
sances positives de w, a, e', e el y. 

PoincanS d6montre [372] ( l ) que, si Ton poussait assez loin les d^veloppements 
de Delaunaj, on arriverait a des termes ou m figurerait a une puissance nega- 
tive. Dans 1'expression de la longitude, les termes correspondants renferment 
au moins en factenr e'^ev- et dans 1'expression de la latitude au inoins e f/l e*j. 

La demonstration de Poincare est int^ressante aussi au point de vue de la 
m&Jiode. II part d'<5quations differentielles de la forme (2). Au mojen de 
transformations canoniqucs successives, il arrive a d'autres Equations de la 
mme forme mais ou le d<5veloppement de F, jusqu'a un degr^ quelconque, 
est ind(5pendant des variables y et ne depend des et 73 que dans la combi- 
naison ?- -+- '<1~. En ncSgligcanl les autres termes de F, Fint^graUon des Equations 
est immediate. C'est peui-6tre la manure la plus rapide de demontrer les 
thgor&mes fondamentaux relatifs a la forme des d6veloppements qui salisfont 
aux Equations (2), bien que cetle methode ne puissc ^tre recommandcSe pour le 
calcul direct de ces d^veloppements. 

En somme, 1'apparition des puissances negatives de m est due a 1'intro- 
duction de pctits diviscurs d'integration de 1'ordre de m 3 . D'ailleurs, 1' existence 
de ces pelits diviseurs de 1'ordre de in* depend de ce fait que, dans les expres- 
sions des mojens mouvements du nocud et du ptSrig^e, les lermcs en m- sont 
gaux et de signes contraires, c'est-a-dire en rapport ralionnel. 

En mettant '=e=:y = o, les d(5veloppements de Delaunay ne renferment 
qu'un seul argument T = K\ (V 2 . La solution est alors p(5riodique. 

En n^giigeant les param^tres a et <?', les Aquations du mouvement de la Lune 
deviennent particuli&rement simples. Ces Equations simplifies ont 616 1'objcl 
de recherches magistrales de M. Hill ( 2 ). 

0) [372], OEuvres, t. VIII, p. 332-366. 

( 2 ) Amer. J. Math., voj, 1, 1^78; Coll. Works, vol. 1, p, 284. 



I/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3l3 

Ce savant a calculi directement la solution pe"riodique mentionnee tout a 
I'lieure (pour a o). 11 a d6velopp6 los coordonn^es relatives de la Lune en 
series de Fourier de Fargument T. Lcs coefficients qui dependent de m appa- 
raissent sous la forme de series a termes rationnels qui convergent tres rapi- 
dement. 

M. Hill ne s'est pas occup6 de la question de convergence. Les travaux 
g^neraux de Poincare sur les solutions p^riodiques montrent que la conver- 
gence a certainement lieu. 

Pour etudier les solutions voisines dc la solution p^riodique, M. Hill (*) a 
forme les Equations aux variations. Elles peuvent se mettre sous la forme parti- 
culierement simple 

d- z 

(?,6 ) j-^- -f- J 0Q-4- 20i COS2T -4- 20 2 COS \ T -+- . . . j 5 == 0. 

Le coefficient 0/. contient en facteur m 2li de sorte que les coefficients 
d^croissent tr&s rapidement. On aura deux Equations de la forme (26). L'une 
donne les in(5galit^s du premier degr6 par rapport au module y; 1'autre les 
inegalit^s du premier degr6 par rapport au module e. Les parties principales 
des moyens mouvements du noeud et du p(3rig^e ( parties ind^pendantes 
de a, e 1 ', e, y) sont d<5termin^es par les exposants caract^ristiques des Equa- 
tions (26). 

Uno (5qualion de celte forme admet deux solutions 



II s'agit de determiner 1'exposant caracte'ristique g et les rapports des coeffi- 
cients b/ { . M. Hill a ramen le problem e a la resolution d'une infinite d'^quations 
du premier degr^ a une infinity d'inconnues. M. Hill admet sans demonstration 
que les determinants d'ordre iniini qu'on rencontre ainsi sont convergents. 

Poincare' d^montre la convergence et en me* me temps la l6gitimit(5 de la 
m<$thode de M. Hill [91 ; 279, n os 185-189; 215] ( 2 ). Par ces travaux de Hill et 
Poincare', les determinants d'ordre infini ont <5t<5 introduits dans Fanalyse. II 
est inutile de rappeler ici Fimportance capitale de cette notion nouvelle. 



(!) Acta Math., t. 8 T 1886 [1877], 

( 2 ) [91], OEuvres, t. V, p. 95-107; [270, n os 185-189], Les mfthodes nouvelles de la mdcanique 
celeste, t. 2, p. 260-280; [215], QEuvres, t. V, p. 108-116. 

H. P. XI. 4o 



3i4 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Poincar6 donne aussi une autre methode pour calculer Fexposant caract^ris- 
tique g et les coefficients b k [214; 464, n os 332-335] ( L ). II developpe en effet les 

inconnues COS^TT et -^ suivant les puissances des quantitts i, 2 , a, .... En 

vertu d'un th^or&me g6nral d6montr< par Poincare [69] ( 2 ), les series en ques- 
tion repr^sentent des fonclions enti&res et sont ainsi toujours convergentes. 
II est bien connu que M. E. W. Brown ( :} ) a 6labor<3 dans ces derniers 
temps une th^orie complete pour la Lune en partant des travaux mentionne's 
de M. Hill. Pour determiner les in6galit<s d'un degr5 quelconque par rapport 
aux quantites a, e r , <?, y M. Brown est conduit chaque fois a un syst&me d'equa- 
tions lin^aires a seconds membres. Le sysl&me se partage en deux, Tun du 
quatri&me et Fautre du second ordre. L'essentiel de la m^thode de M. Brown, 
c'est que la valeur numerique de m est introduite d^s le commencement, de 

sorte que les d^veloppements suivant les puissances de m ou de __ ^ sont 

e'vit^s. 

Poincar^ propose une aulre m^thode pour le calcul des lermes de degre 
supt^rieur [216; 464, chap. XXIX] (;'). Cette mglhode tout a fail analjtique esl 
tr^s originale mais moins directe que celle de M. Brown. Les d^veloppements 

proc^dent suivanl les puissances de - ? a, e', e, y. Dans la miHhode de 

Poincart^, les systtjmes d'e'quations lineaires a seconds membres qu'il faul 
resoudre sont seulement du deuxi^me ordrc. 



15. Tlxeorie des petites planetes. 

A cot6 de la th^orie de la Lune, la thdorie du mouvement d'une petite 
plan^te trouble par Jupiler doit 6lre considered comme un cas particulier 
nssez simple du probl^me des trois corps. 

En n^gligeant I'excentricit6 de 1'orbite de Jupiter, les Equations se mettent 
sous la forme (2) avec trois degre"s de liberty. On aura un couple #, y et deux 

(') [214], CEuvres, 1. VIII, p. 867-382; [464, n 33 k 2-335], Legons de mecaniqae celeste, t. 2, 
2 e panic, p. 4/i-4g. 

( 2 ) [69], CEuvres, 1. II, p. 3oo-/,oi. 

( 3 ) Mem. Roy. Astron. Soc., I. 53, 51 et 57. 

( 4 ) [216], CEttvres, l. VIII, p. 297-381; [464, chap. XXIX], Leqons de mecanique celeste, t. U 2, 
3 e partie, p. 90. 



I/GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3l5 

couples , YJ; y sera la difference des deux longitudes moyennes, les autres 
variables x, ', Y/, ", V seront denies comme a la page 270. 

Si 1'excentricite de 1'orbite de Jupiter n'est pas negligee, la fonction F 
depend aussi de 1'anomalie moyenne de Jupiter, c'est-a-dire du temps. Pour 
eliminer le temps, on petit introduire un couple x l y ] (y ! etant cette anomalie 
moyenne et x ] une variable auxiliaire). Le probl&me est alors ramene a la forme 
canonique (2) avec qualre degres de liberty (deux couples x, y et deux 
couples , 79). 

En voulanl inUSgrer ces Equations par des series, il fauL distinguer les 
plan&tes ordinaires et les plan&tes caracteristiques. La periode de revolution de 
ces derni&res est a peu pres commensurable avec celle de Jupiter. 

En voulant appliquer les series de M. Lindstedl aux plan&tes ordinaires et 
les series de M. Bohlin (generalisces) aux planetes caracteristiques, on 
rencontre cette difficulte que les termes en /JL dans les expressions des moyens 
mouvements du noeud et du perihelie sont egaux et de signes contraires. Pour 
eviter la difficult^ en question, on pourrait appliquer un procede analogue a 
celui employe par Poincare dans la ih^orie de la Lime (p. 3ia). On d^mon- 
trerait ainsi que les series de M. Lindstedl (pour les ast^roides ordinaires) ne 
renferment que des puissances positives de la masse perlurbanle ^. Au conlraire, 
pour les plan^tes caracteristiques, en adrnetlanl que le petit diviseur /^, dii a 
la commensurabilite approch6e, est de 1'ordre de y/fx, on rencontrerait (comme 
dans la theorie de la Lune) dans les series de M. Bohlin 6n6ralis6es des termes 
d'ordre n^gatif, /\ et y/jui etant du premier ordre. Toutefois dans les develop- 
pements des coordonn6es de 1'asteroi'de, les termes correspondants sont au 
moins du septi^me degre par rapport aux excentricites et a 1'inclinaison. 
lividemment, 1'introduction des termes d'ordre n^gatif par rapport & A et V/f* 
n'emp^che pas que les series de M. Bohlin ainsi g^n6ralis(5es nc renferment 
que des termes d'ordre positif, en admettant que chacune des quantit6s <?', e 
et Y est aussi de 1'ordre de y/fz. On pourrait ainsi pousser 1'approximation 
jusqu'a un ordre quelconque. 

En mettant dans tous ces d^veloppements e'e^y o, on rencontrerait 
la solution p^riodique de la premiere sorte qui correspond au rapport admis 
entre les moyens mouvements. Evidemment, on pourrait aussi faire la theorie 
de Pasteroide en partant de cette solution p^riodique (analogue a celle de 
M. Hill dans le cas de la Lune) et en appliquant ensuite la mtHhode de M. Brown 
ou de Poincare pour le calcul des termes renfermant Jes puissances de e', e et y. 



3j6 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Quand il s'agit d'une the"orie approchee pormellanl de relrouvcr PasteWide 
pendanl quelques ccntaines d'anne'es, on pourrait se contenler des premiers 
termes des series mentionnees. Plusicurs aslronomes se sonl occupe"s en derail 
de cette question de donner des expressions ge'ne'rales permettant de calculer 
rapidement les perturbations les plus importantes. 

Poincar6 a e"baucbe" une meHliode de ce genre applicable aux planetes carac- 
Igrisliques [368; 464, n os 206-2JO] (*). Les Equations sont de la forme (2) avec 
trois degnjs de liberte (un couple #, y et deux couples E, *)). Les E et r\ sont de 
1'ordre de Pexcenlricitg et cle 1'inclinaison. En premiere approximation, Poin- 
car<^ neglige dans F tons les termes qni dependent de la variable angulairey, 
qui signifie la difference des deux longitudes moyennes. Les variables sont 
clioisies de sorte que I'int^gration des equations ainsi abre'ge'es nous donne les 
perturbations qui varient lentement a cause de la petitesse de p. ou en vertu de 
la commensurabilite" approcb^e enlre les moyens mouvements. Les in^galites 
obtenues ainsi en premiere approximation sont les plus importantes, puisqu'elles 
out e"t agrandies par les petits diviseurs. Enfin, dans une seconde approxi- 
mation, Poincarc lient compte aussi des termes de F qui dependent de la 
variable y. Les perturbations qui en resultent sont moins considerables. 



16. Developpement de la fonction perturbatrice. 

Dans notre systeme solaire, les masses des huit planetes principales sont tres 
petites par rapport a celle du Solcil. Les masses des ast^roi'des et des comet es 
sont mme tout a fait insensibles. Le mouvement de Pun qnelconque de tous 
ces corps, qui ne se rapproche pas trop d'une planete principale, aura done 
lieu A. peu pres suivant les lois de Kepler au moins pendant un certain temps 
limits. Les forces qui emp6cbent le mouvement de rester ke'ple'rien d^rivent 
d'une fonction de force qui s'appelle la fonclion perturbatrice. 

En choisissant dans la the"orie des planetes les variables proposers par Poin- 
care" (voir p. 269), la fonction perturbatrice ne sera autre chose que la fonc- 
tion fiFi de la page 269. Elle sera la mme pour toutes les planetes et aura la 



C 1 ) [3G8], OBuvreSi t. Mil, p. 487-456; [464, n 200-210], Lemons de mtcanique celeste, t. 1, 
p. 357-365. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 817 

forme [164; 87; 464, n 43] ( A ) 



m t et my e"tant les masses des planetes P/ el P/, A^y leur distance muLuelle, V, 
el Vy les vitesses absolues des planetes P/ eL P/ (le centre de gravity de tout le 
systeme e"tant suppose' fixe) et enfin W/j Tangle compris enlre les directions 
de ces vitesses. 

En introduisant pour les coordonnees relatives et les vitesses absolues les 
expressions des coordonnees et des vitesses dans le mouvement ke"pl6rien 
autour d'tin centre fixe d'attraction, la fonction perturbatrice et ses d6rive"es 
par rapports aux variables employees deviennent des fonctions pe"riodiques de 
toutes les anomalies mojennes, de'veloppables en series trigonome'triques 
suivant les multiples de ces anomalies, les coefficients des de'veloppements 
tant des fonctions des autres elements elliptiques ou canoniques. Avant de 
pouvoir calculer les perturbations, il faut savoir calculer les coefficients de ces 
de'veloppements. 

Le d6veloppement de la seconde partie de la fonction perturbatrice, ceile qui 
depend des vitesses, n'offre pas de difficultes se'rieuses [187; 464, n 239] (-). 
II s'agit done avant tout de de"velopper Tinverse de la distance A de deux 
planetes en se"rie trigonom6trique suivant les multiples des deux anomalies 
mojennes. 

Le de"veloppement analytique de la fonction perturbatrice a fait 1'objet de 
travaux d'un grand nombre d'astronomes et de g^ometres. Le de"veloppement 
analytique le plus simple est celui de Newcomb. 

En supposant nulles les excentricit6s, le de'veloppement de la fonction A" 1 
suivant les multiples des deux longitudes, compte'es a partir du nceud, est assez 
simple. Les coefficients de ce developpement dependent des grands axes et de 
1'inclinaison mutuelle des orbites et sont connus sous le nom des coefficients 
de Jacobi. 

Newcomb a de"duit les coefficients du de'veloppement ge"ne"ral de la fonc- 
tion A" 1 suivant les multiples des deux longitudes moyennes et des deux 
anomalies moyennes et suivant les puissances des excentricit6s, en effectuant 

( l ) [164], OEuvres, t. VII, p. 406-499; [87], CBuvres, t. IV, p. 17-24; [464, n 43], Lemons de 
mecanique celeste, t. 1, p. 58. 

(-} [187], QEuvres, t, VII, p. 5oo-5ir; [4(54., 11 239], Lemons de mecanique celeste, t. 2, 
i ra partie, p. 36. 



3i8 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

sur les coefficients de Jacob! ccrlaines operations dilferentielles. Les operateurs 
de New comb sont certains polynomcs a coefficients rationnels du sjmbole 

differential D == ? a (Slant le rapport des deux grands axes. Pour calculer 
successivcmcnt les coefficients de ces operateurs, Newcomb a donne des 
formulcs de recurrence assez complique'es. 

Poincare a simplifi< bcaucoup [46i, chap. XIX] (*) la theorie des operateurs 
de Newcomb, en montrantquc ces ope"ratcurs rentrent coininc coefficients dans 
le developpemeiit de la fonction 



a I 

suivant les multiples de Panomalie mojonnc et suivant les puissances de 
1'excentricite (r, a, 9 designent le rayon vecteur, le demi-grand axe et Fano- 
malie vraie, tandis que 5 est un nombre entier). Le developpement trigonome- 
trique de la fonction considered avail ete" etudie deja par Hansen. 

Etant donn^e cette decouverle dc Poincar^, il etait facile de deduire pour les 
operateurs de Newcomb certaines formulcs de recurrence beaucoup plus 
simples que celles qu'avait employees Newcomb Iui-m6me. Ainsi, le calcul des 
termes de degre tres eleve dans le d^veloppement de la fonction perturbatrice 
a ete considerablement simplifie. 

Soit maintenanl / et V les anomalies moyennes, u et u' les anomalies excen- 
triques des deux planetes. On aura les developpemeiits 



(E etant la base des logarithmes naturels). 

Pour etudier les coefficients A m , 7n ^ et B w , m / de ces developpements, Poincare 
les exprime au moyen d'integrales doubles. En mettant 



il obtient la formule [209; 464, n 242] (^) 

A _ i (T VEQ dx dy 

A MM'-^ajf/ A ^m-fi r ^-i-l' 



(*) [464, chap. XIX |, Lecons de mecaniqtie celeste^ I. 2, i re partie, p. b'G. 
( 2 ) [209], QEuvres, t. VIII, p. 3i-3a et 33-47; [464, n 242], Legons de mecanique celeste, t. 2, 
i re partie, p. 4i- 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3rg 

V, 2 ct A 2 (le carre de la distance) etant certains polynomes en x, - 5 r et - 

Pour obtenir F expression de B mj7?i /, il faut mettre V == Q ~ i dans 1'expression 
de A m>m /. Les integrations doivent s'effectuer suivant les cercles [ &\ i , | y \ = i 
dans les plans des variables complexes x et y. La fonction # 2 j>' 2 A 2 est un poly- 
nome du sixiSme degre en x et y dont les coefficients dependent des elements 
des orbites. 

Les coefficients A m>m ^ el B mj/n / peuvent se developper suivanL les puissances 
des excentricites et de Pinclinaison. Par les travaux de Leverrier, de Newcomb 
et de Boquet, on connait les premiers termes de ces developpements (jusqu'au 
huiti&me degre inclus). Poincartf montre comment il est possible de trouver les 
rayons de convergence de ces developpements [209, 464, chap. XX] ( 1 ). II 
s'agit d'indiquer les singularites qui determinent les domaines de convergence. 

Pour cela, Poincar6 se pose le problme general de trouver les singularity 
d'une fonction definie par une integrate complete prise suivant une courbe ou 
une surface ferm^e. En connaissant les relations qui donnent les singularity 
de la fonclion sous le signe d'int6gration, consid6r^e comme fonction des 
variables d'int^gration, il est possible d'6crire les relations qui donnent les 
singularity de I'inUSgrale, consid^r^e comme fonction des param^jtres. II faut 
exprimer que deux singularity de la fonction sous le signe d'int^gration coin- 
cident, et que ces deux singularity se sont irouvtSes auparavant sur des cot^s 
opposes du chemin d'int^gration, de sorte qu'il n'est pas possible de les <3viter 
en d(formant ce chemin. II n'est pas difficile d'tScrire les conditions pour que 
deux singularity coincident. La difficult^ est de trouver parmi toutes les singu- 
larit^s possibles celles qui appartiennent a la branche consider^e de la fonction 
multiforme qui est d<5finie par I'int6grale donnte. 

Poincare r^sout la question cornpl&tement quand les excentricit^s sont nulles 
ou quand 1'inclinaison est nulle. Pour le cas g^n^ral, la discussion devient trop 
compliqu6e. Mais Poincar arrive presque imm^diatement a la conclusion : 
Pour tous les coefficients A m , m /et B m ,m', les developpements poss^dent le m^me 
domaine de convergence. 

Ensuile Poincar^ poursuit P^tude des coefficients A mjm / et B/^/n' dans une 
autre direction, fividemment, le calcul de ces coefficients serait facility par 
1'emploi de formules de recurrence. Poincar< a ebauche la question en dmon- 

C 1 ) [209], CEuvres, t. VIII, p. 3i-3a et 33-47; [404, chap. XX], Lecons de mecaniqite ctleste, 
t. 2, i re partie, p. 100. 



320 L'GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

trant 1'existence de relations lindaires entre les coefficients A et B et leurs 
derivees par rapport aux Elements qu'ils renferment [168; 196; 206; 207; 
351; 464, chap. XXI] ( A ). 

Dans ces recherches, Poincare consid&re les integrales 



iT 
11 = J 



etendues suivanl une surface fermtie dans le domaine des variables complexes x 
et y. Q et F sont des poljnomes donnas en #, a?" 1 , y et y~S H un poljnome 
arbitraire; zs est un nombre entier et impair. Poincare demontre que les inte- 
grales II, considers comme fonctions des paramtres qui entrent dans & et F, 
peuvent se reduire a un certain nombre d'entre elles qui sont lineairement 
independantes. Si/et o> sont les degres des polynomes F et &, le nombre des 
integrates II qui sont lineairement independantes est ^8(/+o)) 2 . Si les 
polynomes F, Q et H sont symetriques, de sorte que leurs signes ne changent 
pas si x et y changent leurs signes simultanement, alors le nombre des inte- 
grales lineairement independantes est^4(/H~ w ) 2 - Ces nombres ne dependent 
pas de s. 

Les coefficients A m>m > et B m>m / ainsi que leurs d6riv6es partielles d'ordre 
quelconque par rapport aux ^l^ments sont des expressions de la forme II. 

Pour les coefficients B m>m /, on a/= 2, w o, 4(/+ w) 2 I 6. Si Ton envi- 
sage le d6veloppement de la fonction A" 1 suivant les anomalies excentriques, 
il y aura ainsi, entre les coefficients, des relations lin^aires de recurrence dont 
les coefficients seront des fonctions rationnelles des elements. Ces relations 
permettent d'exprimer tous ces coefficients en fonction de seize entre eux. De 
plus, chacun des coefficients B mj7n /, consider^ comme fonction de Fun quel- 
conque des elements, satis fait a une equation differentielle lineaire du seizi^me 
ordre au plus, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des elements. 

Pour les coefficients A m>m /, on a/=2, w = i, 4(/+o)) 2 36. Le poly- 
nome ^, qui depend de m et m', n'est pas le m6me pour deux coefficients A w?m / 
differents. Par suite, on ne pent trouver ainsi des formules de recurrence a 
coefficients rationnels entre les A m , m /. Mais chacun de ces coefficients-, consi- 
dere comme fonction de Fun quelconque des elements, satisfait a une equation 
drfferentielle lineaire du trente-sixi&me ordre au plus. 

C 1 ) [168], OSuvres, t. VIII, p. 48-49; [196], OEuvres, t. VIII, p. 60-109; [206], CEwres, t. VIII, 
p. no-iii, [207], CEuvresi t. VIII, p. 10-26; [351], CEwres, t. Ill, p. 493-53 9 ; [464, chap. XXI], 
Legons de m&canique Meste, t. 2, i partie, p. 119. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 821 

L'int6grale II est une p6riode de I'mtdgrale double inde'finie. 

I = 



Soil A" le nombre des pe'riodes fondamentales. Ce nombre A" ne depend pas des 
polynomes H el 2 mais seulement du poljnome F. Conside'rons A- -f- 1 inte'- 
grales II qui peuvent differer par rapport a H et 2, le domaine d'int6gration el 
le polynome F 6tant le mme dans loutes. Cliacune de ces A' -f- 1 integrales II 
s'exprime au moyen des pe'riodes fondamentales correspondanles par la m6me 
fonction line'aire a coefficients enliers. Si Ics parametres qui entrant dans II 
decrive.nl dans leurs plans des contours forme's, les pe'riodes subiront une 
transformation line'airc qui sera la m6me pour tous les IT. II en r6sultc qu'il 
cxiste entre k 4- i quelconques des integrates II une relation line'aire a coeffi- 
cients uniformes par rapport aux parametres qui entrent dans F. 

Pour les coefficients B m>m ^ on a k ^- 16. Alors, il en est ainsi de m&me pour 
1'ensemble des coefficients A et B et de toutes leurs de'rive'es. 

Ainsi, entre tous les coefficients A,,, )m /et leurs de'rive'es, il existe des relations 
lineaires a coefficients uniformes par rapport aux elements, de sorte que toutes 
ces quantite's peuvent s'exprimer par seize d'entre elles. 

Poincart! senible esp6rer qu'une etude plus de'taille'e des pe'riodes de 1'inle- 
grale double qui correspond a B,, V;I > rnontrera que le nombre k est << 16, quand 
il s'agit du d6veloppement de la fonciion perturba trice. 

Si les exceiitricite's sont nulles, la fonction F se simplifie de sorte que k = 4- 
Les relations line'aires correspondantes ^taient connues ddja par Jacobi. 

Jacobi a d^montre aussi, par des considerations tout a fait 6l(^mentaires, que 
les B peuvent s'exprimer line'airement par quinze d'entre eux. On aurait 
done k ^- 1 5 dans le cas ge'ne'ral. 

Arrivons maintenant aux recherches de Poincar^ sur les expressions asyinp- 
totiques des termes de degr<5 tres 6lev6 dans le d^veloppement de la fonc- 
tion A-* [120; 173; 278, chap. VI; 464, chap. XXIII]. 

Supposons que les moyens mouvements n et n f de deux planetes soient a peu 
pres commensurables de sorte que mn-^mJn 1 soit une quantity tr&s petite. 
Alors les perturbations des longitudes qui apr&s deux integrations proviennent 



(M [120], OEuvres, t. VIII, p. 5-g; [173], OEuvres, t. VIII, p. 27-80; [278, chap. VI], Les 
methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1, p. 269; [464, chap. XXIII]; Legons de meca- 
nique celeste^ t. 2, i re partie, p. 157. 

H. P. XI. 4< 



322 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. - 

du terme dont ['argument est ml -\-m!l ] peuvent devenir sensibles quoique le 
coefficient A m , m / soil lui-mSme tr&s petit. II serait alors important d'avoir une 
expression analytiquo qui se rapproche de A m , m ' quand m et m' sont tr6s 
grands. Pour trouver une telle expression, Poincare pose 



<!*(-)= 



a, b) c, rf etant de petits entiers donnes. Cette fonction pent se mettre sous la 
forme d'une integrate simple 



(-,)= _ *- .-..- C \-is-(* b +*( tl] tfo- atl -i 

2 JT </ I J 



</ 

prise le long de la oil-conference 1 1 = i. Dans A (la distance des deux plantes) 
il faut inlroduire 



a et y <^tant deux entiers tels que a a + cy = i . 

Pour trouver 1'expression asymptotique des coefficients A. n v+b, C v+d pour v 
grand, Poincar^ applique la m<3thode importante de M. Darboux, qui donne 
pr^cis<5ment 1'expression asymptotique des coefficients e^loign^s d'une srie de 
puissance, quand on connait la nature des singularity de la fonction sur le 
cercle de convergence. 

La determination des points singuliers de la fonction $(z) ne pr(5sente pas 
de difficultes, puisque c'est une fonction donn6e par une integrals simple prise 
le long d'un contour ferm. Pas de difficultes non plus en ce qui concerne la 
nature de ces points singuliers, qui sont bien tels que suppose la m^thode de 
M. Darboux. La difficult^ provient de ce fait que tous les points singuliers 
qu'on trouve n'appartiennent pas a. la branche consid^r^e de la fonction <(-) 
La discussion pour reconnaitre I'admissibilitg des points singuliers est assez 
delicate et a 6te jusqu'ici le principal obstacle a 1'emploi general de cette 
m^thode. 

Poincar6 n'en a fait Fapplication que dans le cas special ou Pinclinaison est 
nulle, 1'une des excentricites nulle et 1'autre trs petite. 

Ce serait certainement un travail utile de poursuivre ces recherch.es, au 
moins dans le cas ou les excentricites et Finclinaison sont petites. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3a3 

17. Determination desorbites. 

Le mouvement d'une planete ou comete qui ne se rapproche pas trop d'une 
planete principale reste sensiblement keplerien pendant un certain temps. 
Pendant ce temps, les elements osculateurs de Porbite ne varient que tr&s 
peu et peuvent tre regardes comme invariables au moins dans une premiere 
approximation. Apres la decouverte d'un tel astre, il importe de determiner les 
elements de son orbite en partant d'observations separ6es Tune de Pautrc 
par quelques semaines. Pour le calcul des six elements, trois observations 
completes, donnant la longitude et la latitude geocenlrique (X et (3), sont en 
general necessaires. 

Le probleme de la determination des orbites au mojen d'observations 
voisines fut resolu par Laplace en 1870. Rappelons brivement les principes 
de sa solution. En partanl des observations, au moins trois en nombre, et en 
employ ant la methode d'interpolajion, Laplace calcule pour une certaine 
epoque la longitude X et la latitude (3 de Pastre ainsi que les deux premieres 
derivees de ces angles. Les coordonnees rectangulaires heliocentriques de 
1'astre a 1'epoque to sont alors des fonctions lineaires, a coefficients connus, de 
la distance geocentrique inconnue p. En introduisant ces coordonnees et leurs 
derivees secondes dans les equations du mouvement keplerien, Laplace obtient 
trois equations lineaires par rapport a p et ses derivees p' et p", equations dont 
les coefficients dependent de la distance heliocentrique r de 1'astre a 1'epoque t . 
En eliminant p' et p", il trouve une relation eiitre p et r. La resolution du 
triangle forme par le Soleil, la Terre et 1'astre donne encore une relation entre 
ces memes quantites. En eliminant r entre ces deux relations, il obtient une 
equation du septi&me degre qui determine p. Cette quantite connue, les equa- 
tions du mouvement donnent Pinconnue p' comme fonction lineaire de p. En 
connaissant ainsi p et p', il est possible de calculer pour t = to les valeurs 
initiales des coordonnees heliocentriques et de leurs derivees du premier ordre. 
Enfin, en partant de ces valeurs initiates, Laplace arrive facilement aux valeurs 
cherchees des elements. 

Laplace n'avait pas elabore son procede dans tous ses details. Les methodes 
les plus usitees dans la pratique ont ete celle de Gauss et celles qui en sont 
derivees. Gauss part de trois equations lineaires entre les trois distances 
geocentriques inconnues pi, p 2 et p 3 , equations qui expriment que le mouve- 



3 2 { L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

menl est plan. Les coefficients de ces Equations dependent des deux rapports 
cnlre les surfaces des trois triangles plans formes par le Soleil et par deux 
. quelconques des trois positions de Tastre. Ces rapports soul developpables 
suivant les puissances des intervalles de temps t< 2 ^ et t% * a . Dans les dgve- 
loppcments de Gauss et d'Encke, les coefficients ne dependent que de la 
distance Miocentrique r* ; les dgveloppements plus approch<3s d'Oppolzer 
renferment r el /' 3 , landis que dans les d^veloppements encore plus exacts de 
Gibbs les coefficients renferment toutes les distances n, r a et r a . En <5lirm- 
nanl pi et p ;i? Gauss et Encke obtiennent une Equation pour p 2 , donnant p 2 avec 
tine erreur du premier ordre par rapport aux intervalles 2 i et 3 t*. 
L'equation de Gauss pour p 2 est analogue a liquation pour p de Laplace. Dans 
la m^thode d'Oppolzer, on aura a re"soudre deux Equations alg^briques entre pi 
et p 3 . L'erreur des inconnues qui s'obtiennent par des approximations succes- 
sives est du second ordre. Enfm dans la mgthode de Gibbs on aura trois 
Equations entre pi, p 2 etp s , et Perreur des inconnues est du troisi^me ordre. 
En connaissant les coordonnges hdioceniriques qui correspondent aux obser- 
vations extremes ainsi que 1'intervalle de temps 3 d, il est facile de calculer 
les (5l^ments. Dans les mgthodes de Gauss, d'Encke, d'Oppolzer et de Gibbs, 
le degr6 de 1'exactitude augmente d'une unit6 si les observations sont 6qui- 
distantes de sorte que t- A ^ 2 t% t\.. 

Poincar6 a perfectionn6 considerablement [371] ( x ) la m^thode de Laplace 
en choisissant pour 1'^poque ^ la valeur moyenne des trois 6poques d'obser- 
vation t i: t$ et 3 . Alors, les erreurs des valeurs interposes de la longitude et 
de la latitude g^ocentrique sont du troisi&me ordre, tandis que les valeurs des 
deux premieres d^riv^es de ces angles sont en erreur da second ordre par 
rapport aux intervalles de temps. II en r^sulte que les valeurs calculus de p, 
p ; , etc. et de tous les lments sont en erreur du second ordre. Ainsi, la 
me^thode de Laplace donne en g^in<5ral une plus grande approximation que celle 
de Gauss, quoique la rapidit6 des calculs soit la mme dans les deux mtHbodes. 
Si les observations sont cSquidistantes, ces deux m6thodes sont 6quivalentes. La 
m^thode d'Oppolzer Pemporte sur celle de Laplace seulement si les observa- 
tions sont e"quidistantes, mais les calculs qu'elle exige sont plus complique's. 
Enfin la m^thode de Gibbs donne toujours la plus grande exactitude mais 
seulement au prix d'ua travail considerable de calcul. D'ailleurs, il ne faut pas 

(M [371], OEwres, t. VIII, p. 893-416. ' 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 3S'3 

pousser ^approximation des calculs trop loin, puisquo les observations sont 
elles-m6mes erronees. 

Les erreurs du second ordre dans la methode de Laplace dependent des 
derivees du troisifcme et du quatri&me ordre de la longitude A et de la latitude (3 
pour t = . Poincare montre comment ces derivees >. m , A 1Y , (3 in , (3 1V et enfin les 
corrections du second ordre des elements peuvent s'exprimer par des fonctions 
rationnelles par rapport aux p, cosX, sinTi, A', A", cosp, sin (3, (3 r , (3" (p etant lui- 
m6me racine de liquation deja mentionnee du septi&me degre). 

Poincare demontre aussi qu'il est possible d'exprimer de la ni6me mani&re 
les corrections dues a 1'aberration. 

Poincare indique enfin comment on peut appliquer, par la methode d'inter- 
polation eL au debut du calcul, la correction de la parallaxe aux coordonn^es 
de la Terre et oviter ainsi toute esp&co de tatonnement. 

La m^lhode de Laplace, bien que presentant certains avantages dont le 
principal est la facility de se servir de plus de trois observations, (3tait tombee 
dans un injuste discredit. Grace a Poincar^, cette m^thode Elegante et pratique 
a t6 enfm rehabilitee. 

Les me"thodes dej^ mentionn^es et ayant pour but la determination des 
elements elliptiques supposent que les intervalles entre les epoques des trois 
observations sont petils, sans toutefois <3tre trop petits. La resolution du pro- 
bl^me plus general de calculer les elements moyennant trois observations 
quelconques est beaucoup plus difficile. On aura evidemment six equations 
pour determiner les six elements inconnus, mais ces equations sont transcen- 
dantes comrne 1'equation de Kepler. Le probl&mc est done theoriquement 
possible, mais les ressources actuelles de 1' Analyse ne permeitenl pas de le 
resoudre en toute rigueur et dans toute sa generalite. 

Toutefois Poincare fait la remarque que, si 1'orbite est parabolique, il est 
possible de determiner les elements moyennant trois observations completes et 
quelconques [281] (*). En eflel, dans ce cas, les equations de condition devien- 
nent algebriques et le nombre des equations depasse par 1'unite le nombre 
des inconnues. Les equations devant lre compatibles, on aura une certaine rela- 
tion entre les donnees d'observation et exprimant que le mouvement est 
parabolique. Toutes reductions faites, on aura enfm les elements de 1'orbite 



t 1 ) Lemons de M. Tisserand $ur la determination des orbites, preface de M. POIN T OARE, Paris, 
Gauthier-Vi liars, 1899. 



326 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

parabolique sous la forme de fonctions ralionnelles des 6poques des trois 
observations ainsi que des cosinus et sinus des trois longitudes et latitudes 
observes, fividemment, il serait int^ressant de former ces expressions ration- 
nelles. 11 pourrait arriver que 1'application de cette m^thode directe soil, plus 
simple que Pemploi des mtHhodes actuellement en usage. 



18. Figure de la Terre. 

Dans son travail c^lebre Figure de la Terre tiree des lois de V Hydro- 
statique (1740), Clairaut a 6tudit5 1'^tat d'^quilibre d'une masse fluide h<He*ro- 
gne qui se trouve en rotation lente autour d'un axe et dont les particules sont 
soumises a la loi de 1'attraction universelle. Si la rotation est nulle, on suppose 
que les surfaces d'tSgale density sont sph&riques et concentriques et que la 
density diminue constamment quand on s'^loigne du centre. Soit D(/') la 
density mojenne a 1'int^rieur de la sphere de rayon r. En vertu de la rotation 
lenle, les surfaces de niveau primitivement sph(5riques deviennent sensiblement 
des ellipsoi'des de revolution autour de 1'axe de rotation. L'aplatissement e de 
In surface de niveau de rayon moyen r satisfait a liquation de Clairaut : 



ou n = (r/, D', e' signifient les d(^riv<5es de rj, D et e par rapport a /). 

Pour TO il faut prendre la solution particuli&re qui satisfait a la condition YJ = o 
pour r = o. 

Rappelons aussi que si YH est la valeur de n a la surface Faplatissement e*. de 
la surface libre est donn dans la th^orie de Clairaut par la formule 

5 

2 ' 

9 6tant le rapport entre la force centrifuge a I'tSquateur et la pesanteur a la 
surface libre. Cela 6tant, la fonction e est compl^tement d<5termine ^. Tint^rieur 
du corps. 

Ajoutons enfin que Clairaut avait dja d^montr^ que o < YJ < 3 de sorte que 

-<ei<-y. 
Poincar^ en traitant le problfeme de Clairaut, montre que la solution parti- 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 827 

culiere deTmie par la condition r\ = o pour /* = o exisle loujours el qu'elle est 
unique [112; 203; 462, chap. IV] (*). PoincanS montre de plus qu'on a loujours 

(27) O^TJ^S. 

Ces megaliths lui permettent de computer un r6sullal obtenu par Radau. 
En parlant de la the'orie de Clairaut, ce savant avail de'duit la formule curieuse 



ou I de-signe le rapport 5_A, (A et C (Slant les deux moments d'inertie prin- 
cipaux de la Terre), landis que eslune certaine valeur inconnue de /} a Pmte'- 
rieur du corps. 

Les valeurs de I el 9 sonl connues : la premiere esL mcsurSe par la pr^ces- 

sioii des Equinoxes, la seconde par la physique. On a irouve' I ^ ^ 



T 288,:, 8 

Radau avail admis que YJ'>O, de sorte que o < < m= Q,z*i- O n a alors 

K< i, 00075. Cela aant, la valeur e 4 = -^- (Clarke, 1880) ne peul pas salis- 

sy^jS 

faire a la formule de Radau. Ainsi, les valeurs admises de I et de d nesont pas 
d'accord avec la the'orie de Glairaut. 

filant donn^e Tin^galil^ (27) de Poincare', il arrive qu'on a loujours 
K< i ,00073, puisque o < < 3. Le re'sultat de Radau subsisle done aussi dans 
les cas ou */)' peul devenir ngatif a I'int^rieur du corps. 

Ajoulons que les valeurs suivanies de Taplalissemenl : d = ^^ (Bessel, 

I 84i); ei = ~ (Helmert, 1907); e, = ^ (Hayford, 1909) ne sonl pas en 

contradiclion avec la the'orie de Clairaul. 

Poincare' a aussi e'crit deux M^moires qui se rapportent (5troitement aux 
mdlhodes actuellement en usage dans la Ge'ode'sie. II esl bien connu que les 
surfaces de niveau de la Terre, qui sonl orlhogonales aux directions de la 
pesanleur, ne sonl pas toul a fail des ellipsoides de revolution, Le ge'oide 

( l ) 1 112 |, CEwres, t. VIII, p. 120-124; [203], OSwres, t. VIII, p. i25-i3i et 182-142; [462, 
chap. IV]. Figures d^quilibres d'une masse fluide, lecons profei5s6es i la Sorbonne en 1900, 
Paris, 1902, 21 1 p. (Gauthier-VUlars, 6diU) 



328 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

(consliluant la surface libre moyenne de la mer prolongee analytiquement, on 
par des nivellements penses au-dessous des continents) presente en ve'rite' des 
soulevements et des abaissements de quelques centaines de metres par rapport 
au spheroide de reference. Rappelons aussi que les operations geodesiques 
ordinaires, qui embrassent des mesures de distances, d'angles liorizontaux et 
verticaux ainsi que des determinations d'azimuls et de latitudes que toutes 
ces operations ont pour but d'etudier en detail les irregularites du gooide. 

Les mesures de 1'inlensite de la pcsanleur sont aussi d'une importance capi- 
tale dans les recherches geodesiques. Au rnoyen de ces mesures M. Helmert a 
determine 1'aplatissement de la Terre. II semble toutefois qu'on n'ait pas 
encore tire tout le parti possible de cette espece d'observations. 

Dans le premier des deux Memoires mentionnes [217] ( L ) Poincare montre 
que les mesures de Pintensite de la pesanteur, si elles sont, assez multipliees et 
suffisamment exactes, peuvent remplacer les operations geodesiques ordinaires 
et qu'clles suffisent pour determiner completement la forme du geoi'de. 

Mais avant de pouvoir utiliser ainsi les valeurs mesurees de la gravite, il 
faut y appliquer deux corrections : d'abord la correction deFaye dependant de 
Paltitude et donnant la reduction au niveau de la mer et ensuite une seconde 
correction qui s'obtient par le precede de condensation de M. Helmert. Apres 
1'application de ces deux corrections, on trouve, a des quantites pres du 
second orclre par rapport a 1'aplatissement, la valeur g l de la gravite qu'on 
aurait observee sur le geo'ide, si toutes les masses situees a Fexterieur* d'une 
sphere S tangente interieure au geoi'de avaient ete condensees sur cette sphere. 
Les changements du geoi'de en vertu de la condensation sont du second ordre 
et peuvent 6tre negliges. Apres la condensation, on peut developper lepotentiel 
V du ^ 1'attraction suivant les puissances negatives de r, les coefficients du 
developpement etant des fonctions spheriques, et ce developpemcnt sera con- 
vergent sur toute la surface de la Terre. 

Soit le soulevement du geoi'de au-dessus de la sphere S. II est clair qu'il y 
aura des relations simples (en negligeant les quantites du second ordre par 
rapport a Faplatissement) entre les coefficients correspondants dans les deve- 
loppements de V, de g ] et de suivant les fonctions spheriques. 

Soit maintenant 



[217] OEuvres, t. VIII, p. 143-174. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 829 

le developpement suivant les fonclions spheriques X n qui donne les valeurs 
observees et corrigees g j . Poincare demontre que le soulevement du geoide 
au~dessus de la sphere S est donne, aux termes da second ordre pres, par le 
developpement 



<J> etant une fonciion lineaire connue du carre du cosinus de la latitude. 

II n'est pas necessaire de calculer les coefficients g-' lt1 qui convergent n6ccs- 
sairement ires lentement. En efiet la fonction 271 (^ <) aura la forme d'une 
integrale, qui donne le potentiel d'une couche spherique attirante, dont la 
densite" est donne'e par la fonction connue g 1 g\^ la loi de Pattraclion etant" 
representee par une certaine fonction de la distance, et coTncidant a peu pres 
avec la loi universelle. 

En iritroduisanl dans cette integrate, au lieu de g* g\^ seulement la pertur- 
bation locale pour un certain lieu, 1'integrale en question dorinera le souleve- 
ment du ge"o-i'de qui correspond a cette perturbation. 

Poincare a ddvelopp^ cette id6e aussi d'une autre maniere en ri(5gligeant, 
non plus le carre" de 1'aplatissement, mais le carr6 du relevement du g^oi'de 
au-dessus de Fellipsoi'de, c'est-a-dire une quanlite' beaucoup plus petite. Alors, 
au lieu de la sphere S, on aura affaire a un ellipsokle, et les fonctions de 
Lam6 s'introduiront au lieu des fonctions sphe"riques. 

Dans un autre Me'moire, PoincartS traite la question des deviations de la 
verticale en G6ode"sie [3Go]. II s'agit d'un gtSo'ide tres peu different d'un ellip- 
soi'de de revolution. Soit M un point quelconque du geoi'de, N sa projection 
sur 1'ellipsoide de telle facon que MN soit normale a 1'ellipsoide. On definit la 
position de M en donnant la longitude / et la latitude X de N ainsi que la 
longueur de la ligne MN. Soit MP la verticale vraie au point M. On definit la 
deviation de cette verticale en donnant les composantes et Y} de Tangle tres 
petit de MN avec MP vers le Nord et vers 1'Est. 

Le long d'une courbe quelconque sur le geo'ide, , , , TQ ainsi quel'azimutcp 
de la tangente seront certaines fonctions de X. Soit I 1 et I" les deux derivees 
premieres de I par rapport a X. En negligeant toujours les termes du second 
ordre, Poincare demontre que sur une courbe quelconque, tgcp est une fonc- 
tion lineaire et homogene de I 1 et Y? dont les coefficients dependent de ^. II 

( l ) [365], OEuvres, t. VIII, p. 176-192. 

H. P. XI. 42 



33o L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

donne ensuite 1'equation d'une ligne geodesique quelconque sur le geo'ide. Ge 
sera une relation Iin6aire et homogene entre Z', I", % et 73 dont les coefficients 
dependent de A et cp. 

Cela etant, Poincare admet qu'on decrit par des moyens ggode'siques une 
ligne geodesique sur le g<3oide en partant d'un point A. Admettons, pour sim- 
plifier 1' exposition, que 1'azimut cp s'annule en A. En suivant cette ligne geode"- 
sique, la longitude ne sera pas constante. Liquation de la ligne g6odesiqiu> 

sera en efTet 

/"cos X H- 2 /' sin X T} = o. 

Ensuite 1'azimut ne restera pas constamment mil. On aura 

9 = 'cosX -+- T|tgX. 

II s'agit de calculer rj en connaissant cp par observation. En differential 
Texpression de cp par rapport a A, on aura trois relations lineaires en I 1 et I 11 ' . 
Apr6s avoir elimine I 1 et I" 7 on obtient pour 73 une equation differentielle line- 
aire et du premier ordre. L'integration donne 

Tj Tjo = 9 cot X -h / 9 cotg 2 X <r/Xj 

AO ' 

73 o et A O etant les valeurs de YJ et X au point A. 

En general, on a neglige le second termc dans 1'expression de 73 r/ . 
Poincare veut dire que cela n'est pas permis dans les regions equatoriales si 
X A est du meme ordre que la latitude X. 

Dans le cas general ou 1'azimut en A n'est pas nul, on rencontre une correc- 
tion analogue qu'il ne faut pas n6gliger dans le voisinage de 1'equateur. 

Ainsi, si Ton veut determiner la deviation 73 en mesurant des azimuts, il ne 
suffit pas toujours de faire ces mesures au commencement et a la fin de Fare. 
Parfois, il est necessaire de les faire aussi en des stations intermediaires. 

Poincare est d'avis qu'on peut expliquer ainsi pourquoi M. Oudemans dans 
sa triangulation de Java avait trouve que les deviations de la verticale deduites 
des mesures d'azimut etaient en general et systematiquement trois fois plus 
grandes que les deviations deduites des mesures de longitude. 

19. Theorie des ma,rees. 

Dans la theorie des marees, il s'agit d'etudier les oscillations de la mer sous 
Finfluence de 1'attraction de la Luno et du SoleiL Le potentiel de cette attrac- 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 33 1 

tion se compose d'un grand nombre de termes de la forme Ge^ 1 , C extant une 
fonction sph^rique du second degr des coordonn^es du lieu, X une constante 
purement imaginaire et t le temps. 

fitant donn6e la petitesse de tous ces termes, qui sont divis^s par la troisieme 
puissance de la distance de 1'astre, il est permis d'cHudier s^par^mentles oscil- 
lations harmoniques causees par chacun d'eux et d'appliquer ensuite le prin- 
cipe de la superposition des petits mouvements. 

D'apr^s leurs p6riodes, les oscillations harmoniques se partagent en plu- 
sieurs groupes. On aura ainsi un groupe de marges a courtes periodes (semi- 
diurnes et diurnes), qui dependent de la rotation de la Terre. On aura 
aussi des marees lunaires a longues periodes (semi-mensuelles et men- 
suelles) ainsi que des marges solaires a longues periodes (semi-annuelles et 
annuelles). 

Pour determiner les rnar^es a longues p6riodes, Laplace et ses successeurs 
avaient nglig6 I'acc6l<3ration et la vitesse du liquide. Le probl&me des marges 
est alors relativement simple et peut se re'soudre par les m^thodes de la Sta- 
tique. II suffit d'exprimer que le potentiel des forces agissantes est constant sur 
la surface de la mer. Cette condition s'^crit 

(28) ' . ..4-nH-<2> = /r. 

Ici d<3signe le d6placement vertical et cherch<2 de 1'eau. Le premier terme g^ 
est le potentiel de la gravity. Le second terme II est le potentiel du bourrelel 
liquide qui se trouve entre la surface soulev^e ou d<5prim6e etla surface d'6qui- 
libre de la mer, c'est-a-dire le potentiel au point consid6r d'une couche sph6- 
rique dont la density est donn^e par la fonction inconnue . Le troisierne terme 
$ repr^sente la partie considered du potentiel de 1'astre. Enfin la constante k 
du second membre doit 6tre choisie de sorte que la masse totale du bourrelet 
soit nulle. 

Le probl&me en question fut r^solu ddja par Bernouilli dans le cas ou il n'y 
a pas de continents, et par Lord Kelvin en supposant que IT soit nt^gligeable. 
est alors une fonction lin^aire de O, et la mare statique aura pour effet de 
modifier p6riodiquement Taplatissement de 1'ellipsoide de revolution form6 par 
la surface de la mer. En calculant ainsi des marges a longues periodes et en 
comparant les r(5sultats des calculs avec celui des observations, Darwin a trouv^ 
des Hearts qui ne peuvent s'expliquer que si Ton admet que la Terre n'est pas 
tout a fait rigide mais qu'elle se d^forme en m6me temps que la mer sous 



332 I/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Pattraclion des astres. D'apres ce savant, la Terre serai t a pen pr6s aussi rigide 
que 1'acier. 

Toutefois, il n'est pas certain que 1'effet du bourrelet soit negligeable. 
Poincar6 a done resolu le probl&me dans toute sa g6n6ralit6 [t46, 49o] ('). En 

introduisanl pour sa valeur exprim^e on II et en -^ a la surface, les Equa- 
tions qui definissent le potentiel II deviennent 

AIT = o 
a Pinte'rieur de la Terre el, 



a la surface. On a pose = ^- D'ailleurs e est = o sur les continents et i 

sur la mer. 

En mettant !; o, on se trouvc dans les conditions deLord Kelvin. Poincare' 
de'veloppe II suivant les puissances de . II demonlre d'une mani&re tr&s ing6- 
nieuse que II et $ sont des fonctions mtSromorphes de n'ayant que des pdles 
simples, re'cls et positifs. 

SoitH 1; 3 , ... ces a poles. Le re'sidu U/ de II par rapport au pole H; satisfait 
aux relations homog^nes qu'on obtient en supprimant $ k dans la seconde 
des equations ci-dessus et en y 6crivant U/ au lieu de II, / au lieu de 'i. On 
aura done, en supposant le developpement convergent, 



Les constantes A/ dependent de la fonction <!> et les u- L sont cerlaines fonctions 
fondamentales qui dependent seulemenl de la forme des continents et qui se 
r^duisent aux fonctions sph^riques ordinaires quand iln'ya pas de continents. 
Ces fonctions satisfont aux relations 



si i ? k 
si ;=*, 



dv 6tant I'6l6ment de la sphere. II est done facile de calculer les coefficients du 
developpement d'une fonction quelconque en s6rie de fonctions fonda- 
mentales. fevidemment, A/ sera le coefficient de ui dans le developpement de 



[146], QEuvres, t. VIII, p. igS-aSG; [195], C&uvres, t. VIII, p. 198-286 et 2^7-274. 



L/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 333 

la fonction ^ (<J> A"). Les A/ son! lin^aires en k. Enfm, la constante k se 

o 

determine par la condition que la masse du bourrelei soil nulle. 

Ainsi, le problSme des marges statiques se ram&ne a la formation des fono 
tions fondamentales m. Le calcul de ces fonctions dans le cas de la nature 
serait sans doute extrtoement compliqu6 a cause de la forme capricieuse des 
continents. Mais il serait dvidemment possible d'appliquer la me"thode en 
admettanl que les cotes sont ddfinies par certaines fonctions simples etde com- 
parer ensuite le r^sultat avec celui qu'on obticnt en n<5gligeant avec Lord 
Kelvin 1'attraction du bourrelet. 

fividemment, le probl&me pent se re'soudre aussi par la methode de M. Fred- 
holm, puisque la relation (28) est une Equation integrate. II est intt^ressant de 
reconnaitre que Poincar6 avait d6montr6 d&ja en 1894 que la solution du pro- 
bl&me special dont il s'agit esl une fonction m6romorphe de . 

Pour <5tudier les marees qui correspondent a une valeur quelconque de \ il 
faut avoir recours aux m6tliodes de FHydrodynamique. En n6gligeant les 
termes du second ordre par rapport aux accelerations et aux vitesses du liquide, 
les Equations du mouvement deviennent lin^aires. Enfin, puisque la profon- 
deur de la mer est relativement petite, on n'aura que deux variables ind^pen- 
dantes : la colatitude et la longitude ^. Les Equations t de la the"orie des 
mar6es, d^duites ddja par Laplace deviennent ainsi 

f , d /. . (,d^\ d 

(29) ^smO^ 

C est l'lvation inconnue de 1'eau; II est le potentiel du bourrelet, dontl'^pais- 
seur est ; 9 est une fonction inconnue auxiliaire; on a de plus 

. X 2 A 2 co cos , 



h <tant la profondeur de la mer; ensuite w est la vitesse de rotation de la 
Torre; enfin le coefficient C dans le termc consid(5r6 du potentiel de 1'astre est 
une fonction sph&rique du second ordre de la forme /(8) e^^ ($ = o,t 
ou 2). 

Si la profondeur h s'annule aux cotes, la solution du probleme sera dgler- 
min^e par la condition que 9 reste fini. Au contraire, si h ne s'annule pas, la 

condition aux limites s'^crira 

do 2 co cos 6 do 

* ___ . _ *_ - Q 

dn X ds 

les d^riv^es tant prises suivant la normale et la tangente de la c6te. 



334 L'GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. 

En supprimanl les forces exterieures (C o), il est possible de salisfafre 
aux equations (29) en choisissant pour ^ ccrtaines valeurs spgciales. Les solu- 
tions dont il s'agit donnent les oscillations propres de la mer avec les pgriodes 

^^ Si, au contraire, C et X sont donnas, la solution des Equations (29) 

qui s'annule avec C dgfinira une oscillation conlrainte ajantla pgriode " \~~ 

Dans le cas relativement simple ou il n'j a pas de continents et ou la profon- 
deur h ne depend quede 8, la fonctioncp (etaussi ) aura la forme e s 'V~-+'^F(0). 
On n'aura done qu'une seule variable indgpendanle 0. II esL alors possible 
d'inlggrcr les Equations (29) en dgveloppant les fonctions inconnues cp et en 
series suivant les fonctions adjointes de rang s, lesquelles enlrent comme 
coefficients de e^~ dans les expressions des fonctions sphgriques. M. Hough 
a eflectug les calculs ngcessaires en choisissant pour // quatre valeurs cons- 
taates (li = 2, 4, S, 17 km). 

M. Hough a fait ainsi la dgcouverte intgressante qu'en faisanL lendre A vers 
zgro, ou n'obtientpas la marge statique de Laplace. On obtient au contraire 
un dial parliculier d'gquilibre, qui cst caractgrisg par I'existenco de couranls 
conlinus regnant sous la surface libre sans en altgrer la forme. Ce sont les 
marees statiques de la seconde sorte, tandis que les marges calcul^es par la 
ihtSorie de l^quilibre s'appellent les marees statiques de la premiere sorte. 

S'il n'j avail pas de frottement, toutes les marges a longues periodes se 
rapprocheraient des marees statiques de la seconde sorte. Au conlraire, si le 
frottement glait considerable, les marges a longues pgriodes seraientapeu pros 
ggales aux marges statiques de la premiere sorte. M. Hough a montre qu'il 
fan l une dizaine d'annges pour que le frottement se puisse sentir. Par consg- 
quent les marees annuelles et de pgriodes plus courtes seront bien de la deu~ 
xi^me sorte; au contraire, la marge ajant pour pgriode 18 ans serait une marge 
de premiere sorte, qu'on devrait calculer par la theorie de rgquilibre. 

Vu 1'importance des marges statiques de la seconde sorte, Poincarg en a " 
donng la thgorie compete [464, l. 3, chap. 8] ( l ). II s'agit de calculer le terme 
principal de A 2 cp, qui resle finie pour A ~ o, Ce terme <b ne dgpend que de 
la variable n = -. La fonction *(YJ) satisfait a une gquation diffgrenlielle 
lingaire du second ordre, dont le second membre dgpend aussi du bourreletfl. 
On obtient $ par approximations successives en nggligeant d'abord II. 

(') [464, t. 3, chap. 8], Legons de mecanique celeste, t. 3, p, 182. 



g 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 335 

Malheureusement Fapplication de ceLte methode au calcul des marges sta- 
tiques de la seconde sorle se heurte a des difficulties pratiques insurmonlables, 
vu la complication de la fonction h qui definit la profondeur de la mer. N6an- 
moins il reste un r<3sultat bien simple : les courants internes se propagent tou- 
jours suivant les lignes -n= const., lignes qu'on peut facilement tracer sur la 
carte. Toutefois ces courants sont bien faibles (leur vitesse est de quelques 
metres par heure seulement) de sorte qu'il est tr6s difficile de les d^celer par 
1'observation. 

Avant la decouverte de la mgthode de M. Fredholm, Poincar^ [195] ( 4 ) avait 
essay (5 d'int6grer d'une maniSre g6nrale les Equations de la th^orie des marees 
en d^veloppant les fonctions inconnues suivant les puissance.s de X et en negli- 
geant 1'influence du bourrelet. Pour determiner les coefficients des developpe- 
ments, on est ramen a des Equations diff^rentielles lintiaires du second ordre 
et avec une seule variable ind^pendante. Les fonctions cp et consider<5es 
comme fonctions de A n'auront d'autres singularity queles valeurs particuli&res 
A a (a i, 2, 3, . . .) qui correspondent aux diverses oscillations propres. En 
connaissant les valeurs X a les plus voisines de 1'origine, il serait possible 
d'augmenter le domaine de convergence des d(5veloppements. 

Pour trouver les A a , Poincar6 6tudie d'abord les oscillations propres d'nn 
sjsteme m^canique ajant n degr^s de liberte autour d'une position d'6quilibre 
stable. Rappelons que les A a satisfont alors a une Equation alg^briqtie de degr(5 
2/i. Poincar^ d^montre [195, 464, chap. 1] ( d ) (-) que la quantity A^ est le 
minimum absolu d'un certain rapport R a entre deux formes quadra tiques quise 
fonnent facilement, quand on connait les expressions de l'<nergie cin6tique et de 
F^nergie potentielle du syst^me. Cette propri6t6 des quantity A a peut se g(3n6ru- 
lisera un syst^me qui depend d'un nombre infini de paramlres. II arrive alors 
que la quantity AJ est le minimum absolu d'un certain rapport R a entre deux 
int^grales qui renferment un certain nombre de fonctions arbitraires. Pour 
trouver A a , il s'agit de determiner ces fonctions de sorte que le rapport en 
question soit aussi petit que possible. Mais, 6videmment, Poincar6 a trouv6 ici 
plutot une propri6tt^ g6n(5rale des quantity A a qu'une m6thode pratique pour 
en calculer les valeurs. 

II est bien connu que la th6orie des Equations integrates de M. Fredholm 



(M [195], OEuvres, t. VIII, p. 198-2^6 et p. 237-274. 

( 2 ) [464, chap. 1], Legons de mecanique celeste, t. 3, p. 3. 



336 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

permet de r^soudre un grand nombre de probl&mes de la Physique math^ma- 
tique qui ^talent auparavant inabordables. Poincar6 a appliqu<3 cette m^thode 
[464, chap. 10] (*) pour inl6grer complement les Equations de la th^orie des 
marges, quellcs que soient la forme des continents et la loi des profondeurs de 
la mer, 

En faisant de la surface de la sphere lerreslre une representation conforme 
sur une carle g(3ographique et en d^signant par #, y les coordonn<5es rectan- 
gulaires sur celte carte du point 0, ^, les Equations de la th^orie des marges 
prennent la forme 



i ( , 2 u _ Ce , /)=5 

fJx\ dxj dy\ dy / <)(x, r) k- S ' ^ 

/i etanl le rapport de similitude (la signification des autrcs quantit^s se Irou- 
vant a la page 333). De plus, il faut tenir compte des conditions aux limites 
d(5ja mentionn6es (p. 333). 

Poincare fait d'abord abstraction de 1'attraction du bourrelet de sortc que 
II = o. AlorSj ii s'agit d'integrer une Equation de la forme 

(3o) Ao = a~- +- b-^--t- 09 H-/= F. 

J dx dy ' J ' 

a, 6, c,/6tant des fonclions donates de x et y. Ces fonctions sont finies a 
moins que 

h = o on X- -H f\ co- cos 2 6 = 0. 

Les valeurs de qui satisfont a la demiere condition apparliennont w* paral- 
leles critiques. 

Poincar6 admeL d'abord quo la mer cst limit^e par des falaises verticales et 
qu'elle n'est pas travers<5e par un parall&le critique. Alors les coefficients a, b, 
c, /son I finis. 

La condition sur le contour sera 

d * , r d ^ - n 

, -f- Vj -7- = O. 

dn ds J 

G (^tant une fonclion donn6e de s ( G = 3 0) !^ QS ) 

V ^ / 

En d^signant par G(a?, y; , YJ) la fonclion de Green g(5n^ralis^e relative k 
(*) [464, chap. 10], Legons de mecanique celeste, t. 3, p. 235. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 337 

Paire conside're'e qui est deTinie par la condition aux limites 



-j -- h-r- = 0, 

an as 



lafonction q> satisfaisant a liquation (3o) sera encore deTmie par I'e'qualion 

2*9= fF'Gd<r', 

F f 6tant cc que devient F en j substituant pour #, y les coordonn6es H,, r? de 
F element dv'. En integrant par parties, pour faire disparaitre les de'rive'es de cp 
qui se trouvent dans 1'expression de F, Poincar arrive a une Equation inte'- 
grale renfermant une inte'grale simple et une inte'grale double. Le nojaii de 
Fint6graie simple devient infini comme un logarithms, celui de Pinte'grale 
double est infini du premier ordre quand la distance des points x, y et , Y] 
s'annule. Ainsi, la me"tliode des nojaux re'ite'r^s est applicable, et la melhode 
de M. Fredholm peut donner 1'expression de la fonction inconnue 9. 

Ensuite, Poincare' passe au cas plus ge'ne'ral, en admettantque la profondeur 
h s'annule aux cotes et que la mer est traverse'e par des paralleles critiques. II 
considere d'abord Fe'quation 

Aw cu=f, 

laquelle peut se r^soudre par la m6thode pr6c^dente. La solution aura la forme 



G e*tant une fonction de Green ge'ne'ralise'e et/' ce que devient/ en y mettant 
, Y] au lieu de #, y. 

Cela e'tant, la fonction cherche'e cp satisfait a la relation 



Apr^s Pinte'gration par parties, on sera conduit a une Equation int^grale. 
Poincare' de'montre qu'on peut d6former 1'aire d'int6gration afin d'e'viter la 
frontiere et les paralleles critiques ou les coefficients s,ont infinis. La me'thode 
de M. Fredholm reste ainsi applicable. 

Poincar^ d^montre enfin que, en voulant tenir compte du bourrelet, on aura 
a r^soudre deux Equations inte'grales a deux fonctions inconnues 9 et ; la 
me'thode de M. Fredholm conduit encore au but. 

H. P. XI. . 43 



338 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

jSvidemment, FapplicaUott/?7Yifc'gw<? de la m<thode de M. Fredholm au pro- 
bleme general des mantes conduirait a des calculs trop compliqu6s. Toute- 
fois, il esl probable que la m^thode se monlrera utile quand il s'agira de 
certains cas parliculiers plus simples. 

Poincar^ se demande aussi [464, chap. 10] (*) s'il ne serait pas possible de se 
servir, dans la the'orie des marges, d'une me'thode toute nouvelle de M. Ritz. 
Celte me'lhode s'applique au cas ou Ton a a determiner une fonction par le 
Calcul des variations. L'expression dans Finte'grale dont il taut chercher le 
minimum est un polynome du second degre, non homogene, par rapport a la 
fonction inconnue eL a ses de'rive'es premieres. M. Rilz de>eloppe la fonction 
inconnue en &6rieJ?.<Znfyn suivant certaines fonctions ^ 4 , i|; a , - dont le choix 
depend des conditions aux limites. Les inconnues du probleme sont alors les 

coefficients a 1: a a , Elles se de"terminent par une infinite d'e~quations 

lin^aires. 

PoincartS d&nontre que le probleme des mare'es peut en effet se require a la 
recherche du minimum d'une certaine int6grale. Mais il n'entre pas dans tous 
les details necessaires, do sorte que 1'application de la me'lhode de M. Ritz a la 
thgorie des marges reste encore une question ouverte. 

Poincar^ a trait^ aussi [464, chap. 19] (^ la question de savoir si Failraction 
dela Luneet du Soleil surle bourrelet de 1'eau soulev^e ne pourrait augmenter 
s^culairement la dui^e de k rotation terrestre. L'importance du probleme est 
dvidente, puisqu'il s'agit de l'in variability de I'unit6 de temps qui nous sert a 
^valuer la dur6e des mouvements des corps celestes. 

Poincar^ dt5montre que le moment de la r^sultante de 1'aclion de la Lune et 
du Soleil sur le bourrelel des eaux souleve"es a toujours sa valeur moyenne 
nulle, de sorte que, s'il n'y avail pus de frottement, il ne pourrait y avoir 
aucun changement s^culaire dans la dur(5e de la rotation de la Terre. 

En partant des recherches de M. Hough sur 1'effet du frottement des marges, 
Poincare' montre que Faction de la Lune par Finterm6diaire des mare'es est 
plus de 100000 fois trop faible pour expliquer Favance se'culaire re'siduelle de 
4" que pre"sente la longitude moyenne de la Lune. 

Ajoutons enfin que Darwin, en faisant intervenir les mar6es du noyau ter- 
restre, a pu attribuer celui-ci la viscosite' ne'cessaire pour obtenir Faugmen- 
tation voulue de la dur^e du jour side'ral. 

C 1 ) [^64 ], Legons de m&canique celeste, chap. 10, t. 3 t p. 2^3; chap. 19, t. 3, p. 54o. 



L'GEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 33g 

20. Figures d'equilibre de masses fluides. 

Une th^orie g6n6rale de 1'^quilibre relatif d'ane masse lluide h6t6rog&ne, 
soumise seulement aux forces interieures dues a 1'attraction newtonienne, 
serait c^videmment de la plus haute importance pour 1' As trophysique. Elle nous 
permettrait de suivre le developpement des n^buleuses et des ^toiles. Elle nous 
doimerait peutnHre aussi la solution de l'nigme des 6loiles variables et des 
^toiles <( nouvelles . Poincar6 a fait fa ire a celte th^orie les plus imporlants 
progres. 

Ainsi il a d^montr^ d'abord [ 462, chap. 2] ( L ) qu'une masse lluide quelconque 
en 6quilibre relatif se trouve ntjcessairement en rotation unitorme autour d'un 
axe fixe, qui coincide avec 1'un des axes principaux d'inertie de la masse. 

Cela 6tant, considerons une masse fluide, anim<3e d'un mouvement de rota- 
tion uiiiforme autour d'un axe fixe. L'Hydrostatique montre que, dans le cas 
de l'6quilibre relatif, les surfaces de niveau sont les surfaces d'6gale pression 
et aussi d'(5gale densite. A la surface libre, la pression est nulle. La surface 
lib re esL done une surface de niveau, ct la r<5sultante de 1'attraction et de la 
force centrifuge est perpendiculaire a la surface libre. Voila des conditions 
necessaires pour l'6quilibre relatif. 

Poincar6 fait la remarque qu'il faut aussi que ceLte r^sultanle soit dirig^e 
vers 1'int^rieur de la masse, autrement une partie se d^tacherait. Pour qu'il en 
soit ainsi, Poincar6 d^montre [94; 462, chap. 1] ( 4 ), ( 2 ) qu'il faut que 

C02<2np w , 

co 6Lant la vitesse de rotation et p m la density moyenne de la masse fluide. 

Rappelons maintenant la condition n^cessaire et suffisante de l'6quilibre. 
D'apr^s le principe des vitesses virtuelles, il faut etil suffit quele travail rsul- 
tant d'un d6placement virtuel soit nul. Ce travail comprend le travail de 
1'attraction, plus le travail du & la force centrifuge. Soit W l'6nergie poten- 
tielle, I le moment d'inertie par rapport a 1'axe. La condition d'6quilibre est 
done que 
(3i) 8W+^6I = o 

pour tout d^placement compatible avec les liaisons. 

( r ) [462], Figures d'equilibre d'une masse fluide. 
( 2 ) [94J, OEuvres, t. VII, p. 17-25. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Soil p la density V le potentiel et U la fonction de force totale de sorte quo 







En d^signant par di Mement de volume on aura 



les integrates etanl <5tendues a tout 1'espace. La condition (3i) peul done 

s : 6crire 

( 30) / USpcfo = o 

i 

pour toutes les variations dp qui sont compatibles avec les liaisons. 

Jusqu'ici nous n'avons pas parte de la sLabilite de 1'gquilibre. 

Quaud il s'agit de l^quilibre absolu, la question est facile. La condition 
n^cessaire et suffisante de la stability est alors que I'gnergie potentielle W 
soit minima. 

Au contraire, dans le cas de l^quilibre relatif, le probl^me est beaucoup plus 
difficile. Lord Kelvin a dislmgu6 alors entre deux sortes de stabilites : la sta- 
bilit^ ordinaire ay ant lieu quand il n'y a pas de frottement, et la stabilitc 
s^culaire qui se trouve r^alis^e m<3me avec frottcmenl. L'^tude de la stability 
seSculaire est beaucoup plus simple que cclle de la stability ordinaire. 
Lord Kelvin a enonce que la condition necessaire et suffisante de la stability 

s^culaire, c'est que W + ~ I soit maximum. 

Poincar fait remarquer [72] ( l ) que ce r^suliat n'est pas applicable quand il 
s'agit de l'6<juilibre d'un fluide. En efifet, la demonstration de Lord Kelvin 
suppose que tout mouvement determine un frottement, mais cela n'a pas lou- 
jours lieu pour la masse fluide, qui peut se d6placer d'un bloc comme un corps 

solide. 

Pour traiter la question rigoureusement, Poincar^ introdutt une nouvelle 
notion : celle du solide equivalent b la masse fluide [462, chap. 2]'( a ). C'est un 
solide ou, b 1'instant consid^r^, les molecules ont la m&me position que dans le 

() [72], OEuvres, t, VII, p. 4o-i/io. 

( a ) [462] T Figures d'&quilibre d'une masse fluide. 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE 34 1 

syst&me fluide. La vitesse cle son centre de gravity est la mme que pour le 
fluide. Les trois moments de rotation autour des axes principaux d'inertie sont 
les monies que pour la masse fluide. Son mouvement est done bien dEfini a 
1'inslant considErE, mais le solid e Equivalent a 1'instant t n'est pas le solide 
Equivalent a 1'instant t'. 

PoincarE dEmontre que la force vive du fluide est Egale a la force vive T ; du 
solide Equivalent, augmentEe de la force vive T ;/ du fluide dans le mouvement 
relatif par rapport a des axes invariablement liEs au solide Equivalent. 

Cela Etant, la condition nEcessaire et suffisante de la stabilitE sEculaire de 
1'Equilibre relatif d'un fluide, c'est que 1'Energie totale 

(33) ^T~ W 

du solide Equivalent soit minima, en considErant le moment de rotation [j. 
comme donnE. 

Grace a la notion nouvclle du solide Equivalent, la dEmonstration de ce 
thEorme important el presque immEdiate [462, chap. 2] ( i ). Elle repose sur le 
principe que 1'Energie totale T'-\-T' f W ne peut jamais croitre (principe de 
dEgradation de TEnergie). 

PoincarE dEmontre aussi [462, chap. 2] (*) que, pour la stabilitE sEculaire, il 
est nEcessaire que Paxe de rotation soit le plus petit axe de 1'ellipso'ide d'inertie 
relatif a la masse fluide, 

Retournons maintenant a la condition (3i) ou (02). 

Admettons d&s maintenant que le fluide est homog&ne et que p = i . On 
aura alors dp = o, sauf dans le voisinage de la surface libre, ou op i . Alors, 
la condition nEcessaire et suffisante de 1'Equilibre, c'est que la surface libre 
soit une surface de niveau. 

Etant donnE ce principe, on a trouvE, il y a longtemps, que chaque 
ellipsolde cle rEvolution aplati qul est animE d'un mouvement de rotation 
autour de son axe peut se trouver en Equilibre relatif, si seulement la vitesse 
de rotation est convenablement choisie. Soit s le rapport des axes. Le moment 
de rotation /JL croit constamment de zEro vers Pinfini, quand s augmente de 
PunitE vers 1'infini. Ce sont les ellipsoi'des de Mac Laurin. 

Rappelons aussi qu'il j a une suite d'ellipso'ides a trois axes (ellipsoi'des de 

(*) [462], Figures d'cqaiiibres d'une masse flu Ule. 



342 L'OEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Jacob!) qui sont des figures d'^quilibre, si seulement la rotation a lieu autour 
de Faxe le plus petit et avec une vitesse convenable. Soient s et t les longueurs 
des autres axes par rapport au plus petit axe. t sera une certaine fonction de s. 

On a toujours i < s < oo , oo > > i et -T- < o. Le moment de rotation p est 

minimum (= p. ) quand s t = SQ el croit sans cesse vers 1'infini quand s ou t 
augmente de S Q vers 1'infini. 

Une solution d'un problme d'^quilibre quelconque qui depend d'un pa^- 
m6tre arbitraire /JL est appel^e par Poincar^ une serie lineaire de formes 



II peut arriver qu'une mme forme d'^quilibro appartienne a la fois a deux 
ou plusieurs series lin^aires. Poincar<3 dit alors que c'est une forme de bifur- 
cation. 

II peut arriver 6galement que deux series lin^aires de formes d'^quilibre 
r^elles, viennent, quand on fait varier le param&tre p., & se confondre, puis a 
disparaitre, parce que les racines des Equations d'^quilibre deviennent imagi- 
naires. La forme d'^quilibre correspondante s'appellera alors forme limife. 

D'aprds cette terminologie, les ellipsoides de Mac Laurin et de Jacobi sont 
deux series lint^aires de formes d'^quilibre. Pour p. = |ji ($= ^ = ^ ), les deux 
series se coupent dans une forme de bifurcation. Cette forme est en mme 
temps une forme limite pour la s<5rie de Jacobi, qui n'existe que pour p. > p . 

Poincar5 a fait Tune de ses plus belles decouvertes en d^montrant [72; 402 
chap. 7] ( j ), ( 2 ) que cbacune des deux series lineaires considf$r6es de formes 
d'6quilibre (celle de Mac Laurin et cello de Jacobi) renferme une infinite de 
formes de bifurcation, ofi apparaissent de nouvelles series lineaires de formes 
d'gquilibre. 

L'(5tude des formes limites et des formes de bifurcation est intimement lie 
a l^tude de la stability de 1'gquilibre. 

Pour trouver ces formes particuli^res, Poincare admet d'abord que le sys- 
t^me depend d'un nombre fini de variables a?i, ..., x tl . 11 s'agit alors do 
r6soudre des Equations de la forme 



-7 = -7 = = -^ - == 0, 

ax i dec*. dx n ' 



( l ) [72], QEuvres, t. VII, p. /jo-^o. 

(-) [462], Figures d'eqiulibre d'une masse fluide, 



L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H, POINCARE. 343 

F tant une fonction des variables x i: ..., x n et d'un param&tre /JL. Soit 
%v= <pv(f*) (v = i, a, . . . , /i) une sgrie lin^aire de formes d'6quilibre. 

Pour que la forme qui correspond a^^^o soit une forme limite ou une 
forme de bifurcation, il faut 6videmment que /m = JJL O soit une racine du Hessien 
de F par rapport aux #1, . . . , x n , ou Ton a pos # v = 9v(p-)- 

Poincar6 dgmontre [72] (*) qu'on aura certainement une forme de bifurca- 
tion si le Hessien change son signe quand on traverse ^ - 

Supposons que les Equations (34) soient satisfaites pour Xi= x^ =:... = x n =o. 
En d^veloppant F suivant les puissances des # v , on pent toujours ^crire les 

n 

termes du second degr sous la forme d'une somme de carr^sV a,-Yf , les Y, 

*=i 

6tant homog^nes et lin^aires par rapport aux a? v . D'apr^s Poincar^, les a v s'ap- 
pellent coefficients de stabilize [72] ( 1 ). 

Admetlons que F soit I'gnergie du syst^me. Pour qu'ily ait 6quilibre stable, 
il faut et il .suffit que tous les coefficients de stability soient positifs. 

Supposons maintenant que a t change son signe, tandis que les autres an ne 
s'annulent pas quand on traverse JJL O . Apr^s avoir ^Iimin6 ar 3 , . . . , x tl des Equa- 
tions (34), on obtient une relation 

(35) <Z>O,, fx) = o 

a laquelle correspond un certain nombre de courbes (au moins deux) passant 
par le point #4=0, f^ = ^o du plan des #1, p.. A chacune de ces courbes 
correspond une s^rie lin^aire de formes d'^quilibre. 

En admetlant que les a a , -.., son t > o pour p. /jt. 0j Poincar^ d^montre 
qu'il yzechange destabilize pourfjL = ^ [72] ( -1 ). Voici ce qu'il entend par la; 
les formes qui se prolongenl de part et d'autre de p-o deviennent instables pour 
F > H-o g i e ^ es ^taient stables pour p. < /^ et ?j/ce versa; enfin les branches de 
la courbe (35) qui partent vers le mme cot<5 de la ligne p. = ^ correspondent 
alternativement a des formes stables et a des formes instables. 

Tous ccs r^sultats subsistent si la fonction F depend d'un param^tre /JL et 
d'une infinite de variables # l? a? 2 , . . . , x () . . . , en supposanttoutefois que, dans 
le d^veloppement de F suivant les puissances des #, les tei^mes du second 
degr^ 
(36) a t #f H-a 2 ^| + ...-Ha /? ^_ h> _ 

( x ) [72], CEuvres, t. VII, p. 4o-i4o. 



344 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

soient tous quadratiques et que les coefficients de stability a/ soient positifs a 
Pexception d'un nombre fini d'enlre eux. 

Poincare' dtSmontre [72] (*) ainsi le thtforeme suivanl : Si, en tr avers ant JJL O , 
Vun des coefficients a/ change son signe tandis que tous les autres ne s } aji- 
nulent pas, la forme cCequilibre #/ = o sera une forme de bifurcation pour 
p = p Q ; si, de plus, tous les autres a/ sont positifs pour //.== ^ , il y aura 
echange de stabilite pour /JL p. . 

Poincare' a applique" ces principes a I'e'tude des figures d'e"quilibre qui diffe- 
rent peu des ellipso'ides de Mac Laurin et de Jacobi. Soit E un quelconque de 
ces ellipsoi'des. La fonction (33) jouera le role de F. Une figure quelconque 
voisine de E est d(3finie par I'elevation C de sa surface au-dessus de la surface 
deE. 

La the'orie des fonctions de Lame" fournit [72; 462, chap. 6] (*) ( a ) une suite 
de fonctions orthogonales y^ jouant par rapport a la surface E le mme role 
que les fonctions sphe'riques par rapport a la sphere. L J el(5vation ^ peut se 
de'velopper en s6rie suivant les fonctions y/, de sorte que 



les xi etant des constantes arbilraires. Ainsi la fonction (33) se trouve deve- 
loppe'e suivant les puissances des xi. Les termes du premier degre" dispa- 
raissent, puisque E est une figure d'^quilibre. Les termes du second degre sont 
de la forme (36), puisque les fonclions yi sont des fonctions orthogonales. 

Les coefficients de stability a,- dependent seulement du parametre s (ou du 
moment de rotation p.) qui defmit completement la forme de E. En variant s 
(ou /*), certains de ces coefficients ne s'annulent jamais, les autres s'annulent 
une seule fois et en changeant le signe. 

Pour les ellipso'ides de Mac Laurin, tous les a/ sont > o, tant que [* < /JL O . 
L'e'quilibre est alors stable. Pour |m |JL O , un premier coefficient a change son 
signe. On retrouve ainsi la forme de bifurcation ou apparaissent les ellipso'ides 
de Jacobi. Pour /JL > /JL O , les ellipso'ides de Mac Laurin sont instables. En fai- 
sant croitre /* a partir de /JL OJ on rencontre, parmi les ellipsoi'des de Mac Laurin, 
une infinite* de formes de bifurcation, ou apparaissent de nouvelles series line- 
aires de formes d'e'quilibre. Elles sont toutes instables. 

C 1 ) [;72], OEwres, t. VII, p. 4o-i4o. 

( a ) [462], Figures d'equilibre d'ttne masse fl aide. 



L/CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 345 

Pour les ellipse ides dc Jacobi, on aura une nouvelle suite de coefficients de 
stability a/. En verlu du principe de 1'ediange des stabilites, iis sont tous posi- 
tifs, quand /JL est un peu plus grand que /JL O< Soil /jL 4 la premiere valeur de /JL 
pour laquelle un coefficient a disparait. Tant que /UL O <! p- < p-i , les ellipsoi'des 
de Jacobi sont stables. Pour JJL^/JL^ ces ellipsoi'des sont instables. En faisant 
croitre /JL a partir de /uq, on rencontre une infinite de formes de bifurcation ou 
de nouvelles series lin^aires de formes d'equilibre rencontrent la serie de 
Jacobi. Ges nouvelles figures d'equilibres sont toutes instables. 

Retournons a la forme de bifurcation pour ^j. = ^. if C'est une forme limite 
pour la nouvelle serie lineaire de formes d'equilibre qui y apparaissent. D'apr&s 
les calculs de Darwin, cette nouvelle serie est reelle quand /JL est un peu plus 
grand que JJLJ. fitant donne le principe de 1'echange des stabilites, les nouvelles 
figures d'equilibre les apioides de Poincare sont done stables. (D'apr&s 
M. Liapounoff, c'est le contraire qui aurait lieu.) 

Dans ce qui pr6cde, nous avons regard^ le moment de rotation commepara- 
m&tre variable et la densite du fluide comme invariable. Imaginons mainte- 
nant que la masse fluide homog^ne se contracte lentement en se refroidissant. 
En vertu de la viscosit6, le fluide tendra toujours a prendrc une forme d'equi- 
libre relatif stable. S'il n'j a pas de forces ext^rieures, le moment de rotation 
restera constant. Si la masse est d'abord a peu pr&s sph6rique, elle parcourra 
dans son d^veloppement les formes d'equilibre stables dt5ja mentionn^es. Elle 
aura d'abord la forme d'un ellipsoi'de de Mac Laurin dont 1'aplatissement aug- 
mente constamment. D6s que la premiere forme de bifurcation sera atteinte, 
la masse prcndra la forme d'un ellipsoi'de de Jacobi. Le rapport du grand axe 
au petit axe croitra constamment; celui du mojen axe au petit axe dimi- 
nuera. 

On arrivera ensuite a la seconde forme de bifurcation. D^sormais, la masse 
aura la forme d'un apioi'de de Poincare. La plus grande partic du corps tendra 
a se rapprocher de la forme sph^rique, tandis que la plus petite partie semblera 
vouloir se detacher de la masse principale. II parait difficile de suivre plus 
loin le developpement. Peut-6tre le corps finira-t-il par se partager en deux 
corps isoles. Peut-6tre aussi le developpement sera-t-il soudainement inter- 
rompu par une forme limite. 

Alors, Pequilibre finira par 6tre bouleverse, et la masse prendra apre^s 
une periode d'oscillations considerables une forme d'equilibre tout a fait 
differente. 

H. P. XL 44 



346 L'CEUVRE ASTRONOMIQUE DE H. POINCARE. 

Ajoutons que Poincar^ [94; 95; 72; 462, chap. 8] ( 1 ), enpariant de la condi- 
tion (01), a d6montr aussi 1' existence d'une s<3rie lin^aire de formes d'qui- 
libre ou la masse fluide homog&ne prend la forme d'un anneau tr&s mince et 
peu different d'un tore. La vitesse de rotation GJ est tr&s petite, En faisant co 
infiniment petite, 1'anneau prend la forme d'un cercle de rajon infiniment 
grand. Ges figures annulaires sont probablement instables. 

Rappelons eniin quelques r^sultats g^ntiraux sur les formes d'6quilibre de 
masses fluides homog&nes obtenus par Poincar^. 

Si la rotation est nulle, la sphere est 6videmment une figure d'^quilibre. 
M. Liapounoffa d^montr^ que la valeur absolue W de P^nergie potentielle 
atteint son maximum absolu, si la masse a la forme d'une sphere. Poincart5 
donne une nouvelle demonstration de ce th6or6me [108; 212; 462, chap. 2](-). 
II d^montre d'abord que, pour chaque figure d'^quilibre sans rotation, on a 



T 6tantle volume et C la capacity glectrostalique du corps. II montre cnsuito 
que la capacity 6lectrostatique, qui depend de la forme. du conducteur, a un 
minimum absolu et que ce minimum est atteint seulement pour la sphere. II 
en r^sulte le th^or^me de M. Liapounofi". 

Poincar^ est arrivd aussi [462, chap. 2] ( 2 ) au r^sultat que voici : Pour un 
lluide homogne en 6quilibre relatif, la quantity W w-[ a loujours Ic m6me 
signe que 27: o)' J , 

11 prouve, d'autre part [462, chap. 2] (-), qu'on aura pour toutes les figures 
d'&juilibre la relation 

vr+2i = lw, 

U 6lant la valeur constante de la fonction de force U a la surface libre. En 
regardant co comme paramtoe variable et le volume T comme constant, les 
quantity W, I et U varient avec o>. En partant de la relation indiqu^e tout a 
Fheure, Poincar^ dmontre que U croit toujours avec co. Si alors co peut 
croitre ind^fmiment sans que la figure d'^quilibre cesse d'exister, il en sera de 
m6me avec U . Quand U sera trop grand, la surface du corps ne pourra plus 
rencontrer 1'axe, et la masse prendra enfin la forme annulaire. 

(>) [94],'OE'apre*, t. VII, p. 17-26; [95], OBuvres, t. VII, p. 26-35; [72], OEuvres, LVII," 
p. 4o-i4o; [462], Figures d'tquilibre d'une masse fluide. 

( 2 ) [108], OBuvres, t. VII, p. 143-146; [212], OEuvres, t. VII. p. i5i-i56; [462], Figures 
d'equilibre d^une masse fll aide. 



HENRI POINCARE UND DIE QUANTENTHEORIE 



VON MAX PLANCK 



Ada Mathematica^ 1. 38, p. 387-397 drpr). 



1. Nur in seinem letzten Lebensjahre hat sich H. Poincaremit der Quanten- 
theorie beschaftigt, aber dies in einer Weise, die auf die Denk-und Arbeits- 
richtung dieses Meisters seiner Wissenschaft ein ungemein bezeichnendes Licht 
wirft. Denii wie das whare Temperament eines Menschen sich. dann am deut- 
lichsten offenbart, wenn er sich einmal unversehens einem seltsamen Ereignis 
gegeniibersieht, so verrat sich auch die Eigenart eines Forschers am unlriiglicli- 
sten in seiner Stellungnahme gegeniiber einer in seiner Wissenschaft plotzlich 
neu auftauchenden Hypothese, welche zu gewissen im Laufe der Zeit feslgewur- 
zelten Anschauungen in mehr oder minder ausgesprochenen Gegensatz tritt. 
Der Gealterte wird geneigt sein, die Hypothese zu ignorieren, der Enthusias- 
tische wird sie unbesehenwillkommenheissen, der Skeptikerwird nach Grtinden 
suchen sie abzulehnen, der Produktive wird sie prufen und gegebenenfalls 
befruchten. H. Poincar6 hat sich in dem tiefgriindigen Aufsatz (*), den er der 
Quantentheorie widmete, als jugendlich, krilisch und produktiv erwiesen. 
Die Anregung zu dieser Untersuchung empiing er olme Zweifel in den 
Verhandlungen des denkwiirdigen 5'o/raj-Kongresses vom Jahre 1911 ( 2 ), und 
der Gedanke, mit dem er an sie herantrat, wird am besten durch seine am 
Schluss jener Versammlung gesprochenen Worte ( :t ) bezeichnet. Er wirft 



(!) Sur la TMorie des Quajita (J. Phys., t. 2, 1912, p. 5); OEuvres, t. IX, p. 626-653. 

( 2 ) La Theorie du Rayonnement et les Quanta, Rapports et Discussions, publics par 
MM, P. LANOEVIN et M. T>E BROGLIE, Paris, 1912. 

( 3 ) Loc. cit., p. 45i. 



3>j8 HENRI POINCARE ET LA THEORIE DES QUANTA. 

darin die grundsalzliche Frage auf, ob denn das Wesen der Qimnlcnlheorie es 
iiberhaupt geslallel, die Nalurgeselze durch irgcndwelche Differenlialglei- 
chungen auszudrucken ganz abgesehen von der speziellen Form der Glei- 
chungen der klassischen Meclianik und diese Frage eben isl es, deren Priifung 
und Beanlworlung den Inhalt seines oben erwahnten Aufsatzes bildet. 

Als Ausgangspunkt dient ihm darin die physikalische Tatsache, dass in einem 
abgeschlossenen System von zahlreichen, mit bestimmten Eigenperioden 
schwingenden geradlinigen ResonaLoren sich im Laufe der Zeit vermoge ihrer 
wechselseitigen Stosse ein durch die gesamie Energie des Systems vollkommen 
bestinimter Zustand statistischen Gleichgewichts herstellt. Gefragt wird nach 
dem stationaren Mittelwert der Energie eines Resonators von bestinimter 
Periode, unter der alleinigen Voraussetzung, dass die Slossgeselzfe durch 
Difierentialgleichungen von der Art der Hamilton'schen, abcr noch viel allge- 
ineiner als diese, geregelt sind. Urn die Betrachlung moglichst zu vcreinfa- 
chen, ohne ihre allgemeine Bedeutung zu beeintnichligen, wcrden nur zwei 
Arten von Resonatoren angenommen, namlich P Resonatoren von ,, langer u 
Periode, und N Resonatoren von ,, kurzer " Periode, die ihre Energien gegen- 
seitig durch Stosse austauschen. Diese Auswahl bringt zugleicli den Vorteil 
mit sich, dass dadurch die Einfuhrung des Begrifls der Temperatur ganz 
entbehrlich wird. Denn die mitilere Energie der Resonatoren von langer 
Periode ist tatsachlich nichts anderes als dass Mass far die Temperatur, weil 
fur diese Resonatoren, auch vom Standpunkt der Quantentheorie aus, die 
Gesetze der klassischen Mechanik gelten, und weil nach der klassischen 
Mechanikdie mittlere Energie ganz allgemein der Temperatur proportional ist. 

Das Resultat, zu welchem Poi'ncar nach einer ausfuhrlichen, weitansgrei- 
fenden Untersuchung schliesslich gelangt, lasst sich inder folgenden einfachen 
Form aussprechen, in welcher auch die Bezeichnungen seines Aufsatzes 
moglichst beibehalten sind. Wird die mittlere Energie der langperiodischen 

Resonatoren mil - bczeichnet, so ist die mittlere Energie derNkurzperiodisclmn 
Resonatoren : 

(0 ^=-1 

wobei gcsetzt ist : 



Unbestimmt und willktirlich wahlbar bleibt hierin noch die Grosse 



HENRI POINCARE ET LA THEORIE DES QUANTA. 34y 

welchc dadurch definicrt 1st, dass w(r\)dri die , , AVahrscheinlichkeit ' c dafiir 
bedeulet, dass die Energie eines kurzperiodischen Resonators zvvischen Y) und 
Y) 4- dri liegt. 

Der Thermodynamiker erkennt in diesen Gleichungen die Formeln wieder, 
welche die mittlere Energie einer grossen Anzahl gieicliarliger SysLcme von 
einem einzigen Freiheitsgrad mil dcm sogenannlen ,, Zaistandsinlegral il 
4> verkniipft. Die Rohstante a isL der reziproke Wert von kT (T absolute 
Tempera tur) und das Produkt w(ri) dv\ ist die , , Wahrscheinlichkeit a priori" 
oder die Grosse des durch (YJ, dri) charakterisierten Elementargebiets im 
Gibbs : schen Phasenraum eines kurzperiodischen Resonators. 

Nach der klassischen Theorie ist W(YJ) konstant, und daher nach (2) : 



woraus nacli ( i ) der Aquipartilionssatz der Energie 



folgt, vvelcher bekaniitlick den Erfahrun^en widerspricht. 

Fragt man aber nach demjenigen Ausdruck, den man fur fv(y]) annehmen 
muss, um zur Quantentheorie zu gelangen, so brauchtman nur den umgekehrten 
Wegzu gehen, und zu dem von der Quantentheorie geforderten Wert von 73 den 
passenden Wert von W>(YJ) zu suclien. Nun ist, in der urspriingliclien Form 
dieser Theorie, die mittlere Energie eines kurzperiodischen Resonators : 



wo die Grosse des Energiequantums bedeutet. Fur unendlich kleine gehl 
daraus wieder der Aquipartitionswert (4) hervor. 
Im allgemeinen folgt aber aus (5) und ( i) : 

n=. 
(6) <(a)= ^ _^ c = const. 

und ein Vergleich mit (2) zeigt, dass nur dann Uebereinstimmung zu erzielen 
ist, wenn fur alle Werte von YJ, die kein ganzzahliges Vielfaches von sind, 
i = o, w&hrend fur yj= TZE, w(ri) = oo , in der Art, dass fur lim = o : 



~m + \ 
(7) / w(*n) dt\ = const. 

Jni % 



350 HENRI POINCARE ET LA THEORIE DES QUANTA. 

Dieses Resultat ist natiirlicli gleichbedeatend mil einer Verneinung dor zu 
AnfangaufgeworfenenFrage, ob die Slossgesetze durch Differeatialgleichungen 
darstellbar sind; denn derartige Gloichungen warden doch jedenfalls einen steti- 
gen Charakter der Funktion w(v\) erfordern. Insofern darf man also das ganzc 
Problem als eiiedigt betrachten. 

2. Indessen bat die Meihodc Poincare"'s doch cine mehr als bios negative 
Bedeutung. Denn dadurch, dass sie ein Liinesveri'abren kernien lehrt, durch 
welches man, mittelst einer nachtriiglichen Ivorrektur der ursprunglichen unzu- 
liinglichen Voraussetzungen, schliosslicli doch zum gewttnschten Ziele gelangen 
kann, weist sie sozusagen Qber sich selber hinaus, und zeigl die Richtung, die 
man einschlagen muss, um der drohenden Unslimmigkcit von vornherein zu 
enlgehen. Wenn ein Resonator kurzer Periode wirklich nur solche Werte 
der Energie besitzen kann, welche ein ganzes Vielfaches von darstellen, so 
heissL dies, dass er seine Energie nnr ploizlich, sprungweise, iindern kann, 
oder mit anderen Worten : dass die Stossgesetze nichl durch Differential giei- 
chungen, sondern durch Dilferenzengloichungen dargestellt werden. Und es 
liegt die weilere Frage nahe, ob es n\chl moglich ist, cine Form des Stossge- 
setzes anzugeben, welche auf direktem Wege zu dem von der Quantentheorie 
geforderten Resultat fiihrt. Diese Frage mochte ich hier ein kleines Sliick 
wciter verfolgen. 

Wir wend en uns zu diesem Zwecke v\ r ieder zur Betrachtung der Stossvvir- 
kungen zwischen den P Resonatorcn von langer Periode und den N Resona- 
toren von kurzer Periode, und nehmen an, dass das Energiequantum der 
letzteren ein ganzes Vielfaches des Energiequantums der ersiereh ist; denn sonst 
ware ein unmittelbarer Energieauslausch zwischen ihuen garnicht moglich. 
Bezeichnen wir die Zahl derjenigen langperiodischen Resonatoren, deren 
Energie zwischen u und u -\- du liegt, mit P u du, und die Zahl derjenigen 
kurzperiodischen Resonatoren, deren Energie nt betragt, mit N ;i , wobei : 

(8) ^Pudu^P, und 



und betrachten wir die wechselseitigen Zusammenstosse dieser beiden Arten 
von Resonatoren wahrend eines Zeitintervalls t. Ihre Anzahl wird ausser der 
Lunge des Zeitraums t den Grossen P u die und N n proportional sein. Daher 
wird die Anzahl derjenigen unter diesen ZusamrnenstSssen, bei denen i Ener- 



HENRI POINCARE ET LA THEORIE DES QUANTA. 35 1 

giequanten von einem Resonator der ersten Art auf einen Resonator der 
zweiten Art tibertragen werden, dargestellt werden durcti eiiien Ausdruck von 
der Form : 

(9) tP u duN n -W(u, n, i), 

vvobei die von u } n and i abhangige Funklion W auch als die Wahrscheinlichkeit 
dafiir bezeiclmel werden kann, dass zwei Resonaloren von den Energien u und 
fie so miteinander zusammenstossen, dass die Energiu / von dem erslen auf 
den zweiten Resonator iibergehi. Die ganze Zahl z, die aucli Null oder negaliv 
sein kann, is I durch die Bedingung eingescbrunkl : 

do ) - \> /^. - n. 

' 

vvelcbe ausspricht, dass koinor der beiden cinancler stossencleii Resonaloren 
melir als seine ganze Energie abgeben kann. Nacli Becndigung des Stosses 
besitzen die beiden Resonatoren bezw die Energien : 

(n) u' = u t's. ^ o und n' i = (n H- I) ^, o. 

Die Bedingung des statistischen Gleichgewicbls erforderi clann, das der Anzahl 
der betrachteten Artvon Slossen eine gleicli grosse Anzahl in enlgegengesetzler 
Richtung erfolgender Slosse gegeniiberstelit, d. h. dass, wenn i' = i gesetzt 
wird, 

(12) tP u duN n W(u, n, z) = ^Pn'^ / N'W(tt', n', i'), 

uncl aus dieser Gleicbung gehen, wenn W als Funklion von u, /*, i bekanuL ist, 
die slatistischen MittelwerLe der Energien beider Arten von Resonaloren hervor. 
Dieselben hangen naturlich in bohem Masse von der Form des Ausdrucks fur 
Wab. 

Wir w r ollen nun die eint'acbe Hypothese einfuhren : 

(13) W(MJ /i ? i)du='W(u' y n f , i r )du', 

und nacb der Art der ihr entsprechenden slalionarenEnergieverleilung fragen. 
Es folgt dann aus (12) und (i i) : 

(14) P M N = P-teN+/, 
und, fiir i = i und u = : 

(16) N w+ i = N w ^ =N 71j p, 

* 

andererseits, fur / = i und n = i : 

(16) P U4 . =P W ^=P^. 



352 HENRI POINCARE ET LA THEORIE DES QUANTA. 

Aus (i5) ergibt sich, wenn man darin flir n nach der Reihe die Werte o, 1,2, ... 
(n i) setzt und die daraus entstehenden Gleichungen miteinander multipli- 
ziert : 

(17) N^No/?", 

und aus (16), wenn man darin fur u die Werte p, p -\- s, p-f- 2s, ..., p + (/ i)e 
(p < s) setzt, auf demselben Wege : 

(18) ^ P P -Hi==Pp/>", 

Die Ausdriicke (17) und (18) befriedigen die Funktionalgleiclumg (i4) iden- 
tisch, sie stellen also die allgemeine Losung derselben dar. Aus ihnen ergeben 
sich nun auch die stationaren Mittelwerte fiir die Energien der beiden Arten 

von Resonatoren, die wir, wie oben, mit - und r\ bezeichnen wollen : 



(19) 1 = 1 | uP u du 

a J * 



und 



wo die Werte von P und N den Gleichungen (8) zu entnehmen sind. Bei der 
Integration von P M ist zu beachten, dass das Integral, bei Benutzung von (18), 
in eine Summe von Einzelintegralen zerfallt, deren jedes von p = o bis p = e zu 
erstrecken ist; also 

n=X 

fuP u du=y^ f ( P + e)Pp^dp=-l- f P P p d?+ tp f Ppdo. 

JQ ~* */ " ^0 ^ Pi' JQ 

7Z = 

Auf diesem Wege ergibt sich : 

(20) a = pH -- ^- und < 

^ } r 



I p Ip 

wenn p die mittlere Energie derjenigenlangperiodischen Resonatoren bedeutetj 
deren Energie zwischen o und e liegt : 

(21) p/ PpS?p= / pPp?p. 

*/Q 1SQ 

Man sieht, dass nach unserer Hypothese YJ durch a noch nicht vollkommen 
bestimmt ist. Vielmehr hat man aus (20) . 

(22) 71 = 1 -p., 






Hiernach erscheint die mittlere Energie y? der kurzperiodischen Resonatoren 
zuruckgefuhrt auf das Gesetz, nach welchem die Energie unter den langperio- 



HENRI POINCARE ET LA THE*ORIE DES QUANTA. 353 

dischen Resonatoren verteilt ist. Nimmt man fur diese die klassische Theorie 
als zutreffend an, setzt also in Uebereinstimmung mit (8) : 

(23) Pp=aPe-ap, 

so folgt aus (21 ) 



und damit nacli (22) der quanlentheoretische Wert (5) von YJ. 

Die Quantenbeziehung (5) ergibt sich also nach dern von uns angeftihrten 
Stossgesetz mit Notwendigkeit aus der klassischen Energieverteilung ftir lang- 
periodiscbe Resonatoren, und darin Kegt die Bedeutung dieses Gesetzes. 

3. Die hier angestellte Betrachtung kann uns aber noch einen Schritt weiter 
fiihren, und eben dieser Punkt ist es gerade, der mir die vorliegende Unter- 
suchung nahegelegt hat. H. PoincartS hat namlich seine Analyse ausser auf 
die ursprtingliche Formulierung der Quantentheorie auch auf die spatere 
Formulierung erstreckt, welche er die ,,zweite" Quantentheorie nennt ( 1 ). 
Diese Theorie scheint mir deshalb einstweilen den Vorzug zu verdienen, weil 
die Grundvorausselzung der ersten Theorie : die quantenhafte Absorption 
strahlender Energie seitens eines Resonators, ihrern Wesen nach unvertraglich 
ist mit der sonst uberall vorzuglich bewahrten elektromagnetischen Wellen- 
theorie der Lichtfortpflanzung im leeren Raum, und weil beim Aufbau der 
Quantentheorie doch jedenfalls dafiir Sorge getragen werden muss, dass die 
Abweichungen von der klassischen Theorie nicht schroffer ausfallen als unum- 
ganglich notwendig erscheint. Nach der zweiten Quantentheorie konnen auch 
die kurzperiodischen Resonatoren von vornherein jeden beliebigen Wert der 
Energie besitzen, und zwar ist im Zustand des statistischen Gleichgewichts die 
mittlere Energie aller derjenigen Resonatoren, deren Energie im Elementar- 

gebiet /i, d. h. zwischen ne und (n -f- 1 )e liegt, gleich ( n -+- - \ s. 

Dementsprechend tritt fiir die mittlere Energie samtlicher kurzperiodischer 
Resonatoren anstelle von (5) der Wert . 

- _.- <ga ~ hr 
^ TI ~ 2 ~*~ e"t-i ~z c T 

Es fragt sich nun, welcher Ausdruck fiir die Wahrscheinlichkeitsfunktion w(r\) 



Loc. cit., p. 3o. 

H. P. XI. 45 



354 HENRI POINCARE ET LA THEORIE DES QUANTA. 

in die Gleichung (2) einzusetzen ist, damit aus (i) der letztgenannte Wert fur 
ri hervorgeht. Urn dies zu entscheiden, berechnet Poincar6 aus (25) und (i) : 




(26) 

und findet, dass diese Funktion nur dann mit (2) ubereinstimmt wenn (V(YJ) fiir 
alle Werte von r\ verschwindet, ausser fur die ungeraden Vielfachen von -? fiir 

die w(fi) unendlich wird. Das steht aber ofFenbar im Widerspruch mit dem 
Grundsatz der zweiten Theorie, dass ein Resonator jeden beliebigen Wert der 
Energie besitzen kann. 

Dieser Befund scheint, wenn man ihn mit dem in paragraph i festgestellten 
zusammenhalt, ein Argument von schwerwiegender Bedeutung zu Ungunsten 
der zweiten Theorie und zu Gunsten der ersten Theorie zu liefern. Indessen 
muss zunachst daran festgehalten werden, dass ja, wie bereits oben hervorge- 
hoben ist, auch schon die erste Theorie sich als unvertraglich mit der Voraus- 
setzung einer endlichen und stetigen Funktion w(ri) erwiesen hat, dass also 
tatsachlich keine der beiden Theorien in den durch die Gleichung (i) und (2) 
festgelegten Rahmen hineinpasst. Wie steht es nun aber mit der oben fiir den 
Zusammenstoss zvveier Resonatoren eingefiihrten Hypothese, die sich bei der 
ersten Theorie gut bewahrt hat, gegenuber der zweiten Theorie ? 

Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir also jetzt an, die Energie eines 
der N kurzperiodischen Resonatoren konne jeden beliebigen Wert v? besitzen, 
und zwar sei die Zahl derjenigen dieser Resonatoren, deren Energie zwischen 
r\ und r\ -j- drj liegt, gleich N^ dr\, sodass : 

(27) 

Ferner finde der Energieaustausch beim Zusammenstoss wiederam nur nach 
ganzen Vielfachen i des Elementarquantums s statt, so dass anstatt ( 10) : 

(28) -^i^2. 

Dann lassen sich genau die namlichen Betrachtungen anstellen, wie im vorigen 
Paragraphen, und man erhalt fiir den Zustand des statistischen Gleichgewichts 
anstelle von (i4) die Funktionalgleichung : 

(29) 



HENRI POINCARE ET LA TH^ORIE DES QUANTA. 355 

deren allgemeine Losung durch (18) und durch 

(3o) N p+wg = N pj p 

gegeben wird, wo 

(30 * = = -' 

"o JMo 

Daraus ergeben sich dann wieder die Mitielwerte fiir die Energie der beiden 
Arten von Resonatoren : 



(3 2 ) 






wenn wir mil p' die mittlere Energie derjenigen kurzperiodischen Resonatoren 
bezeichnen, deren Energie zwischen o and e liegt : 

(33) P ' f N p 4> = f pNpdp. 

JQ JQ 

Fiir den Zusammenhang zwischen 75 und a erhalten wir also : 

(34) ^p'-jjH-I, 

und hieraus, wenn wir fur p wieder den Ausdruck (24), fur r\ aber den Ausdruck 
(26) einsetzen : 

(35) p' = J> 

und dieser Wert stimmt in der Tat vollkommen iiberein mit der oben einge- 
fuhrten Grundannabme der zweiten Theorie, dass die mittlere Energie der im 

Elementargebiet n befindlichen Resonatoren gleich ist f n-+- -Je. 

Somit konneA wir als Resultat dieser ganzen Untersuchung den folgenden 
Satz aussprechen : Wenn fur die stationare Energieverteilung der langperio- 
dischen Resonatoren das Gesetz der klassischen Theorie als gultig angenommen 
wird, so fiihrt die Hypothese, dass beim Zusammenstoss zweier Resonatoren 
der Energieaustausch nur nach ganzen Vielfachen eines Energiequantums e 
stattfindet, und dass zwei Zusammenstosse mit entgegengesetztem Resultat 
gleich wahrscheinlich sind, fiir die mittlere Energie eines kurzperiodischen 
Resonators mit Notwendigkeit zur Formel der Quantentheorie, und zwar zur 
,, ersten " Quantentheorie, wenn ein solcher Resonator keine zwischen o unds 
liegende Energie besitzen kann, zur ,, zweiten u Quantentheorie aber, wenn die 



356 HENRI POINCARE" ET LA THE"ORIE DES QUANTA. 

mittlere Energie derjenigen Resonatoren, derenEnergie zwischen o und.e liegt, 
gleich - ist. 

4. Schliesslich liegt noch die Frage nahe, ob und in welcher Weise sich die 
Poincar^'schen Ansatze (i) und (2) so verallgemeinern lassen, dass man zu den 
Formeln der Leiden Quantentheorien gelangt, ohne auf die Schwierigkeiten zu 
stossen, die auf jeden Fall mit der Einfuhrung einer nicht stetigen und nicht 
endlichen Funktion W(YI) verbunden sind. 

In formaler Beziehung erledigt sich diese Frage einfach und in positivem 
Shine, und zwar durch die Einfuhrung einer passenden Modification des 
Ausdrucks fur das Zustandsintegral (2). In der Quantentheorie bleibt die 
Gleichung (i) bestehen, dagegen tritt an die Stelle des Zustandsintegrals (2) 
die Zustandssumme : 

(36) $ 

wo rin die mittlere Energie der im Elementargebiet n befindlichen Resonatoren 
bezeiehnet. Je nachdem fur ~r\ n der Wert ne oder der Wert ( n -+- ~ J B angenom- 
men wird, erhalt man aus ( i) und (36) fur die mittlere Energie vj eines kurz- 
periodischen Resonators den Ausdruck (5) des ersten Quantentheorie oder den 
Ausdruck (zS) der zweiten Quantentheorie. 

Ein anderes, weit schwierigeres Problem aber ist es, diejenigen physika- 
lischen Hypothesen zu ersinnen und mathematisch zu formulieren, welche mit 
Notwendigkeit zu dem Ausdruck (36) des Zustandsintegrals ftihren. Denn 
mit seiner Losung ware auch der geheimnisvolle Schleier geliiftet, welcher 
noch bis zum heutigen Tage die Quantentheorie von alien Seiten umgibt. Es 

liegt eine eigenartige Schicksalstragik darin, dass der geniale Mathematiker 

* 

und theoretische Physiker, dessen Andenken dieser Aufsatz gewidmet ist, 
gerade im Verlauf desjenigen Jahres, in welchem er sich fur die Quantentheorie 
zu interessieren begann, von seiner Arbeit abberufen wurde. Niemand kann 
ermessen, welch unersetzliche Werte dadurch derwissenschaftlichenForschung 
verloren gegangen sind. Indessen wir miissen uns zufrieden geben und 
dankbar sein dafiir, dass es ihm iiberhaupt noch vergonnt war, einmal selber 
Hand ans Werk zu legen und seiner Mitwelt damit die Schwierigkeit, aber 
auch die fundamentale Wichtigkeit der hier noch zu bewaltigenden Aufgabe 
deutlich zu machen. 



TABLE DES MATIERES 

DU TOME XI. 



Pages 

DIVERS I 

Sur les points singuliers des equations differentielles 3 

Sur la generalisation d'un theoreme d'Euler relatif aux polyedres 6 

Sur la generalisation d'un theoreme e'lementaire de Ge'ometrie 8 

Lettres de Henri Poincare a L. Fuchs i3 

Gorrespondance de Henri Poincare et de Fe'lix Klein 26 

Lettres de Henri Poincare a M. Mittag-Leffler concernant le Me'moire couronne du 

prix de S. M. Le Roi Oscar II 66 

Sur les hypotheses fondamentales de la Ge'ometrie 79 

Les fondements de la Geometric 92 

Reflexions sur deux Notes de M. A. S. Schonflies et de M. E. Zermelo 1 14 

Ueber Transfinite Zahlen 120 

La notation differentielle et PEnseignement 126 

La logique et 1'intuition dans la Science mathe'matique et dans 1'Enseignement 129 

NOTES 1 34 

HOMMAGES A HENRI PoiNCARfi l3j 

Henri Poincare, en Mathe'matiques speciales a Nancy, par P. APPELL 189 

Lettre de M. Pierre Boutroux a M. Mittag-Leffler i46 

L'OEuvre mathematique de Poincare, par J. HADAMARD 1^2 

Die Bedeutung Henri Poincare's fur die Physik, von W. WIEN 243 

Deux Memoires de Henri Poincare sur la Physique mathematique, par H. A. LORENTZ. 247 

L'OEuvre astronomique de Henri Poincare, par H. VON ZEIPEL 262 

Henri Poincare und die Quantentheorie, von Max PLANCK 347 



PARIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS 

Quai des Grands-Augustins, 55. 

149625-56 



Dep6t 16gal Imprimeur, 1966, n 1451 
D6p6t 16gal Editeur, ig56, n 695 

ACHEV& D'IMPRIMER, LE 20 OGTOBRE 1966. 



LE LIVRE 

DU CENTENAIRE 

DE LA NAISSANCE DE 

HENRI POINCARE 

1854-1954 



PARIS. IMPRIMERIE G AUTHIER-VFLL ARS 
147833 Quai des Grands-Augustins, 55 





LA MEDAILLE DU CKNTJ3NAIRE 
(due a Madame GUZMAN -NAGEOTTE). 

(Au revers : Figure geometrique inspiree de la theorie des groupes fuchsiens). 



LE LIVRE 

DU CENTENAIRE 



DE LA NAISSANGE DE 



HENRI POINCARE 



18S4-1954 




PAiKIS 

GAUTHIERrVILLARS, EDITEUR-IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

5o, quai des Grands Augustins, 55 

1955 



Copyright by Gauthier-Villars, ig55. 
Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation reserves pour tous pays. 



TABLE DES MATIERElS 



Pages. 

Composition du Comite de Patronage 5 

Composition du Comite d'Honneur 6 

Composition du Comite d'Organisation 9 

Grades, fonctions, titres honorifiques, prix, decorations de Henri POINCAR n 



PREMIERE PARTIE. 

P^RIODE PR&LIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 

A. La preparation du Centenaire et V edition des OEuvres de Henri Poincare. 19 

Allocution de M. G. JULIA a TEcole Polytechnique le 16 novembre 1948 20 

Extrail de la circulaire du Conseil National du Patronat Francais 28 

B. Hommage de la Marine Marchande et de V Administration des Pastes 26 

Notice des Chargeurs Reunis sur Henri POINCARE" 26 

G. La journee du jeudi i3 mai 1964 au Musee Pedagogique 28 

Conference, de M. R, GARNIER 29 



DEUXI&ME PARTIE. 

CALIBRATION DU CENTENAIRE A LA SORBONNE. 

A. La journee du samedi i5 mai 1964 & la Sorbonne 49 

Discours de M. J. HADAMARD 5o 

Discours de M. H. VILLAT 67 

Discours du Prince L. DE BROGLIE 62 

Discours du Due M. DE BROGUE 71 

Allocution de M. G. JULIA 78 

Allocution de M. E. BOREL 81 

Discours du President Andre* MARIE . . ; 84 



'2 TABLE DES MATIERES. 

TROISniME PARTIE. 

MANIFESTATIONS PARISIENNES EN MAI 1964. 

Pages. 

A. La matinee du dimanche 16 mai 1964 a VEcole Polytechnique 91 

Allocution de M. G. JULIA 93 

Allocution de M. L. POINCAR& 94 

Allocution du General LEROY 93 

Discours du General DASSAULT 97 

B. Lapres-midi du dimanche 16 mai 1954 a Versailles 107 

C. La matinee da lundi 17 mai 1954 a VInstitut Henri Poincare et a la rue 

Claude-Bernard 1 08 

Allocution de M. G. JULIA PInstitut Henri Poincare 108 

Allocution de M. J. PERES 109 

Allocution de M. G. DUPOUY 112 

Allocution de M. J. PERES a la rue Claude-Bernard 1 14 

D. Lapres-midi du lundi 17 mai 1964 a VInstitut de France 1 15 

Allocution de M. G. JULIA 116 

Presentation des Savants etrangers et remises des adresses 117 

Allocution du Due M. DE BROGLIE 119 

E. La journee du mardi 18 mai 1954 a la Societe des Ingenieurs Civils 120 

Conference de M. N. MINORSKY 120 

Conference de M. G. DARMOIS 127 

Conference de M. G. DARRIEUS 1 32 

F. La journee du mercredi 19 mai 1964 a la Societe Astronomique de France. i4o 
Extraits de la conference du Prince L. DE BROGUE i,-(o 



QUATRIEME PARTIE. 

MANIFESTATIONS EN PROVINCE EN MAI 1964. 

A. La journee du feudi 20 mai 1904 a Caen 147 

Conference de M. R. APERY 148 

B. La matinee du samedi 22 mai 1964 au Lycee de Nancy i53 

Allocution de M. le Senateur-Maire R. PINCHARD i55 

Allocution de M. L. POINCAR 167 

Discours de M. le Ministre M. LEMAIRE 160 

Etude de M. G. JULIA sur Henri Poincare^ sa vie et son oeuvre 166 

G. Dapres-midi du samedi 22 mai 1954 a VUniversite de Nancy 178 

Allocution de M. G. JULIA 174 

Conference de M. R. POIRIER , . . , , 176 



TABLE DES MATIERES. 3 

CINQUIEME PARTIE. 

HOMMAGE BE L'ETRANGER ET AUTRES MANIFESTATIONS EN FRANCE. 

Pages. 

A. Cloture de la premiere etape des ceremonies du Centenaire 2o3 

B. La journee Internationale Henri Poincare a la Haye le samedi 

ii septembre 1954 204 

Allocution de M. G. JULIA 206 

Conference de M. A. WEIL 206 

Conference de M. H. FREUDENTHAL 212 

Conference de M. L. SCHWARTZ 219 

Conference de M. J. LEVY 226 

Conference de M. E. W. BETH 282 

Allocution de S. E. M. P. J. GARNIER 288 

C. Antres manifestations a VEtranger 240 

Au Venezuela 240 

A Tile Maurice 240 

En U. R. S. S 240 

En Yougoslavie 240 

En Equateur 240 

D. Autres manifestations en France 241 

Colloque Henri Poincare Plnstitut Henri Poincare 241 

Hommage dela Compagnie Nationale du Rhone et de 1'Association des Ingenieurs 

des Ponts et Ghaussees et des Mines 243 

SIXIEME PARTIE. 

DOCUMENTS ET PHOTOGRAPHIES. 

Premiere enfance (i854-i865) 247 

Concours des Grandes JEcoles (1878) a5a 

Eleve a 1'Ecole Polytechnique (1878-1875) 255 

Ecole des Mines et debut de carriere (1876-1879) 268 

Fonctions fuchsiennes (1880-1882) 271 

Memoires scientifiques de 1888 et 1886 280 

Acad^mie des sciences et Prix du Roi OSCAR ( 1886-1889)' 284 

Conferences et discours, Academic francaise ( 1900-1909) 290 

Souvenirs de 1910 et 191 1 294 

Souvenirs de 1912 298 

Epilogue 3o3 



CENTENAIRE DE LA. NAISSANCE 



DE 



HENRI POINCARE 



COMITE DE PATRONAGE. 



M. LE PRESIDENT DE LA REPUBLIQUE. 

M. LE MlNISTRE DBS AFFAIRES ElRANGERES. 

M. LE MlNISTRE DE LA DfiFENSE NATIONALE. 

M. LE MlNISTRE DE L'fioUCATION NATIONALE. 

M. LE MlNISTRE DE L'lNDUSTRIE ET I)U COMMERCE. 

1VI. LE PR&FET DE LA SEINE. 

M. LE PRESIDENT ou CONSEIL MUNICIPAL DK PARIS. 

M. LE RECTEUR DE L'UNIVERSITE DE PARIS. 

M. LE DlRECTEUR DE L^ENSEIGNEMENT SlJPJ&RIEUR. 

M. Albert BUISSON, Chancelier de 1'Institul. 

M. Georges LECOMTE, Secretaire perp6tuel de l'Acad6mie Francaise. 

M. Louis DE BROGLIE, de I'Acad^mie Frangaise, Secretaire perp^tuel de 1'Aca- 

demie des Sciences. 
M. Gaston DUPOUY, de l'Acad6mie des Sciences, Directeur du Centre National 

de la Recherche Scientifique. 

L'Association des anciens fil&ves de I'Jficole Poly technique. 
L' Association des anciens fil^ves de Pficole des ( Mines. 
L'Association des anciens fil&ves du Lyc^e de Nancy. 



CENTENAIRE DE LA NAISSANCE DE HENRI POINCARE. 

COMITE D'HONNEUR. 



L'Acad^mie Francaise. 

L'Acad^mie des Sciences. 

Le Bureau des Longitudes. 

Le Gomit(5 national de Mathematiques. 

Le Gomit^ national de M^canique. 

Le Comit^ national d 'Astronomic. 

Le Gomit^ national de Physique. 

Le Comit^ national de G6ophysique. 

Le Comit^ national de RadiodLectricite. 

La Faculty des Sciences de Paris. 

L'Institut Henri Poincar6. 

L'Observatoire de Paris. 

L'ficole Polytechnique. 

L'ficole Nationale sup^rieure des Mines de Paris. 

L'ficole Nationale sup^rieure des Telecommunications. 

L'Universit^ de Nancy. 

L' Academic Stanislas de Nancy. 

L 7 Uiiiversit6 de Caen. 

L 7 Academic des Belles-Lettres, Arts et Sciences de Caen. 

L'Union Internationale de Math^matiques. 

L'Union internatioriale de M^canique. 

L'Union internationale d'Astronomie. 

L'Union internationale de G6odsie et G^ophysique. 

L^Union internationale de Radio^lectricit^. 

L'Union internationale de Physique. 

A. llemagne . 

University de Berlin. 
Socit Physico-M^dicale d'Erlangen. 
Acad^mie des Sciences de Gottingen. 
des Sciences de Munich. 



CENTENAIRE DE LA NAISSANCE DE HENRI PO1NCARE. 



Academic des Sciences de Vienne. 

JBelgique. 

Acad^mie Royale des Sciences de Belgiquc. 
University libre de Bruxelles. 
Institnt Solvay. 

DcinemcLrk. 
Soci^te" Royale des Sciences de Gopenhague. 

Etats-Unis. 

Acad^mie nationale des Sciences de \Vashington. 
American Philosophical Society, 



Acad^mie finnoise des Sciences et des Lettres. 

Grande-Bretagne . 

The Royal Society. 

The Royal Astronomical Society. 

The Royal Society of Edinburgh. 

University d'Oxford. 

University de Cambridge. 

Cambridge philosophical Society. 

The London mathematical Society. 

The Manchester literary and philosophical Society. 

Hongrie. 
Acad^mie des Sciences de Hongrie. 



CENTENAIRE DE LA NAISSANCE DE HENRI PO1NCARE; 

Irlande. 



Royal Irish Academy (Dublin). 

Italic, 

Academie nationale des Lincei. 

Academic nationale des Quarante. 

Acad6mie des Sciences de Bologne. 

Academie des Sciences de Naples. 

Academie des Sciences de Turin. 

Institut v^nitien des Sciences, Lettres eL Arts. 

Gircolo matematico di Palermo. 

Norvege. 
University d'Oslo. 

Pays-Bas* 

Socit6 des Sciences de Haarlem. 
Academie royale des Sciences. 

Suede. 

Academie royale des Sciences de Stockholm. 
Soci6l royale des Sciences d'Uppsala. 
University de Stockholm. 

U. It. S. S. 

Academie des Sciences de'l'U. R. S. S. 
Soci6t Math^matique de Kharkov. 

Physico-Math^matique de Kasan. 



CENTENAIRE DE LA NAISSANCE DE HENRI POINCARE. 



COMITE D'ORGANISATION. 



President : 

Gaston JULIA, Membre de 1'Institut. 

Vice-Presidents : 

Joseph PERES, Membre de 1'Institut. 

Pierre RICARD, President de la Chambre syndicale de la Sid^rurgie. 

Membres : 

Albert CHATELET, Doyen honoraire de la Faculte' des Sciences. 
Daniel DUGUE, Maitre de Conference a la Sorbonne. 
Andre* GRANDPIERRE, President de la Compagnie de Pont-a-Mousson. 
Robert RECHNIEWSKI, President des fitablissements Bamarec. 

Secretaires : 

Paul DUBREIL, Professeur a la Sorbonne. 

G^n^ral GOETSCHY, Secretaire du Gomite Poincar6 des Amis de 1'ficole 
Polytechnique. 



H. P. 



JULES-HENRI POINCARE 

NE A NANCY LE 29 AVRIL i854 



GRADES, FONCTIONS, TITRES HONORIFIQUES, 
PRIX, DECORATIONS. 



lil&ve au Lyc^e de Nancy, octobre iS62-aout 1873. 
Kl&ve a PEcole Polytechnique, admis le premier le 14 octobre 1878. 
fil&ve Ingenieur a Pficole nalionale superieure des Mines, nomme le 
19 octobre 1876. 

Bachelier &s Lettres, repu le 5 aout 1871 . 
Bachelier s Sciences, recu le 7 novembre 1871. 
Licenci6 ^s Sciences, recu le 2 aout 1876. 

Docteur &s Sciences math^matiques de FUniversitg de Paris, reculc i cr aout 
1879. 

Ing6nieur ordinaire des Mines, nojnme le 26 mars 1879, P our pi % endre rang a 

dater du i er avril 1879. 
Charg6 du Service du sous-arrondissement min^ralogique de Vesoul, et 

attache en outre, au Service du Controle de 1'exploitation des chemins de 

fer de 1'Est, du 3 avril 1879 au i cl> d6cembre 1879. 
Attache au Service du contrdle de Pexploitation des chemins de fer du Nord, 

du 24 mars 1882 au 17 novembre 1884. 
Ingenieur en chef des Mines, nomm& le 22 juillet 1898, pour prendre rang a 

dater du i cr juillet 1898. 
Inspecteur gnral des Mines, nomm& le 16 juin 1910. 

Mis par le Minis ire des Travaux publics a la disposition du Minis ire de 
Plnstructiou publique pour toe Charge de Cours a la Faculty des Sciences 
dc Caen, le i 01 ' d^cembre 1879. 



12 JULES-HENRI POINCARE. 

Charg^ du Cours d' Analyse a la Facultd des Sciences de Caen, nomme le 

i cr dt^cembre 1879. 
Autorise par le Ministre des Travaux publics a accepter une chairc de Maitre 

de Conferences a la Faculty des Sciences de FUniversit6 de Paris, le 

2 1 octobre 1 88 1 . 
Mailre de Conferences d'Analysc a la faculty des Sciences de PUniversild de 

Paris, nomme le 29 oclobre 1881 . 
Charge du Cours de M^canique physique et experimental a la Faculle des 

Sciences de 1'Universite de Paris, nomme le 16 mars i885. 

Professeur de Physique math^malique et de Calcul des Probabilites a la 
Faculty des Sciences de l'Universit6 de Paris, nomme le 22 aout 1886. 

Professeur d'Astronomie math^matique el de M6canique celeste a la Faculte 
des Sciences de PUniversite de Paris, nomme le 5 novembre 1896. 

R6p6titeur d' Analyse a 1'ficole Poly technique, nomme le 6 novembre i883. 

Demissionnaire le i er mars 1897. 
Professeur d'Astronomie g<^n<5rale a 1'ficole Polytechnique, nomme le 

i cr octobre 1904. 

Professeur honoraire a 1'Ecole PolyLechiiique, nomme le 3 avril 1908. 
Professeur d'lectricil6 th6orique a 1'Ecole professtonnelle superieure des 

Postes et des T6l6graphes, a Paris, nomme le 4 juillet 1902. 

Surla demande des Curateurs de la Fondalion Wolfskehl, a consented faire 
six Conferences sur diverses questions de MathtSmatiques , du 22 au 
28 avril 1909. 

Membre du Comil<5 d'admission a rExposilioii universelle Internationale dc 
1900, a Paris, pour la classe 3 (Enseignement sup^rieur), nomme par le 
Ministre du Commerce et de 1'Industrie le 7 oclobre 1897, 

Membre de la Commission de patronage del'ficole pratique des Hautes-fitudes, 
a Paris, nomme le 9 d^cembre 1897, 

Membre du Conseil de 1'Observatoire national de Paris, depuis le 8 novembre 
1900; Vice-Pr6sident de ce Conseil, depuis le 27 mars 1908. 

Membre du Conseil de perfectionnement de 1'ficole Polytechnique, depuis le 
1 4 octobre 1901 . 

Membre du Conseil de 1'Observatoire national d'Astronomie physique de 
Meudon, nomme le 2 mars 1907. 

Membre du Conseil de perfectionnement de Pficole professionnelle superieure 
des Postes et des Tl6graphes, a Paris, nomme le 5 mai 1902. 



JULES-HENRI POINCARE. 1 3 

Membre du Comite de TExploitation technique des Chemins de fer, nomme le 
27 mai 1911. 

Membre de la Commission superieure d'Enseignement technique et profes- 
sionnel des Postes et Tlgraphes, nomme le 1 1 juillet 191 1. 

Membre de I'Acadgmie des Sciences (Institut National de France), a Paris, 
elu, dans la Section de G^om^trie, le 3i juillet 1887. 

President de I'Acad^mie des Sciences en 1906; Vice-President en 1906. 

Membre de 1'Academie Francaise (Institut National de France), a Paris, elu le 
5 mars 1908, recu le 28 Janvier 1909. 

Directeur de 1'Acad^mie Frangaise, du i cr Janvier au i cr avril 1912. 

Membre du Bureau des Longitudes, a Paris, nomme le 4 Janvier 1890. 

President du Bureau des Longitudes en 1899, 1909 et 1910. 

Membre Stranger de la Soci<3te Rojale des Sciences de Gottingue, elu le 

26 novembre 1892; elu Membre correspondant le 3 mai 1884. 

Membre Stranger ordinaire de la Sociel6 Rojale des Sciences d'Upsal, elu le 

27 mai i885. 

Membre Stranger de I'Acad^mic Rojale des Lincei, a Rome, elule 7 septembre 



Membre correspondant de 1'Acad^mie Rojale des Sciences dc PInstitut de 
Bologne, elu le 21 d^cembre 1890. 

Membre Stranger de la So'ci(3t(5 Rojale de Londres, elu le 26 avril i8g4- 

Membre honoraire (Stranger de la Soci6t<3 Rojale d'Edimbourg, elu le 6 mai 

i8 9 5. 

Membre correspondant de 1'Academie imp^riale des Sciences de Saint- 
PtHersbourg, elu le 29 d^cembre i8g5 (v. s.). 

Membre correspondant de 1'Acad^mie Rojale des Sciences de Prusse, a Berlin, 

elu le 3o Janvier 1896. 
Membre correspondant de l'Acadmie Rojale des Sciences d'Amsterdam, elu 

le 1 1 mai 1897. 
Membre Stranger de 1'Acade'ime Rojale des Sciences phjsiques et math- 

matiques de Naples, elu le 20 novembre 1897. 
Membre correspondant de TInstitut Rojal V^nitien des Sciences, Lettres et 

Arts, & Venise, elu le 27 fevrier 1898. 
Membre associ Stranger de FAcad^mie Nationale des Sciences de Washington, 

elu le 22 avril 1898. 
Membre Stranger de la Socit6 Rojale des Sciences deDanemark, ^Copenhague, 

elurlz 21 avril 1899. 



1 4 JULES-HENRI POINCARE. 

Membre Stranger de PAcadernie Royale des Sciences de Su&de, a Stockholm, 

elu le 6 juin 1900. 
Membre correspondant de PAcademie Royale des Sciences de Bavi&re, a 

Munich, elu le iSjuillet 1900. 
Membre associe de PAcademie Royale des Sciences, des Letires et des Beaux- 

Arts de Belgique, a Bruxelles, elu le i5 decembre 1902. 
Membre Stranger de 1'Academie Royale des Sciences de Turin, elu le il\ juin 



Membre honoraire de P Academic Royale des Sciences de Vienne, elu le 

7 aout 1908, elu Membre correspondant le 3 aout 1908. 
Membre Stranger de PAcademie Royale des Sciences de Hongrie, a Budapest, 

elu le 23 mars 1906. 
Membre honoraire de PAcademie Royale d'Irlande, a Dublin, elu le 16 mars 

1907. 
Membre d'honneur Stranger de P Academic Nationale de Rounoanie, a Bucarest, 

elu le 1 1 juin 1909. 

Membre correspondant de PAcademie des Sciences, des Arts et des Belles- 

Lettres de Caen, elu le 24 juin 1881. 
Membre associe lorrain de PAcademie dc Stanislas, a Nancy, elu le 17 fevrier 



nt du Congr^s des Math^niaticiens tenu a Paris du 6 au 12 aout 1900. 
Vice-President du Bureau et Secretaire general du Congr^s de Physique tenu 

a Paris du 6 au 12 aout 1900. 
President de la 36 Assemble g(5n<5rale de la Societe amicale de secours des 

anciens fil&ves de 1'ficole Poly technique, le 25 Janvier 1903. 
President de la Commission des finances de PAssociation Geod^sique inter- 

nationale, elu a la Conference g^n^rale tenue a Budapest du 26 au 

28 septembre 1906;^ elu Membre de cette Commission a la Conference 

g^n^rale tenue a Copenhague du 4 au i3 aout 1908. 
President de la Societe mathematique de France, en 1886 et en 1900. 
President de la Soci6t6 astronomique de France, en 1901-1902 et en 1902-1903. 
President de la Spciete Francaise de Physique, en 1902. 

Docteur honoraire de PUniversite de Cambridge, elu le 12 juin 1900. 
Docteur honoris causa en Mathematiques de PUniversite Royale Fredericienne 
de Christiania, elu le 6 septembre 1902. - 

Doeteur honoraire en Philosophic de PUniversit6 de Kolozsvar (Hongrie), elu 
le 8 Janvier 1903. 



JULES-HENRI POINCARE._ 1 5 

Docteur honoraire en Sciences de FUniversit6 d'Chford, elu le 24 juin 1908. 
Docteur honoraire en Lai de PUniversit6 de Glascow, elu le 28 avril 1907. 
Docteur honoris causa de l'Universit libre de Bruxelles, nomme le 19 novembre 



Docteur honoris causa en Philosophic de l'Universit6 de Stockholm, nomme 

le 7 d^cembre 1909. 
Docteur honoris causa en M^decine et en Chirurgie de l'Universit de Berlin, 

nomme le 12 octobre 1910. 

Membre honoraire de la Soci6t6 philosophique de Cambridge, elu le 

24 novembre 1890. 
Membre du Conseil directeur du Cercle math^matique de Palerme, elu le 

1 8 Janvier 1891 . 

Membre honoraire de la Soci6t6 math^matique de Londres, elu le \l\ avril 1892. 
Membre honoraire de la Soci6t6 de Literature et de Philosophie de Manchester, 

elu le 26 avril 1892. 
Membre Stranger de la Soci6t Hollandaise des Sciences de Harlem, elu le 

21 mai 1892. 
Membre associ^ de la Socit6 Royale astronomique de Londres, elu le 

9 novembre i8g4- 
Membre de la Soci6t6 philosophique Am^ricaine, a Philadelphie, elu le 

19 mai 1899. 
Membre Stranger de la Socit Italienne des Sciences (dite des Quarante), a 

Rome, elu le 2 Janvier 1900. 
Membre honoraire de la Socit des Sciences de Finlande (SocietaUs Scien- 

tiarum Fennicce), a Helsingfors, elu le i5 avril 1908. 
Membre honoraire de la Soci6t math^rnatique de Kharkow, elu le 12 octobre 

1908 (v. s.). 
Membre honoraire de la Socit6 phjsicomath^matique de Kasan, elu le 

1 4 f6vrier 1904 (v. s.). 
Membre honoraire de la Socit6 des Sciences physiques et m^dicales d'Erlangen, 

elu le 27 juin 1908. 

Membre du Comit6 d'organisation du Congr&s international de Bibliographic 
des Sciences math^matiques (Exposition universelle Internationale de 1889), 
nomme par le Ministre du Commerce et de 1'Industrie le 9 novembre 1888. 

President du Bureau du Comit6 d'organisation du Congr&s international de 
Bibliographie, elu le 16 novembre 1888. 

President du Congr&s international de Bibliographie, elu le 16 juillet 1889. 



1 6 JULES-HENRI POINCARli. 

President du Bureau de la Commission permanente Internationale du Reper- 
toire bibliographique des Sciences mathematiques , clu le 19 juillet 
1889. 

President du Comite de redaction du Bulletin Astronomique public par 
TObservatoire de Paris, nomine le 4 Janvier 1897. 

Pour la publication de V Inter national Catalogue of Scientific Literature : 
Membre du Conseil international, elu le 12 juin 1900; Membre du Comite 
excutif, elu le 12 decembre 1900. 

Rapporteur de la Commission du IIP Concours du Prix Lobatschewsky decerne 
le 1 4 fevrier 1904 (v. s.). 

Membre de la Commission de la Medaille Guccia, d&cernee en 1908. 

Membre du Comite d'honneur de la Ligue pour la Culture francaise, fondle par 
M. Jean Richepin le 3 juin 1911. 

Prix d'honneur au Concours gn6ral en Mathematiques elementaires (Lyc^e de 

Nancy), le 12 aout 1872. 
Prix d'honneur au Concours gnral en Mathe"matiques sp^ciales (Lyc6e de 

Nancy), le 4 aout 1873. 
Mention tr&s honorable de 1'Acadgmie des Sciences, dans le Concours pour le 

Grand Prix des Sciences mathematiques, le il\ mars 1881. 
Prix Poncelet de 1'Academie des Sciences de Paris, pour 1'ensemble de ses 

Travaux mathematiques, decerne le 21 decembre i885. 
Prix Jean Reynaud de 1'Academie des Sciences de Paris , decerne le 

21 decembre 1896. 

Medaille d'Or de 1' Association Franc, aise pour 1'Avancement des Sciences, voice 

le i ei 'avril 1909, decerneele, 2 aout 1909. 
Prix fonde par S. M. le Roi de Sude et de Norv&ge OSCAR II, a 1'occasion de 

son 6o e anniversaire, decerne le 21 Janvier 1889. 

Medaille d'Or de la Societe Royale astronomique de Londres, dcernee le 
9 ferrier 1900. 

Medaille Sylvester de la Societe Royale de Londres, d&cernee le 3o novembre 
1901. 

Prix Bolyai de 1'Academie Hongroise des Sciences, a Budapest, vote le 
1 3 octobre 1901, d6cern&\ 18. avril igoS. 

Medaille d'Or Lobatschewsky de la Societe physicomathematique de Kasan, 
d&cernee le i4 fevrier 1904 (v. s.). 

Officier d'Academie, nomme le 23 avril 1881 . 

Officier de 1'Instruction publique, nommgle 1 3 juillet 1889. 



JULES-HENRI POINCARE. 17 

Chevalier de la Legion d'honneur, nomine le 4 mars 1889. 
Ofiicier de la L6gion d'honneur, proinu le 16 mai 1894. 
Commandeur de la Legion d'honneur, prornu le i4 Janvier 1908. 

Chevalier de 1'Etoile Polaire de Sude, nomme le i4 novembre i883. 
Commandeur de premiere classe de Pfitoile Polaire de Su&de, promu le 
1 5 juin 1905. 



H. P. 



PREMIERE P ARTIE 

PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 



A. - LA PREPARATION DU CENTENAIRE 
ET L'EDITION DES (EUVRES DE HENRI POINCARfi. 



La commemoration du centenaire de la naissance de Henri PoiNCAufi a donn6 
lieu, au cours de 1'ann^e 1904, a un certain nombre de manifestations, en 
particulier pendant la decade du i3 au 22 rnai, et ce Livre du centenaire vise 
a en conserver le souvenir. 

Ce n'est pas en quelques jours que des manifestations de cette importance 
peuvent s'organiser, et la plupart de celles-ci ont gtt pr^par^es par un Comite 
National preside et anim par le Professeur Gaston JULIA, qui en 1948 avait 
ddj 6t6 charg^, par ses collogues de FAcad&nie des Sciences, de reprendre et 
d'achever l'6dition des QEuvres de Henri Poincare, dont le principe avait 16 
reten.ii par 1'Acad^mie d&s 1918. En raison des difficult^ cr^es par deux 
guerres et des devaluations successives, trois volumes seulement 6taient sortis 
en 1948? il en restait sept a publier, avec tout le travail scientifique de v^ri- 
fication, d'annotation, et de correction correspondant. 

En acceptant cette charge le Professeur Gaston JULIA s'est donn6 comme 
terme d'aboutissement de sa mission le 29 avril 1964, 100 anniversaire de la 
naissance de Henri POINGARJS, et d^s ce moment il a voulu que ce centenaire 
soit ftH6 avec eclat. Pour aboutir il lui a fallu susciter de g6n6reux concours, 
et il a pens6 que c'etait parmi les anciens polytechniciens qu'il pourrait 
surtout les trouver. Aussi est-ce & 1'ficole Polytechnique que, le 16 novembre 
1948, il a inaugur^ sa croisade en pronon^ant a Fainphitheatre Gav-Lussac, 



20 PREMIERE PARTIE. 

devant un grand nombre d'anciens eleves cL dc personnalites du monde 
scientifique et industrial, Fallocution suivante qui est un veritable programme 
diction. 



ALLOCUTION DE M. GASTON JULIA. 

A L'ECOLE POLYTECHNIQUE LE iG NOVEMBRE i 9 /|8. 

MONSIEUR LE GRAND GHANCELIER, 

MONSIEUR LE SECRETAIRE PERPETUEL, 

MONSIEUR LE RECTEUR, 

MON GENERAL, 

MESDAMES, MESSIEURS, MES CHERS CA.MARADES, 

La reunion d'aujourd'hui est destinee a vous presenter un projet, auquel 
nous souhaitons que vous vous interessiez, afin que nous puissions le realiser 
rapidement. Disons tout de suite qu'il s'agit de poursuivre 1'edition dcs 
oeuvres (*) d'Henri POINCARE, 1'illustre savant qui, avec LAGRANGE et CAUCHY, 
partage la gloire du premier rang dans les mathe*matiques franchises. 

Un Comit^ vient d'etre constitue, au seiii de la Societc des Amis de VEcole 
Poly technique, afin de re"unir les moyens ndcessaires a la realisation de ce 
projet. Nous pensons que cette realisation est une oeuvre <T inter &t national, 
mais dont la ported depasse nos frontieres; elle interesse non seulement tout le 
monde savant, mais encore tous ceux auxquels les Mathematiques apportent un 
instrument de travail essentiel, c'est-a-dire tous les techniciens. C'est a ce titre 
que nous nous adressons a vous et que nous voyons en vous les agents actifs de 
cette realisation. 

Ne nous dites pas que 1'heure est bien mal choisie pour une telle entreprise 

et que nous ne reussirons pas. On nous Fa dej'a dit. Nous pourrions repondre 

, par la devise du Taciturne mais ce n'est pas la notre Nous entreprenons, 

nous, parce que nous esp6rons; nous croyons que nous r6ussirons; et nous le 

croyons parce que nous sommes persuades que vous nous aiderez tous. Notre 

( x ) II s'<^it, bien entendu, de rassembler (en 10 volumes) les Memoires ou Notes publiees par 
Henri POINCAR& dans un grand nombre de revues frangaises ou 6trangeres. Certaines de ces 
revues sont difficilement accessibles, et certains numeros introuvables. Elles sont dispersees dans 
les bibliotheques. Le rassemblement projet6 mettra, sous une forme commode, 1'ensemble de ces 
Memoires a la disposition de tous les chercheurs. 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 21 

entreprise est une oeuvre de foi, que sentient notre confiance profonde dans le 
g^nie frangais. 

A Pheure ou, press^ de toutes parts, FOCH doit c6der quelque terrain d'un 
cot6 et do 1'autre, il attaque encore el son offensive r^ussit. Fllustre exemple de 
foi et de confiance, sur un plan autrement 6leve que le notre, exemple qui doit 
nourrir notre espoir. 

A 1'heure ou notre pays souffrant doit accepter 1'aide maUSrielle de ses 
amis, il est juste, il est beau qu'il offre au monde savant une contrepartie 
spirituelle que ce monde attend, puisque aussi bien c'cst rinsistan.ee de 
nombreux savants francais et Strangers qui conduisit votre serviteur a presenter 
a l'Acad(5mie des Sciences un voau de ces savants tendant a la reprise rapide de 
1'edition des oeuvres de Poincar^. 

L'Acad^mie des Sciences a public depuis 1916, trois volumes de ces ccuvres, 
en avan^ant les fonds n<5cessaires a 1'impression. II reste a publier sept 
volumes, et, en valeur actuelle, la somme ncessaire a 1'impression est de 
1'ordre de 20 millions. L'Acad^mie n'a plus les moyens de le faire : il faut que 
nous les lui fournissions, aiin qu'elle ne soil pas g'6ne dans son travail et ses 
responsabilit^s scientifiques par des soucis cl'ordre materiel, afin que ne soit 
pas ind^finiment retard^e cette publication indispensable qui n'a dja 6t& que 
trop retard(5e par deux longues guerres et tousles troubles <iconomiques qu'elles 
entrainent. 

II faut aussi que nous trouvions 1'argeiit necessaire pour aboutir dans un 
d^lai raisonnable, qui ne devrait pas d^passer cinq ans. Pourquoi cinq ans ? 
Tout simplement parce que, le 29 avril i854, naissait a Nancy Henri PoiNCARfi 
et parce que nous crojons qu'il serait 6l6gant, au 29 avril ig54, lorsque nous 
feterons le premier centenaire de cette naissance, d'apporter au public scienti- 
fique, qui 1'attend, la conclusion de 1'^dition des oeuvres completes. Nous 
voudrions aussi diter deux volumes avant le printemps ig5o (etil nous faudra 
pour cela, r^unir environ 5 millions dans le courant de 1949)? a fi n de presenter 
ces deux volumes au Congr&s international de Math^matiques de ig5o; nous 
ferions ensuite un appel 6tendu a des souscriptions internationales, ce que 
nous ne voudrions pas faire avant d'avoir largement remis en train 1'oeuvre 
enti&re. 

Voila, en quelques lignes, expos6 le projet que nous formons, ct pour 
lequel nous demandons votre actif concours. Que chacun, dans le service ou il 
travaille, dans le service ou la soci6t6 qu'il dirige, ou parmi ses relations. 



24 PREMIERE PARTIE. 

s ? ingnie a nous trouver le plus grand nombre de souscrip lions. Qu'il songe 
quo les frais d^dition d'ime telle ceuvre sont materiellement peu de chose 
aupr&s de cd que content les laboratoires, les services deludes .ou les essais, et 
que cette oeuvre est pourtant une pi6ce indispensable de tous les services de 
recherches qui uiilisent des math&matiques quelque peu savantes. Nous 
aimcrions aussi que vous puissiez inturesser a notre enlreprise tous ceux, m6me 
non scientifiques, a qui imporle le rayonnement de la pens^e frangaise. Sojez 
persuasifs, et vous le serez d'aulant plus que vous savez bien, tous, que notre 
entreprise est belle et qu'elle mrite quelques efforts. Songez enfin que nos 
voisins Suisses ont r6uni par souscriptions deux millions de leurs francs ^Q\IT 
^diter les ceuvres d'EuLER. 

Les so ascriptions que nous demandons sont a fojids perdus; car nous 
comptons utiliser le produit de la vente des ceuvres ainsi dites en 6ditant 
d'autres oeuvres de nos grands mathematiciens (Gamille JORDAN, etc.). II est, 
en effet, incontestable que nous avons (5te jusqu'ici assez lents a publier les 
oeuvres completes de nos grands math.6maticiens. L'^dition de CAUCHY (mort 
en 1 858) n'est elle-m^me pas terming. Dans d'autres pays, au conlraire, il 
n'est pas rare que les oeuvres completes de leurs grands mathematiciens soient 
publics de leur vivant. Nous pensons, et vous penserez, j'en suis siir, avec 
nous, qu'il faudrait rendre plus fncilement accessible notre patrimoine scienti- 
fique, et c'est la forme la plus g&nrale de notre ambition. 



Le professeur Gaston JULIA a tenu a ce que', non seulementles anciens 
de 1'ficole Poly technique, mais aussi les nouvelles promotions participent a 
cette ceuvre, et il a fait appel <5galement aux d6ves presents a 1'ficole a 
cette 6poque. 

B.6pondant au vceu de M. Gaston JULIA, le Patronat fran^ais, dans son 
Assemble g^n^rale du i er juillet 1949? accueillait avec chaleur la suggestion 
qui lui 6tait faite par M. Pierre RICARD, Vice-Pr6sident de son Conseil 
National, et autorisait ce dernier a associer le Patronat franc,ais a la sous- 
cription nationale ouverte sous les auspices de 1'Acad^mie des Sciences, pour 
permettre d'achever la publication des ceuvres de Henri POINCAR&. Aussi, en 
mars 1950, M. Pierre RICARD lanc.ait-il un appel a ses adherents pour pr^ciser 
les raisons et les modalit^s de cette souscription, dont nous reproduisons ici 
ls principaux passages. : 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 2o 



CIRCULAIRE DU PATRONAT FRANQAIS 

A PROPOS DE LA SOUSCRIPTION NATIONALS 

POUR LA PUBLICATION DES OEUVRES D'HENRI POINCARE. 

11 ne m'appartient cerles pas do rappeler tout an long les titres 
d'Henri POINCAR& a figurer parmi les plus illustres savants de tous les temps; en 

bref on peut dire que son nom porte te"moignage, avec une douzaine d'autres, 

i 

quo dans 1'histoire do la pense"e humaine, la France aura brille" au premier 
rang : les temps que nous vivons et qui sont durs pour notre amour-propre 
national, donnent toute sa valeur de re"confort a une reflexion de ce genre. 

Henri PoiixcAuti a e'te' un ge"nie encyclope'dique, et probablement, a une ere 
ou la specialisation devait finir par tout envahir, le dernier ge'nie encyclope'dique. 

Henri PoiNCAiifi, e"crivait Paul PAINLEVE en 19 13, e"tait vraiment le cerveau s 
vivant des Sciences rationnelles. Mathe"mathiques, Astronomie, Physique, 
Cosmogonie, Ge'ode'sie, il a tout embrasse", tout pe'ne'tre', tout approfondi. 
Inventeur incomparable, il ne s'est pas borne* a suivre ses inspirations, a 
ouvrir des voies inattenducs, a de"couvrir dans 1'univers abstrait des mathe'ma- 
tiques mainte terre inconnue. Par tout ou la raison d'un homme a su se glisser, 
si subtils, si he'risse's qu'aient 6te ses cliemins, qu'il s'agit de te"le*graphie sans 
fil, de phe"nomenes radiologiques ou de la naissance de la Terre, 
Henri POINCAR s'est gliss^ pres de lui pour aider et prolonger ses recherches, 
pour suivre le pre'cieux filon. 

Avec le grand math^maticien frangais disparait done le seul homme dont 
la pens6e fut capable de faire tenir en elle toutes les autres pens^es, de 
comprendre jusqu'au fond, et par une sorte de de'couverte renouvel^e, tput ce 
que la pense'e humaine peut aujourd'hui. comprendre. Et c'est pourquoi cette 
disparition pre'mature'e 7 en pleine force intellectuelle, est un de"sastre. Des 
d^couvertes seront retarde"es, des tatonnements se prolongeront parce que le 
cerveau puissant et lumineux ne sera plus la pour rapprocher des recherches 
qui s'ignorent, ou pour jeter, dans un monde de faits obscurs brusquement 
regie's par 1'exp^rience, le coup de sonde hardi d'une th^orie nouvelle. 

A cet,e"loge d6ja ancien. on peut aj outer aujourd'hui que dans inaint dom^ine 
de la th6orie physique, POINCAK& aura e'te' un ^tonnant pre'curseur :. .qu'il 



24 PREMIERE PARTIE. 

s'agisse de la mecanique de la Relativite, ou de la theorie des Quanta, il avail 
pressenti et annonce le caract&re ndcessaire de la revolution profonde que les 
theories modernes devaient apporter aprs sa mort dans le majestueux Edifice 
de la Physique mathematique classique. 

Enfin si nous devons nous en rapporter aux seuls inities pour admirer sur 
parole les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste ou les inoubliables 
Memoires Sur les fonctions fuchsiennes, tout esprit cultive trouve dans ces 
Ouvrages de Philosophic scientifique dont La Science et VHypothese est la 
plus parfaite reussite, une vigueur de pensee et une maitrise du style qui font 
songer a PASCAL. 

Cette oeuvre considerable et d'une richessse deconcertante est appelee, pour 
peu qu'elle soitjudicieusementdiffusee, a jouerlonglemps encore, nousdisentles 
voix les plus autorisees de PAcademie des Sciences, un role fecond dans les 
recherches les plus diverses, non seulement de Mathematiques pures, mais 
de Mathematiques appliqu^es a la Physique et a 1'art de PIngenieur. 

Le monument que la gratitude nationale se doit d'elever a cet illustre 
Francais consiste a rassembler les quelque 5oo Memoires ou Notes qu'il a 
publics dans un grand nombre de revues franchises ou eirang&res dont 
beaucoup ont aujourd'hui cesse d'exister et dont les collections disperses dans 
les biblioth&ques scientifiques sont difficilement accessibles : il convient de les 
r^unir, les ordonner, les annoter, pour mettre Fensemble de Fceuvre a la 
disposition de tous les chercheurs. Le tout doit faire dix gros volumes in- 
quarto, chacun d'environ 600 pages. 

Leprojetn'estpas nouveau, ... la publication a 6te d^cid^e par le Minist^re 
de PInstruction Publique d^s 1918, au lendemain m^me de la mort de 
Henri POINCARJ, et le soin de la surveiller et diriger confi< au Secretaire 
perp^tuel de PAcademie des Sciences, Pillustre geomtoe Gaston DARBOUX; il' 
prefagait ainsi, en 1916, le premier volume : 

Je ne verrai pas Pach^vement de la publication; mais ce sera Phonneur de 
ma carriere d'en avoir provoqu6 et commence Pexecution. 

Jamais sans doute, DARBOUX n'aurait imagine, en cette annee 1916 ou 
malgre les angoisses de la guerre, la France se sentait une grande nation, 
que 33 ans plus tard Poeuvre resterait encore aux deux tiers inachev^e; deux 
volumes seulement se sont ajoutes au premier, Pun en 1928, Pautre en 1934 et 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 25 

il en reste sept a parailre .... Ruintje entre temps par les devaluations succes- 
sives, l'Acad6mie des Sciences n 7 a plus les mojens materials d'achever la 
publication .... 

L'Acad6mie des Sciences a besom de pr6s de i5 millions de francs en 
quatre ans, dont environ 5 millions tout de suite et le solde 6tal6 par tranches 
<3gales sur les ann^es igSi, igSs, ig53. 

M. Robert LACOSTE, quand il 6tait encore Ministre de 1'Industrie et du 
Commerce, avait bieii voulu, a ma demande, d'une part promettre la partici- 
pation active des grandes Soci6ts nationalises (contacl^es directement par 
M. BOUTTEVILLE), d'autre part autoriser les Centres techniques industriels a 
souscrire. (M. LE THOMAS, Directeur du Centre technique de la Fonderie s'est 
charge de les sollicker. ) 

II reste alors a trouver 10 millions r<3partis en quatre annuit^s. J'ai pens6 
que, devant ce devoir a assumer et cet exemple a donner, le Patronat francais 
ne se d^roberait pas a 1'appel de FAcad^mie des Sciences. Le President 
Georges VILLIERS m'a confirm^ dans cet espoir. Apr&s Paccueil fait en juillet 
dernier par noire Assemble gn6rale a ma proposition de principe, je ne 
doute plus de la re^ussite. 



Grace a Faction personnelle de M. Gaston JULIA, grace au d^vouement des 
collaboraleurs dont il a su s'entourer, grace a la facon dont tout le monde a 
repondu a son appel, le dixi&me et dernier volume des ceuvres de Henri 
PomcARfs 6lait prt pour la date fix<5e, et c'est uniquement pour des raisons 
mat^rielles d'organisation que les grandes C(5r6monies comm^moratives ont 616 
reporters du 29 avril au milieu de mai 1954. 

On trouvera ci-apr^js, journe'e par journ<5e, le texte des discours on confe- 
rences qui ont marqu'6 les cr6monies du mois de mai. Aiin de les replacer 
dans leur cadre, il a paru ntScessaire de les accompagner d'un r6cit des 
manifestations au cours desquelles ces discours ou conferences ont 6i6 
prononc^s. L'ensemble de ces r^cits donnera un apergu de la fagon dont a 6t6 
ctil^bre le centenaire de la naissance de Henri POINCARE. 

La Composition du Comit^ de Patronage, qui est reproduite en t&te de ce 

livre du Centenaire, montre le prix que les plus hautes aulorit^s de 1'fitat ont 

bien voulu attacher a la calibration de ce Centenaire; celle du Comit^ 

d'Honneur Pint6r<H que le monde scientifique lui a accord^, presque toutes 

H. P. 4 



2 6 PREMIERE PARTIE. 

les institutions glrangfcres auxquelles Henri POINCARE avail appartenu a un 
litre quelconque ont tenu a y figurer; enfm la lisle des Membres du Comit< 
d'Organisalion donne les noms de ceux auxquels doil aller une parliculi&re 
reconnaissance. 



B. - HOMMAGE DE LA MARINE IARCHANDE 
ET DE L' ADMINISTRATION DES POSTES. 



Mais avant de passer a mai 1984, il faut remonter un peu en arri&rc et 
rappeler que, a 1'inilialive du Professeur Gaston JULIA, Tarmement francais 
a tenu a rend re hommage a la m^moire de celui dont on allait bienlot feier le 
centenaire. La Compagnie Maritime des Chargeurs R6unis a en effet donn6 le 
nom de Henri Poincare a un de ses paquebols mixtes les plus r^cents. 
Construit par les Ateliers et Cliantiers de Penhoel, celui-ci a 6t6 Ianc6 a 
Saint-Nazaire le 3i octobre igSs, et inaugur< a Marseille le 8 d(5cembre ip53. 
Grace a cette nouvelle unit6 de notre Marine Marchande, qui assure depuis 
le 1 6 d^cembre 1968 le service de la ligne d'lndochine, le nom de Henri 
PoiNCAitfi continue a servir, outre-mer 3 le preslige de la France. 

Une courte notice sur Henri PoiNCARfi, que nous reproduisons ici, avail &t6 
ins6r6e dans la plaqueite 6dit(5e par les Chargeurs R6unis pour Finauguration 
du paquebot; une m^daille a 1'effigic de Henri PoiNCARfi a 6t6 frapp^e d'autre 
part pour rappeler cette inauguration. 

NOTICE DES CHARGEURS RfiUNIS SUR HENRI POINCARE. 

Lorrain par son p&re et par sa m&re, Henri POINCAR$ est n6 a Nancy 
le 29 avril 1864, et c'esl la qu'il connut 1'invasion en 1870 et Foccupation 
en 1878. Son ame avail <5t6 forlement marquee par ses ann^es de jeunesse, et 
il n'est pour s'en convaincre que de lire les pages si vibranles dans lesquelles 
il parle des souffrances ou de la mission de la France et de 1'amour pour la 
Patrie. Tcwile sa vie il a eu en vue la grandeur et le service du Pays. 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 27 

Entre premier a. 1'Ecole Polytechnique, il en est sorti dans le Corps des 
Mines. Devenu docteur &s sciences en 1879, il a ete detache a la Faculty des 
Sciences de Caen, puis a la Sorbonne a Paris, et il a pu se consacrer tout entier 
a la Science et a Penseignement superieur. II j a donne immediatement toute 
sa raesure, et c'est par un veritable feu d'artifice de Notes a PAcade'mie des 
Sciences on n'en compte pas moins de dix-huit dans la seule anne'e 1881 
et par sa decouverte des fonctions fuchsiennes qu'il s'est fait conuaitre dans le 
monde savant. Aussi d&s le debut de^iSS?, alors qu'il n'avait pas encore 
33 ans, Henri POINCAR& etait elu a PAcademie des Sciences. 

Au debut de 1889, son nom atteint le grand public, quand, 1'emportant sur 
des savants Strangers chevronnes, Henri POINCARE recoit le prix fonde par 
le Roi OSCAR II de Su&de. II n'est pas possible d'enumerer son ceuvre scien- 
tifique qui est considerable ; en dehors des Ouvrages ou des cours publics en 
volumes, Pedition complete des Notes, Memoires ou Articles originaux qu'il a 
donnas a diverses occasions comportera dix tomes. 

Mais Henri POINCAR& n'etait pas seulement un savant, c'etait aussi un philo- 
sophe, et les quatre livres de la biblioth&que de Philosophie scientifique qu'il 
a laisses, La Science et VHypothese, La Valeur de la Science, Science et 
Methode, Dernieres pensees ont fait participer un public d'intellectuels a ses 
reflexions sur les fondements de la Science ou Porigine des connaissances 
humaines. On y trouve la profession de foi d'un esprit passionn^ de v^rite, 
et qui sait que la recherche de celle-ci n'est possible qu'avec le scalpel du 
doute. C'est, si Pon peut dire, le principe de la relativity de la vrit6 scien- 
tifique , mais on y trouve aussi des enseignements d'une haute valeur morale. 

Henri POINCARJ& n'a pas cherche les honneurs, et sa gloire n'a rien change a 
sa vie tranquille et reguli&re ni a sa simplicity. Mais apr^s PAcad^mie des 
Sciences, PAcademie Francaise, et toutes les Academies scientifiques du 
monde ont voulu le compter dans leurs rangs. Apr&s la medaille d'or du 
Roi OSCAR, pour ne parler que des etrangers, la medaille d'or de la Societe 
Astronomique de Londres, la medaille Sylvester de la Societe Royale de 
Londres, la medaille d'or Lobatschewsky dc la Societe physicomathdmatique 
de Kasan, le prix Bolyai de PAcademie hongroise des Sciences de Budapest 
lui ont ete decernes. S'il en a ressenti quelque fierte, ce n'est pas pour en 
tirer vanite pour lui-mme, mais parce qu'il etait heureux d'etre Partisan d'un 
plus grand rayonnement de la France dans le monde. 

Ceux des savants frangais ou etrangers qui ont cu a apprecier son oeuvre, 



28 PREMIERE PART1E. 

soil de son vivant soil aprs sa mort survenue le 17 juillet 1912 alors qu'il 
n'avait encore que 58 ans, se sont plu a reconnaitre en lui une puissance 
d'analyse prodigieuse, et ime intuition remarquable qui le faisait entrer de 
plain-pied dans toute recherche scientifique si sp^ciale et ^loign^e de ses 
trayaux personnels qu'elle fut. 



De son cot6, rAdministration des Postes a dit6, quelques mois avant le 
Centenaire, un timbre Henri POINCAR^ du au graveur J. PHEULPIN qui a donn 
lieu a un tirage limits. 



C. - LE JEUDI 13 MAI 1954 AU MUSEE P^DAGOGIQUE. 



La premiere en date des crmonies du Centenaire a t6 organis^e le jeudi 
1 3 mai 1954 au Mus6e P<3dagogique par 1'Association des Professeurs de 
Math6matiques de 1'Enseignement Public, et par le Centre de Documentation 
P^dagogique. Plac6e sous la pr^sidence de M. Albert CHATELET, Doyen 
honoraire de la Faculty des Sciences de Paris, cette cer^monie comportait 
1'inauguration d'une exposition de souvenirs et de documents d'archives de, 
et sur Henri POINCARE, et une conference de M. Ren GARNIER, Membre de 
1'Acad^mie des Sciences et professeur a la Sorbonne, sur la g^om^trie de 
Henri POINCARE. 

L'exposition, que M. MONJALLON, President de 1'Association, a prsente en 
quelques mots, ^voquait successivement la vie de Henri POINCARE, vie 
d'^tudiant, vie de professeur ou vie priv^e (sous la forme de devoirs d'^coliers, 
de cahiers de notes prises a 1'ficole des Mines, de lettres et de souvenirs ou 
photographies); son ceuvre, math^matique et philosophique (sous la forme de 
lettres, de manuscrits ou d'Ouvrages imprimis) et le rayonnement de son 
oeuvre en France ou a l^tranger (sous la forme d'articles de presse r^cents ou 
anciens et de traductions en diverses langues de certains de ses Ouvrages). 
Cette exposition ne faisait pas double emploi avec celle que le Comit 



PERIODS PRLIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 29 

National avail organised a PEcole Polylechnique, qui ne devait s'ouvrir que 
le 1 6 mai, dont il sera parl<5 par suite a cette date. 

On trouvera ci-aprs le texte de la conference de M. GARNIER, qui a 6t 
suivie d'une allocution improvis^e de M. le Doyen CHATELET. Gelui-ci apr&s 
avoir remerci6 M. GARNIER de son expos6 magistral a <5voqu6 le dsintres- 
sement de H. POINCARE qui a donn6 le nom de Fucus aux fonctions qu'il a 
d^couvertes, alors que les travaux de FUCHS n'avaient fait que le mettre sur la 
voie et qu'il avait tous les droits de rclamer la paternity complete de ces 
fonctions. M. le Doyen CHATELET a rappel cette phrase de Henri POINCARE 
Iui-m6me, qui montre 1'idde qu'il se faisait des savants. Ceux-ci, dit-il, 
devraient 6tre indiflferents a la gloire; quand on a le bonheur de faire une 
d^couverte, que peut 6tre la satisfaction de lui donner son nom, aupr&s de la 
joie d'avoir contempt, un instant, la v6rit face a face . 



CONFERENCE DE M. RENfi GARNIER 

AU MUSEE PEDAGOGIQUE, LE i3 MAI 1964. 

Les fonctions a,utomorph.es de Poincare et la Geomtrie. 

MON CHEII DOYEN, 
MESBAMES, MESSIEURS, 

C'est avec Emotion que j'apercois au premier rang de cette assistance, des 
repr^sentants de la famille du grand g^om^tre dont nous ct5l6brons aujourd'hui 
la m&noire; je voudrais leur exprimer mes sentiments de profonde deference. 

Laissez-moi aussi remercier M. MONJALLON et 1'Association des Professeurs 
de Math^matiques pour m'avoir demande' cet expose'. Je n'oublie pas que la 
preparation a Fagr^gation a 6t6 Tune de mes fonctions pendant de nombreuses 
ann^es de ma carri&re; j'ai particip< aussi, pendant longtemps, aux jurys de ce 
concours. Et aujourd'hui, je suis heureux de renouveler le contact, une fois de 
plus, entre nos ordres d'enseignement. Mais, surtout, je voudrais dire a 1'asso- 
ciation toute ma gratitude pour m'avoir invit a parler de H. POINCARE. 

L'ceuvre de POINCARE est immense, en profondeur comme en 6tendue; et 
chaque fois qu'il a abord6 un probl&me, il y a laissg, suivant 1'expression de 



3o PREMIERE PARTIE. 

CASTELNUOVO: la marque inddUbile de son grille univcrsel ( 4 ). L'examen 
d'un seul de ses Mtemoires suffirait a remplir de nombreux exposes. Aujourd'hui, 
je ne pourrai done vous donner qu'un apercu bicn sommaire des d^couvertes 
de POINCARE dans un domaine, ou, d&s Fage de 26 ans, il a affirms sa maitrise; 
il s'agit de ses recherches sur ce que Ton a appel, depuis, la th^orie des fonc- 
tions automorphes. Ces travaux ont eu les plus profondes repercussions sur les 
domaines les plus divers des Math^matiques : TArithm^tique, FAlg&bre, la 
ThSorie des groupes, P Analyse, la Th^orie des Equations differentielles. Dans 
eel expos, nous nous limiterons en princtpe a certains aspects g6om6triqucs 
de la question. 

Presentons d'abord quelques considerations prdliminaires sur la GtSomtJtric 
dite cayleyenne. Vous connaissez tons la d^couverte de LAGUERRE : en i853, 
a Tage de 19 ans il rattachait la notion d'angle a celle de birapport. Six 
ans plus tard, GAYLEY reprend 1'id^e de LAGUERRE en remplacant 1'ombilicale par 
une quadrique. Placons-nous dans un espace projectif rdel S 3 (que Ton pourra 
d'ailleurs prolonger par un espace complexe), et supposons acquises les notions 
de point, de droite, de plan, de quadrique. Dans S 3 consid6rons une qua- 
drique &, sans point double, d6finie par une Equation r6elle. Elle peut 6tre 
imaginaire, ou convexe, ou a generatrices r^elles. La premiere hypoth^se est 
celle de la GeomStrie elliptique, la derni&re ne conduit a aucun r^sultat utili- 
sable; limitons-nous a la seconde; elle nous donnera une Geometrie identique 
a celle de LOBATCHEWSKY : la G6om6trie liyperbolique. 

Les points situ^s a I'int&rieur de la quadrique convexe, ou absolu , Q sonl 
dits accessible* ; les droites et les plans qui contiennent des points accessibles 
sont dits accessibles. L'angle V de deux plans accessibles H*, n 2 sera d^fini par 
la formule du type de LAGUERRE, 

v= ^iog(Hi, n 2 ,n',n r ), 



2. If 



n ; , 11^ etant les deux plans tangents a Q qui appartiennentaufaisceau (n l5 n 2 ) : 
cette expression satisfait a la loi de CHASLES. II en est de m6me de Texpression 

M a , M', M'), 



C 1 ) Ces paroles ont etc prononcees en 1928 au Congres international de Bologne a propos d'un 
travail de POINOAR^ qui reste encore, Thetire actuelle, la seule voie d'acces a un theoreme fonda- 
mental de G6om6trie alg6brique (voir OEuvres de Henri Poincare, U YI, Paris, Gauthier- 
Villars, 1963, p. 178). 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 3 1 

ou MI, M 2 sont deux points accessibles, cl M ; , M" les intersections de la 
droite MiM 2 avec Q. On peut done definir d comme Yabscisse de M 2 sur une 
certaine demi-droite issue de Mj ; M! et M" sont les points a Vinfini de la 
droile. 

On appellera deplacernents les homographies H de 1'espace qui conservent &, 
ou, plutot, qui conservent chaque systeme de generatrices de Q : les deplace- 
ments conserveront done les angles et les distances. Une syinetrie plane S , 
c'est-a-dire une homologie harmonique conservant un plan, edhangera les 
deux systemes de generatrices de 2, et il en sera de me" me des produits HS ou 
antideplacements . On montre que le deplacement reel (D le plus general 
resulte de la composition de deux deplacements (ou rotations) qui conservenl 
respectivement et point par point deux droites DI et D 2 , conjuguees Tune de 
1'autre par rapport a 2. En general D A et D 2 ne sont pas tangentes a 2 : Tune, 
soit DI, est accessible, et le deplacement qui conserve chaque point de D 4 est 
une rotation elliptique R e (autour de DI). Le de"placement qui conserve les 
points (inaccessibles} de D 2 est une rotation hyperbolique IU autour de D 2 . 

Soit x- -{- j' 2 -j- z^ ^ 2 =o liquation de 2; les generatrices des deux sjs- 
temes ont des Equations de la forme 

x -h i y , t z x iy t z 

- iL = X - . et - = IJL = - r- - 
x iy t H- z x iy 



le deplacement (ft induit sur les generatrices du premier systeme (par exemple) 
des substitutions de la forme 

, . # X H- 6 



ou, sous forme canonique 



On montre que Tangle forme par un plan issu de D A et par son transform^ 
par R<> est egal a 9 ; et la distance d'un point de D A a son transforme par RA est 
egale a ty. Enfin, & cote des rotations precedentes on doit signaler les rotations 
paraboliques R. p ; une telle rotation conserve point par point une certaine tan- 
gente a ^2; elle se traduit par une substitution telle que 



(2) 



On dit encore que pour ^~o la substitution (i) est elliptique; pour 



32 PREMIERE PARTIE. 

sin^ o, cllc eslhyperboliyue; dans le cas general ellc eslloxodromique. La 
substitution (2) estparaboligue. 

Nous avons ainsi ralis<5, sulvant CAYLEY, un module de G<5om6trie lobat- 
chewskyenne. Mais ce n'est pas celui qu'utiliseraPoiNCARfi. Pour oblenir 1'outil 
de POINCARE, le plus simple sera d'employer la transformation de DARBOUX sous 
la forme analytique. 



y 



2X ~ 2Y ~" i Xs YS Za n-X 2 -i-Y2H-Z* 2Z 

OU 

X_Y_ z = i = x 2 -t-Y-4-zs 

( ^ ~& " y ~" \/ t *a;* ->?*** " -4- * ~~ * 

Les points accessibles (#,/,, ^)deS 3 rendent 2 # 2 j 2 2 positif et Ton 
prend g^n^ralement 2 x 1 y~ z* = i et ?;>o. Aux points accessibles 
de S 3 correspondent les points (X, Y, Z) du demi-espace Z > o de POINCARE; 
aux plans et aux droites de S^ correspondent des demi-sph6res 2 ou des demi- 
circonferences I orthogonales au plan n, ou Z^= o. L'angle cayleyen de deux 
droites ou de deux plans de S 3 est 6gal a Fangle euclidien des deux F ou des deux 2 
correspondantes ; la distance cayleyenne m. L m% est gale a log (Mi M 2 M' M"), 
ou MI etM 2 sont les images de m et m 2 et ou M A , M ;/ sont les intersections de II 
avec la demi-circonference F passant par M A et M 2 . La longueur cayleyenne 
d'un arc de courbe ab, soit 



/ \jdtf -+- dy* -i- dz* dr- (P x*- j 2 z* = i) , 

Jal 

est gale a I'int^grale / ^^ + c ^tendue a Fare-image. (C'est la L 
^B L 



Les points de Q ont pour images les points de II; chaque g6nratrice de ^ 
contient un point rel m et un seul; Fimage M de m a pr6cisment pour affixe 
X + ^Y = X. Tout d6placement cayleyen se traduit ainsi par une substitution 
homographique sur >t, de Fun des types ddja mentionn^s. Et de mme qu'une 
rotation cayleyenne est le produit de deux sym^tries par rapport a deux plans, 
de m&me une substitution sur X est le produit de deux sym^tries par rapport a 
deux droites ou de deux inversions par rapport a deux circonferences ; et, selon 
que ces circonferences (par exemple) seront s^cantes, tangentes on sans point 
commun, la rotation cayleyenne sera elliptique, parabolique ou hyperbolique. 

Ces propri^t^s si simples jouent un rdlc cssentiel dans les recherches de 



P^RIODE FRLIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 33 

PoiNCARfi. Les r^sultats suivants ne sont pas moins imporlants. Supposons 
qu'un groupe de d<placements cayleyens conserve un plan accessible P, et 
choisissons le Le'lraedre de reference de facon que P ait pour Equation y = o. 
Soil A 1(3* pole de P par rapport a 2; soienl encore in^x^zt] un point de P 
(n'appartenant pas a &), rn' un point de Q situe' sur mh.] on a (avec 
2 X s * z-~\) 

yV 2 $'- z'" 1 y' 



X 

X 



z 

z 



SI 




Fig. i. 



X H- Z = 



) Y'I Y' 

= A = A. -h 2 I . 



Quand m tend vers C, intersection de Q par P, m ; tend vers 6, et A (qu'on 
dfinira au moyen de #', j ; , ^ A , ^) tend vers une valeur r6elie. Tout d^place- 
ment qui conserve P se traduit done par une substitution (i) qui change A 
r^el en l f r^el; les rapports mutuels de a, b, c, d, sont doncr^els et a, b, c, d, 
peuvent tre supposes r^els. Les d(5placements des points de P pourront 6tre 
interpr6te's a volonte' d'une maniere identique, soit dans le demi-plan 
n(Z = b,Y^o) soit dans le demi-plan H^YOjZ^o), orthogonal a H le 
long de F axe OX) ( i ). 



() Sur la figure i, le point M, de II, est I'image de m'; le point M', de II f , est Timage de m. 
H. P. 5 



34 PREMIERE PARTIE. 

Si le plan P avait une Equation de forme ggnSrale, 1'axe re"el serait remplac6 
par une circonference du plan II et le demi-plan II' par une clemi-sphere issue 
de la circonference pr6ce"dente. 

Tel est 1'outil ge'ome'trique qui scrvira a PoiNCARti des ses premieres 
recherches. II nous faut parler rnaintenant de 1'origine de ces recherches. 

D'une maniere un peu simpliste, on pourrait la situer dans un probleme de 
pavage introduit par la the'orie des fonctions analjtiques. Les e'coliers 
apprennent que Ton pent r^aliser un pavage plan par des poljgones e*gaux; 
triangles e'quilate'raux ou rectangles, Carre's, rectangles, hexagones rSguliers, etc. 
Vous sayez que la the'orie des fonctions elliptiques conduit a paver le plan 
euclidien par un re'seau de parallelogrammes. -Or, depuis les travaux C!'HERMITE 
on pouvait r&iliser un pavage du plan hyperbolique. Gonside'rons les pe'riodes 
de I'inte'grale elliptique de premiere espece 



envisages comme fonctions de #, ces pe'riodes satisfont a liquation diffe^ 
rentielle 

i 

(4) x ( i x )y (i jy 4- j 

or on peut de'fmir deux pe'riodes 20), 2co ; , Aites primitives, Lelles que 1'expres- 

sion y-~~ x ~~^ fonction dn rapport r = ~ reste invariante si 1'on effeclue 
27 x^(l #) 2 L L co 

sur T une substitution 

(5) T'= a ~^ b 

^ } c-z H- d 

&. coefficients entiers et de de'terminant 6gal a i . Si 1'on pose r TI H- /r 2 
(TI et T 2 re'els) et que 1'on trace la demi-circonfe'rence r(rj + T^ = i , t2^> o) el 

les demi-droites T A = -? (^2!> y3); on aura de"fini dans le demi-plan analy- 

tique supe'rieur r 2 >o un triangle T, ou : plus exactement, un quadrilatere, 
poss^dant en T=? un angle plat, et que Ton peut engendrer a partir de la 
moiti6 de gauche T^(T < o) en la compliant par une syme'trie illative a, TI = o. 
Si 1'on continue a prendre les syme'triques de T f par rapport a ses cote's rec- 
tilignes, son inverse relativement au cot6 curviligne, et ainsi de suite, ind^fi- 
niment pour chacun des nouveaux domaines ainsi obtenus, on aura constitue' un 
re'seau de triangles qui, apres un nombre suffisant d'ope"rations finit par 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 



35 




Fig. a. 




Fig. 3. 



30 PREMIERE PARTIE. 

recouvrir toute region bornEe situEe au-dessus de la droite r 2 = s (ou e esl 
arbitrairement petit); on a rEalisE ainsi la division modulaire du demi-plan 
supErieur (fig'. 2) (*); la figure 3 se dEduit par inversion de la figure 
prEcEdente; la figure 4 les traduit toutes deux dans Pespace cayleyen 
(xyzt). Tout point r' du demi-plan supErieur se dEduit d'un point r convena- 
bleraont choisi dans T mojennant une substitution (5); on dit que T' est equi- 
valent a T; par contre, deux points quelconques intErieurs a T ne sont Equiva- 
lents par aucune substitution (5). En tous les points Equivalents a T, #(T) 
reprend la mmc valeur. Par definition, T est un domaine fondamental du 




Fig, 4. 



groupe modulaire (5). Or, les substitutions (5) peuvent Eire conside're'es 
comme d^finissant des dEplacements du plan hyberbolique; tous les domaines 
Equivalents a T sont des images dans II de domaines Egaux ou cojigrueiits entre 
eux, au sens de la GEomEtrie hjperbolique. On a ainsi rEalisE un pavage 
rEgulier du plan hyperbolique. 

Signalons enfin 1'existence d'un sous-groupe du groupe modulaire 

a~i==d, &==o==c (mod 2) 

possEdant pour domaine fondamental un quadrilatere symEtrique d'angles 
nuls (fig. 5 et 6). Ce quadrilatere est aussi un domaine fondamental pour la 
fonction #(T), ou x a la mtoe signification que dans 1'intEgrale I. 

SCHWARZ avait cherchE a genEraliser les rEsultats prEcEdents en effectuant des 
pavages a Taide de triangles dont les angles sont des sous-multiples de TT ( 2 ); 

( J ) La figure 2 et les suivantes sont extraites des Ouvrages de KLEIN et FRICKE cit6s a la 
bibliographic. Sur la figure 2, w a la signification de la variable T du texte. 

( 2 ) La figure 7 se rapporte au cas ou les angles du triangle sont e~gaux &,,-. 

6 4 7 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 87 

les fonctions invariantes correspondant a ces pavages se rattachaient encore a 
des Equations (4) du type hyperge'ome'trique. Mais le probleme ge'ne'ral restait 
intact : comment determiner tous les pavages du demi-plan analytique ou merne 




or* -2. 



Fig. 5. 




Fig. 6. 



du plan tout entier a partir d'un polygone (coiivenablement choisi); et un tel 
pavage ayant 6te" r^alis6, comment construire toutes les fonctions analytiques 
me'romorphes qui reprennent la mme valcur en des points Equivalents du 
pavage? Ces problemes, qui se posaient si naturellementj avaient r6siste' a tous 



38 



PREMIERE PARTIE. 



les efforts, lorsque POINCARE, a 1'aube m&me de sa carriere scientilique, s'y 
attaqua, pour les r<3soudre, suivant le mot de DARBOUX, avec une simplicity 
inesp<3r<3e. II ne saurait 6tre question ici de retracer, mme en ses grandes 




Fig. 7. 



lignes, la m^tliode de POINCAH; pourLaut, je voudrais meltre en relief quelques 
faits essentiels. 



Considerons uu groupo G de substitutions de la forme (5), mais a coeffi- 
cients a, (3, y ? $ quelconques. Nous dirons que G est proprement discontinu 
dans une region ferm^e, R, de 11, s'il existe un entierN tel que R ne contienne 
jamais plus de N points Equivalents entre eux par G; par exemple, le groupe 
inodulaire est proprement discontinu au-dessus de 1'axe r^el; il ne Test plus 



PERIODS PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 89 

dans unc region qui conlient cet axe. Dans les applications a F Analyse, la pro- 
prie'te' pr<5ce"dente revt une importance essentielle : si /'( r ) est une fonction 
analjtique uniforme dans R et invariable par les substitutions de G, le 
groupe G doit tre proprement discontinu dans R. 

PoiNCARfi cherche d'abord a determiner tous les groupcs conservant 1'axe re"el 
et proprement discontinus, comme le groupe modulaire, au~dessus de Faxe 
re"el; interprets dans 1'espace cayleyen, ce sont les groupes qui conservent un 
plan hyperbolique P (et que 1'on appelle aussi groupes de rotation, ou groupes 
a cercle fondamental). II montre comment on peut construire un polygone Q 
(a cote's rectilignes dans P, done circulates ou reetilignes dans fletlf) tclque 
les transformed de Q par les substitutions de G remplissent P sans trous, ni 
duplicature, ce qui entraine la discontinuity propre. Par exemple, si Q n'a pas 
de cote's sur 1'axe re"el, ses cote's devront se grouper par couples de m&me lon- 
gueur respective ; ses sommets devront se grouper en cycles tcls que la somme 
des angles d'un meme cycle soit un diviseur de arc. POINCARS montre que ces 
conditions sont suffisantes; a cet effet, il observe que deux points de II non 
silue's sur 1'axe r<5el peuvent elre relics par une courbe G de longueur cayleyenne 
finie, et il en d^duit que C ne peut traverser qu'un nombre fini de poly- 
gones Equivalents a Q. Gette demonstration tres simple comblait une 
lacune importance d'un M^moire de SCHWARZ, et elle donnait le droit de 
cite" a une famille de groupes infiniment plus elendue que celle des groupes de 
SCHWARZ : ce sont les groupes que PoiNCAHfi a de"signe"s sous le nom de groupes 
fuchsiens ( l ). 



En principe, cet expos6 se limite aux aspects g^om^lriques des premiers 
travaux de PoiNCAiifi; pourtant, il m'est impossible en ce moment de ne pas 
dire un mot de $&$ functions fuchsiennes que Pome ARfi aassoci^es aux groupes 
qu'il venait de de"couvrir; suivant le mot de Guido FUBINI, c'est la une des 
conceptions les plus geniales du grand mathe"maticien. Soient done 



( l ) PoiNCAR^ a donne lui-m^mej clans Science et Methode (p. 5o), des indications sur la genfese 
de sa decouverte. 



4o PREMIERE PARTIE. 

les substitutions du groupe fuchsien G, et H(T) une fonction rationnelle quel- 
conque; POINCAR& forme la seric 

(6) e(T) 

etendue a toutes les substitutions du groupe; apr&s avoir etabli, grace a la Geo- 
metrie cayleyenne, la convergence uniforme de 



dans tout domaine interieur a II, il montre que (6) est absolument ct unifor- 
mement convergente dans le m6me domaine et que Ton a 



D&s lors, le quotient de deux de ces series thetafuchsiennes sera invariant par 
toute substitution de G : ce sera une fonction fuchsienne. 

montre encore qu'on peut former une Equation different! ell e 



ou R(^) est rationnelle ou alg^brique, suivantla definition de Q, et qui est 
telle que x soit une fonction fuchsienne du rapport des integrates de liquation : 
c'est la generalisation la plus complete de la propriete signalee anterieurement 
pour liquation, hypergeometrique (4). 



Revenons a la theorie des groupes. Les premiers Memoires de POLNCARE so 
rapportaient aux groupes de rotations et non aux groupes de deplacements 
les plus genera ux; or, des exemples tres simples, dus a SCHOTTKY et a KLEIN, 
montraient que la subdivision du plan analytique tout entier en polygones 
equivalents pose des problkmes encore plus ardus que les premiers cas elu- 
cides; une etude directe du probl&me general par les precedes precedemment 
employes semblait impraticable. G'est alors que POINCARE songea a transporter 
dans Fespace a trois dimensions les methodes qu'il avait introduces dans le 
demi-plan 11^. A ses yeux ce serait la un simple artifice ; mais les mathematiciens 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 4l 

en ont toujours jug autrement; en introduisant 1'espace a trois dimensions a 
propos d'un problme du plan, POINCAR^ a d6cel6 les raisons profondes des 
propri6U$s de la solution, et, suivantle mot de FATOU, il s'agit vraimentla d'une 
de'couverte capitale. Ainsi done, PomcARfi d^finit un poly&dre gnrateur & et 
lui impose des conditions n^cessaires C pour que *- introduise un groupe pro- 
prement discontinu. On peut faire a ce sujet deux hypotheses : ou bien la subdi- 
vision de 1'espace cayleyen en poly&dres congruents, a partir de Q admet 2 
pour fronliere; on a alors un groupe polyedrique, int^ressant au point de vue 
g6omtrique, mais sans application en th^orie des fonctions ; ou bien la subdi- 
vision de 1'espace d6borde au-dela de 2, et son empreinte sur & (ou 1'image de 
cette empreinte dans II) d^finira des regions de discontinuity propre d'un 
groupe kleineen. POINCA.RE associe a ces groupes des fonctions invariantes ; 
ce sont les fonctions kleineennes; toutefois, les demonstrations d'existence ou de 
convergence ne peuvent proc^der comme pour les fonctions fuchsiennes, car, 
par exemple, les notions de longueur ou d'aire ne sont plus d^finies sur 2. 



Donnons quelques exemples. Consid^rons un t6tra6dre 6, dont quatre aretes, 
formant quadrilat&re gauche, sont circonscrites a Q et adjoignons-luison sym6- 
trique cayleyen par rapport a une face. On constitue ainsi un hexa&dre et Ton 
montre qu'il v&rifie les conditions C. Or, les traces des faces de <& sur i2 ont 
pour images quatre circonf6rences ou droites KI, Ka, K 3 , K 4 auxquelles des 
inversions appropri^es peuvent donner 1'une ou 1'autre des dispositions 
ci-contre (fig- 8 et 9); les substitutions de G seront des produits d'un nombre 
pair d'inversions ou sym^tries par rapport aux cot^s. Si Ton n'envisage que les 
produits d'un nombre pair d'inversions par rapport a trois cercles choisis une 
fois pour toutes, on obtient un sous-groupe de G qui admet un cercle fonda- 
mental, le cercle orthogonal aux trois cercles choisis; il existe quatre sous- 
groupes G/ et quatre cercles orthogonaux H< du type pr6c6dent. Les cercles K; 
limitent deux quadrilat^res P et Q. 

La partie de P situ6e au-dessus de Ha et ses homologues par les transforma- 
tions de G 2 recouvriront la region situ^e au-dessus de H 2 (jig- 8). G sera pro- 
prement discontinu sur le segment ouvert fq de H 2 ; il cesse de l'tre en c, 
point parabolique, en y, point de PONCELET du faisceau (K 1? K 3 ) done point 
hyperbolique, et en un ensemble infini E de points doubles Equivalents aux 
H. P. 6 



42 PREMIERE PARTIE. 

pr6c6dents, ainsi qu'en Pensemble E ; d^riv&de E. En faisant appel aux substi- 
tutions de G 3 , GI, G,, on recouvrira la region situ^e au-dessous de H 3 , ainsi que 




Fig. 8. 




Fig. 9. 



rint&rieur de E i et H 4 . Dans la bande (H i? H*) les points ou G cesse d^tre 
proprement discontinu sont situ^s en premiere approximation a 1'int^rieur des 



PERIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 43 

triangles apb, bqc. La combinaison des substitutions de G 4 , G 2 , G 3 , G 4 , 
permet de recouvrir d'autres regions sans cesse plus 6tendues appartenant aux 
deux triangles pr6c6dents, de sorte que les points ou G n'est pas proprement 
discontinu ferment un ensemble situ a Fint^rieur d'une chaine de triangles 
arbitrairement petits. On congoit ainsi que G cst proprement discontinu en 




Fig. 10. 

deux regions s^par^es 1'une de Pautre par une courbe de Jordan C- Gette 
courbe n'est pas analjtique : aux points paraboliques tels que b elle a manifes- 
tement une tangente, mais son paratingent n'y est pas lin^aire et elle n'j 
poss^de pas un cercle de courbure, car il y a des points de C arbitrairement 
voisins de b sur H 4 , comme sur HI- Des considerations analogues montrent 



44 



PREMIERE 'PARTIE, 



qu'elle n'a pas de tangente en un point hyperbolique, tel quo q] et aux 
points loxodromiques deux arcs de la courbe s'enroulent en spirale sans se 
rencontrer (fig- 10). 

Examinons rapidement d'autres exemples. Faisons varier par continuity la 
figure formee par K 1? K 2 , K n , EU de manure que K : , devienne tangent a Kj. 
Le quadrilat&re P se subdivise en deux triangles! 3 ', P"; les symelriques ou 
inverses de P vont engendrer un r^seau de triangles remplissant I'mterieur 




Fig. ii. 

d'un cercle comme la division modulaire; et il j aura une infinite de reseaux 
analogues (fig* 11). La courbe C se transforme a la limite en un ensemble 
infini de cercles tangents et en sa fermeture. 

Si maintenant les cercles K 1; K 2? R ;$J K, sont tangents deux a deux, 
chacun des quadrilatres P et Q est subdivis^ en deux triangles. La subdivision 
de 1'espace hyperbolique se rattache a la construction d'un t6tra6dre dont les 
six ar&tes sont tangentes a fl (et dont les faces coupent Q suivant les quatre 
cercles pr6c^dents). Supposons le ttradre r^gulier et introduisons les sym- 



PERIODE PRELIMINAJRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS, 4 5 




Fig. 12. 



46 PREMIERE PART1E. 

tries par rapport aux plans bissecteurs ; on retrouve une infinite^ de fois le 
r6seau modulaire (fig* 12). 

Citons encore le cas d'un domaine fondamental construit a partir de quatre 
circonferences sans points communs; Pensemble des points ou G cesse d'etre 
proprement discontinu ne pent plus 6tre enchain^ il ne forme plus de 
continu (fig* i3). Nous mentionnerons un reseau construit a partir de cinq 




Fig. 1 3. 

circo&f^rences tangentes limitant un pentagone, un quadrilat&re et un triangle. 
La courbe frontire des regions de discontinuity propre comprend une courbe 
non $nalytique et des cercles orthogonaux aux triangles d'une infinite de 
r^seaux (fig* i4)- 

L'examen que nous venons'de faire a 6t6 n(5cessairement tr^s rapide. Peut- 
^tre vous aura-t-il fait pressentir la richesse des perspectives et des voies 
nouvelles ouvertes par PowcARfi, et qui, actuellement encore, sont loin d'etre 
conipl^tement explordes. La notion de pavage du plan euclidien conduisait a 
des figures tr&s simples, connues depuis longtemps. La m^me notion introduite 



P^RIODE PRELIMINAIRE ET PREMIERES MANIFESTATIONS. 4? 

dans le plan hyperbolique donne naissance aux configurations les plus 
complexes et fait appel aux concepts de la Gom6trie directe et de la theorie 
des ensembles. POINCAR nous aura montre, ainsi, entre beaucoup d'autres 
r^sultats, une difference aussi essentielle qu'inattendue entre les deux 
Geometries, 




Fig. 14. 



BIBLIOGRAPHIE. 

Geom&trie cayleyenne hyperbolique. 

R. GARNIER, Cours de Cin&matique, t. Ill, Gauthier-Villars, 1961, p. 100-14*- 

Groupes et fonctions modulaires. 

P. APPELL et E. LACOUR, Principes de la theorie des fonctions elliptiques et applications, 2 
Paris, Gauthier-Villars, 1922, chap. XIII. 



48 PREMIERE PARTIE. 

L. BIANCHI, Lezioni sulla teoria delle funzioni di vaHabile complessa c delle funzioni 

ellitiche, Pisa, Spoerri, 1901, chap. XI et XVI. 
A. HURWITZ, Ueber die Theorie der elliptischen Modal funktiojien (Math, Ann., t. 58, 1904, 

p. 343-360). 
A. HURWITZ et R. COURANT, Allgerneine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3 e ed., 

Berlin, Springer, 1929, p. 219-228. 

F, KLEIN, (et R, FRICKE), Vorlesungen fiber die Theorie der elliptische Modulfunktionen, 
t. I et II, Leipzig, Teubner, 1890 et 1892. 

E. PICARD, Traite d* Analyse, t. Til, ed. Paris, Gauthier-Vi liars, 1928, chap. XIII (se rapporte 
aussi aux fonctions de SCHWARZ). 

Groupes et fonctions automoj*phes. 

P. APPELL et E. GOURSAT, Theorie des fonctions algebriques d'une variable et des transaji- 

dantes qui s'y rattachent, a a ed., t. II (Fonctions automorphes), Paris, Gauthier-Villars, 1980. 

Ce tome a ete redig^ par P. FATOU (mort avant d'avoir pu en corriger les preuves); sa 

lecture s'impose k to us ceux qui veulent s'initier k la theorie. 
R. FRICKE et F. KLEIN, Vorlesungen aber die Theorie der automorphen Funktionen, t. I et II, 

Leipzig, Teubner, 1897 et I 9 IX * 

G. FusiNi 7 Introduzione alia teoria dei gruppi discontinui e delle funzioni automorfe, 
Pisa, Spoerri, 1908. 

G. GIRAUD, Lecons sur les fonctions automorphes, Paris, Gauthier-Villars, 1920. 
TH. GOT, Memorial des sciences mathematiques, fasc. 60 et 68, Paris, Gauthier-Villars, igSS 
et 1934. 

H. POINCAR, GEuvres, t. II, Paris, Gauthier-Villars, 1916. 



DEUXlfiME PART1E 



CALIBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE 

LE 15 MAI 1954. 



A.- LE SAMEDI 15 MAI 1954 A LA SORBONNE. 



Le samedi i5 mai, dans le grand amphitheatre de la Sorbonne s'eslderoulee 
la stance solennelle de commemoration du Gentenaire en presence de 
M. Rene COTY , President de la Republique. A la table d'honneur, avaientpris 
place, a cote du President Andre MARIE, Ministre de Pfiducation Nationale, 
M. Georges LECOMTE, Secretaire perpetuel de 1'Academic Franchise, le 
Due Maurice DE BROGUE, President de PAcademie des Sciences ct Membre de 
PAcademie franchise, M. Franc, ois-Alberl BUISSON, Secretaire perpetuel de 
PAcademie des Sciences morales et politiques, Chancelier de PInstitut, le 
Prince Louis DE BROGLIE, Secretaire perpetuel dc 1'Academie des Sciences, 
Membre de 1'Academie Francaise, M. Georges DAVY, Membre dc PAcademie des 
Sciences morales et politiques, Doyen de la Faculte des Leiires, represcntani 
le Recteur de PAcademie de Paris qu'un voyage en Hongrie retenait eloigne de la 
capitale, M. Jacques HADAMARD, Membre de PAcademie des Sciences, M. fimile 
BOREL, Membre de PAcademie des Sciences, Directeur de PInstitut Henri 
POINCAR&, M. Henri VILLAT, Membre de PAcademie des Sciences, M. Gaston 
JULIA, Membre de PAcademie des Sciences, President du Comite d'Organi- 
sation des fetes du Cenlenaire, M. Joseph PJ&R&S, Membre de PAcademie des 
Sciences, Doyen de la Faculte des Sciences de Paris et M. Paul DUBREIL, 
Professeur a la Sorbonne qui assistait M. Gaston JULIA. 

De nombreux savants etrangers sont venus d'Allemagne, d'Autriche, de 

Belgique, du Danemark, des fitats-Unis, de Finlande, d'ltalie, deNorvkge, des 

Pays-Bas, d'U.R.S.S. ou de Yougoslavie, pour participer aux ceremonies du 

Centenaire. Parmi ceux-ci, les delegues officiels des Academies, Universit^s 

H. P. 7 



5o DEUXIEME PARTIE. 

ou Soci6te"s savantes auxquelles Henri POINCARE a appartenu, avaient leur place 
sur 1'estrade, avec les Acad^miciens dont beaucoup, pour la circonstance, 
avaient rev&tu Phabit vert. 

Au cours de celte stance qualre cliscours out retrace" Fceuvre de Henri 
PoiNCARfi dans les diverses branches de son activite'. M. HADAMARD a rappele' ce 
que fut le mathe"maticien, M. VILLAT ^a parl6 du me'canicien, le Prince Louis 
DE BROGUE et le Due Maurice OE BROGUE ont pr^sente" rcspectivement le 
phjsicien et le philosophe. 

Puis M. Gaston JULIA, dans une allocution, a rendu compte de Fachevemenl 
de la mission que 1'Academie lui avait confie'e, et il a rernis solennellement au 
Secretaire perptHuel de 1'Acade'rme des Sciences le dixieme et dernier volume 
de l'6dition des oeuvres de Henri POINCAR&, qui comme il s'y etait engage, 
etait sorti des presses de la maison Gauthier-Villars, quelques jours avant la 
calibration du centenaire. 

Apres que M. Emile BOREL eut rappel^ en quelques mots, la fondalioii de 
Tlnstitut Henri Poincare", le President Andr6 MARIE a cloture' cette grande 
stance par un discours tres remarque" ou il a bross6 un tableau de 1'homme, da 
savant et du philosophe. 

Entre les discours, afin de reposer un peu Tattention des auditeurs, 
1'orchestre a vent de la Garde r<5publicaine, sous la direction, du Commandant 
Frangois-Julien BRUN, Chef de la musique de la Garde, a fait entendre succes- 
sivement 1'ouverture de Guillctume Tell de ROSSINI, la Rapsodie norvegienne 
d'fidouard LALO, 1'ouverture du Carnaval romain d'Hector BERLIOZ, un 
Lar ghetto pour clarinette de MOZART, et la Marc fie lorraine de Louis GANNE, 
sans oublier la Marseillaise joue'e pour accueillir le President de la Republique. 

Une reception dans les salons de la Sorbonne a suivi la ce"r^monie officielle 
qui constituait 1'hommage du pays el de PUniversite" a la me'moire de Henri 
Poincare'. 

DISCOURS DE M. JACQUES HADAMARD 

DE L'ACADfeMIE DES SCIENCES 

Henri Poincare et les mathematiq;ueb . 

La France celebre aujourd'hui une de ses gloires nationales. Le nom de 
Henri PomcARfe doit toe connu de tous, et 6veiller un juste orgueil dans Pame 
de tout frangais, comme il Paurait fait de son vivant mme, s'il s^tait agi d'un 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAJRE A LA SORBONNE LE l5 MAI 1964. 5 1 

autrc champ d'activit6 de 1'esprit liumain. L'oeuvre du math^maticien n'est pas 
apparente, elle est la base, la base cach^e, d'<3difices que chacun pent admirer 
mais qui n'ont pu s'6lever que grace a la solidit6 dcs fondations. 

Quand on entrcprend, comme 1'honneur m'en 6choit aujourd'hui, la tache 
pen aise de caract^riser en quelques instants une grande oeuvre, une de celles 
qui marquent une <3poque de 1'csprit humain, on veut a juste titre j trouver 
une unit6, en d^gager une personnalite individuelle d'autant plus marquee qu'il 
s'agit d'un g6nie lui-m$me plus original et plus puissant. 

II ne faut pas, cependant, nous placer aujourd'hui a ce point de vue : je 
croirais, en 1'adoptant, diminuer en m<5me temps que dthiattirer 1'oeuvrc de 
Henri POINCARK. 

a Nous sommes plutot serviieurs que maitres en Math^maliques m'a ditun 
jour HERMITE. Tout an plus, le savant suit-iJ en ggntSral son temperament dans 
le choix des probl^mes qu'il so pose. Ainsi pent proc^dcr la mojenne des 
chcrcheurs. 

La moyenne dcs cherchours, mais non pas PoiiscAufi. II emprunta ses sujets 
non aux ressources de son esprit, mais aux besoins de la Science. C'est d'eux 
que partait sa pense. Elle naissait en quelque sorte en dehors de lui et une 
force sup^rieure autre parole chftre a HERMITE, faisait apparaitre en lui une 
lumi&re visible pour lui seul eL qu'il faisait briller pour tous. 

Qu'il me soit permis de rappeler sommairement quel <Hait au moment de sa 
venue 1'etat de la Science math^matique. 

Le xviii si^cle avait I<5gu6 au xix deux grands problSmes : Fint^gration des 
Equations diff^rentielles et celle des Equations aux driv6es partielles. La 
Science du xix si^cle ouvrit a cet 6gard une voie nouvelle. Elle apprit a 6clai- 
rer d'une lumi&re inattendue les propri^t^s qui s'offraient a son ^tude en 
donnant sjst^matiquement aux variables qu'elles introduisaient non plus seule- 
ment des valeurs rdelles, mais aussi des valeurs imaginaires. 

Cette th^orie des fonctions ou plutot des fonctions analytiques fut 
surtout en France Fceuvre de CAUCHT, en Allemagne celle de WEIERSTRASS. Us 
fond6rent chacun de son cott5 la thdorie des fonctions analytiques el pos^rent 
un premier fondement de la th^orie des Equations diffiSrentielles. 

CAUCHY mourut en 18.07; WEIERSTRASS lui surv^cut 4 ans j et fut dans la 
Science allemande Pobjet d'un enthousiasme sans bornes. Mais un de ses plus 
illustres disciples, MITTAG-LEFFLER, nous a rapports qu'a la fin de sa carri&re 
il voy^it, non sans quelque m^lancolie, la primaut<5 qu'il avait assur^e & 1ft 
Science allemande passer a noire pays, 



52 DEUXIEME PARTIE. 

C'csL qu'en ode I un grand uv6ncment scientifique venal t do sc produire. Les 
fonctions fuchsicnnes venaient <c d'^clalcr , suivanL un mot prononc^ a 
PcSpoque, dans ime serie de Memoires de Henri POIMCARE. 

L'un des plus beaux iriomphes de la thgorie des fonctions analytiques avail 
616 la theorie des fonctions ellipliques. Or avec la grandiose generalisation 
apportee par Henri POINCAR, un ensemble de proprietes aussi belles que celles 
qui appartenaient aux fonctions elliptiques 6tait etendu a une infinite d'&tres 
relevant d'uue mme theorie gtfn^rale, si profondement differents qu'ils fussent 
les uns des autres. 

Les fonctions fuchsiennes appor talent, a-t-on pu dire, les clefs du monde 
alg6brique et resolvaienl dans un cas important, celui des Equations Iin6aires 
a coefficients alg6briques, 1'autre grand probl&me dont nous avons parle en 
commengant, 1'integration des Equations differentielles. 



Avant mme le M6moire sur les fonctions fuchsiennes, POINCAR avait public 
quelques courtes Notes sur des questions d'Arithm^tique. Je dirai un mot de 
Tune d'elles qui me paralt ^clairer un aspect de sa personnalite. Elle est con- 
sacr6e a la mtHhode de la reduction continuelle, c6lbre invention d'HERMiTE 
qui excite notre admiration, mais sans que nous puissions comprendre com- 
ment son auteur a 616 conduit a 1'imaginer. 

Or ce que nous ne devinons pas chez HERMITE apparait en pleine lumitire 
avec POI^CAR^ ; et cc caract^re non seulement lumineux, mais parfaitement 
direct de POINCAR ne se dementira pas a travers toute son ceuvre. 

Serait-ce done que, contrairenient au grand pr^dt^cesseur qu'il explique en 
cette occasion, POINCARE n'6tait pas guides par une secr&le intuition ? II est 
impossible de 1'admettre, ne serait-ce qu'en presence du r^cit bien conmi de 
ces illuminations soudaines qui ont marqud le d^but de sa carri^re et ont 
abouti a la fondation de la th^orie des fonctions fuchsiennes. En outre un 
exemple bien typique de 1'intervention de Finconscient se trouve dans le 
tome III des Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, ou POINCA.R& est 
conduit a parler du Calcul des variations. A ce moment, le Calcul des varia- 
tions venait d'etre dol6 par WEIERSTRASS d'une m^thode rigoureuse qui donnait 
la question une response parfaite et definitive. Seulement WEIERSTRASS, vers 
U fin dc sa carri&re d^daignait de publier ses r^sultats lesquels, en consequence, 
sont pendant longtemps restes exclusivement connus de ses auditeurs. 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI ig54. 53 

avait-il soit connu, soit retrouv^ cette me*thode de WEIKRSTJIASS? La 
lecture de son celebre Ouvrage est troublante : dans une mme page figurent 
une phrase qui ne peut avoir 16 e'crite que par'quelqu'un qui ignorait la 
m^thode de WEIERSTRASS eL une autre laquelle lie peut avoir e'te' e'crite que par 
quelqu'un qui la connaissait. Ce veritable dedoublement de la personnalite 
car e'en esl un manifcsle Pinter vention d'un el mmc de deux inconscients 
doiit chacun suit sa propre voie sans que nous sojons renseigne's sur les e tapes 
de son clieminement. 

Mais ce cas est tout exceptionnel. Si profondtjment puisees a Pinconscient 
quo puissent 6 Ire les ides de PoiNCARft, leur marche est parfaitement explicite'e 
ct donne a cliacun Pillusion qu'il aurait sans doulc pu en irouver autant. 



Apres la th6orie des 1'onctions fuchsiennes, Padmiration des mathematiciens 
ne devait pas s'iiiterromprc. Ellc nc cessa d'etre entretenuc par la rapidit6 
incroyable avec laquelle se succederent les decouvertes dont un seul volume, 
le tome XT du Bulletin de la Societe Mathematique de France contient 
trois Me'moires apportant tons de profondes renovations aux theories qui en 
etaient Pobjet. 

Dans les annees qui suivirent, les Me'moires decisifs se succe'dcrent encore 
avcc une merveilleuse rapidite. 

Dans quelles directions se sont eflectuees ces recherclies si fecondcs? 

Dans toutes. II n'est peut-^tre pas une grande question qui ait arrte les 
ge'ometres et ou le g^nie du jeune savant ne nous ait montro la voie a suivre. 

La the'orie des fonctions analytiques d'abord, dont deux grands chapitres 
j usque-la inexplore"s et qui se sont regie's particulierement difficiles furent 
ainsi tir^s du n^ant. Decouvertes de premier ordre qui, venant de tout autre 
auteur, attireraient toute notre attention, mais dont il nous est impossible de 
parler, obliges que nous sommes d'en venir au grand sujet des Equations 
diffe'rentielles. 

Nous ne pouvons me 1 me pas parler des progres que PoiNCARfi a fait faire a 
cette derniere etude sous les points de vue ou Pon s'6tait plac6 jusqu'a lux. 
Mais en m^me temps qu'il poursuivait ces voies, il en ouvrait une profonde'- 
ment nouvelle dont il montra la fe"condite" et qui, d^laissant le domaine com- 
plexe, s'attachait aux formes possibles des courbes replies satisfaisant a 
Pe'quation. 



54 PEUXIEME PARTIE. 

lei se rotrouvc une circonstance deja apparue dans d'autres chapitres de 
1'histoire des Mathematiques. Lorsqu'il s'est agi de la resolution d'unc 
equation alggbrique, les premiers algebristes, et cola jusqu'au dernier quart du 
xvni c sicle, parent raisonner isolement sur une racine de I 9 equation, mais ils 
i'urent d(5finitivement arrelgs dans cette voie. Les recherches v^ritablement 
lecondes entreprises sur ce problem e ont procedtS tout autrenient en raisonnant 
sur Tensemble des racines el sur les relations quc 1'on peut tHablir entie elles. 
POINCAR& nous apprend a nous conformer a ce m6me principe dans I'gtude des 
equations diff<Srentielles. 

Que peut-on dire des diverses conrbes qui satisfoni a une mme equation 
diflferentielle, supposed du premier ordre pour commencer ? S implement ceci, 
que deux d'entre elles ne peuvent jarnais se couper, sauf aux points singuliers. 
Cette base fragile au premier abord a suffi comme point de depart a Poincar6. 

II j a cependant ajout une consideration essentielle et qui avait echapp^ a 
tous ses pr^decesseurs. C'est a RIEMANN que se rattache une remarque enfantine 
au premier abord dont la purilit6 apparente rend plus remarquable encore le 
role essentiel qu'elle a jouts dans la Science. Si CAUGHT, dans le premier 
M^moire qu'il ait public (i8i3), ne 1'avait par m^connue, il n'aurait pas, 
4o ans plus tard, laisse a RIEMANN la gloire de computer la th^orie des fonctions 
alg^briques. Lorsque a son lour RIEXMANN reconnut ce principe et s'en servit 
pour computer cette th^orie, il ne comprit pas que son application n'<5tait pas 
Iimit6e au problme dont il venait de s'occuper. II ^tait donn6 a PoiNCARfi de le 
montrer indispensable dans l'<Hude des Equations diff'^rentielles et de discuter, 
grace a lui, les formes possibles des courbes que ces Equations d(^finissen.t. 

Ce que pouvaient toe ces formes, on pouvait 6tre tente de se 1'imaginer 
d'apr^s les exemples que fournissent les cas simples des Aquations 6l^mentai- 
rement intt^grables. II j avait la une erreur a laquelle doit rflchir quiconque 
s'iixt^resse & la m^thode scientifique. Voici un probl^me que nous savons 
trailer dans certains cas particuliers. D'apr^s les caract&res que pr^sentent les 
solutions connues dans ces cas-la, nous pr6jugeons de ce qui doit se passer 
dans d'autres probl^mes qui nous semblent analogues. Nous ne pouvons gu6re 
faire autrement, mais il ne faut pas oublier qu'entre les uns et les autres 
doivent n6cessairement exister des differences profondes quoique cach^es ^ nos 
yeux et dont doit nous avertir le fait m&joae que nous sommes capables de 
traiter les uns et non de trailer les autres . 

C'est ce qui se produit effectivement pour liquation diflferentielle du pre- 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI Uj54. 55 

mier ordre. Si celle-ci pouvait, comme dans les cas t^mentaires, se trailer 
a 1'aide d'une integrate, c'est-a-dire en 6galant a une constante une certaine 
fonction des coordonn^es, elle ne pourrait pas donner lieu a des figures telles 
que celles que POINCARU mei en Evidence. 



Mais F6tudu de Fequation different! elle du premier ordre ne represente 
qu'une premiere etape. L'<5tude des Equations du second ordre rapproche 
POINCAR de Fobjet principal sur lequel, avec toute F Analyse moderne, il ne 
cesse d'avoir les yeux fixs : a savoir les Equations diff^renlielles de la M6ca- 
nique celeste, celles qui r^gissent les mouvemenls des plan^tes sous Faction 
non seulement de Fattraction du Soleil mais aussi de leurs attractions mutuelles. 

II ne peul pas tre question d'int^grer un pareil sysl&me d'dquations au sens 
6lmentaire du mot. II faudrait pour cela disposer d'int<5grales en nombrc 
suffisant. On est loin de compte et PomcARfi raontre qu'il faut renoncer a en 
a j outer aucune aux dix integrates classiques. 

Par contrc, un premier fait a d'autre part gouvernti ses recherches : Fexis- 
tence de solutions p&riodiques. Si une plan&te (par exemple la Terre) tait 
seule en presence du Soleil et soumisc a sa seule attraction, elle se comporterait 
comme Fimaginait PTOLfiMfiE et m^me KJ&PLER, c'est-a-dire qu'au bout d'un an 
elle se retrouverait exactement dans la m6me position qu'au depart et anim^e 
du m^me mouvement, pr^te <a une seconde revolution exactement identique a 
la premiere. Le mouvement serait p^riodique. II n'en est pas ainsi en r6alit<, 
parce que la Terre est 6galement soumise ^ Fattraction des autres plan^tes 
lesquelles d'ailleurs r^agissent aussi les unes sur les autres et troublent leurs 
mouvements. Peut-il, mtee dans ces nouvelles conditions, exister pour le 
systkme r^duit a trois corps pour commencer par le cas le plus simple 
des mouvements p^riodiques? C'est la question que n'a cess6 de se poser PoiNCARfi, 
et cela d&s ses premieres ann^es de travail dont nous avons dit F extraordinaire 
fcondit6, et aussi jusqu'au moment ou la mort le guettait, jusqu'& ce dernier 
M^moire dont la tragique introduction ^voque les craintes malheureusement 
trop fondles que lui inspirait sa sant6. 

Ges solutions p^riodiques qu'il apprit ainsi a dc5celer se sont montr^es entre 
ses mains la seule voie par laquelle on a pu pn6trer dans une place jug6e 
jusque-k inabordable. 

A ce point de vue, le cas relativement simple de liquation difi^rentielle du 



56 DEUXIEME PARTIE. 

second ordre, d^finissant une courbc dans 1'espace ordinaire, est deja typique. 
Si une pareille courbc est fermee, les courbes-solutions voisines le seront 
approximativement et 1'une quelconque d'entre elles issue d'un point de depart 
d<Hermin6 reviendra p&riodiquement passer au voisinage du mme point. Mais 
les dispositions qu'affectent ces arcs successifs dispositions que dans certains 
cas les m^thodes institutes par POINCARE permettent de discuter d ? une manure 
entitlement rigoureuse monlrent d'une part quelles dispositions Granges et 
a peine intelligibles peuvent affecter ces mouvements lorsqu'on les suit a la fois 
dans Pavenir et dans le pass^; de 1'autre, combien les difficult^ rencontrees 
dans les mtHhodes classiques de la Mdcanique celeste tiennent a la nature des 
choscs. 

Pendant qu'il arrivait a ces conclusions de caractere en un sens n<3gatif et 
qui montraient comme relativement pr^caires les progrtjs stir lesquels on 
comptait, POINCARJ^ ouvrait d'autre part une voie permettant d'avancer sur un 
terrain solide. La notion dont il montrait la puissance s'apparente a ces m6mes 
int^grales qu'il est, nous le savons, vain de recliercker dayantage. La notion 
d'invariant integral montre a nouveau combien il est utile de consid^rer non 
, pas une solution isol^meiit, mais les, ou au moins des solutions. C'est une 
integrate, c'esl-a-dire une quantite qui reste constante en vertu des Equations 
diff^rentielles, mais c'est une int^grale collective portant sur un ensemble de 
solutions. C'est cctte notion qui, entre les mains de POINCAR, donna en parti- 
culier les r^sultals les plus essentiels que nous poss<5dions sur la question si 
fondamentale de la stabilite du sjst^me solaire. 

C'est a ces nouvelles et puissantes m^thodes qu'est consacr<5 le c^l^bre 
Ouvrage qui s'appelle Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste. Chaque 
jour met davantage en Evidence le role qu'elles sont appel^es a jouer non seu- 
lement dans toute la science astronomique, mais dans bien d'autres probl^mes 
de Mecanique. 

Nous n'avons parl6 que bien incompletement des grandes conqu^tes que 
nous devons a PoiNCARfi dans le vaste domaine des Equations diff^rentielles. 
Mais d'autres probl^mes pos^s par les applications physiques avaient tent6 la 
science a partir du moment ou elle s'6tait occup^e des Equations aux driv6es 
partielles. Probl^mes que 1'on a pu croire un instant analogues, avec quelques 
complications nouvelles, aux premiers, qui en 6taient en r6alit6 profond^ment 
diflferents, et dont le type est ofFert par le cl&bre probl^me de DIRICHLET. 

Que d'efforts consacr^s a cet attachant probl^me ! Aux nombreuses m^thodes 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI 1964. 67 

propose'es pour le trailer, POINCARE en ajoute une nouvelle, la me'thode du 
balayage. Une telle addition e"tait-elle importante ? La re'ponse, une re'ponse 
eclatante a tite" fournie par la marche ult^rieure de la the'orie. A partir de Pappa- 
rition de la me'thode du balayage, tous les travaux sur ce sujet ont dpendu 
d'elle ; elle gouverne depuis ce temps toutes nos id^es sur ce chapitre. 

Que de grandes d^couvertes il me faudrait rappeler dont il m'a ^te' impos- 
sible de parler, quoiqu'elles constituent, elles aussi, les foiidements ne'cessaires 
de progres futurs. Et que d'autres conquStes, que de points de vue fondamen- 
taux la Science n'e"tait-elle pas encore en droit d'attendre de POINCAR& lorsque 
la mort est venue nous Penlever. 

Ceux qu'il nous a laisse's et dont je n'ai donne' que de brefs et insuffisants 
apereus, ce sont ceux qui, depuis plus d'un demi-siecle, sonl a la base des pro-, 
gres de notre Science ct, sur beaucoup de points, des progres essentiels de 
P esprit humain. 

DISCOURS DE M. HENRI VILLAT 

DE L'AGADtiMIE DES SCIENCES. 

Henri Poincare et la Mecanique. 

Gc n 7 est pas une laclie facile que dc tenter de re"sumcr Pccuvre colossalc 
d'Henri PoiNCARfi. Si la grandeur d'mn poeme est dans ses resonances , que dira- 
t-on de Peffarante grandeur de la pense'e de PoiNCAHfi, alors que les prolongements 
de cette pens6e s'6tendent inde'finiment sur tout Pavenir de la Science. 

Les savants d^veloppements qui viennent d'etre exposes, par une voix plus 
autoristJc que la mienne, ont d(5ja mis Paccent sur Pimportance et la profon- 
deur dc Poeuvre de PoiNCAiifi dans Pordre des Math^matiques pures ct de la 
Ge'ome'trie. Je dois maintenant^dire en quelques mots ce que la Me'caniquc et 
P Astronomic doivent a son merveilleux g^nie. 

Les disciplines que je viens de citer firent ne"cessairement Pobjet des pr6- 
occupations de PoiNCAiifi, pour des raisons tres pre'cises : en i885, il fut charg6, 
a la Sorbonne, d'assurcr Penseignement de la Me'canique physique et exp^ri- 
mentale; puis, en 1886, il devint titulaire de la chaire de Physique mathe'ma- 
tique ct de Calcul des probabilit6s. Ces circonstances contribuerent e"videmment 
a orienter les ide'es de POINCAR^ vers les sujets dont nous allons parler. 

Nous savons cependant que, quelle qu'eut pu etre Pimpulsioii initiale, 
H. P. 8 



58 DEUXIEME PARTIE. 

I'amenant a examiner tel cm Lei doinaine de nos connaissances, il aurait avec la 
m&me maitrise realise d'aussi prodigieux progr&s. 

En ce qui concerne 1'Astronomie, la force irresistible de son genie 1'a amene 
a etendre d'une facon surprenante les limites de la Science. 

Laplupart des travaux astronomiques de POINCARJ& se raltachent au probl&me 
des 7^ corps, et particulierement au mouvemeni des plancHes et des satellites de 
notre syst^me solaire. Pour bien faire comprendre 1'importance de ces travaux, 
il convient de rappeler bri^vement 1'histoire de ce probl&me cel^bre. 

II est bien connu que la decouverte de 1'attraction universelle avait 616 gran- 
demenL facilitee par ce fait, que les masses des plan&tes sont petites par rapport 
a celle du Soleil. De m6me 7 la plupart des methodes qui ont pour but le calcul 
du mouvement des corps celestes, doivent leur succes a cette petitesse des 
masses. Ainsi les fondateurs de la Mecanique celeste ont developpe les coor- 
donnees ou les elements des planetes, suivant les puissances d'un petit para- 
metre, de Pordre des masses. Ces developpements ont permis de determiner 
quantitativement, pour quelque temps, les mouvements des plan&tes, avec 
une exactitude comparable avec celle des observations. 

Toutefois, ces theories classiques no peuvent pas suffire pour des intervalles 
de temps extr&mement longs. Cela a cause de ce qu'on appelle les termes s6cu- 
laires, qui font intervenir le temps en dehors des signes trigonometriques. El 
d'ailleurs, pour cette mme raison, les series classiques ne nous apprennent 
rien sur la stabilite du syst^me solaire. 

Pour d<3montrer cette stability, et afin d'(5tudier en general les orbites du 
point de vue qualitatif, LAGRANGK avait d^velopp^ les perturbations s^culaires 
les plus importantes en series trigonometriques, apr^s lui DELAUNAY, GYLDEN 
et bien d'autres ont creus plus avant ce sujet ardu. 

Mais la resolution complete du probl^me dont il s'agit 6tait r<5servee a 
PoiNCARfi. En bref, POINGAR^ ddmontrc que les elements canoniques des plan&tes 
peuvent se developper formellement en series de FOURIER, suivant les multiples 
d'un certain nombre d'arguments lineaires par rapport au temps. Ges series 
sont ordonnees aussi suivant les puissances des masses, et de certaines quanti- 
tes, de Tordre des excentricites et des inclinaisons. Mais PoiNCARfi va beaucoup 
plus loin : il montre, d'unu part, que les series en question ne sont pas conver- 
gences, mais cependant il prouve qu'elles sont semi-convergentes, et qu'elles 
suffiront aux besoins des astronomes pendant des temps extr6mement longs. 

Pour etudier les solutions du probldme des n corps, et d'autres probl&mes 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI ig54- 69 

de Dynamique beaucoup plus generaux, POINCAR& s'est engage dans une autre 
voie : il commence par cliercher les solutions sp6ciales les plus simples : il est 
ainsi amene aux solutions periodiques, dans lesquelles le syst&me reprend, 
aprs un temps fini, sa configuration et ses vitesses relatives initiales. II 
decouvre aussi une classe de solutions plus generates : celle des solutions 
asymptoliqucs, qui se rapprochent indefmiment d'une solution periodique au 
bout d'un temps tr&s long. Pour demontrer leur existence, POINCAR& invente une 
notion nouvelle etextr6mement feconde, celle des invariants integraux. La theorie 
de ces invariants integraux lui permet aussi de traiter la question de la stability. 

Dans cette recherche, d'une complexity extreme, POINCAR& fait progresser la 
question a pas de geant ; les resultats qu'il obtient ferment le terrain solide sur 
lequel les chercheurs de Favenir pourront s'appuyer avec confiancc. 

Les solutions periodiques sont surtout utiles quand il s'agit de calculer le 
mouvement d'un syst&me dont les conditions initiales sont voisines de celles 
qui correspondent exactement a une solution periodique. On prend alors cette 
solution periodique comme point de depart, et 1'on developpe la solution cher- 
chec suivant les puissances d'un certain nombre de quantites petites. On 
reussit ainsi a resoudre des probl^mes auxquels les m^thodes anciennes ne 
sont pas applicables. 

Dans le Calcul des probability, le d<5veloppement de 1'inverse de la distance 
de deux plan&tes suivant les multiples des anomalies moyennes, est d'une 
importance capitale. En vue d'^tudier les coefficients de ce d^veloppement, 
PoiNCARfi applique ses m6thodes sur les singularites, ct sur les p&riodes des 
integrates doubles, il fait egalement un usage opportun des m^thodes ing<5- 
nieuses de DARBOUX quant a 1'expression asymptotique des fonctions de trs 
grands nombrcs. 

Tous les r&mltats dont aous venons de parler auraient suffi a assurer la 
gloire imp^rissable d'un savant. Mais POINCAR& a traite encore avec le m&ine 
succ^s une foule de questions non moins importantes. 

En Astronomic, il a perfection^ la m^thode de LAPLACE pour la determina- 
tion des orbites, et son elegante methode est devenue la plus efficace dans la 
pratique actuelle des Observatoires. 

En Geod6sie 7 POINCAR a attire 1'attention sur les mesures de lapesanteur, en 
montrant que ces mesures suffisent pour determiner, les irregularity dugeoide. 
Tl a signale aussi Fimportance des inesures des azimuts dans les triangulations 
geodesiques. 



Go DEUXIEME PARTIE. 

La theorie des Mar6es est certainement Fune des plus difficiles de la Meca- 
nique. Avant Poincare, on ne savait trailer que des cas tr&s particuliers, sous 
des hypotheses denuees de sens pratique. D&s 1896, POINCAR& a recherche la 
solution genrale du probl&me. Les m()thodes qu'il a proposees et les resultats 
obtenus d&s cette epoque, ont eula plus grande influence sur le developpement 
recent de la Physique mathematique. En 1902, lorsque FREDHOLM eut fait con- 
naitre sa belle theorie des Equations integrates (qui prolongeait d'ailleurs les 
idees de POINCARJJ lui-m^me), POINCARE a son tour appliqua ce nouveau concept 
a la theorie des Marges. Ce travail, qui illustre le troisi&me volume des Lecons 
de Mecanique de notre auteur, est d'une elegance et d'une clarte saisissantes. 

La theorie des figures d'equilibre relatif des masses fluides est d'une impor- 
tance capitale pour FAstrophysique et la Cosmogonie. Une telle theorie nous 
permettrait de suivre le developpement des nebuleuses et des astres, et nous 
renseignerait probablement sur les causes de la variability des etoiles. Malheu- 
reusement ces probl&mes ne sont pas encore abordables dans toute leur gene- 
ralit6 : d'une part nos connaissances sur la constitution de la mati&re au sein 
des 6toiles, sous les pressions et les temperatures 6normes qui y r^gnent, sont 
encore insuffisantes pour une mise en Equations correcte des probl&mes; 
d'autre part, m^me dans le cas id&d ou les probl&mes pourraient ^tre analyti- 
quement bien pos6s 7 les difficult^s d'int^gration paraissent encore insurmon- 
tables dans leur ensemble, a moins que Fon ne se trouve dans le voisinage 
d'une solution particulire simple. 

Malgr6 ces circonstances, PoiNCARfi est parvenu a des r^sultats d'une grande 
g&nralit6. II a montr que la rotation d'une masse fluide doit ^tre uniforme 
autour d'un des axes principaux d'inertie ; il a trouv6 une limite sup6rieure de 
la vitesse de rotation, et il a 6tabli la condition n^cessaire et suffisante pour la 
stability de F^quilibre relatif, en tenant compte de la viscosit6 du fluide. 

Mme si le fluide est suppos^ homogenc, les difiicult^s analytiques a vaincre 
sont considerables. L'une des plus belles d^couvertes de POINCAR& se rapporte 
a ce cas ideal. Par une m^thode extrmement feconde, il demontre Texistence 
d'une infinite de nouvelles figures d'equilibre, se rattachant, pour certaines 
valeurs des donn6es initiales, aux ellipso'ides, deja connus, de MAC LAURIN et de 
JACOBI. II introduit dans cette theorie la notion nouvelle des coefficients de sta- 
bility lesquels presentent d'interessantes analogies avec les exposants caracte- 
ristiques des solutions periodiques dans les probl&mes de Dynamique. PomcARfi 
demontre que les ellipsoi'des de MAC LAURIN peu aplatis, et les ellipso'ides de 



CELEBRATION SOLENNELLE D17 CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI igS/f. 6l 

JACOBI les moins allonges forment une suite continue de figures d'e'quilibres 
stables. Cette suite se prolonge par des figures piriformes auparavant inconnues, 
dont la matiere semble vouloir se partager en deux parties. 

Quoique les corps celestes ne soient sans doute pas homogenes , ces de'couvertes 
de PoiNCARfi jettent un jour singulier sur la genese des etoiles doubles, et sur 
1'origine de la Lune. Ces considerations ont servi de base aux beaux Ouvrages de 
JEANS sur la Cosmogonie, parus en 1919 eteni929.Desrecliercliestoutes recentes 
de LYTTLETON, en Angleterre, nous apprendront sans doute prochainement des 
consequences essentielles de ces theories quant a Texplication du monde. 

PoiNCARfi lui-meTne, dans son grand Ouvrage sur les hypotheses cosrnogoni- 
ques, a expose" toutes les idees e'mises sur cette matiere, et en a fait une critique 
approfondie . Avec ses formules rigides , son texte precis , avec la loyale incertitude 
quiluisert de conclusion, ce livre estl'un des plus e'mouvants qu'on puisselire. 

II est certainement impossible de caracteriser en peu de mots 1'esprit des 
travaux de POINCARJ&. Toujours, ce sont les problemes fondamentaux qui attirent 
son attention ; il fait preuve d'une faculte de generalisation saisissante, et son 
imagination est sans limites. Ses exposes se distinguent par une elegance etune 
limpidite extraordinaires. 

II est evident que, justement a cause de sa grande generalite, Toeuvre de 
PoiNCARfi restera longtemps une mine inepuisable pour les chercheurs qui vou- 
dront y penetrer. Ces chercheurs y trouveront d'ailleurs autre chose encore, 
dans 1'exemple du savant qui sut allier au genie le plus eblouissant les plus 
hautes qualites humaines. Comment oublierions-nous ce qu'il a ecrit un jour: 
la pensee est un eclair entre deux longues nuits, mais c'est cet eclair qui est 
tout . L'amour infini que lui inspirait la Science lui a fourni 

la clef de diamant qui ferme TUnivers . 

C'est pourquoi je crois, et j'espere qu'il aurait approuve les lign.es suivantes, 
par lesquelles je veux terminer, et qui traduisent peut-e*tre une part de son 
message : 

Homme, entends battre au fond de toi le cceur du monde ! 
Ce n'est qu'en exercant ton sens de Feternel, 
Que tu sauras survivre a 1'ultime seconde, 
En transposant ta vie a Pordre universel. 

Donne-toi sans repit, donne-toi sans reserve : 
Seul qui se donne sent 1'allegresse du jour. 
Tout geste de repli rend Fame triste et serve : 
Vis et meurs dans le rythme unique de 1'amour ! 



62 DEUXIEME PARTIE. 



DISCOURS DU PRINCE LOUIS DE BROGLIE 

DE L'AGAD^MIE FRANAISE, 
SECRETAIRE PERPfiTUEL DE L'ACADlilMIE DES SCIENCES. 

Henri Poincare et les theories de la Physique. 

L'ceuvre de Henri POINCAR& est immense : elle int<5resse toutes les branches 
des sciences physicomathematiques. Analyse sup^rieure, Geometries non eucli- 
diennes, Arithmetique, Analysis situs (ou Topologie), M^canique, Astronomie, 
Physique mathematique, i! n'est pas une seule de ces sciences diverses a 
laquelle il n'ait apport6 des contributions essentielles et imprime la marque de 
son genie. Mort a 58 ans, il a laisse une ceuvre qui etonne par son ampleur : 
il parait presque impossible d'avoir accompli dans une vie relativement courte 
tant de travaux divers et d'une telle valeur. 

Je parlerai ici seulement de Toauvre de POINCARE en Physique mathematique, 
car je 1'ai beaucoup etudiee dans ma jeunesse. Tous les jeunes gens de ma 
generation qui s'interessaient a la Physique mathematique se sont nourris des 
livres de Henri POINCAR^. L'enseignement de la Physique math^matique a la 
Sorbonne 6tant alors un peu vieilli, Paul LANGEVIN n'ayant jamais publi6 ses 
beaux cours du College de France, c'est dans les livres de POINCAR que nous 
pouvions trouver, exposes sous une forme parfaite, les rgcentes theories de la 
Physique et cette lecture <5tait de celles dont, bien des ann^es plus tard, on 
ressent encore les bienfaits. 

. Certains auteurs ont distingu^ la Physique th6orique de la Physique math<3- 
matique : c'est la une distinction que Henri PoiNCARfi lui-m^me dans ses 
c^l^bres livres de Philosophic scientifique (La Science et VHypothese, La 
Valeur de la Science, Science et M6thode, Dernieres pensees) n'a jamais 
faite. Je crois cependant qu'elle correspond a quelque chose d'important. La 
Physique math^malique, c'est Fexamen approfondi et critique des theories de 
la Physique par un esprit entrain^ aux speculations math^matiques ajGn d'en 
am^liorer, d'en rendre plus rigoureuses les demonstrations, afin aussi d'y 
trouver des themes pour ses propres recherches math^matiques, la Physique 
ayant souvent, on le sait, guide les geqm&tres dans leurs d<3couvertes. La 
Physique th6orique au contraire, c'est la construction de theories aptes a 
rendre compte des faits experimentaux et a guider le travail des homines de 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI IQ54. 63 

laboratoire : elle n^cessite, surtout a 1'heure actuelle, des connaissances 
mathematiques etendues, mais n'est pas ordinairement 1'oeuvre de veritable* 
mathematiciens : ello exige une grande connaissance des fails experimentaux 
et surtout une sorte d'intuition physique que tous les mathematiciens ne 
possdent pas. 

POINCARE, mathematicien de haute classe, esprit penetrant et critique, etail 
particuli^rement design^ pour s'occuper avec fruit de Physique mathematique 
au sens que nous venons de definir. II n'y manqua pas et son ceuvre dans ce 
domaine est considerable. Quelques-uns de ses remarquables M^moires, 
plusieurs de ses admirables livres sont, aumoins enpartie, consacrds a preciser 
les demonstrations des theories classiques de la Physique et a en affermir les 
bases par de nouveaux modes de raisonnements. Qu'on se rappelle certaines 
methodes nouvelles, nolammentla cel&bre methode dubalayage qu'il a inventee 
pour demontrer dans des cas de plus en plus etendus le principe de DIRICHLET 
dans la theorie du potentiel newtonien, ainsi que les belles analyses qu'il a 
consacrees a la theorie de la propagation de la chaleur de FOURIER. C'est 
uniquement dans son livre sur la theorie de FOURIER que les etudiants du temps 
de mon adolescence pouvaient trouver un expose complet de la theorie des 
int6grales de FOURIER qui est, et de jour en jour davantage, necessaire aux 
physiciens : les integrales de FOURIER, bagage indispensable pour le futur 
theoricien, etaient alors, comme les fonctions de BESSEL et beaucoup d'autres 
connaissances capitales pour les applications, a peu pres compl&tement ignorees 
de 1'enseignement general dss Mathematiques a la Sorbonne. C'est egalement 
en etudiant la propagation de la chaleur que Henri POINCAR^ a reussi par de 
belles et mgenieuses methodes a justifier Fexistence de ce que nous nommons 
aujourd'hui les <c valeurs propres d'une equation differentielle pour des condi- 
tions aux limites donnees, ainsi que la validite des developpements en serie de 
fonctions propres. Toutes ces questions, apparentees, comme POINCAR a su 
le montrer par de profondes analyses, & celles relatives au principe de 
DIRICHLET, ont considerablement progresse, peu apr&s les travaux de POINCARE, 
par la decouverte et 1'etude des equations integrales, puis par Tintroduction 
due a, HILBERT de 1'espace abstrait qui porte son nom. II est inutile de rappeler 
le r6le capital que toutes ces questions jouent aujourd'hui en Physique quan- 
tique et ceci suffirait a montrer la portee des recherches de POINCARE dans ce 
domaine. 

A la Physique mathematique, se rattache aussilebel expose, reste classique, 



64 DEUXIEME PARTIE. 

que PoiNCARfi a fait de la Thermodynamique. On sail que cette science austere, 
surtout quand on se prive volontairement des ressources de Pinterpreiation 
statistique et mole'culaire de BOLTZMANN et de GIBBS, est difficile a presenter 
correctement et que son enseignement est plein d'embuches. L'expose de 
Henri POINCARE est reste un des modeles du genre et aujourd'hui encore ceux 
qui enseignent la Thermodynamique onl inte'ret a s'y reporter. D'ailleurs, si 
PoiNCARfi savait a 1'occasion s'en tenir au point de vue rigoureux de In Physique 
des principes, il n'ignorait pas la valeur des theories mole'culaires et statis- 
tiques dont il a dans plusieurs Memoires etudie les divers aspects : c'est ainsi 
qu'on trouve, avec un peu de surprise mais beaucoup de profit, un expose' de 
la theorie cinetique des gaz dans son beau livre sur Les Hypotheses cosmo- 
goniques. 

Mais, si POINCARE a apporte comme il etait naturel, etant donne'e la forme de 
son esprit, d'edatantes contributions a la Physique mathematique entendue 
comme nous 1'avons definie plus haut, il a aussi su faire ceuvre utile et origi- 
nate en Physique the'orique. G'est surtout dans le vaste domaine de 1'Optique 
et de 1'filectromagnetisme, alors en pleine p6riode de renouvellement, qu'il a 
su lui-me'me accomplir une oeuvre de theoricien en allant de 1'avant et en 
decouvrant des id6es et des interpretations nouvelles. II connaissait admira- 
blement toutes les anciennes theories me'caniques de la lumiere qui s'^taient 
succe'de' depuis FRESNEL et il les avaient onalyse'es dans de beaux Ouvrages. 
II avait approfondi la the'orie de MAXWELL, alors peu e'tudie'e en France, et il 
savait comment elle englobe et generalise toutes les tentatives pr^cedentes en 
r^alisant une admirable fusion de 1'Optique et de Pfilectricite. II avait suivi 
pas & pas la ddcouverte des ondes hertziennes et de leurs propriet6s, remar- 
quables verifications des conceptions de MAXWELL : il avait, dans les debuts de 
la Radioelectricite, critique de pres les resultats experimentaux, developpe 
les interpretations theoriques, tenu les ingenieurs au courant des derniers 
progres en la matiere dans de savants cours faits a Fficole superieure des 
Telegraphes ; il avait m6me fait des exposes plus simples pour le grand public 
tels que le resume des premiers principes de la T. S.F. contenu dans un 
fascicule de la collection Scientia. Partout il avait te sur la breche, sachant 
evidemment critiquer et preciser, mais sachant aussi, suivant Tesprit de la 
Physique theorique, s'elancer en avant pour conquerir un terrain nouveau 
sans trop se preoccuper de rigueur ou de perfection. 

Dans de beaux Memoires et aussi dans son grand Ouvrage Electricite et 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE l5 MAI IQ54. 65 

Optique, il avail discuie les df verses formes re'centes de la lli^orie eleclro- 
magnetique, et en particulier la the'orie des Electrons de LORENTZ dont il 
appre'ciait loule la porle'e. Q avail beaucoup r6fl6clii a la question du naouve- 
menl absolu el du mouvemenl relalif donl il a souvenl parle" dans ses 6crils 
philosophiques : il e'tail convaincu que le mouvemenl absolu n'avail aucun 
sens el qu'on ne saurail le meltre en Evidence el il ne prenaii pas assez au 
se'rieux 1'exislence de l'6lher pour croire qu'on parviendrail a d^celer le mou- 
vemenl relalif d'un observaleur par rapporl a ce milieu ficlif. Aussi n'lail-il 
nullemenl surpris par le r6sullal ne'galif des experiences du genre de celle 
de MICHELSON el suivail-il avec inie'r^l, el sans doule un peu d'ironie secrele, 
les efforls fails par LORENTZ el d'aulres ihe'oriciens pour concilier ce rsullal 
ne'galif avec 1'exislence de I'e'lher. 

En 1904, & la veille des iravaux de'cisifs d'Alberl EINSTEIN sur ce sujet, 
Henri POINCARE posse'dail lous les e'le'menls de la ihe'orie de la Relalivile' . II 
avail approfondi loules les difficulie's de 1'fileclrodynamique des corps en 
mouvemenl el il connaissait les arlifices inlroduils successivernenl sous le 
nom de temps local de LORENTZ el de conlraclion de FITZGERALD pour lenir 
comple de 1'invariance des equations de I'fileclromagne'lisine el des r^sullals 
de Fexp6rience de MICHELSON. II voyail clairemenl que ccs hypolhkses fragmen- 
laires inlroduiles arbilrairemenl Tune apres 1'aulre devaienl faire place a une 
ih^orie g6n6rale donl elles ne seraient que des cons6quences parliculi^res. 
La dynamique de l'6leclron a masse variable avec la vilesse, d^ja 6ludi6e par 
LORENTZ, lui e'tail bien connue : sachanl qu'elle enlraine pour les corps male'riels 
1'exislence d'une limile supe'rieure de la vilesse ^gale a la viiesse de la lumiere 
dans le vide, il en apercevail loul de suile les consequences quand il crivail 
(Science et Methode, p. 252) : On pourrail 6Lre lenie de raisonner comme il 
suil : un observaleur peul alleindre une vilesse de 200000, km/s; un corps 
dans son mouvement relalif par rapporl a 1'observaleur peut atleindre la m^me 
vilesse : sa vilesse serail alors de 4 00000 ^ m J ce q u ^ serail impossible 
puisque c'est un chiffre sup^rieur a la vitesse de la lumi^re. Ce n'esl la qu'une 
apparence qui s'6vanouil quand on lienl compte de la fagon donl LORENTZ 
lvalue les lemps locaux . Ce lexie monire que POINCARE connaissail, avani 
EINSTEIN, les formules de composilion relalivisle des vilesses el d'ailleurs, dans 
un remarquable Memoire cril avanl les iravaux d'EiNSTEiN el paru dans les 
Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, ou il a 6tudi6 la dynamique 
de 1'electron d'une fagon approfondie, il a donn^ les formules de la Ginma- 
lique relalivisle. 

H. P. 9 



66 DEUXIEME PARTIE. 

II s'en est done fallu de pen que ce soil Henri POINCARS et non EINSTEIN, qui, 
le premier, developpe la theorie 'de la Relativity dans toute sa g6neralite, 
procurant ainsi a la Science francaise la gloire de cette decouverte. N'ecrivait-il 
pas, en effet, dans Science et Methode (p. 240), resumant toute son expe- 
rience de la question : Quoi qu'il en soil, il est impossible d'echapper a 
cette impression que le principe de relativity est une loi generale de la Nature, 
qu'on ne pourra jamais, par aucun moyen imaginable, mettre en Evidence que 
des vitesses relatives, et j'entends par la non seulement les vitesses des corps 
par rapport a 1'ether, mais les vitesses des corps les uns par rapport aux 
autres. Trop d'experiences diverses ont donne des rsultats concordants pour 
qu'on ne se sente pas tente d'attribuer a ce principe de relativity une valeur 
comparable a celle du principe d'equivalence par exemple. II convient en tout 
cas de voir a quelles consequences nous conduirait cette facon de voir et de 
soumettre ensuite ces consequences au controle de 1'experience . II est 
impossible d'etre plus pr&s de la pensee d'EmsTEiN. 

Et cependant POINCA.R& n'a pas franchi le pas decisif ; il a laisse a EINSTEIN la 
gloire d'apercevoir toutes les consequences du principe de relativite et; en 
particulier, d'etablir, par une profonde critique des mesures de longueurs et de 
durees, le veritable caract&re physique de la liaison que le principe de la rela- 
tivit6 6tablit entre Pespace et le temps. Pourquoi POINCAR^ n'a-t-il pas 6t6 
jusqu'au bout de sa pens^e? C'est sans doute la tournure iin peu trop hyper- 
critique de son esprit, due peut-6tre a sa formation de mathematicien pur, qui 
en est la cause. Comme on le rappellera tout a Theure, il avait une attitude un 
peu sceptique vis-a-vis des theories physiques, considerant qu'il existe en 
general une infinite de points de vue differents, d'images variees, qui sont 
logiquement equivalents et entre lesquels le savant ne choisit que pour des 
raisons de commodite. Ce nominalisme semble lui avoir parfois fait meconnaitre 
le fait que, parmi les theories logiquement possibles, il en est cependant qui 
sont plus pr&s de la realite physique, mieux adaptees en tout cas a Tintuition 
du physicien et par la plus aptes a seconder ses efforts. C'est pourquoi le jeune 
Albert EINSTEIN age alors seulement de 25 ans et dont Tinstruction mathema- 
tique etait rudimentaire en comparaison de celle du profond et genial savant 
frangais est cependant arrive avant lui a la vue synthetique qui, utilisaut et 
justifiant toutes les tentatives partielles de ses devanciers, a balaye d'un seul 
coup toutes les difficultes. Coup de maitre d'un esprit vigoureux guide par une 
intuition profonde des realites physiques ! 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE 1 5 MAI 1964. Q_ 

Cependant I'e'blouissant success d'EwsTEiN ne doit pas nous faire oublier 
combien le probleme avait 6t6 profond^ment analyst avant lui par 1'esprii 
lumineux de POINCAJUB et combien celui-ci avait apporie' de contributions 
cssentielles a sa future solution. Sans LORENTZ et sans PoiNCARfi, EINSTEIN n'eut 
pu aboutir. 

Et puisque nous avons 6t6 amenti a citer le beau Me'moire de POINCAII& dans 
les Comptes rendus du Cercle mathernatique de Palenne, n'oublions pas 
de rappeler que, 6tudiant la stability de 1' electron, Imminent ge'ometre montrait 
qu'elle ne peut 6tre assure'e que si, aux forces electromagne'tiques connues, 
s'ajoutait une force de nature inconnue la pression de PoiNCARti : cette 
force contrebalancant 1'effet de la repulsion mutuelle des diverses parties de 
1' electron lui permet de subsister malgre' cette repulsion. Ce fut la une de"cou- 
verte 'essentielle et aujourd'hui encore, bien que la the'orie de 1'existence et de 
la structure des particules ele'mentaires ait beaucoup e'volue', sans parvenir 
d'ailleurs a un stade vraiment satisfaisant, on entend de nouveau souvent 
parler de la pression de POINCAR&. 

Si Ton ajoute a tons ces travaux sur PElectromagne'tisme et les electrons 
ceux ou POINCARB a 6tudi^ les ondes hertziennes, leur production, leur propa- 
gation et leurs proprie'te's , on voit a quel point il fut a un moment donne' a 
Fextr^me pointe de 1'avant-garde des the"oriciens de la Physique dans leur 
marche conque'rante. 

* * 

Une question qui pre'sente une grande importance a la fois pour la Physique 
the'orique et pour la Philosophic naturelle tout entiere et sur laquelle 
Henri POINCARIS est bien des fois revenu est celle du de'terminisme et corr6la- 
tivement celle de la conception du hasard que la croyance au de'terminisme 
entraine. Aujourd'hui ou ces questions ont e'te' consid^r^es sous des jours 
nouveaux, il est tres int^ressant de relire les textes de POINCARE. Comme tous 
les savants ses contemporains, POINCAR^ ne parait jamais avoir mis en doute 
que tous les phe'nom&nes physiques jusqu'aux plus e'le'mentaires sont r6gis par 
des lois rigoureuses, par un de'terminisme inflexible qu'expriment des Equations 
diffe'renlielles dont les solutions sont entierement de'termine'es quand on 
connait un nombre suffisant de donne'es initiales. Gette foi dans le de'termi- 
nisme Famenait ne'cessairement a prendre en face du probleme du hasard 
Tattitude qui avait e'te' celle du grand LAPLACE dans ses Ouvrages fondamentaux 
sur le Calcul des probabilite's. Pour POINCAR& comme pour LAPLACE, le hasard 



68 DEUXIEME PARTIE. 

veritable n'existe pas : s'il j a un liasard apparent dans certains ph&iom&nes 
de la Nature, cetle apparence est due soil a notre impuissance de r^soudre un 
probltjme trop ardn pour les forces de noire esprit, soit a notre ignorance des 
donnees n^cessaires a sa solution. 

Or, Ton sait qu'a la suite du d^veloppement de nos connaissances sur les 
phnom6nes de l^chelle atomique ou les quanta inter vienneiil d'une manure 
essentielle, Popinion de la plupart des physiciens sur cette question est 
devenue tout a fait diflferente. Pour eux, a 1'echelle atomique, les ph6nomnes 
sont purement al^atoires et si, a l^chelle microscopique, il nous sembley avoir 
des lois rigoureuses, c'est parce que les ph^nomenes macroscopiques sont le 
r^sultat statistique d'un nombre immense de phnomnes 6lmentaires. Ce 
point de vue est exactement Finverse du point de vue classique encore soutenu 
par PoiNCARfi : ce ne serait pas la loi rigoureuse qui serait la r6alit6 profoiide, 
la loi statistique n'^tant qu'une apparence macroscopique; ce serait au 
contraire la loi statistique qui serait a la base, la loi rigoureuse n'^tant qu'nne 
apparence macroscopique. Avec cette conception et, bien que la loi rigoureuse 
perde sa place priviligi^e, on ne peut cependant pas dire que la Nature n'ob6it 
qu'au caprice puisqu'il y a encore des lois statistiques. 

Ces id^es nouvelles et sub tiles, g6nralement admises par les physiciens 
quantistes d'aujourd'hui, ont 6t6 sugg^r^es par des d6veloppements th^oriques 
que PoiNCARfi n'a pas connus. Elles ne pouvaient done lui 6tre accessibles. 
Aussi parait-il tre rest^ toute sa vie partisan intransigeant du d^terminisme 
congu a la fagon classique et de la conception du hasard qu'ilentraine. Adeptes 
convaincus de I'interpr^tation purement probabiliste de la M6anique ondu- 
latoire, la plupart des physiciens th(5oriciens affirmeraient done a Theure 
actuelle que PoiNCARfi s'^tait tromp^. 

Mais s'est-il r^ellement tromp^ sur ce point? 

Sans vouloir entrer ici dans des explications qui m'entraineraient trop loin, 
je rappellerai cependant que des savants aussi 6minents que MM. PLANCK, 
EINSTEIN et SCHRODINGER, qui furent parmi les fondateurs et les pionniers de la 
th^orie des quanta lors de son 6closion, n'ont jamais admis I'lnterpr^tation 
purement probabiliste qu'on a ensuite donn^e de la Physique quantique. Je 
rappellerai aussi qu'une tentative fut faite en 1927 pour donner de la M6ca- 
nique ondulatoire, encore toute jeune, une interpretation causale et d^termi- 
niste conforms aux conceptions classiques : cette tentative, la th6orie de la 
double solution, j'en fus moi-mme Tauteur, trois ans apr&s avoir 6nonc^ les 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE 1 5 MAI 1964. 

69 

premieres id^es de la M^canique ondulatoire. Mais, d^couragtS par le peu 
d'attention qu'avaient accord^e a ma conception la plupart des autres physi- 
ciens th^oriciens d&s lors s^duits par Interpretation purement probabiliste 
de MM. BORN, BOHR et HEISENBERG, effrayg aussi des difficult^ math6matiques 
considerables que soulevait le ddveloppement de la th^orie de la double solu- 
tion, je renongai a ma tentative et pendant des ann6es je me suis ralli6 a 
Interpretation couramment admise. A ce moment je pensais done et j'ai ecrit 
que Henri POINCARE avait fait fausse route en s'obstinant dans 1'opinion tradi- 
tionnelle que la probability, quand elle s'introduit a la place du determinisme 
dans les theories de la Physique, provient toujours de 1'ignorance ou de la 
reconnaissance d'un determinisme cache. A 1'heure actuelle, je suis sur ce 
point moins affirmatif qu'il y a quelques annees. Depuis environ deux ans, en 
effet, a la suite des travaux de jeunes physiciens, je suis revenu a une etude 
plus approfondie de mes idees d'il y a 20 ans sur la double solution. Je n'ose- 
rais certes pas affirmer que Ton puisse parvenir a justifier enticement 1'inter- 
pretation deterministe de la Mecanique ondulatoire propos6e par la theorie 
de la double solution, mais je crois Dependant pouvoir dire que quelques pas 
onl t faits dans cette direction. Si 1'on parvenait a aboutir dans cette voie, 
alors on aurait obtenu une image causale des ph6nom&nes d6crits par la 
M^canique ondulatoire, et les lois de probability, qui sontaujourd'hui classiques 
en Physique quantique et qui sont certainement exactes, apparaitraient, an 
m$rne titre que dans la th^orie cin6tique des gaz ancienne, comme resultant 
de notre incapacity a suivre dans son detail un d6terminisme cach6. Nous 
obtiendrions ainsi une image assur^mentbeaucoup plus claire des phnomnes 
de l'6chelle corpusculaire que celle qui est aujourd'hui consid6r^e comme 
orthodoxe par la presque unanimity des physiciens quantistes. Sans retrouver 
int^gralement toutes les conceptions de la Physique classique (car une r6vo- 
lution aussi considerable que celle de 1'apparition des quanta en Physique 
laisse toujours des traces profondes), nous nous serions cependant beaucoup 
rapproch^s d'elle et 1'ardeur de POINCAR^ a maintenir intangibles les conceptions 
traditionnelles dans la Science sur le d6terminisme et le sens de Fintervention 
des probabilites en Physique nous apparaitrait a nouveau comme entikrement 
justifi^e. 

- 

Terminons par quelques mots sur les derniers travaux de POINCAR relatifs a 
la th^orie des quanta. II ne semble pas que 1'illustre savant, absorbs par tanl 



70 DEUXIEME PARTIE. 

de travaux et soumis aux nombreuses obligations quc sa cel^brit^ lui imposait, 
ait suivi avec attention les premiers debuts de la theorie des quanta. Les textes 
qu'il a ecrits avant 1910 n'en font jamais explicitement mention bien qu'alors 
les premiers travaux de PLANCK fussent d^ja vieux de plusieurs ann6es. Sa 
participation au Conseil de Physique Solvay en octobre 1911, reunion ou 
furent discut^s tous les aspects encore fragmentaires de la nouvelle theorie, 
attira vivement son attention sur 1'importance des ides de PLANCK. II crivit 
un beau M^moire pour montrer que, si Ton voulait rendre compte des r^sultats 
exp^rimentaux, il <3tait impossible d'^viter d'adopter avec PLANCK I'hypothtjse 
des quanta. Dans le volume posthume Dernier es pensees, on trouve resumes 
en langage ordinaire quelques-unes des remarques et des conclusions auxquelles 
1'avait amen6 l'6tude de la theorie des quanta. II avait du d'ailleurs laisser 
la plupart des questions sans r6ponse bien nette et les progr^s de la Science 
dans ce domaine ont depuis lors 6t^ tels que les considerations d^velopp^es a 
cette 6poque n'ont plus aujourd'hui un grand intrt. Gependant on peut noter 
que Henri POINCAR avait tr6s bien vu qu'un quantum de lumi&re ne peut 
interf^rer qu'avec lui-mme, fait essentiel qui aujourd'hui sert de base a 
Interpretation statistique de la theorie quantique de la lumi&re et plus g6n- 
ralement de la M^canique ondulatoire. 

Peu de temps aprs avoir efFectu^ ces recherclies sur la theorie des quanta, 
Henri POINCARE mourait stibitement au d^but de juillet 1912, a la suite d'une 
operation, a Fage de 58 ans. II est infiniment regrettable que ce puissant 
cerveau n'ait pas pu suivre le d6veloppement rapide des nouvelles theories 
relativistes et quantiques et appliquer a leur 6tude les ressources de son g6nie 
math^matique, de ses immenses connaissances et de son esprit si finement 
critique. Sans doute, il n'aurait pas vu sans 6tonnement la Physique renoncer 
a quelques-unes des id6es qui lui <$taicnt les plus chores, comme celle du 
d^terminisme des ph^nom&nes. Mais il ^tait trop perspicace pour nc pas 
s'adapter rapidement a des id^es nouvelles, en comprendre Tint^r^t ou en 
discuter Pexactitude. Quels services il eut pu rendre a la jeune theorie des 
quanta encore si incertaine dans ses demarches, a la future M^canique ondu- 
latoire aux debuts si difficiles ! 

Qu'on me permette de terminer par un souvenir personnel. Ag6 en 1912 
de 19 anSj je suivais avec passion le d6veloppement de la Physique nouvelle et 
je relisais, sans me lasser, les cours de Physique math&natique et les Ouvrages 
de Philosophie des Sciences de Henri POINCARE. Partant pour la campagne au 



CELEBRATION SOLENNELLE DU CENTENAIRE A LA SORBONNE LE id MAI 1964. 71 

debut des grandes vacances, j'appris dans le train en lisant le journal la mort 
subite de ce grand penseur : j'eusl'impression d'une catastrophe qui decapitait 
brutalement la Science francaise au moment ou la grande revolution que je 
sentais se preparer en Physique rendait sa presence si ne'cessaire. J'ai souvent 
pense depuis que je ne m'etais pas trompe en ressentant si vivement la perte 
irreparable que la Science venait de subir. 

DISCOURS DU DUG MAURICE DE BROGLIE 

DE L'ACADEMIE FRANCAISE, 
PRESIDENT DE L'ACADEMIE DES SCIENCES. 

Henri Poincare et la Philosophic. 

Henri POINCAIIJS a ete un mathematician, de genie, mais ce ires grand savant 
fut aussi un pbilosophe qui s'est penche sur le sens qu'il convenait d'attribuer 
a nos conceptions et a nos theories. 

En acceptant de me risquer a dire quelques mots sur la philosophic de ce 
maitre Eminent, j'avoue que j'ai quelque inquietude. 

D'abord, je ne suis pas un philosophe et ensuite je sens bien que ce n'est 
pas en consacrant un court espace de temps a lire les Ouvrages de Philosophic 
d'Henri POINCAR^ qu'il est legitime de porter sur eux un jugement serieux. 
Une seule chose me rassure un pen : ces Ouvrages datent deja d'une cinquan- 
taine d'annees ; la Science a fait depuis de grands progres auxquels ma gene- 
ration a assiste, on peut done se rendre compte de la facon dont PoiNCARti 
considerait 1'avenir de cette Science et apprecier dans quelle mesurej ce qui 
etait le fulur pour lui, devenu le present pour nous, a justifie ou infirm e 
quelques-uns de ses points de vue : c'est cela seulement que je vaisrelracerici. 

On peut imaginer un jeune homme d'aujourd'hui trouvant dans la biblio- 
theque de ses parents, La Valeur de la Science, La Science et VHypothese, 
, Science et Methode^ volumes probablement bien relies comme on le faisait 
alors pour dcs Ouvrages dont le contenu paraissait precieux; ce jeune 
homme est attire par leur lecture en esperanty trouver des lueurs prophetiques 
sur 1'avenir que cette fin du xix siecle portait en gestation et qui s'est revele si 
charge de decouvertes et de conceptions nouvelles ; faut-il dire qu'en refermant 
le volume on pourra lire quelque deception dans sa curiosite et quelque 
embarras dans son jugement; c'est cependant cc qui aura eu chance de se 



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produire, cc qu'il faut bien constater et chercher a expliquer dans 1'ceuvre 
d'un homme dont le genie math^matique comme la profondeur de pens^e sont 
egalement incontestables. 

II ne faut pas oublier la date a laquelle ces Ouvrages furent Merits; on ne 
pcut pas s^parer un homme de son ^poque, si grand que puisse tre son g^nie, 
surtout si c'est un crivain scrupuleux et defiant vis-a-vis des lans proph~ 
tiques vers le futur. 

La Valeur de la Science est de 1900, La Science et VHypothese de 1906, 
Science et methods de 1908 et le livre posthume intituled Dernier es pensees a 
paru en igi3. 

Pendant le dernier quart du siecle dernier, les tr&s grands d^veloppements 
de la Science avaienl donn6 a toutc une gn6ration Fimpression que celle-ci 
tait en train de se cristalliser, que toutes ses grandes avenues avaient pris 
leur direction definitive et que les perfectionnements futurs ne porteraient 
plus que sur des details destines a mieux ordonnancer la majestueuse structure 
des fails et des theories. Cepcndant dans les toutes derni&res ann^es du 
xix c si&cle, de grandes d^couvertes s'^taient rv(U<3es, les quanta de PLANCK, la 
relativity d'EiNSTEiN, la radioactivite de BECQUEREL et des CURIE; mais leurs 
developpements, bien que rapides, n'en avaient pas encore degag6 la pleine 
signification. Ce nouval essor n'avait certes pas (5chapp6 a Henri POINCARE; il 
le suivait avec grand intr6t. 

En 1911, d^ja gravement atteint par la maladie qui devait 1'emporter l j ann<5e 
suivante, il s'dtait rendu a Bruxelles pour suivre les travaux du premier 
Congrtis Solvay; le temps, Mas, devait lui manquer pour en tirer toutes les 
consequences. 

Louis DE BROGLIE parle aujourd'hui des theories do Physique math&nalique 
que POINCARE a etudi(5es; il rend hommage aux contributions pleines de valeur 
qu'il a apport(5es dans la presentation et la perfection math&natique de cette 
partie de son ceuvre, je n'insisterai done pas sur ce point, mais je ferai seule- 
ment allusion a la diflf<5rence profonde qui s<3pare ce que Ton appelle souvent 
la Physique th^orique et la Physique mathtoatique. La premiere de ces 
disciplines concerne les theories que les physicians ^laborcnt pour guider les 
recherches et presenter des points de vue nouveaux deslin^s a ouvrir des 
voies neuves a rexp6rimentation; la seconde comprend 1'examen math&matique 
et critique des ih^ories d^ja assises pour leur apporter la rigueur qui doit en 



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faire une branche satisfaisante des sciences math^matiques. Dans sa lee. on 
inaugurate du College de France en 1962 M. Andr LICHNEROWICZ a magistrale- 
ment analyst les divergences de ces deux attitudes et soulign6 les imperfections 
que pre*sentent souvent les id^es 6mises par les physiciens thoriques, imper- 
fections qui ne les empchent aucunement de rendre les plus ^minents services. 

Ce sont le plus souvent ces embryons hatifs et quelque peu chevel6s de 
th^orie qui ont jou6 le role fondamental dans les progr&s de la Physique a 
Fdpoque contemporaine et donn<5, sous ce rapport, une grande cl^brit6 a leurs 
auteurs; le travail des mathmaticiens est moins spectaculaire etl'on s'explique 
ainsi comment il se fait qu'Henri POINCAR& n'ait pas attach^ sonnom aux mani- 
festations les plus connues de ces guides et de ces promoteurs de la Recherche, 
parce qu'il s'agit en ralit6, la, de deux orientations bien diflferentes del'esprit. 

Les grands novateurs ne s'embarrassent pas des difficult^ que pr^sente ce 
qu'il y a parfois de contradictoire et d'inachev^ dans leurs conceptions; pour 
n'en citer qu'un exemple la th^orie de BOHR sur les orbites 6lectroniques de 
Fatome, pr6sent6e sous sa forme initiale tait une sorte de monstre, s'appuyant 
d'une part sur les theories classiques et d'autre part sur des ides nouvelles 
incompatibles avec la continuity qui est a la base des premieres. Cela ne 1'a 
pas empch6 d'avoir rencontr6 tout de suite un succ&s <5clatant et d'avoir jet6 
la lueur la plus vive sur la constitution des atonies et remission de leurs spectres 
demission et d'absorption, tout a fait inintelligibles auparavant. Les raffine- 
ments viennent ensuite, mais souvent alors aussik th^orie primitive a tellement 
volu qu'elle se pr^sente sous un jour tout nouveau. Lahardiesse et 1'intuition 
d'un c6t^, la rigueur et 1'esprit critique de 1'autre, voila les caract^ristiques de 
chacun de ces points de vue. 

On a toujours une certaine repugnance a abandonner la logique bien qu'on 
soit souvent un peu trop port a le faire aujourd'hui, cependant la rigueur 
absolue est une chim&re dans cet ordre d'id^es. 

On peut faire une carte exacte des fitats-Unis d'Am^rique, quoiqu'il y ait 
des regions inexplor<5es dans FAfrique centrale ou le bassin de FAmazone, 
mais la nature est une, et dans tous les cantons de la Physique, on ne peut 
esp^rer raisonner correctement, alors qu'il y a tant de choses inconnues dans 
les myst&res de la Mati&re. 

PoiNCARfi, Iui-m6me, reconnait nettement les diflferentes tendances des 
mathgmaticiens quand il 6crit : 

Que Fesprit du math6maticien ressemble peu a celui du physicien ou & 
H. P. 10 



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celui du naturaliste, tout le monde en conviendra, mais les mathe'maticiens 
eux-me'mes ne se ressemblent pas, les uns ne connaissent que Pimplacable 
logique, les autres font appel 1'inluition et voient en elle la source unique de 
la de"couverte ; il dira plus loin : La logique qui peut seule donner la certi- 
tude est Pinstrument de la demonstration, Pintuition est 1'instrument de 
Pinvention . 

La notion du temps, commc celle de Fespace, et de ses dimensions est une 
de ses preoccupations favorites, il 1'examine avec une profondeur qui n'a 
guere et de'passee; on sent chez lui, Pinfluence des idees premieres de la 
Relativit6 et de ses convictions dtHerministes ausquelles il aurait beaucoup de 
repugnance a renoncer. 

Dans le chapitre intitule' 1' Analyse et la Physique , rinfluence du langage 
employe" retient son attention. A propos de la chaleur et de Pelectricite", il 
montre combien d'erreurs sont re"sulte"es de ce que la chaleur n'est pas une 
chose qui se conserve, tandis que, plus heureuse, I'appelhtion d'e'lectricite' 
contenait implicitement un principe de conservation qui n'a pas. e"te" dementi 
par la Physique la plus re'cente. 

Tout le chapitre destin^ a montrer les services mutuels que se sont rendus 
1' Analyse et la Physique n'a pas vieilli et reste plein d'enseignements. POINCAR 
insiste sur PAstronomie qu'il avait tant approfondie et qu'il considere comme 
la mere des theories de la Physique. Sa grandeur et sa simplicity, sa conception 
de forces centrales e'manant en premiere approximation de points mathe'ma- 
tiques, le triomphe qu'elle assui'a a la me'canique en font un modele que 
s'efforcent de suivre les physiciens du xx siecle. C'est un beau sujet de mgdi- 
tations qu'il ne manque pas de de"velopper avec puissance et darte*. 

Parlant ensuite de Phistoire de la Physique mathe"matique, il y trouve 
d'abord la Physique des forces centrales, inspire'e par PAstronomie et ou la 
notion de centres de forces introduit force'ment Pide d'atomes ou de molecules, 
et la Physique des principes qui permet, dans des raisonnements du type 
thermodynamique, de ne'gliger le de'tail des me'canismes. 

Mais ces principes, que sont-ils? C'est la peut-^tre, que notre grand savant 
subit Pinfluence de son poque, mais il voit les perils qui menacent la certi- 
tude affirme'e de ces principes. Les experiences de GOUY sur le mouvement 
brownien ne vont-elles pas mettre en p6rille principe de GARNOT, la d^couverte 
du radium ne risque-t-elle pas d'^branler notre confiance dans le principe de 
la conservation de IMnergie? PorN<HR, un peu inquiet, cherche a se rassurer 



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en songeant que toutes les derogations observees ne concernent que des infi- 
ment petits, nous verrons plus tard que la chose est plus grave et nous aurons 
Foccasion d'y revenir. 

Quand 1'auteur s'occupe de la notion du raisonnement mathematique, de la 
definition des operations sur les nombres, ilmontre 1'importance fondamentale 
du raisonnement par recurrence pour creer une science, puis il passe aux 
incommensurables, au continu mathematique a une ou plusieurs dimensions et 
en arrive a son sujet de predilection, les considerations sur Fespace, espace 
tactile, espace visuel, espace abstrait, diverses geometries possibles et il conclut 
sur une proposition qu'il reproduira souvent ailleurs. La G^ometrie, dit-il, la 
Geometrie fondee sur 1'experience ancestrale de 1'humanite n'est, en realitu, 
que la plus commode : la Geometrie n'est pas vraie, elle est avantageuse. 

Science et Methods est un Ouvrage d'un genre un peu different et qui ne 
semble pas s'adresser tout & fait a la m&me categorie de lecteurs qiie les 
precedents; on peut y noter que 1'auteur, en constatant, helas! il y a 4o ans, 
que 1'Europe domine actuellement le monde, attribue cette superiorite a 1'heri- 
tage des Grecs dont 1'elegance et la beaute ont prepare la suprematie intellec- 
tuelle des Europeens sur les Barbaras. 

PoiNCARfi revient souvent a propos de 1'avenir des matliematiques sur la 
notion d'harmonie et d'elegance, qui pennet aux solutions qu'elle inspire 
d'atteindre au grand rendement et de mesurer ainsi la valeur des conceptions 
nouvelles. 

Passant alors a la Mecanique, POINCAR& commence par insister sur le fait 
que cette science, contrairement a certaines tendances qui la presentaient 
comme une connaissance deductive et a priori, est au fond une science 
purement experimentale; c'est un point, de vue exact, mais qu'il a beaucoup 
contribue a faire triompher. Malgre son appareil mathematique souvent 
imposant, la Mecanique est aussi experimentale que la Physique. 

II y avait la, quand m6me quelque chose d'un peu inquietant. Bien que 
POINCAR& trouve superflues les craintes exprimees par HERTZ quand il disait : 
Dans 1'opinion de beaucoup de physiciens, il apparaitra comme inconcevable 
que 1'experience la plus eloignee puisse jamais changer quelque chose aux 
inebranlables principes de la Mecanique et cependant, ce qui sort de 1'expe- 
rience peut toujours tre modifie par Pexp6rience , on sent qu'il n'est plus 
tout . fait & 1'aise quant ^t la perennite de ses principes. 

L' Ouvrage posthume Dernier es pensees debute par des considerations sur 



76 DEUXIEME PARTIE. 

Involution des lois de la Nature : question alors pose"e par BOUTROUX. L'auteur 
essaye d'^valuer par les lois de la Thermodynamique le temps qui s'est e'coule' 
depuis que le Soleil a pu verser sa chaleur et trouve 5o millions d'anne'es, 
cliifFre e"videmment peu compatible avec les estimations de la Geologic. Nous 
posse'dons aujourd'hui des donn^es bien diff^rentes sur 1'origine et le maintien 
de la chaleur des etoiles; mais POINCARJ& avait bien vu qu'une confrontation 
entre les diverses sciences posait des problemes qui paraissaient alors 
insolubles. 

Uii peu plus loin se trouve cette profonde remarque : 

<c A quoi bon se demander si dans le monde des cltoses en soi, les lois 
peuvcnt varier avec le temps, alors que dans un pareil monde le mot de temps 
est peut-tre vide de sens. De ce que le monde esL, nous ne pouvons rien dire, 
ni rien penser, mais seulement de ce qu'il parait, ou pou